外观
Chapter 1 数学基础
约 7094 字大约 24 分钟
2025-12-11
Part 1 δ 函数
· 定义
Dirac 引入的 δ-函数的定义由下式给出
δ(x)={∞,0,x=0;x=0.
除此之外,更为重要的条件是
∫−∞∞δ(x)dx=1.
在数学上,δ-函数可以通过所谓分布 (Distribution) 理论严格化.它实际上是一个泛函.
在实际计算中,为了方便起见,δ-函数常常用某些函数的极限形式来表达.在这里,我们给出其最常用的几种表达方式.
(1) 首先,我们有
σ→0lim2πσ1exp(−2σx2)=δ(x).
实际上,当 σ→0 时,δ-函数的定义式显然是满足的.又由于
∫−∞∞2πσ1exp(−2σx2)dx=∫−∞∞2πσ1exp[−(2σx)2]dx=π1∫−∞∞exp(−x~2)dx~=π1π=1.
(2) 其次,我们有
α→∞limπxsinαx=δ(x).
为了证明这一表达式,我们注意到,当 α→∞ 时,这一极限形式地满足 δ-函数的定义. 但是,为了证明它的积分等于 1,我们需要做一些准备工作.
首先,我们注意到积分公式
I=∫0∞e−γxcosβxdx=β2+γ2γ,γ>0
成立.这是由于连续利用分步积分公式,我们有
I=∫0∞e−γxcosβxdx=e−γxβsinβx0∞+βγ∫0∞e−γxsinβxdx=βγ∫0∞e−γxsinβxdx=−β2γe−γxcosβx0∞−β2γ2∫0∞e−γxcosβxdx=β2γ−β2γ2I.
移项后,我们有
(1+β2γ2)I=β2γ.
将此式的两边同除以 (1+β2γ2) 后,我们即可得到公式.
现在,我们将公式
I=∫0∞e−γxcosβxdx=β2+γ2γ,γ>0
两边的变量 β 从 0 积分到 α.我们得到
∫0αdβ(∫0∞e−γxcosβxdx)=∫0∞dxe−γx(∫0αdβcosβx)=∫0∞dxe−γxxsinαx=∫0αdββ2+γ2γ=arctanγα.
因此,我们有
γ→0lim∫0∞dxe−γxxsinαx=∫0∞dxxsinαx=γ→0limarctanγα=arctan∞=2π.
现在,我们可以完成我们的证明了.我们有
∫−∞∞πxsinαxdx=2∫0∞πxsinαxdx=π2⋅2π=1.
因此,命题得证.
(3) 接下来,我们有
2π1∫−∞∞eikxdk=δ(x).
事实上,直接的计算给出
2π1∫−∞∞eikxdk=α→∞lim2π1∫−ααeikxdk=α→∞lim2π1ixeikx−αα=α→∞limπ12ixeiαx−e−iαx=α→∞limπ1xsinαx=δ(x).
(4) 最后,我们有
ϵ→0+limπ1x2+ϵ2ϵ=δ(x).
首先,当 x=0 时,上式趋向于零.而当 x=0 时,上式为 ∞.其次,我们有
ϵ→0+lim∫−∞∞π1x2+ϵ2ϵdx=ϵ→0+limπ1arctanϵx−∞∞=π1[arctan∞−arctan(−∞)]=1.
因此,上式成立.
· 性质
(1) δ-函数是偶函数.即我们有
δ(−x)=δ(x).
(2) 对于任何连续函数 f(x),下面的等式
∫−∞∞f(x)δ(x)dx=f(0)
成立.
(3) 对于任何连续函数 f(x),下面的等式
∫−∞∞f(x)δ(x−a)dx=f(a)
成立.
(4)
δ(ax)=∣a∣1δ(x)
这是由于,对于任何连续函数 f(x),利用 δ-函数是偶函数这一事实,我们有
∫−∞∞f(x)δ(ax)dx=∫−∞∞f(x)δ(∣a∣x)dx.
现在令 ∣a∣x=x′,我们有
∫−∞∞f(x)δ(ax)dx=∣a∣1∫−∞∞f(∣a∣x′)δ(x′)dx′=∣a∣1f(0)=∫−∞∞f(x)(∣a∣1δ(x))dx.
因此,上式成立.
(5) 考虑一个二次以上可导的函数 φ(x).设 {xi} 为其单零点的集合.即在任一点 xi 处,我们有
φ(xi)=0,φ′(xi)=0.
那么,我们有
δ(φ(x))=i∑N∣φ′(xi)∣δ(x−xi).
按照定义,δ-函数仅在 φ(x)=0 处不为零,因此,对于任何连续函数 f(x),我们有
∫−∞∞f(x)δ(φ(x))dx=i∑N∫xi−ϵixi+ϵif(x)δ(φ(x))dx≡i∑NFi.
下面,我们取某一个积分值 Fi 为例.
由于 φ′(xi)=0,我们总可以将 ϵi 取得到如此之小,使得 φ(x) 在区间 (xi−ϵi,xi+ϵi) 上是单调的.因此,我们可以引入新的变量 u=φ(x),使得
u1=φ(xi−ϵi),u2=φ(xi)=0,u3=φ(xi+ϵi).
特别是当 φ′(xi)>0 时,我们有
umax=u3,umin=u1.
而当 φ′(xi)<0 时,我们又有
umax=u1,umin=u3.
利用这些记号,我们可以将 Fi 改写成
Fi=∫xi−ϵixi+ϵif(x)δ(φ(x))dx=∫uminumaxf(φ−1(u))δ(u)∣φ′(φ−1(u))∣du=∣φ′(φ−1(u2))∣f(φ−1(u2))=∣φ′(xi)∣f(xi).
因此,积分
∫−∞∞f(x)δ(φ(x))dx=i∑N∫xi−ϵixi+ϵif(x)δ(φ(x))dx≡i∑NFi.
可以被写作
∫−∞∞f(x)δ(φ(x))dx=i∑N∫xi−ϵixi+ϵif(x)δ(φ(x))dx=i∑N∣φ′(xi)∣f(xi)=∫−∞∞f(x)i=1∑N(∣φ′(xi)∣δ(x−xi))dx.
这样,我们就证明了我们上述公式的正确性.
Part 2 变分法
函数是具体的映射关系.给两个集合 X 和 Y,在两个集合的元素 t∈X 和 y∈Y 之间建立一个对应关系即映射,而这个映射关系的具体形式就是函数.
f:t↦y=f(t).
集合和映射可以说是整个数学中最基本的概念,大量的概念——无论他们看上去千差万别,其实都是某种映射.
· 泛函
小球从两端固定的光滑轨道滚下,不同的轨道形状所需的下落时间不同,而这产生了一个自然的问题,什么形状的轨道,小球下落时间最短?历史上,变分法的提出就是为了解决最速下降曲线(Brachistochrone curve)问题.

由此提出泛函(functional)的概念,所谓泛函,即函数到数的映射.
两个集合 X 和 Y 之间的映射可以有很多种,换句话说可以有很多种函数 y=f1(t),y=f2(t),y=f3(t),⋯,所有这些函数自然也构成一个集合 F={f1,f2,f3,⋯},其中的元素就是某个具体的函数 f∈F.因此函数 f 的泛函记作 S[f],即
f↦S=S[f],F→C,
这里 C 代表复数集合(自然也包括实数).泛函既然也是一种映射,那么如果把泛函所“输入”的函数也当成某种“广义的数”,则泛函也可被视为一种函数.只不过普通函数是“数的函数”,而泛函则是“函数的函数”.这也解释了“泛函”这个名词的由来.
根据泛函的定义——输入函数、输出数,就可以写出很多泛函的具体例子来.例如,平面上曲线方程记为 y=f(x),则两点之间的曲线长度 S 为曲线方程 f(x) 的泛函
S=S[f]=∫ldx1+(f′(x))2.
三维空间中曲面方程记为 z=ϕ(x,y),则曲面面积 A 为二元函数 ϕ(x,y) 的泛函
A=A[ϕ]=∬σdxdy1+(∂x∂ϕ)2+(∂y∂ϕ)2.
由这些简单的例子可见,“泛函”的概念并不抽象,实际上我们已经在不知不觉中接触了大量的泛函.有趣的是,根据泛函的定义,函数 f(x) 在某一点 x0 的值 f(x0),当然也是函数自身的泛函,这就是所谓“δ-函数”.
经典力学中所遇到的泛函通常可以写成积分形式:
S[f]=∫t1t2dtL(t,f(t),f′(t),f′′(t),⋯),
这里被积函数 L=L(t,f(t),f′(t),f′′(t),⋯) 是函数 f(t) 及其导数的一般函数.
· 变分
泛函为函数到数的映射,函数本身的无穷小变化、以及由之引起的泛函的变化即变分. 若函数 f(t) 变成了另外一个函数 f(t)→f~(t),且假设两者相差无穷小,则函数 f(t) 的变分 δf 定义为
δf(t):=f~(t)−f(t).
符号 “δ” 代表变分运算,即对函数本身进行无穷小的变化.变分运算的结果,是一个无穷小的函数.变分 δf(t) 作为另一个函数,和 f(t) 并没有什么关系.
函数的变分 δf(t) 和微分 df(t) 同为无穷小变化,但有本质的区别.

函数的微分 df(t) 是由自变量 t 的变化引起的,函数本身固定不变,
f(t)t→t~=t+dtf(t+dt)=f(t)+df(t)+⋯.
而函数的变分 δf(t) 是因为函数本身发生了变化,而与自变量 t 无关,
f(t)→f~(t)=(f+δf)(t)=f(t)+δf(t).
函数的变分和微分同为无穷小变化,形式上的运算规则基本相同.例如,δ(fn)=nfn−1δf,对于函数 f1 和 f2 和常数 a,b,有
δ(af1+bf2)=aδf1+bδf2,δ(f1f2)=(δf1)f2+f1(δf2),
等等.
另一个重要且非常有用的性质是,变分和微分可以交换顺序,即“微分的变分 = 变分的微分”,
δ(df)=d(δf).
可做直观证明,如图所示,考察 f 的值在 A 点和 B′ 点的差,即 f~(t+dt)−f(t).

若先微分后变分(路径 A→B→B′),精确到一阶小量,有
lC′BlBB′≡f(t+dt)−f(t)=df(t),≡f~(t+dt)−f(t+dt)=δ(f(t+dt))=δ(f(t)+df(t))=δf(t)+δ(df(t)),
于是
f~(t+dt)−f(t)=df(t)+δf(t)+δ(df(t)).
若先变分后微分(路径 A→A′→B′),精确到一阶小量,有
lAA′lA′C≡f~(t)−f(t)=δf(t),≡f~(t+dt)−f~(t)=d(f~(t))=d((f+δf)(t))=df(t)+d(δf(t)),
于是
f~(t+dt)−f(t)=δf(t)+df(t)+d(δf(t)).
变分和求导运算也可以交换顺序,即“导数的变分 = 变分的导数”:
δ(dtdf(t))=dtd(δf(t)),
变分所变化的是函数 f 本身,和函数的自变量 t 无关.
Part 3 泛函导数
· 定义
函数 f=f(t) 的微分是由自变量 t 的微分引起的:
f(t)t→t~=t+ϵdtf(t~)≡f(t+ϵdt)
=f(t)+ϵdf(t)+2ϵ2d2f(t)+3!ϵ3d3f(t)+⋯,
其中 ϵn 项即函数的 n 阶微分.函数的 n 阶导数则由函数的 n 阶微分与 dt 之间的关系给出,对于一阶导数,
df(t)=dtdf(t)dt,
高阶导数即 dnf(t)=dtndnf(t)(dt)n.只要计算出函数的各阶微分,即可读出相应的各阶导数.
泛函导数从形式上完全是对普通函数导数的类比.
对于泛函 S=S[f],其变分是由函数的变分引起的:
S[f]f→f~=f+ϵδfS[f~]≡S[f+ϵδf]
=S[f]+ϵδS[f]+2ϵ2δ2S[f]+3!ϵ3δ3S[f]+⋯.
这里 ϵn 项即被称为泛函的 n 阶变分 δnS[f].仿照函数的 n 阶导数即可定义 n 阶泛函导数.
δS[f]:=∫dtδf(t)δSδf(t).
这里 δS 是泛函的一阶变分,δf(t)δS 即一阶泛函导数(the first order functional derivative).
可以看出,一阶泛函导数的作用,是将函数的变分 δf(t)(无穷小的函数)映射到泛函的一阶变分 δS(无穷小的数).
一阶泛函变分可以和多元函数 F=F(x1,⋯,xn) 的一阶微分 dF=n=1∑∞∂xn∂Fdxn 相类比.

类比函数的高阶导数,高阶泛函导数定义为
δ2S[f]:=∫dt1∫dt2δf(t1)δf(t2)δ2Sδf(t1)δf(t2),
δ3S[f]:=∫dt1∫dt2∫dt3δf(t1)δf(t2)δf(t3)δ3Sδf(t1)δf(t2)δf(t3),
⋮
这里 δf(t1)δf(t2)δ2S 和 δf(t1)δf(t2)δf(t3)δ3S 即表示 S[f] 对 f 的二阶和三阶泛函导数.
例如,其中二阶泛函导数的作用是,将函数的变分 δf(t) 映射为泛函的二阶变分 δ2S(二阶无穷小的数).
更高阶的情形依此类推.在经典力学中,大多数情况下我们只关心一阶泛函导数.
· 分部积分
根据上面的讨论,泛函导数归结于计算泛函的变分,而困难也在于此.换一个角度,在泛函 S[f+ϵδf] 中,ϵ 是个参数,而泛函 S 也是一个数,其值依赖于 ϵ.所以 S[f+ϵδf] 可视为 ϵ 的普通函数.
于是 S[f]+ϵδS[f]+2ϵ2δ2S[f]+3!ϵ3δ3S[f]+⋯. 可以视为 S[f+ϵδf] 相对于 ϵ 的普通泰勒展开:
S[f+ϵδf]=S[f]+ϵdϵdS[f+ϵδf]ϵ=0+2!ϵ2dϵ2d2S[f+ϵδf]ϵ=0+⋯.
而泰勒展开和普通导数我们再熟悉不过.对于一阶泛函导数,
δS≡dϵdS[f+ϵδf]ϵ=0=∫dtδf(t)δSδf(t).
高阶泛函导数可以类似写出.
对于此类形式的泛函,
S[f+ϵδf]=∫t1t2dtL(t,f+ϵδf,f′+ϵδf′,f′′+ϵδf′′,⋯),
于是由
δS≡dϵdS[f+ϵδf]ϵ=0=∫dtδf(t)δSδf(t).
得到
δS=∫t1t2dtdϵdL(t,f+ϵδf,f′+ϵδf′,f′′+ϵδf′′,⋯)ϵ=0=∫t1t2dt(∂f∂Lδf+∂f′∂Lδf′+∂f′′∂Lδf′′+⋯).
上式中的被积函数不是别的,正是 L 的一阶变分 δL,其与微分 dL 的形式全同,只是微分被换成了变分.这意味着
δS=δ(∫t1t2dtL)=∫t1t2dtδL,
即变分符号可以移到积分号内.
算式中出现了函数导数的变分 δf′,δf′′,⋯,这时该如何处理?
这就需要用到变分法中非常重要的技巧——分部积分(integration by parts).
其基本思路是,利用变分与求导可以交换顺序的性质,将作用于 δf 的导数移除,代价是产生额外的“全导数”项.例如,对于正比于 δf′ 的项,
∂f′∂Lδf′δ(dtdf(t))=dtd(δf(t))∂f′∂Ldtdδf=Total Derivativedtd(∂f′∂Lδf)−dtd(∂f′∂L)δf.
类似地,
∂f′′∂Lδf′′=∂f′′∂Ldt2d2δf=dtd(∂f′′∂Ldtdδf)−dtd(∂f′′∂L)dtdδf=Total Derivativedtd[∂f′′∂Lδf′−dtd(∂f′′∂L)δf]+dt2d2(∂f′′∂L)δf.
因此
δS=∫t1t2dt[∂f∂Lδf−dtd(∂f′∂L)δf+dt2d2(∂f′′∂L)δf+⋯+dtdB]=∫t1t2dt[∂f∂L−dtd(∂f′∂L)+dt2d2(∂f′′∂L)+⋯]δf+Bt1t2,
这里 dtdB 代表全导数项,积分后得到的 Bt1t2 被称作边界项(boundary term),其在积分的端点(边界)处取值.
由上面的推导知,若泛函的被积函数 L 包含 f(t) 的最高 n 阶导数,则边界项 B 包含 δf(t) 的最高 (n−1) 阶导数.因此变分法中的一个基本假设是,如果泛函的被积函数包含最高 n 阶导数,则在积分端点(边界)处,函数及其直至 (n−1) 阶导数的变分为零,即
δft1=δft2=0,
δf′t1=δf′t2=0,
⋮
δf(n−1)t1=δf(n−1)t2=0.
在这样的假设下,边界项恒为零 Bt1=Bt2=0.两个式子“差一个全导数”、或者两个积分“差一个边界项”这件事在变分法中非常重要,因此通常用一个专门的符号 “≃” 来表示,即
L1≃L2,⇔L1=L2+Total Derivative,
以及
S1≃S2,⇔S1=S2+boundary term.
基于上面的假设,对于泛函导数的计算来说,边界项无关紧要.
在实际计算中,都是默认直接丢掉边界项,而不用写出其具体形式,例如:
∂f′∂Lδf′≃−dtd(∂f′∂L)δf,∂f′′∂Lδf′′≃dt2d2(∂f′′∂L)δf.
基于同样的理由,泛函的积分上下限也经常被省略,即写成 S=∫dtL.
· 计算
变分原理是整个分析力学(甚至整个物理学)的第一原理,而变分法的核心就是计算一阶泛函导数,或者说,如何计算泛函的一阶变分,并将其写成
δS[f]:=∫dtδf(t)δSδf(t).
的形式.根据以上的讨论,对于
S[f]=∫t1t2dtL(t,f(t),f′(t),f′′(t),⋯),
形式的泛函,可以总结一下计算一阶泛函导数的手续.
(1). 将变分符号 “δ” 移到积分号内:
δS[f]=∫dt δL(t,f(t),f′(t),f′′(t),⋯).
(2). 按照类似复合函数求导的规则,计算 δL:
δS[f]=∫dt(∂f∂Lδf+∂f′∂Lδf′+∂f′′∂Lδf′′+⋯).
这里变分 δL 和微分 dL 的形式全同,只是微分被换成了变分.
(3). 做分部积分,将 δf 的导数移除.这是计算一阶泛函导数最关键的一步.在实际操作中,只需要不断地将 δf 的导数移除,并不需要关注全导数项的具体形式.
(4). 提取 δf 前的系数,即一阶泛函导数.
根据以上手续,经过分部积分,可以得出:
δS≃∫dt[∂f∂L−dtd(∂f′∂L)+dt2d2(∂f′′∂L)+⋯]δf,
从中读出一阶泛函导数即
δfδS=∂f∂L−dtd(∂f′∂)+dt2d2(∂f′′∂L)+⋯.
需要强调的是,上式虽然形式绝对正确,但是最好不要把偏导数 ∂f∂L,∂f′∂L,∂f′′∂L,⋯ 等等先计算出来再套入,而应该按照上面的“变分-分部积分”操作步骤,这也是实际工作中计算泛函导数的方法.
/example/
考虑泛函
S[f]=∫dt21[(f′(t))2−(f(t))2].
有
δS[f]=∫dt21δ(f′2−f2)=∫dt(f′δf′−fδf)≃∫dt(−f′′δf−fδf)=−∫dt(f′′+f)δf(t),
因此一阶泛函导数为
δf(t)δS=−f′′(t)−f(t).
考虑泛函
S[f]=∫dtf(t)f′(t).
有
δS[f]=∫dtδ(ff′)=∫dt(δff′+fδf′)≃∫dt(δff′−f′δf)≡0,
因此一阶泛函导数为零.在这个例子中,出现了泛函导数为零的情况.
实际上,观察泛函中的被积函数,ff′=dtd(21f2),其自身就是个全导数.
被积函数中的全导数可以自然舍去,所以 ff′≃0 .
Part 4 泛函极值
现在我们可以尝试回答最速降线问题,实际问题中,我们关心的并不是泛函的全部信息,而往往是泛函的极值.
· 必要条件
假设泛函 S[f] 在 f=fˉ(t) 时取极小(大)值,意味着任何对 fˉ 的小偏离 fˉ+ϵδf,都会使得 S[fˉ+ϵδf] 的值比 S[fˉ] 大(小),
只有当不发生偏离、即 δf=0 时取极值.从另一角度,这等价于 S[fˉ+ϵδf] 作为参数 ϵ 的普通函数,在 ϵ=0 处取极值.
这样就将泛函极值问题转化为普通函数的极值问题.而我们已经知道,普通函数极值即要求其一阶导数为零.结合泛函导数的定义,即有
δS[fˉ]=∫dtδfδS[f]fˉδf(t)=
由此得到泛函在 f=fˉ(t) 时取极值的必要条件是其一阶变分为零:
δS[fˉ]=0.
其意义是在函数(输入)发生小变化时,泛函的值(输出)不变.等价地,这意味着泛函在 fˉ(t) 处的一阶泛函导数为零:
δfδS[f]fˉ=0.
需要说明的是,正如一阶导数为零只是函数取极值的必要而非充分条件,同样,一阶泛函导数为零只是泛函取极值的必要而非充分条件.严格来说,δS=0 未必对应泛函一定取极值,但一定是稳恒(stationary)的.
作为变分法到目前的小结,可将多元函数与泛函做一对比:
| 输入 | 输出 | 极值 |
|---|---|---|
| 函数 | xn | F(xn) |
| 泛函 | f(t) | S[f] |
· E-L方程
一类常见的泛函具有如下形式
S[f]=∫dtL(t,f(t),f′(t)).
其特点是,泛函的被积函数 L 最高包含 f 的一阶导数.物理中大部分感兴趣的系统都是这种情形.泛函取极值的必要条件是
−δfδS=dtd(∂f′∂L)−∂f∂L=0.
这是关于 f(t) 的二阶微分方程,被称为变分问题的欧拉-拉格朗日方程(Euler-Lagrange equation).其意义是,泛函 (1.37) 在 f=f(t) 处取得极值的必要条件是 f(t) 满足二阶微分方程.
并不是所有的微分方程都是欧拉-拉格朗日方程,即都对应某个泛函的极值.
对 L 直接求全导数,
dtdL=∂t∂L+∂f∂Lf′+∂f′∂Lf′′=∂t∂L+∂f∂Lf′+dtd(∂f′∂Lf′)−dtd(∂f′∂L)f′=∂t∂L−=0[dtd(∂f′∂L)−∂f∂L]f′+dtd(∂f′∂Lf′),
因此当欧拉-拉格朗日方程满足时,下式也成立
dtd(∂f′∂Lf′−L)+∂t∂L=0,
其可视作欧拉-拉格朗日方程的等价形式.
一个立即的推论是,若 L 不显含积分变量 t,
∂t∂L=0,⇒∂f′∂Lf′−L=Const.
对于更一般的泛函,取极值的必要条件是
δfδS=n=0∑(−1)ndtndn(∂f(n)∂L)=0.
如果泛函中被积函数 L 包含 f(t) 的最高到 N 阶导数,即 L=L(t,f,f′,⋯,f(N)),则上面的求和展开为
δfδS=∂f∂L−dxd(∂f′∂L)+⋯+(−1)NdxNdN(∂f(N)∂L),
δfδS 中 f(t) 的最高阶导数来自最后一项,如果 ∂f(N)∂L 仍然包含 f(N),即
∂f(N)∂(∂f(N)∂L)=∂f(N)∂f(N)∂2L=0,
则 dtNdN(∂f(N)∂L) 包含最高至 f(t) 的 2N 阶导数.满足上式的 L 也被称作是非退化(non-degenerate)的.
总之,如果泛函 S[f] 的被积函数 L 含有最高至 f(t) 的 N 阶导数且非退化,则泛函导数 δfδS 包含最高至 f(t) 的 2N 阶导数,相应泛函极值的欧拉-拉格朗日方程为 2N 阶微分方程.
· 多元函数
以上所有讨论对于多个独立函数 f1(t),f2(t),⋯ 的泛函的推广是直接的.考虑泛函
S=S[f1,f2,⋯]=∫dxL(t,f1,f2,⋯,f1′,f2′,⋯).
其极值同样要求
δS≃∫dx(δf1δSδf1+δf2δSδf2+⋯)=0.
因为函数 f1,f2,⋯ 是独立的,其变分 δf1,δf2,⋯ 也是互相独立的,因此上式成立必然要求每一项的系数都为零,于是泛函取极值即要求
δf1δS=0,δf2δS=0,⋯.
泛函中的函数也可以是多元函数.以单个函数 f 的泛函 S[f] 为例,设 f 是 t 和 x 的二元函数 f=f(t,x).简单起见,我们只考虑 L 含有 f 的一阶导数,泛函具有形式
S[f]=∬dtdxL(t,x,f,∂t∂f,∂x∂f).
同样按照之前的步骤,泛函的一阶变分为
δS=∬dtdxδL(t,x,f,∂t∂f,∂x∂f)=∬dtdx[∂f∂Lδf+∂(∂f/∂t)∂Lδ(∂t∂f)+∂(∂f/∂x)∂Lδ(∂x∂f)]≃∬dtdx[∂f∂L−∂t∂(∂(∂f/∂t)∂L)−∂x∂(∂(∂f/∂x)∂L)]δf,
所以泛函取极值的必要条件即
δfδS=∂f∂L−∂t∂(∂(∂f/∂t)∂L)−∂x∂(∂(∂f/∂x)∂L)=0,
其是 f(t,x) 的偏微分方程.以上讨论对多个多元函数的泛函的推广是直接的.
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