--- url: /Metrology/lesson-4/index.md --- ## Part 1 误差合成 ### · 函数误差 科学实验和工程测量中，许多量无法直接用仪器测出，当间接测量量 $y$ 是多个直接测量量 $x\_1, x\_2, \dots, x\_n$ 的函数 $y = f(x\_1, x\_2, \dots, x\_n)$ 时，由于直接测量量 $x\_i$ 必然带有误差，这种误差会通过函数关系“传递”给计算结果 $y$。 误差传播公式就是用来定量描述这种传递关系的数学工具。 (1). **系统误差传播公式（全微分形式）**：\ $$ \Delta y = \frac{\partial f}{\partial x\_1}\Delta x\_1 + \frac{\partial f}{\partial x\_2}\Delta x\_2 + \dots + \frac{\partial f}{\partial x\_n}\Delta x\_n $$ > **$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x\_i}$ 的物理意义**：称为**误差传播系数**，直观地反映了直接测量量 $x\_i$ 对间接测量量 $y$ 的影响敏感程度 > > 若 $\Delta x\_i$ 与 $\Delta y$ 量纲相同，起到放大或缩小作用。 > > 若量纲不同，起到单位换算作用。 (2). **随机误差传播公式（一阶泰勒展开）**： $$ \delta y = \frac{\partial f}{\partial x\_1}\delta x\_1 + \frac{\partial f}{\partial x\_2}\delta x\_2 + \dots + \frac{\partial f}{\partial x\_n}\delta x\_n $$ > 用 $\delta x\_i$ 表示随机误差（或某次测量中的随机涨落分量），其理论基础是多元函数的一阶泰勒展开式（Taylor Series Expansion），忽略了二阶及以上的高阶微小量。 ### · 随机误差的合成 (1). **标准差合成（方和根法）**： > 当直接测量量 $x\_1, x\_2, \dots, x\_n$ 含有随机误差（其标准差分别为 $\sigma\_1, \sigma\_2, \dots, \sigma\_q$）时，间接测量量 $y$ 的标准差 $\sigma$ 如何计算？ 一般情况（考虑相关系数 $\rho\_{ij}$）： $$ \sigma = \sqrt{\sum\_{i=1}^{q}(a\_i\sigma\_i)^2 + 2\sum\_{1\le i\ $a\_i = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x\_i}$：误差传播系数（敏感度系数） > > **$\rho\_{ij}$（相关系数）**：反映变量 $x\_i$ 和 $x\_j$ 之间关联程度的指标，取值范围在 $\[-1, 1]$ 之间。 > > > 若 $\rho\_{ij} > 0$：说明两变量正相关（一个偏大时另一个也倾向偏大），交叉项会**增大**总标准差。 > > > > 若 $\rho\_{ij} < 0$：说明负相关，交叉项会相互抵消，从而**减小**总标准差。 > > > > 若 $\rho\_{ij} = 0$：说明两变量完全独立，交叉项直接消去。 > > 这是概率论中**方差的加法定理**在多元函数线性化后的具体表现，即 > $$ > \text{Var}(y) = \sum a\_i^2 \text{Var}(x\_i) + \text{2}\sum a\_i a\_j \text{Cov}(x\_i, x\_j) > $$ > 的展开。 若各分量互不相关（$\rho\_{ij} = 0$ 且 $a\_i = 1$）： $$ \sigma = \sqrt{\sum\_{i=1}^{q}\sigma\_i^2} $$ > 这就是最著名的**方和根（RSS）公式**。当各个直接测量互不影响（$\rho\_{ij}=0$）且函数关系为简单的线性加减（$a\_i=1$，例如 $y = x\_1 + x\_2 - x\_3$）时，总标准差等于各分量标准差平方和的平方根。 无论各个单项误差服从什么概率分布（正态分布、均匀分布或三角分布等），只要能够给出各自的标准差（或标准不确定度），就可以通过方和根法则合成总标准差。这是现代测量不确定度评定（GUM法）的基石。 (2). **极限误差合成**： 在很多工程领域人们更习惯使用**极限误差**（Limit Error，通常记为 $\delta$ 或 $E$）来限制误差的边界。 极限误差通常对应一定的**置信水平**（例如在正态分布下，取 $3\sigma$ 对应 $99.73%$ 的置信概率）。 对于某一个分量 $x\_i$，其极限误差为 $\delta\_i$，对应的置信因子（或称覆盖因子）为 $k\_i$。因此，该分量的**相当标准差**可以表示为： $$ \sigma\_i = \frac{\delta\_i}{k\_i} $$ 同理，最终结果 $y$ 的极限误差为 $\delta$，其置信因子为 $k$，对应的标准差为 $\sigma = \dfrac{\delta}{k}$。 将标准差合成公式中的 $\sigma = \dfrac{\delta}{k}$ 和 $\sigma\_i = \dfrac{\delta\_i}{k\_i}$ 代入，两边同乘以 $k$ 即可得到： $$ \delta = k\sqrt{\sum\_{i=1}^{q}\left(\frac{a\_i\delta\_i}{k\_i}\right)^2 + 2\sum\_{1\le i\ 当各项均服从正态分布、相互独立，且我们在相同的置信水平下（即置信因子 $k\_i = k$ 相同）进行评估时， > > 极限误差的合成形式也表现为简单的**方和根**。 ### · 系统误差的合成 系统误差按性质分为两类，合成方法截然不同： (1). **已定系统误差的合成**： **特征**：大小和方向均已确切掌握，不具备抵偿性。 **合成方法**：**代数和法**\ $$ \Delta = \sum\_{i=1}^{r} a\_i \Delta\_i $$ > **为什么用代数和？** 因为每个已定系统误差 $\Delta\_i$ 都有确切的正负号。 > > 乘以误差传播系数 $a\_i = \dfrac{\partial f}{\partial x\_i}$ 后，它们在最终结果 $y$ 中是相互叠加的。 > > 如果两个误差同向，它们会叠加放大；如果异向，它们会部分抵消。这里**必须代入符号**进行纯粹的代数加减。 (2). **未定系统误差的合成**： > 我们知道它存在（例如仪器说明书上写着“精度等级为 $\pm 0.5%$”），但我们**不知道在某一次具体的测量中，它到底是偏大还是偏小、具体数值是多少**。我们只知道它被限制在某个区间内（例如不超过 $\pm e$​ 的范围）。 > > 在**一组固定的测量条件**下，它保持恒定不变（表现出系统误差的特征）。 > > 但是，如果我们改变测量条件（换一台同型号的仪器、换一个操作员、在不同时间测量），或者在综合评价多个来源的此类误差时，它表现出的符号和大小具有不可预测性。 > > 因此，从概率统计和综合作用的角度来看，**它们具有类似随机误差的“抵偿性”**。 > > 既然它具有随机误差的统计特性，虽然我们不知道它确切在哪一个点，但我们可以把它看作是一个**服从某种概率分布（通常假设为均匀分布）随机变量**。 > > 当有多个相互独立的未定系统误差时，由于它们方向随机、互不相关，它们的合成不能简单地用代数和（那代表最极端的“悲观估计”，会导致误差范围被严重夸大），而是应该像随机误差一样，采用**方和根（RSS）法**合成。 合成方法完全可以采用随机误差的合成公式（标准差合成或极限误差合成）。 标准差合成（独立时）： $$ u = \sqrt{\sum\_{i=1}^{s}(a\_i u\_i)^2} $$ ### · 系统误差与随机误差合成 > “系统误差（无论已知未知）不随次数增加而减小，而随机误差可以通过多次测量被显著消减。” 在实际测量中，往往需要将已定系统误差、未定系统误差和随机误差综合考虑。 (1). **单次测量情况**（设误差传递系数 $a\_i = 1$）： 极限误差合成： $$ \Delta\_{\Sigma} = \sum\_{i=1}^{r}\Delta\_i \pm \sqrt{\sum\_{i=1}^{s}e\_i^2 + \sum\_{i=1}^{q}\delta\_i^2} $$ > **第一部分（$\sum \Delta\_i$）：已定系统误差的残余** > > * 如果已定系统误差在测量结果中**已经通过修正值予以扣除**，理论上这部分应该为零或极小。但如果某些已定系统误差没有被完全修正，它们会以**代数和**的形式直接叠加在总误差的边界上（提供一个整体的系统性偏置方向，即带有 $\pm$ 号的整体平移）。 > > **第二部分（$\sqrt{\sum e\_i^2 + \sum \delta\_i^2}$）：未定系统误差与随机误差的联合方和根** > > * **$e\_i$**：未定系统误差的极限误差（按均匀分布或其他分布折算）。 > * **$\delta\_i$**：随机误差的极限误差。 > * 因为这两者在综合作用时都表现出无规律的“抵偿性”（虽然性质不同，但从统计学合成上看都可以当作随机分量处理），所以它们**彼此独立、遵循方和根（RSS）定律**融合成一个综合的波动区间。 标准差合成： $$ \sigma = \sqrt{\sum\_{i=1}^{s}u\_i^2 + \sum\_{i=1}^{q}\sigma\_i^2} $$ > 这对应现代不确定度评定中的合成标准不确定度：由未定系统误差转换来的标准不确定度分量（B类，$u\_i$）与随机误差的标准差分量（A类，$\sigma\_i$）直接通过方和根进行合成。 (2). **$n$ 次重复测量情况**： 如果在实验中，我们对同一个量进行了 $n$ 次重复测量，并取其**算术平均值**作为最终结果，情况会发生根本性的变化。 > **系统误差（已定 $\Delta\_i$ 或未定 $e\_i$）**：**不具备抵偿性**。无论是仪器零点偏移、刻度不准还是环境固定偏差，你在同一个仪器上测 10 次或 100 次，这个偏差依然雷打不动地存在。因此，**它们绝不随测量次数 $n$ 的增加而减小**。 > > **随机误差（$\delta\_i$ 或 $\sigma\_i$）**：**具备抵偿性**。由于随机误差服从统计规律（正负交替、期望为零），当你进行 $n$ 次重复测量并求平均时，正负误差会互相抵消。根据数理统计，均值的方差会缩小为单次测量方差的 $\dfrac{1}{n}$（即标准差缩小为原来的 $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$）。 总极限误差： $$ \Delta\_{\Sigma} = \pm \sqrt{\sum\_{i=1}^{s}e\_i^2 + \frac{1}{n}\sum\_{i=1}^{q}\delta\_i^2} $$ 总标准差： $$ \sigma = \sqrt{\sum\_{i=1}^{s}u\_i^2 + \frac{1}{n}\sum\_{i=1}^{q}\sigma\_i^2} $$ ## Part 2 误差分配 在设计一台高精度光学仪器、机械传动系统或电子测量装置时，通常客户或指标会规定：**“整机允许的最大总误差（或总不确定度）不能超过多少”**。此时，设计者的任务就是把这个总指标合理地拆解、分配给各个组成部分或各个直接测量环节。 即给定测量结果允许的总误差（或总不确定度），合理确定各个单项误差的指标。 (1). **等影响原则（等分配原则）**： 假设系统中的 $n$ 个误差源对总误差造成的贡献是**完全均等**的。也就是说，不偏袒任何一个环节，让每个环节承担相同比例的误差风险。 根据独立随机变量的方差合成公式（方和根律）： $$ \sigma\_y^2 = \sum\_{i=1}^{n} (a\_i \sigma\_i)^2 $$ 如果让每一项对总方差 $\sigma\_y^2$ 的贡献都完全相等，那么每一项分担的方差就是： $$ (a\_i \sigma\_i)^2 = \frac{\sigma\_y^2}{n} $$ 两边开根号后，即可得到各个直接测量量的标准差（或极限误差）分配公式： $$ \delta\_i = \frac{\delta}{\sqrt{n}}\frac{1}{a\_i} \quad \text{or} \quad \sigma\_i = \frac{\sigma\_y}{a\_i \sqrt{n}} $$ (2). **按可能性调整原则**： 平均分配常导致“易实现的过松、难实现的难以达到”。 对难以实现的测量误差项适当扩大，对容易实现的尽量缩小，其余不予调整。 (3). **验算调整后的总误差**：合成后若超出允许范围则继续收紧，若过小可适当放宽. ### · 微小误差取舍 当某个误差项对总误差的影响很小、可以忽略时，称为微小误差。 若误差有效数字取 **1位**：当 $D\_k \le \dfrac{1}{3}\sigma\_y$（或 $0.3\sigma\_y \sim 0.4\sigma\_y$）时，可忽略不计。 若误差有效数字取 **2位**：当 $D\_k \le \dfrac{1}{10}\sigma\_y$（或 $0.1\sigma\_y \sim 0.14\sigma\_y$）时，可忽略。 ### · 最佳测量方案 在设计间接测量方案时，如何使函数误差 $\sigma\_y$ 最小： (1). **选择最佳函数误差公式**：优先选择包含直接测量值数目**最少**的函数公式。若数目相同，优先选择误差较小的直接测量值所对应的函数公式。 (2). **使误差传播系数尽量小**：通过优化几何关系或测量构型，使各个测量值对函数的误差传播系数 $\dfrac{\partial f}{\partial x\_i} = 0$ 或趋于最小.