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## Part 1 基本概念

测量不确定度（Measurement Uncertainty）简单来说就是：我们对测量结果可能上下浮动多大范围的一种科学定量评估。

在实际报告中，它通常写成形如 $Y = y \pm U$ 或 $Y = y \pm u\_c$（其中 $y$ 是估计值，$U$ 是扩展不确定度）的形式。这代表着：我们有相当大的把握认为，被测量的真值落在了 $y - U$ 到 $y + U$ 这个区间之内。

现代测量将不确定度的评定方法清晰地划分为两大类：

> **A类评定（Class A Evaluation）**：过对**一系列直接观测数据**进行统计学处理来评定标准不确定度。
>
> **B类评定（Class B Evaluation）**：基于**经验、历史数据、环境资料、检定证书**所认定的概率分布来评定标准不确定度。

|          | 测量误差               | 测量不确定度               |
| -------- | ---------------------- | -------------------------- |
| 中心参考 | 以真值或约定真值为中心 | 以被测量的**估计值**为中心 |
| 可测性   | 一般难以确切定值       | 可以定量评定               |
| 分类界   | 界限模糊               | 界限简单明了               |

## Part 2 标准测量不确定度

### · A 类评定

A 类评定是通过对**一系列观测数据进行统计分析**来评定标准不确定度的方法。它专门用于处理具有随机波动特性的分量。

**单次测量值作为估计值**：若以单次测得值 $x$ 作为被测量的估计值，其标准不确定度直接由样本标准差 $s(x)$ 表征，即 $u(x) = s(x)$。

**算术平均值作为估计值**：若以 $n$ 次测量的算术平均值 $\bar{x}$ 作为被测量的估计值，根据数理统计原理，平均值能显著削弱随机误差，因此其标准不确定度会按 $\sqrt{n}$ 缩小，即 $u(\bar{x}) = s(\bar{x}) = \dfrac{s(x)}{\sqrt{n}}$。

**自由度**：无论是单次测量还是算术平均值，其 A 类评定的自由度均按贝塞尔公式（Bessel formula）计算为 $\nu = n - 1$。

### · B 类评定

信息来源包括：历史测量数据/经验、仪器说明书/检定证书、技术手册等。 假定包含半宽度为 $a$（或给定扩展不确定度 $U\_x$），根据估计值的分布类型求取标准不确定度 $u\_x = \dfrac{a}{k\_p}$：

> 正态分布：
> $$
> u\_x = \frac{a}{k\_p},\quad k=3 (99.73%),\quad k=2.60 (99%)
> $$
> 均匀分布：
> $$
> u\_x = \dfrac{a}{\sqrt{3}} \approx 0.577 a,\quad k\_p=\sqrt{3}
> $$
> 三角分布：
> $$
> u\_x = \frac{a}{\sqrt{6}} \approx 0.408 a,\quad k\_p = \sqrt{6}
> $$
> 反正弦分布：
> $$
> u\_x = \frac{a}{\sqrt{2}} \approx 0.707 a,\quad k\_p = \sqrt{2}
> $$

### · 自由度

自由度指不确定度计算表达式中总和包含的项数减去各项间的约束条件数 $\nu$。自由度越大，标准差及不确定度的评定质量越可信。

**A 类评定自由度**：$\nu = n - 1$

**B 类评定自由度**：$\nu \approx \dfrac{1}{2 \left( \frac{\sigma\_u}{u} \right)^2}$ （其中 $\dfrac{\sigma\_u}{u}$ 为不确定度 $u$ 的相对标准不确定度/相对相对误差）。

## Part 3 不确定度合成

### · 合成标准不确定度

当被测量 $y$ 无法直接测得，而是通过 $N$ 个直接测量量 $x\_1, x\_2, \dots, x\_N$ 计算得到时（即模型 $y = f(x\_1, x\_2, \dots, x\_N)$），必须将各个输入量引入的不确定度合成为一个综合指标 $u\_c$.

**(1) 计算步骤**

**找出所有分量**：列出影响测量结果的所有独立或相关的不确定度来源 $u\_{xi}$（包括 A 类和 B 类评定分量）。

**计算传递系数（敏感度系数 $c\_i$）**：求函数对各自变量的偏导数 $c\_i = \dfrac{\partial f}{\partial x\_i}$，反映各直接测量量微小波动对最终结果的影响权重。

**计算分量效应**：求出由自变量 $x\_i$ 引起的结果的不确定度分量 $u\_i = \vert{}c\_i\vert{} u\_{xi} = \left\vert{} \dfrac{\partial f}{\partial x\_i} \right\vert{} u\_{xi}$.

**按方和根（RSS）合成**：通过协方差传播律完成合成。

**(2) 矩阵与合成公式**
$$
u\_c = \sqrt{\sum\_{i=1}^{N} \left( \frac{\partial f}{\partial x\_i} \right)^2 u\_{xi}^2 + 2 \sum\_{1 \le i < j}^{N} \frac{\partial f}{\partial x\_i} \frac{\partial f}{\partial x\_j} \rho\_{ij} u\_{xi} u\_{xj}}
$$
式中 $\rho\_{ij}$ 为 $x\_i$ 与 $x\_j$ 的相关系数。若两变量同向联动（正相关 $\rho\_{ij} > 0$），交叉项会拉大合成不确定度；若反向抵消（负相关 $\rho\_{ij} < 0$），交叉项会减小合成不确定度。

当各直接测量量互不相关（相关系数 $\rho\_{ij} = 0$）时：
$$
u\_c = \sqrt{\sum\_{i=1}^{N} u\_i^2}
$$

### · 展伸不确定度

合成标准不确定度 $u\_c$ 在统计学上大致相当于正态分布下的“$1\sigma$”区间，对应的包含概率（置信水平）仅约 $68.27%$。在工程合规性判定或高精度校准中，这一置信度往往不足，因此需要引入包含因子 $k$ 将其扩展为：
$$
U = k \cdot u\_c
$$
**Question**：如何确定 $k$ ?

**按 $t$ 分布临界值精确计算**：

> 公式：
> $$
> k = t\_p(\nu\_{eff})
> $$
> 其中 $p$ 为指定的置信概率（如 $95%$ 或 $99%$），$\nu\_{eff}$ 为**有效自由度**。

**有效自由度（Welch-Satterthwaite 公式）**：

> 由于合成标准不确定度由多个不同自由度 $\nu\_i$ 的分量合成而来，总合成结果的“等效自由度”用该公式估算：
> $$
> \nu\_{eff} = \frac{u\_c^4}{\sum\_{i=1}^{N} \frac{u\_i^4}{\nu\_i}}
> $$

讲讲公式的推导过程：

> \[!note]
>
> 在测量不确定度评定中，每一个标准不确定度分量 $u\_i$（无论是 A 类还是 B 类）都可以看作是对某个总体标准差 $\sigma\_i$ 的估计。 根据数理统计原理：
>
> 样本方差或不确定度平方 $u\_i^2$ 乘以其自由度 $\nu\_i$ 再除以真值方差，服从**卡方分布（Chi-squared distribution）**：
> $$
> \frac{\nu\_i u\_i^2}{\sigma\_i^2} \sim \chi^2(\nu\_i)
> $$
> 在卡方分布 $\chi^2(\nu)$ 中：
>
> > 其数学期望（均值）为：$E\[\chi^2(\nu)] = \nu$
> >
> > 其**方差**为：$\text{Var}(\chi^2(\nu)) = 2\nu$
>
> 由此可以反推出单个不确定度平方 $u\_i^2$ 的期望和方差：
>
> > 期望：$E\[u\_i^2] = \sigma\_i^2$
> >
> > 方差：$\text{Var}(u\_i^2) = \dfrac{2\sigma\_i^4}{\nu\_i}$
>
> 合成标准不确定度 $u\_c^2$ 是各个分量平方的和（假设互不相关）：
> $$
> u\_c^2 = \sum\_{i=1}^{N} u\_i^2
> $$
> 由于 $u\_i^2$ 各自服从不同自由度 $\nu\_i$ 的卡方分布，因此 $u\_c^2$ 实际上是**多个不同自由度的卡方随机变量的线性组合**。
>
> 这种线性组合的精确概率分布极其复杂（属于非中心或广义卡方加权和），在工程应用和常规查表中根本无法直接使用。
>
> 统计学家 Welch 和 Satterthwaite 提出了一种**近似替代法**——我们能不能假设这个复杂的组合分布，其整体行为近似于**某一个单一的卡方分布**？
>
> 即寻找一个等效的“有效自由度” $\nu\_{eff}$，使得合成量 $u\_c^2$ 能够近似地被看作服从自由度为 $\nu\_{eff}$ 的卡方分布。
>
> 为了让一个单一的卡方分布去逼近那个复杂的组合分布，最科学的方法是让它们的**数字特征（矩）保持一致**。
>
> > 矩是用来描述**概率分布或一组数据特征**的数学工具，阶数 $k$ 越高，代表对离中心越远的数据细节敏感度越高；这里使用了“前两阶矩匹配”（即均值相等、方差相等）。
>
> 首先看合成方差 $u\_c^2$ 的期望：
> $$
> E\[u\_c^2] = E\left\[\sum\_{i=1}^{N} u\_i^2\right] = \sum\_{i=1}^{N} E\[u\_i^2] = \sum\_{i=1}^{N} \sigma\_i^2
> $$
> 如果我们假设 $u\_c^2$ 近似对应一个有效自由度为 $\nu\_{eff}$ 的卡方分布，其期望应当为 $\sigma\_c^2$（其中 $\sigma\_c^2 = \sum \sigma\_i^2$）。
>
> 因为各个分量 $u\_i^2$ 是相互独立的，合成方差 $u\_c^2$ 的方差等于各分量方差之和：
> $$
> \text{Var}(u\_c^2) = \sum\_{i=1}^{N} \text{Var}(u\_i^2) = \sum\_{i=1}^{N} \frac{2\sigma\_i^4}{\nu\_i}
> $$
> 另一方面，如果把 $u\_c^2$ 视作一个具有有效自由度 $\nu\_{eff}$ 的卡方变量，其理论方差应当是：
> $$
> \text{Var}(u\_c^2) = \frac{2\sigma\_c^4}{\nu\_{eff}}
> $$
> 其中 $\sigma\_c^2$ 在实际应用中用 $u\_c^2$ 来估计
>
> 将上面两个方差表达式划等号：
> $$
> \frac{2\sigma\_c^4}{\nu\_{eff}} = \sum\_{i=1}^{N} \frac{2\sigma\_i^4}{\nu\_i}
> $$
> 两边消去常数 $2$，并将理论上的真值方差 $\sigma^2$ 用观测估计值 $u^2$ 来替代（$\sigma\_c^2 \approx u\_c^2$，$\sigma\_i^2 \approx u\_i^2$）：
> $$
> \frac{u\_c^4}{\nu\_{eff}} = \sum\_{i=1}^{N} \frac{u\_i^4}{\nu\_i}
> $$
> 最终变形，解出 $\nu\_{eff}$，就得到了经典的 **Welch-Satterthwaite 公式**：
> $$
> \nu\_{eff} = \frac{u\_c^4}{\sum\_{i=1}^{N} \frac{u\_i^4}{\nu\_i}}
> $$

**经验取值**： 在自由度足够大或无法精确估计自由度时，通常直接取固定包含因子 $k = 2$（对应约 $95%$ 置信度）或 $k = 3$（对应约 $99.73%$ 置信度）。