线性代数的两个核心操作都和向量有关

• 向量加操作可以得到 $\vec{v}+\vec{w}$
• 乘以一个数可以得到 $c\vec{v},c\vec{w}$

组合这些操作,可以得到的 $c\vec{v}+c\vec{w}$ 线性组合(linear combination)

$$\text{Linear combination}:c\vec{v}+c\vec{w}\\ c \left[\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right] + d \left[\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} c+2d \\ c+3d \\ \end{matrix} \right]$$

向量 $c\vec{v}$ 都在一条直线上.如果 $\vec{w}$ 不在这一条直线上,组合 $c\vec{v}+c\vec{w}$ 形成了了整个的二维空间.我必须用二维这个词是因为线性代数允许更高维的平面.如果从四维空间的四个向量开始,$\vec{u},\vec{v},\vec{w},\vec{z}$,它们的 $c\vec{u}+d\vec{v}+d\vec{w}+f\vec{z}$ 组合很可能会形成那个空间

但不总是.这些线和组合可以处以同一条直线上

我们有两个数字$v_1,v_2$,这样一对数字产生了二维向量 $\vec{v}$:

$$\text{column vector:}\quad v = \left[ \begin{array} { c } { v _ { 1 } } \\ { v _ { 2 } } \end{array} \right] \quad \begin{array} { l } { v _ { 1 } = \text { first component } } \\ { v _ { 2 } = \text { second component } } \end{array}$$

向量加法如下,分量+分量

$$\begin{array} { l } { \text { VECTOR } } \\ { \text { ADDITION } } \end{array} \quad v = \left[ \begin{array} { c } { v _ { 1 } } \\ { v _ { 2 } } \end{array} \right] \text { and } w = \left[ \begin{array} { c } { w _ { 1 } } \\ { w _ { 2 } } \end{array} \right] \quad \text { add to } \quad v + w = \left[ \begin{array} { c } { v _ { 1 } + w _ { 1 } } \\ { v _ { 2 } + w _ { 2 } } \end{array} \right]$$

减法类似.

另外一个基础操作是数乘(scalar multiplication)

$$\begin{array} { l l } { \text { SCALAR Multiplication:} } & { 2 v = \left[ \begin{array} { c } { 2 v _ { 1 } } \\ { 2 v _ { 2 } } \end{array} \right] \text { and } - v = \left[ \begin{array} { c } { - v _ { 1 } } \\ { - v _ { 2 } } \end{array} \right] } \end{array}$$

$\vec{v}$ 和 $-\vec{v}$ 相加得到的结果是 $\vec{0}$ (不是数字0). $\vec{0}$ 向量的分量是 0 和 0 .线性代数就是在 $\vec{v}+\vec{w},c\vec{v}$ 这些向量加法和数乘下构建起来的

Definition: Linear combination of $\vec{v}$ and $\vec{w}$

$c\vec{v}$ 和 $d\vec{w}$ 的和(sum),是 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ 的线性组合

四个特别的线性组合是：和，差，0乘和数乘 (sum,difference,zero and scalar multiple of c$\vec{v}$)

$$\begin{aligned} 1 \vec{v} + 1 \vec{w} & = \text { sum of vectors in Fig } 1.1 \mathrm { a } \\ 1 \vec{v} - 1 \vec{w} & = \text { difference of vectors in Fig } 1.1 \mathrm {b} \\ 0 \vec{v} + 0 \vec{w} & = \text { zero vector } \\ c \vec{v} + 0 \vec{w} & = \text { vector } c \vec{v} \text { in the direction of } \vec{v} \end{aligned}$$

零向量总是一个可能的组合,只要系数是0即可.任何我们看到一个向量空间(space of vector),零向量也是包括在内的.

从现在开始,我们写向量的时候,有下面约定

$$\vec { v } = \left[ \begin{array} { c } { 1 } \\ { 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right] \text { , }\quad \vec { v } = ( 1,1 , - 1 )$$

主要原因是为了节省空间,注意 $\vec{v} = (1,1,-1)$ 实际上还是一个列向量,只是为了表示方便.行向量是列向量的转置.三维向量的线性组合和二维是一样的,只是多了一个坐标而已

对于一个向量$\vec{u}$,唯一的线性组合是 $c\vec{u}$.两个向量,组合有 $c\vec{u}+d\vec{v}$.三个向量是: $ c\vec{u}+d\vec{v} + e\vec{w} $;c,d,e可以是任何值.假设 $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ 是三维空间向量.那么

1. $c\vec{u}$ 所有组合的图像是什么?
2. $c\vec{u} + d\vec{v}$ 所有组合的图像是什么?
3. $c\vec{u} + d\vec{v} + e\vec{w}$ 所有组合的图像是什么?

答案取决于这些 $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ 向量,如果它们都是零向量(极端例子),那么这些所有的组合都是零向量.如果它们不是零向量.那么下面就是答案,这是我们学习的关键:

1. $c\vec{u}$ 的组合形成一条直线(fill a line)
2. $c\vec{u} + d\vec{v}$ 形成一个平面(fill a plane)
3. $c\vec{u} + d\vec{v} + e\vec{w}$ 形成一个三维空间

零向量(0,0,0)是在第一种情况的直线上,因为c可以是0;它也在平面上,因为c,d可以是0.向量 $c \vec{u}$ 的线是无限长的(前进方向或者后退方向). 需要特别让你关注的是,所有 $ c\vec{u} + d\vec{v}$ (组合两个三维下的向量)的那个平面:

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2025/12/3 15:27

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