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## Part 1 位形空间

### · 位形

力学研究的基本问题是物理系统的时间演化. 具体而言，即是要研究物理系统的“位形”随时间的演化. 位形是粒子在空间中的位置这一概念的推广. 简言之，位形（configuration）即力学系统各个粒子的空间位置，粒子系或者更一般的物理体系在空间中的形状、分布.

例如，考虑 $N$ 个粒子构成的粒子系，给出 $N$ 个粒子的空间坐标 ${x\_1, x\_2, \cdots, x\_N}$ 即给出粒子系的一个位形. 又例如，琴弦振动的形状，即是琴弦的位形；鼓面弯曲的形状，即是鼓面的位形.

位形的概念可以推广至连续系统和非机械系统.

例如描述气体扩散，给出空间中每一点气体分子数密度 $\rho(x)$，即给出气体的位形.

例如描述热传递，给出空间中每一点的局域温度 $T(x)$ 即给出温度的位形.

例如描述电磁场，给出空间中每一点的矢量 $E(x)$，即给出了电场的位形.

### · 位形空间

系统所有可能位形的集合，就构成位形空间（configuration space）. 位形空间中的一点，即代表系统的一种可能的位形.

例如，在水平面上运动的粒子，其位形即水平面上的点，其位形空间即水平面. 限制在圆环上运动的粒子，其位形即圆环上的点，其位形空间即整个圆环；限制在球面上运动的粒子，其位形即球面上的点，其位形空间就是整个球面.

一般来说，力学体系的位形空间一般都不是平直的线性空间（矢量空间）. 例如，球面是一个二维空间，但显然不是平坦的. 但是，球面局部的一小块，看上去又和二维平面很像.

数学上对于这种一般的空间的描述，即所谓流形（manifold）理论. 简言之，流形即局部看起来像是平直的欧氏空间的东西，但是一般是弯曲的，往往还具有很复杂的结构.

数学上“空间”一词经常特指线性空间，因此位形流形（configuration manifold）是更确切的称呼.

### · 世界线

现在考虑时间演化. 随着时间参数 $t$ 的变化，系统在位形空间中连续地由一点（某个位形）移动到另一点，所“扫出”的曲线即位形空间中的轨迹. 把“时间”这一维加进来，可以认为“位形空间”和“时间轴”合在一起构成更大的空间.

随着时间的演化，位形空间中的点在这个空间中也扫出一条连续的曲线，有时被称作世界线（worldline）. 因为某一时刻的位形本身不能唯一决定此前或此后的位形，所以世界线是可以相交的.

![](https://pic1.imgdb.cn/item/693eb271284ce2d2dc122b1c.png)

## Part 2 广义坐标

坐标无非是某种空间的参数化，即只要给定一组数，能够唯一确定空间中的一点，就可以称这组数为“坐标”.

例如，通常的 3 维欧氏空间中的点粒子，我们可以采用直角坐标 ${x, y, z}$、柱坐标 ${r, \phi, z}$、球坐标 ${r, \theta, \phi}$ 等来参数化其位置.

点粒子在空间中位置的参数化是普通坐标，而位形是点粒子位置概念的推广，自然而然，对位形空间的参数化即广义坐标（generalized coordinates），其是任何一组能够唯一确定系统某个位形的独立参量. 这些概念的推广可以总结如下：

> (1). 位置 $\to$ 位形；(2). 普通空间 $\to$ 位形空间；(3). 普通坐标 $\to$ 广义坐标

物理系统 $s$ 个独立的广义坐标

$$
\left{q^1, \cdots, q^s\right} \equiv \left{q^a\right}, \quad a = 1, 2, \cdots, s,
$$

代表位形空间中的一点，即代表系统一个唯一确定的位形. 因此，

> 位形空间的维数 = 独立广义坐标的个数

广义坐标只是位形空间的参数化，所以选择非常任意. 原则上，广义坐标的选取有无限多种.

广义坐标的量纲不一定是长度量纲，一般也不能三个（或者多个）一组合成一个矢量，这也正是位形空间一般不是线性空间的反映. 例如，球面不是平坦的线性空间，球面坐标 ${\theta, \phi}$ 也不是任何矢量的分量.

/example/

> 如图(a)所示的单摆，上端固定，假定单摆只在竖直平面内运动. 单摆的摆角 $\theta$ 唯一决定了系统的位形，所以系统具有一个独立的广义坐标即 $\theta$. 这个系统的位形空间即一维圆周 $\mathbf{S}^1$.
>
> 如果单摆的顶端不固定，而是在一个光滑水平杆上运动，如图(b) 所示. 则可以用顶端（$A$ 点）的水平坐标 $x$ 和单摆摆角 $\theta$ 来唯一决定系统的位形. 此时系统的位形空间即二维柱面，记作 $\mathbf{R}^1 \times \mathbf{S}^1$.
>
> 如果单摆不限制在竖直平面内运动，成为如图(c) 所示的球面摆. 则可以用球面角坐标 ${\theta, \phi}$ 来唯一决定系统的位形. 球面摆的位形空间即二维球面，记作 $\mathbf{S}^2$.
>
> ![](https://pic1.imgdb.cn/item/693eb43c284ce2d2dc122c13.png)

### · 广义坐标的变换

从概念上来说，广义坐标是对位形空间的参数化，我们当然有选取不同参数化的自由. 从技术上来说，在一组广义坐标下复杂的运动方程，换成另一组广义坐标经常就变得容易求解. 例如球对称引力场中粒子的运动，运动方程在球坐标下就比直角坐标下要简单得多.

现在假设两组广义坐标 ${q^a}$ 和 ${\bar{q}^a}$，描述同一个位形空间. 考虑此位形空间中的任意某点 $P$（给定的位形），对应 ${q^a}$ 坐标的数值记作 $q^a|\_P$，${\bar{q}^a}$ 坐标的数值记作 $\bar{q}^a|\_P$. 两组坐标的数值满足函数关系

$$
\bar{q}^a|\_P = f^a(\boldsymbol{q}|\_P), \quad a = 1, \cdots, s.
$$

因为 $P$ 是任意一点，所以即有坐标之间的关系 $\bar{q}^a = f^a(t, \boldsymbol{q})$. 一般来说变换可以显含时间参数 $t$，即在不同时刻有不同的变换关系. 习惯上用 $\bar{q}^a$ 本身作为变换的函数名，即写成

$$
\boxed{q^a \to \bar{q}^a = \bar{q}^a(t, \boldsymbol{q})}, \quad a = 1, \cdots, s.
$$

这种广义坐标之间的变换也被称作点变换（point transformation），因为其将 ${q^a}$ 坐标描述的点，变换到用 ${\bar{q}^a}$ 描述的点. 我们要求上面变换是可逆的，换句话说存在

$$
\bar{q}^a \to q^a = q^a(t, \bar{\boldsymbol{q}}), \quad a = 1, \cdots, s.
$$

也就是说 ${q^a}$ 和 ${\bar{q}^a}$ 是一一对应的. 可逆性要求坐标变换的雅可比行列式非零，即

$$
\det \left( \frac{\partial \bar{q}^a}{\partial q^b} \right) \ne 0.
$$

注意 $\dfrac{\partial \bar{q}^a}{\partial q^b}$ 的逆即 $\dfrac{\partial q^a}{\partial \bar{q}^b}$，满足

$$
\frac{\partial q^a}{\partial \bar{q}^b} \frac{\partial \bar{q}^b}{\partial q^c} = \frac{\partial q^a}{\partial q^c} \equiv \delta^a\_c,
$$

这里 $\delta^a\_c$ 当指标 $a = b$ 时为 1，$a \ne b$ 时为零.

坐标变换有两种等价的观点，或者说对 ${q^a} \to {\bar{q}^a}$ 有两种等价的解释. 一种是认为用不同的坐标描述同一点，如图(a) 所示. 这种观点被称作所谓被动观点（passive point of view），即“对象不变，坐标在变”.

上面我们即采用这种观点，这时 ${q^a}$ 和 ${\bar{q}^a}$ 是同一位形空间的不同参数化. 但是换一个角度，我们总可以将变换后 $\bar{q}^a|*P$ 的坐标数值对应到同一空间上的另外一点 $P'$，使得 $\boldsymbol{q}|*{P'} \equiv \bar{\boldsymbol{q}}|\_P$.

也就是说我们总是可以将坐标变换重新解释为将同一空间上一点变到另外一点. 这种观点被称作所谓主动观点（active point of view），即“坐标不变，对象在变”. 坐标变换的被动观点和主动观点是等价且相对的，其各有便利，需要根据具体问题选择使用.

![](https://pic1.imgdb.cn/item/693eb3c8284ce2d2dc122bcc.png)