单片机 （Single Chip Microcomputer， SCM） 是单片微型计算机的简称， 是指在一块半导 体芯片中集成有中央处理器 （CPU）、 存储器 （RAM和ROM）、 基本I/O接口以及定时/计 数器等必要部件的完整的微型计算机。

就电控原理的部分而言，我们主要会用一块STM32F407单片机芯片接上诸如惯性传感器之类的模块，实现对类似温度/加速度之类数据的测量以及对物理系统的控制。

单片机的概念中，有些方面很重要，例如但不限于此：时钟、总线、中断、寄存器、堆栈、取指令、寻址等等。针对你所学的单片机会有书籍来讲解。

单片机有很多种，互相之间甚至指令都不兼容，但是思想都是一样的：

1）利用其特有的指令语句，

2）来分配存储空间和控制外设资源，

3）以此来完成你想要的功能。

首先在这一部分，我们不会去讲通信，外设，定时器这些复杂的东西，我们只是需要了解：首先是对于一块单片机芯片来说会有很多的接口，这些接口有哪些分类，能干什么？对内来说单片机的结构是什么？

我们以一块AT89C51举例：

AT89S51单片机的片内都集成了如下功能部件：

（1）1个微处理器（CPU）；（2）128个数据 存储器（RAM）单元 ；（3）4K Flash程序存储器；

（4）4个8位可编程并行I/O口（P0口、P1 口、P2口、P3口）；（5）1个全双工串行口；

（6）2个16位定时器/计数器；（7）1个看门狗定时器 ；（8）一个中断系统，5个中断源，2个优先级；

（9）25个特殊功能寄存器（SFR），（10）1 个看门狗定时器。

· 其实我觉得很多东西就是那么回事

作为有“第七监狱”之称的七中，三年级的作业是尤其多的.

因为写不完作业，有些班级就自然而然诞生了小组，一人写一门作业，然后大家来抄.老师自然知道但又无法管理——确切来说打击过，找过家长也罚过学生，但是没有用（留那么多东西真的写得完吗）

如果真的想追求效率，班主任组织科任每门少留一些就足够解决问题了，但是几乎所有人都在那个时候选择了加码. 是不动脑子，也更是向上逃避责任——“你瞧，我给学生布置了如何多的任务，要是他们如实完成了，现在的情况还能那么差吗，这都是学生的问题和家长不配合的问题啊！”

在高中的时候也会有这样的问题，不过就作业而言，大部分时间整体来看还是比初中前好上许多——但是考试多啊.从最开始一个月一次大考到两周一次，一周一次一直到最后发下来卷子本能反应的去答，逐渐从状态很好到精神恍惚.考试是很多的，但是作业也是万万不能减少的（乐）.每一门的作业都能在一个小时内写完，但是你有六门科目. 班主任雀食帮忙解决了很多问题，当然也有学生的小巧思啊！最初大家还会想方设法写完，后面面对铺天盖地的卷子干脆直接不写了，于是大家上课一起痛苦.

那个时候我的物理作业经常就是在上课前才能勉强看看昨天抄了点什么东西.老师上课抱怨，学生上课哀嚎，大家一起在这短暂的四十五分钟之内“粉饰太平”，在课间则又是趴上桌子开启新一轮的睡眠或是毫无意义的争吵.

知道有问题但是不会想着解决，就这样一半是粥，一半是屎，就这么周而复始.

我还记得2022年的暑假才哥给我们每个人一张表格让我们去做相应的计划，做完后他要过目然后做出相关的评判。

到我的这一张的时候，他只是说“写的太简略了”，于是我将第一天的最详细的部分以重抄的形式写满了整张表格，但是没有什么意思，我想大多数人也不会按照那张钉死的表格活完整个暑假。毕竟你没办法忽略不可抗力因素的影响去空谈计划本身，毕竟四中的传统是很多规划往往会在事件前一天才例行下达通知。

当我写到这一段的时候音乐切成了《雑踏、僕らのユ》，好诡异

你很难说在大学推行强制的期中模拟考试和期末模拟考试的意义，更没法说家长群的意义，但这些事情实实在在的发生了。

整个二十四届光仪的学生中间普遍弥漫着一种疲惫感。对于一个正常的学院，学生的活法是可以自己挑选的，但是我不知道为什么，只是感觉大家都很累.

其实我是没有对学院的很多东西有抱怨的资格的，因为这个话一旦从我的口中说出，别人可能会认为是因为你吃不到葡萄说葡萄酸。我不敢表达，也不知道该怎么去表达，更不知道该找谁去表达这样的处境和心境。

抛开学生工作，我几乎把我的整个大二生活奉献给了创院，我对此并不后悔。但是直到我在接了学长的摊子之后，我才意识到他们在我之前究竟承受了什么东西。

其实我在学院有心仪的导师。在和他们的接触，还是说在和他们研究生的接触都能意识到老师或者说老师们的人品和业务水平都是相当突出的，但是我现在确实不太想在光仪待了。

我只是觉得这不好，但我无能为力.

还记得2026年七月初，我在430给同学参考导师（那时候430还没变成航模队的地盘），我们学院的团委书记问我能否去带所谓的学院的重点立项的实践团而非去春茧，这位老师还年轻，但是却有着极为优良的品质：头脑清澈，才为世出。就像个喂不饱的婴儿，若是不能合他的意，他定会故作大度，并在不知什么时候抨击部门的所作所为如何不合适。

我接手部门恰是在四月，我还在串腿组当边缘人的时候。

学生工作就跟恩情还不完一样，小灯来干这个只是为了分，领导却认为让你干这个是天大的恩赐，但文书工作是个傻子都能干。

昨天我和温师傅吐槽：“我现在干的是算命的活，算得准没奖励算得不准有惩罚”

而这是温师傅的回答：“骗你的 算命的算的准不准都有钱拿”

其实我觉得很多东西就是那么回事.

· 即时通信

邮件是这个世界上最为美妙的发明——它能替代市面上绝大多数的公务软件还能保证清晰的留痕（抄送），相比之下我也不知领导们为什么会喜欢“我以为”然后轰炸一样的发微信

熟悉猫条的人都知道猫条并不喜欢一条微信电话毫无征兆的打来（若是误触则还好说），但很多通知来得莫名其妙且看似紧急，但实际上只是把我的时间给切片了，早一天抑或晚一天对实际的执行也并不会有很大的影响。

“花香蕉的钱只能请到猴子”，这是显而易见的道理，但也是很多人不曾自知的。

即时通讯软件的意义在于私下的几个人日常的交流，聊日常，聊明天去哪里玩......我始终认为这种东西不应用来处理公务，或者说模糊工作和生活的界限——只是我不喜欢.

因为邮件“非即时性”的特点，所以领导不会像微信这种“即时性”软件一样，往往像坐在台上的婴儿大哭大闹的随时随地要奶喝，肆意舞动着自己的权力剥夺他权力范围内任何人的一切。因而也从一种“上下级”的关系异化为一种皇帝与太监的关系——但是

“花香蕉的钱就只能请到猴子啊”.

诚然客观上邮件是不方便的，比如在我有灵感的时候不可能用邮件随手记录，但这是对私人空间的尊重.

· 地元最高。

为了给不了解的读者讲一下，这个是一部讲小城市的暗面（一群少女嗑药并在恶劣的环境下始终互相兜底，磕飞了）的作品，但平心而论，整天卷生卷死酗酒熬夜度日的大学生并不比这部作品里面角色的精神状态强哪去。

脑仁儿疼.jpg

所以猫条目前的打算是撤下一部分笔记，转入到自己的草稿箱里面；而后博客会保持缓慢的有序的更新。对于内容不是很多的相对简略但不算很成体系的模块，未来可能会被撤下放入 "mark" 下面作为一个知识型的补充（比如材料力学基础的内容），已经开设的非数理类的偏应用科学的内容也大概率会逐渐撤下（譬如电子电路），对“信号”和“控制理论”的内容也会转向理论推导而非实践。纯数学和物理的内容大概则是会保持着相对缓慢的更新或重构。

因为个人的专业和所作所为，本人学的东西是极其庞杂的，不可能说每门课都维持一个 "collection" 的栏目，所以这是我目前对笔记类型页面的构想。我觉得笔记的部分不应成为一个很大的负担。

此外我其实还打算开设“空气动力学”和“流体力学”的专栏，但目前精力实在是有限，支撑不起填那么多栏目的坑。

"article" 的定位不会变，依旧是不定期会发一篇长文，讲讲一段时间的心路历程；"weekly" 则从每周一次的流水账变成的不定期出现的流水账，你可以理解为这是初期转型的产物。"travel" 一般会以城市为单位，讲讲自己对城市与旅行的游记，看法，杂谈（虽然第一篇的成都篇写得很无趣，很老生常谈，只是一个在实验室强迫自己码字的产物），还有其他的东西。

整体而言猫条会把这个博客运行下去，只是说更新的频率未见得那么高了。大部分的专业课是“有用且无趣”的，尤其是那些物理理论的部分，枯燥乏味，但是必须要在笔记中给它们一方容身之所。

这段时间我也用Z30拍了很多好看的照片，修了很多图，但在这里就先不放出来了。主要也是懒得去弄这种麻烦的事情，去配图床或者说是转写成 imagecard，多少有一点浪费心力。

大概这些，假期快乐。

一篇没什么营养也没什么味道的短文。

· 定义

Dirac 引入的 $\delta$-函数的定义由下式给出

$$\delta(x) = \begin{cases} \infty, & x = 0; \\ 0, & x \ne 0. \end{cases}$$

除此之外，更为重要的条件是

$$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\, dx = 1.$$

在数学上，$\delta$-函数可以通过所谓分布 (Distribution) 理论严格化.它实际上是一个泛函.

在实际计算中，为了方便起见，$\delta$-函数常常用某些函数的极限形式来表达.在这里，我们给出其最常用的几种表达方式.

(1) 首先，我们有

$$\lim_{\sigma \to 0} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}} \exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma}\right) = \delta(x).$$

实际上，当 $\sigma \to 0$ 时，$\delta$-函数的定义式显然是满足的.又由于

$$\begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}} \exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma}\right)\, dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}} \exp\left[-\left(\frac{x}{\sqrt{2\sigma}}\right)^2\right]\, dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-\tilde{x}^2)\, d\tilde{x} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sqrt{\pi} = 1. \end{aligned}$$

(2) 其次，我们有

$$\lim_{\alpha \to \infty} \frac{\sin \alpha x}{\pi x} = \delta(x).$$

为了证明这一表达式，我们注意到，当 $\alpha \to \infty$ 时，这一极限形式地满足 $\delta$-函数的定义. 但是，为了证明它的积分等于 1，我们需要做一些准备工作.

首先，我们注意到积分公式

$$I = \int_0^{\infty} e^{-\gamma x} \cos \beta x\, dx = \frac{\gamma}{\beta^2 + \gamma^2}, \quad \gamma > 0$$

成立.这是由于连续利用分步积分公式，我们有

$$\begin{aligned} I &= \int_0^{\infty} e^{-\gamma x} \cos \beta x\, dx = e^{-\gamma x} \frac{\sin \beta x}{\beta} \Big|_0^{\infty} + \frac{\gamma}{\beta} \int_0^{\infty} e^{-\gamma x} \sin \beta x\, dx \\\\ &= \frac{\gamma}{\beta} \int_0^{\infty} e^{-\gamma x} \sin \beta x\, dx = -\frac{\gamma}{\beta^2} e^{-\gamma x} \cos \beta x \Big|_0^{\infty} - \frac{\gamma^2}{\beta^2} \int_0^{\infty} e^{-\gamma x} \cos \beta x\, dx \\\\ &= \frac{\gamma}{\beta^2} - \frac{\gamma^2}{\beta^2} I. \end{aligned}$$

移项后，我们有

$$\left(1 + \frac{\gamma^2}{\beta^2}\right) I = \frac{\gamma}{\beta^2}.$$

将此式的两边同除以 $\left(1 + \dfrac{\gamma^2}{\beta^2}\right)$ 后，我们即可得到公式.

现在，我们将公式

$$I = \int_0^{\infty} e^{-\gamma x} \cos \beta x\, dx = \frac{\gamma}{\beta^2 + \gamma^2}, \quad \gamma > 0$$

两边的变量 $\beta$ 从 0 积分到 $\alpha$.我们得到

$$\begin{aligned} \int_0^{\alpha} d\beta \left(\int_0^{\infty} e^{-\gamma x} \cos \beta x\, dx\right) &= \int_0^{\infty} dx\, e^{-\gamma x} \left(\int_0^{\alpha} d\beta \cos \beta x\right) \\\\ &= \int_0^{\infty} dx\, e^{-\gamma x} \frac{\sin \alpha x}{x} \\\\ &= \int_0^{\alpha} d\beta \frac{\gamma}{\beta^2 + \gamma^2} \\\\ &= \arctan \frac{\alpha}{\gamma}. \end{aligned}$$

因此，我们有

$$\lim_{\gamma \to 0} \int_0^{\infty} dx\, e^{-\gamma x} \frac{\sin \alpha x}{x} = \int_0^{\infty} dx\, \frac{\sin \alpha x}{x} = \lim_{\gamma \to 0} \arctan \frac{\alpha}{\gamma} = \arctan \infty = \frac{\pi}{2}.$$

现在，我们可以完成我们的证明了.我们有

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin \alpha x}{\pi x}\, dx = 2 \int_0^{\infty} \frac{\sin \alpha x}{\pi x}\, dx = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 1.$$

因此，命题得证.

(3) 接下来，我们有

$$\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\, dk = \delta(x).$$

事实上，直接的计算给出

$$\begin{aligned} \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\, dk &= \lim_{\alpha \to \infty} \frac{1}{2\pi} \int_{-\alpha}^{\alpha} e^{ikx}\, dk = \lim_{\alpha \to \infty} \frac{1}{2\pi} \frac{e^{ikx}}{ix} \Big|_{-\alpha}^{\alpha} \\\\ &= \lim_{\alpha \to \infty} \frac{1}{\pi} \frac{e^{i\alpha x} - e^{-i\alpha x}}{2ix} = \lim_{\alpha \to \infty} \frac{1}{\pi} \frac{\sin \alpha x}{x} = \delta(x). \end{aligned}$$

(4) 最后，我们有

$$\lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{\pi} \frac{\epsilon}{x^2 + \epsilon^2} = \delta(x).$$

首先，当 $x \ne 0$ 时，上式趋向于零.而当 $x = 0$ 时，上式为 $\infty$.其次，我们有

$$\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\pi} \frac{\epsilon}{x^2 + \epsilon^2}\, dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{\pi} \arctan \frac{x}{\epsilon} \Big|_{-\infty}^{\infty} = \frac{1}{\pi} [\arctan \infty - \arctan (-\infty)] = 1.$$

因此，上式成立.

· 性质

(1) $\delta$-函数是偶函数.即我们有

$$\delta(-x) = \delta(x).$$

(2) 对于任何连续函数 $f(x)$，下面的等式

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x)\, dx = f(0)$$

成立.

(3) 对于任何连续函数 $f(x)$，下面的等式

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x - a)\, dx = f(a)$$

成立.

(4)

$$\delta(ax) = \frac{1}{|a|} \delta(x)$$

这是由于，对于任何连续函数 $f(x)$，利用 $\delta$-函数是偶函数这一事实，我们有

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(ax)\, dx = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(|a|x)\, dx.$$

现在令 $|a|x = x'$，我们有

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(ax)\, dx = \frac{1}{|a|} \int_{-\infty}^{\infty} f\left(\frac{x'}{|a|}\right) \delta(x')\, dx' = \frac{1}{|a|} f(0) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \left(\frac{1}{|a|} \delta(x)\right)\, dx.$$

因此，上式成立.

(5) 考虑一个二次以上可导的函数 $\varphi(x)$.设 $\{x_i\}$ 为其单零点的集合.即在任一点 $x_i$ 处，我们有

$$\varphi(x_i) = 0, \quad \varphi'(x_i) \ne 0.$$

那么，我们有

$$\delta(\varphi(x)) = \sum_i^N \frac{\delta(x - x_i)}{|\varphi'(x_i)|}.$$

按照定义，$\delta$-函数仅在 $\varphi(x) = 0$ 处不为零，因此，对于任何连续函数 $f(x)$，我们有

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(\varphi(x))\, dx = \sum_i^N \int_{x_i - \epsilon_i}^{x_i + \epsilon_i} f(x) \delta(\varphi(x))\, dx \equiv \sum_i^N F_i.$$

下面，我们取某一个积分值 $F_i$ 为例.

由于 $\varphi'(x_i) \ne 0$，我们总可以将 $\epsilon_i$ 取得到如此之小，使得 $\varphi(x)$ 在区间 $(x_i - \epsilon_i, x_i + \epsilon_i)$ 上是单调的.因此，我们可以引入新的变量 $u = \varphi(x)$，使得

$$u_1 = \varphi(x_i - \epsilon_i), \quad u_2 = \varphi(x_i) = 0, \quad u_3 = \varphi(x_i + \epsilon_i).$$

特别是当 $\varphi'(x_i) > 0$ 时，我们有

$$u_{\max} = u_3, \quad u_{\min} = u_1.$$

而当 $\varphi'(x_i) < 0$ 时，我们又有

$$u_{\max} = u_1, \quad u_{\min} = u_3.$$

利用这些记号，我们可以将 $F_i$ 改写成

$$\begin{aligned} F_i &= \int_{x_i - \epsilon_i}^{x_i + \epsilon_i} f(x) \delta(\varphi(x))\, dx = \int_{u_{\min}}^{u_{\max}} f(\varphi^{-1}(u)) \delta(u)\, \frac{du}{|\varphi'(\varphi^{-1}(u))|} \\ &= \frac{f(\varphi^{-1}(u_2))}{|\varphi'(\varphi^{-1}(u_2))|} = \frac{f(x_i)}{|\varphi'(x_i)|}. \end{aligned}$$

因此，积分

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(\varphi(x))\, dx = \sum_i^N \int_{x_i - \epsilon_i}^{x_i + \epsilon_i} f(x) \delta(\varphi(x))\, dx \equiv \sum_i^N F_i.$$

可以被写作

$$\begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(\varphi(x))\, dx = \sum_i^N \int_{x_i - \epsilon_i}^{x_i + \epsilon_i} f(x) \delta(\varphi(x))\, dx = \sum_i^N \frac{f(x_i)}{|\varphi'(x_i)|} \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \sum_{i=1}^N \left(\frac{\delta(x - x_i)}{|\varphi'(x_i)|}\right)\, dx. \end{aligned}$$

这样，我们就证明了我们上述公式的正确性.

Part 2 变分法

函数是具体的映射关系.给两个集合 $X$ 和 $Y$，在两个集合的元素 $t \in X$ 和 $y \in Y$ 之间建立一个对应关系即映射，而这个映射关系的具体形式就是函数.

$$f:\quad t \mapsto y = f(t).$$

集合和映射可以说是整个数学中最基本的概念，大量的概念——无论他们看上去千差万别，其实都是某种映射.

· 泛函

小球从两端固定的光滑轨道滚下，不同的轨道形状所需的下落时间不同，而这产生了一个自然的问题，什么形状的轨道，小球下落时间最短？历史上，变分法的提出就是为了解决最速下降曲线（Brachistochrone curve）问题.

由此提出泛函（functional）的概念，所谓泛函，即函数到数的映射.

两个集合 $X$ 和 $Y$ 之间的映射可以有很多种，换句话说可以有很多种函数 $y = f_1(t), y = f_2(t), y = f_3(t), \cdots$，所有这些函数自然也构成一个集合 $\mathcal{F} = \{f_1, f_2, f_3, \cdots\}$，其中的元素就是某个具体的函数 $f \in \mathcal{F}$.因此函数 $f$ 的泛函记作 $S[f]$，即

$$f \mapsto S = S[f],\quad \mathcal{F} \to \mathbf{C},$$

这里 $\mathbf{C}$ 代表复数集合（自然也包括实数）.泛函既然也是一种映射，那么如果把泛函所“输入”的函数也当成某种“广义的数”，则泛函也可被视为一种函数.只不过普通函数是“数的函数”，而泛函则是“函数的函数”.这也解释了“泛函”这个名词的由来.

根据泛函的定义——输入函数、输出数，就可以写出很多泛函的具体例子来.例如，平面上曲线方程记为 $y = f(x)$，则两点之间的曲线长度 $S$ 为曲线方程 $f(x)$ 的泛函

$$S = S[f] = \int_{\vec{l}} dx \sqrt{1 + (f'(x))^2}.$$

三维空间中曲面方程记为 $z = \phi(x,y)$，则曲面面积 $A$ 为二元函数 $\phi(x,y)$ 的泛函

$$A = A[\phi] = \iint_{\sigma} dx dy \sqrt{1 + \left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)^2}.$$

由这些简单的例子可见，“泛函”的概念并不抽象，实际上我们已经在不知不觉中接触了大量的泛函.有趣的是，根据泛函的定义，函数 $f(x)$ 在某一点 $x_0$ 的值 $f(x_0)$，当然也是函数自身的泛函，这就是所谓“$\delta$-函数”.

经典力学中所遇到的泛函通常可以写成积分形式：

$$\boxed{S[f] = \int_{t_1}^{t_2} dt\, L\left(t, f(t), f'(t), f''(t), \cdots\right)},$$

这里被积函数 $L = L(t, f(t), f'(t), f''(t), \cdots)$ 是函数 $f(t)$ 及其导数的一般函数.

· 变分

泛函为函数到数的映射，函数本身的无穷小变化、以及由之引起的泛函的变化即变分. 若函数 $f(t)$ 变成了另外一个函数 $f(t) \to \tilde{f}(t)$，且假设两者相差无穷小，则函数 $f(t)$ 的变分 $\delta f$ 定义为

$$\boxed{\delta f(t) := \tilde{f}(t) - f(t)}.$$

符号 “$\delta$” 代表变分运算，即对函数本身进行无穷小的变化.变分运算的结果，是一个无穷小的函数.变分 $\delta f(t)$ 作为另一个函数，和 $f(t)$ 并没有什么关系.

函数的变分 $\delta f(t)$ 和微分 $df(t)$ 同为无穷小变化，但有本质的区别.

函数的微分 $df(t)$ 是由自变量 $t$ 的变化引起的，函数本身固定不变，

$$f(t) \xrightarrow{t \to \tilde{t} = t + dt} f(t + dt) = f(t) + df(t) + \cdots.$$

而函数的变分 $\delta f(t)$ 是因为函数本身发生了变化，而与自变量 $t$ 无关，

$$f(t) \to \tilde{f}(t) = (f + \delta f)(t) = f(t) + \delta f(t).$$

函数的变分和微分同为无穷小变化，形式上的运算规则基本相同.例如，$\delta(f^n) = n f^{n-1} \delta f$，对于函数 $f_1$ 和 $f_2$ 和常数 $a, b$，有

$$\delta(a f_1 + b f_2) = a \delta f_1 + b \delta f_2,\quad \delta(f_1 f_2) = (\delta f_1) f_2 + f_1 (\delta f_2),$$

等等.

另一个重要且非常有用的性质是，变分和微分可以交换顺序，即“微分的变分 = 变分的微分”，

$$\boxed{\delta(df) = d(\delta f)}.$$

可做直观证明，如图所示，考察 $f$ 的值在 $A$ 点和 $B'$ 点的差，即 $\tilde{f}(t + dt) - f(t)$.

若先微分后变分（路径 $A \to B \to B'$），精确到一阶小量，有

$$\begin{aligned} l_{C'B} &\equiv f(t + dt) - f(t) = df(t), \\ l_{BB'} &\equiv \tilde{f}(t + dt) - f(t + dt) \\ &= \delta(f(t + dt)) = \delta(f(t) + df(t)) = \delta f(t) + \delta(df(t)), \end{aligned}$$

于是

$$\tilde{f}(t + dt) - f(t) = df(t) + \delta f(t) + \delta(df(t)).$$

若先变分后微分（路径 $A \to A' \to B'$），精确到一阶小量，有

$$\begin{aligned} l_{AA'} &\equiv \tilde{f}(t) - f(t) = \delta f(t), \\ l_{A'C} &\equiv \tilde{f}(t + dt) - \tilde{f}(t) = d(\tilde{f}(t)) = d((f + \delta f)(t)) = df(t) + d(\delta f(t)), \end{aligned}$$

于是

$$\tilde{f}(t + dt) - f(t) = \delta f(t) + df(t) + d(\delta f(t)).$$

变分和求导运算也可以交换顺序，即“导数的变分 = 变分的导数”：

$$\boxed{\delta\left(\frac{df(t)}{dt}\right) = \frac{d}{dt}(\delta f(t))},$$

变分所变化的是函数 $f$ 本身，和函数的自变量 $t$ 无关.

· 位形

力学研究的基本问题是物理系统的时间演化. 具体而言，即是要研究物理系统的“位形”随时间的演化. 位形是粒子在空间中的位置这一概念的推广. 简言之，位形（configuration）即力学系统各个粒子的空间位置，粒子系或者更一般的物理体系在空间中的形状、分布.

例如，考虑 $N$ 个粒子构成的粒子系，给出 $N$ 个粒子的空间坐标 $\{x_1, x_2, \cdots, x_N\}$ 即给出粒子系的一个位形. 又例如，琴弦振动的形状，即是琴弦的位形；鼓面弯曲的形状，即是鼓面的位形.

位形的概念可以推广至连续系统和非机械系统.

例如描述气体扩散，给出空间中每一点气体分子数密度 $\rho(x)$，即给出气体的位形.

例如描述热传递，给出空间中每一点的局域温度 $T(x)$ 即给出温度的位形.

例如描述电磁场，给出空间中每一点的矢量 $E(x)$，即给出了电场的位形.

· 位形空间

系统所有可能位形的集合，就构成位形空间（configuration space）. 位形空间中的一点，即代表系统的一种可能的位形.

例如，在水平面上运动的粒子，其位形即水平面上的点，其位形空间即水平面. 限制在圆环上运动的粒子，其位形即圆环上的点，其位形空间即整个圆环；限制在球面上运动的粒子，其位形即球面上的点，其位形空间就是整个球面.

一般来说，力学体系的位形空间一般都不是平直的线性空间（矢量空间）. 例如，球面是一个二维空间，但显然不是平坦的. 但是，球面局部的一小块，看上去又和二维平面很像.

数学上对于这种一般的空间的描述，即所谓流形（manifold）理论. 简言之，流形即局部看起来像是平直的欧氏空间的东西，但是一般是弯曲的，往往还具有很复杂的结构.

数学上“空间”一词经常特指线性空间，因此位形流形（configuration manifold）是更确切的称呼.

· 世界线

现在考虑时间演化. 随着时间参数 $t$ 的变化，系统在位形空间中连续地由一点（某个位形）移动到另一点，所“扫出”的曲线即位形空间中的轨迹. 把“时间”这一维加进来，可以认为“位形空间”和“时间轴”合在一起构成更大的空间.

随着时间的演化，位形空间中的点在这个空间中也扫出一条连续的曲线，有时被称作世界线（worldline）. 因为某一时刻的位形本身不能唯一决定此前或此后的位形，所以世界线是可以相交的.

Part 2 广义坐标

坐标无非是某种空间的参数化，即只要给定一组数，能够唯一确定空间中的一点，就可以称这组数为“坐标”.

例如，通常的 3 维欧氏空间中的点粒子，我们可以采用直角坐标 $\{x, y, z\}$、柱坐标 $\{r, \phi, z\}$、球坐标 $\{r, \theta, \phi\}$ 等来参数化其位置.

点粒子在空间中位置的参数化是普通坐标，而位形是点粒子位置概念的推广，自然而然，对位形空间的参数化即广义坐标（generalized coordinates），其是任何一组能够唯一确定系统某个位形的独立参量. 这些概念的推广可以总结如下：

(1). 位置 $\to$ 位形；(2). 普通空间 $\to$ 位形空间；(3). 普通坐标 $\to$ 广义坐标

物理系统 $s$ 个独立的广义坐标

$$\left\{q^1, \cdots, q^s\right\} \equiv \left\{q^a\right\}, \quad a = 1, 2, \cdots, s,$$

代表位形空间中的一点，即代表系统一个唯一确定的位形. 因此，

位形空间的维数 = 独立广义坐标的个数

广义坐标只是位形空间的参数化，所以选择非常任意. 原则上，广义坐标的选取有无限多种.

广义坐标的量纲不一定是长度量纲，一般也不能三个（或者多个）一组合成一个矢量，这也正是位形空间一般不是线性空间的反映. 例如，球面不是平坦的线性空间，球面坐标 $\{\theta, \phi\}$ 也不是任何矢量的分量.

/example/

如图(a)所示的单摆，上端固定，假定单摆只在竖直平面内运动. 单摆的摆角 $\theta$ 唯一决定了系统的位形，所以系统具有一个独立的广义坐标即 $\theta$. 这个系统的位形空间即一维圆周 $\mathbf{S}^1$.

如果单摆的顶端不固定，而是在一个光滑水平杆上运动，如图(b) 所示. 则可以用顶端（$A$ 点）的水平坐标 $x$ 和单摆摆角 $\theta$ 来唯一决定系统的位形. 此时系统的位形空间即二维柱面，记作 $\mathbf{R}^1 \times \mathbf{S}^1$.

如果单摆不限制在竖直平面内运动，成为如图(c) 所示的球面摆. 则可以用球面角坐标 $\{\theta, \phi\}$ 来唯一决定系统的位形. 球面摆的位形空间即二维球面，记作 $\mathbf{S}^2$.

· 广义坐标的变换

从概念上来说，广义坐标是对位形空间的参数化，我们当然有选取不同参数化的自由. 从技术上来说，在一组广义坐标下复杂的运动方程，换成另一组广义坐标经常就变得容易求解. 例如球对称引力场中粒子的运动，运动方程在球坐标下就比直角坐标下要简单得多.

现在假设两组广义坐标 $\{q^a\}$ 和 $\{\bar{q}^a\}$，描述同一个位形空间. 考虑此位形空间中的任意某点 $P$（给定的位形），对应 $\{q^a\}$ 坐标的数值记作 $q^a|_P$，$\{\bar{q}^a\}$ 坐标的数值记作 $\bar{q}^a|_P$. 两组坐标的数值满足函数关系

$$\bar{q}^a|_P = f^a(\boldsymbol{q}|_P), \quad a = 1, \cdots, s.$$

因为 $P$ 是任意一点，所以即有坐标之间的关系 $\bar{q}^a = f^a(t, \boldsymbol{q})$. 一般来说变换可以显含时间参数 $t$，即在不同时刻有不同的变换关系. 习惯上用 $\bar{q}^a$ 本身作为变换的函数名，即写成

$$\boxed{q^a \to \bar{q}^a = \bar{q}^a(t, \boldsymbol{q})}, \quad a = 1, \cdots, s.$$

这种广义坐标之间的变换也被称作点变换（point transformation），因为其将 $\{q^a\}$ 坐标描述的点，变换到用 $\{\bar{q}^a\}$ 描述的点. 我们要求上面变换是可逆的，换句话说存在

$$\bar{q}^a \to q^a = q^a(t, \bar{\boldsymbol{q}}), \quad a = 1, \cdots, s.$$

也就是说 $\{q^a\}$ 和 $\{\bar{q}^a\}$ 是一一对应的. 可逆性要求坐标变换的雅可比行列式非零，即

$$\det \left( \frac{\partial \bar{q}^a}{\partial q^b} \right) \ne 0.$$

注意 $\dfrac{\partial \bar{q}^a}{\partial q^b}$ 的逆即 $\dfrac{\partial q^a}{\partial \bar{q}^b}$，满足

$$\frac{\partial q^a}{\partial \bar{q}^b} \frac{\partial \bar{q}^b}{\partial q^c} = \frac{\partial q^a}{\partial q^c} \equiv \delta^a_c,$$

这里 $\delta^a_c$ 当指标 $a = b$ 时为 1，$a \ne b$ 时为零.

坐标变换有两种等价的观点，或者说对 $\{q^a\} \to \{\bar{q}^a\}$ 有两种等价的解释. 一种是认为用不同的坐标描述同一点，如图(a) 所示. 这种观点被称作所谓被动观点（passive point of view），即“对象不变，坐标在变”.

上面我们即采用这种观点，这时 $\{q^a\}$ 和 $\{\bar{q}^a\}$ 是同一位形空间的不同参数化. 但是换一个角度，我们总可以将变换后 $\bar{q}^a|_P$ 的坐标数值对应到同一空间上的另外一点 $P'$，使得 $\boldsymbol{q}|_{P'} \equiv \bar{\boldsymbol{q}}|_P$.

也就是说我们总是可以将坐标变换重新解释为将同一空间上一点变到另外一点. 这种观点被称作所谓主动观点（active point of view），即“坐标不变，对象在变”. 坐标变换的被动观点和主动观点是等价且相对的，其各有便利，需要根据具体问题选择使用.

作为牛顿力学的继承和超越，分析力学首先要回答两个问题。第一，为什么我们要舍弃牛顿力学、特别是牛顿第二定律？或者说，为什么需要一个新的力学原理？第二，这个新的力学原理应该是什么样子？

· Question1

为了回答第一个问题，我们来重新思考，所谓“力学规律”到底是什么？牛顿第二定律 $m\ddot{x} = \mathbf{F}$，或者

$$\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F},$$

将系统运动状态的改变归结为“力”。我们真正关心的是系统的“状态”，及决定状态演化的规律。“力”只是我们为了解释系统运动状态的改变而引入的概念。

例如，对于重力场中的粒子，牛顿第二定律说 $m\ddot{z} = F$，但是力 $F$ 是什么牛顿第二定律本身却没有告诉我们，而是由物体在重力场中的受力 $F = -mg$ 给出。换句话说，牛顿第二定律最多只算是半个物理定律。其和“重力规律”的结合 $m\ddot{z} = F = -mg$，才是完整的描述粒子自由落体的运动规律。又比如，粒子连接在弹簧上的振动，牛顿第二定律加上“胡克定律” $m\ddot{x} = F = -kx$，才是一条完整的决定粒子运动的规律。

从这里可以看出，“力”在完整的物理规律中起了什么作用呢？其实只是一个媒介概念。真正的、完整的物理规律是

$$m\ddot{z} = -mg, \quad \text{and} \quad m\ddot{x} = -kx,$$

这其中完全没有“力”的位置。所谓牛顿第二定律只是把方程右边的东西称为“力”而已。在这个意义上，牛顿第二定律与其说是一条物理规律，不如说只是“力”这个概念的定义。

对于一般的物理系统，其运动方程无法简单地写成牛顿第二定律的形式。这时候有两种选择，一种是固守牛顿第二定律的形式，把所有非加速度的项一股脑放到方程右边，称为“某某力”。另一种更明智的选择，就是放弃牛顿第二定律的形式，承认牛顿第二定律的局限性，转而寻找新的、更一般的原理。沿着这个思路，如果我们从某些新的原理出发，直接得到力学规律，那么“力”的媒介地位也完全不必要了。幸运的是，确实存在更加基本的原理，使得我们以一种更为统一的方式得到力学规律，而不引入任何“力”的概念。

· Question2

现在来看第二个问题：如果放弃了牛顿力学，那么新的力学原理可能是什么样子？

考虑一个简单的例子，从某个固定高度、每次以不同的速度竖直向上或向下抛小球。我们的问题是确定小球的运动，即小球高度 $z$ 随时间 $t$ 的关系。在牛顿力学的框架下，由牛顿第二定律及重力场中粒子的受力，设坐标 $z$ 向下，写出微分方程 $m\ddot{z} = F = mg$，给定初始条件 $z(0) = 0$ 和 $z'(0) = v_0$，求解微分方程得到 $z(t) = \dfrac{1}{2}gt^2 + v_0t$。

给定某一时刻的位置和速度，微分方程就决定了下一时刻、下下时刻的位置和速度，等等。因此，牛顿力学的思维方式是局域、微分的。

假设有一个叫哈密顿的人，对牛顿力学一无所知。但是哈密顿做了很多次竖直抛小球的实验，并将小球的高度 $z$ 与时间 $t$ 的关系画在如图(a) 所示的图上。哈密顿发现了一个基本事实：若 $t_1$ 时刻从高度 $z = 0$ 抛出，在 $t_2$ 时刻小球到达某个高度（图中 $z_1, z_2$ 等），则小球的运动轨迹是“唯一”确定的。换句话说，只要小球是在 $t_2$ 时刻到达某个高度，那么它一定是沿着图(a)中的实线轨迹运动。而虚线轨迹，虽然也满足同样的端点条件，却从来没被观测到，即并没有真实发生。

虽然哈密顿还不知道这些真实轨迹是什么曲线，但是关键在于——其是唯一的。这个事实意味着什么呢？如果哈密顿继续做足够多的抛小球实验，最终将得到如图(b)所示的图，从 $\{z,t\}$-平面的某点（例如图中 $O$ 点）出发，其与周围任一点（例如图中 $A$ 点、$B$ 点和 $C$ 点）之间有且仅有“唯一”的一条真实轨迹相连。这些轨迹充满了 $\{z,t\}$-平面（至少在 $O$ 点附近），且除了共同的起始点 $O$ 点外，永不相交。因为起始点 $O$ 点是任意选取的，这意味着 $\{z,t\}$-平面上任意两点之间有一条“唯一”的真实轨迹连接。

物理上，这意味着给定初、末时刻小球的位置，小球的时空轨迹——世界线——就唯一确定了。于是哈密顿就奇怪，为什么满足同样的端点条件，只有唯一一条真实的世界线？这条世界线为何如此特殊？哈密顿就猜测，或许存在一个原理，给每条世界线一个“指标”（一个数），用以比较不同的世界线，从而判断众多的“世界线”中，哪一条是被自然所选择的。

从另外一个角度，这种观念的转变还涉及对“什么是物理规律”的理解。如果我们认为物理规律是牛顿第二定律式的微分方程，那么一个问题就是，小球真的会去解微分方程吗？很难想象小球如同随身携带一个计算器，根据此时此刻的位置和速度计算出下一时刻的位置和速度，然后按照计算的结果准时出现在那里。所以看上去更正确的观念是：大自然并不会做计算。小球选择某个轨迹，并不是小球解微分方程的结果，而是这个轨迹相比其他轨迹更“特殊”。

Part 2 最小作用量原理

· 最小作用量原理

现在我们沿着哈密顿的思路，以全新的观点看待系统的运动。给定一个完整力学系统，自由度为 $s$，广义坐标为

$$\left\{ q^a \right\}, \quad a = 1, \cdots, s.$$

我们的问题是确定系统的演化轨迹 $\mathbf{q}(t)$。我们给每条轨迹都赋予一个“数”，用以比较不同的轨迹，进而判断哪条轨迹是真实发生的演化过程。这种“输入轨迹、输出数”的操作，正是“泛函”的概念。

如果物理系统在给定时刻 $t_1$ 和 $t_2$ 的位形 $\mathbf{q}(t_1)$ 和 $\mathbf{q}(t_2)$ 确定，则联结这两个时刻位形之间的每条“可能”的轨迹 $\mathbf{q}(t)$ 都对应一个数，通常记作 $S$，被称为该系统的作用量（action）。数学上，这意味着作用量 $S$ 是轨迹 $\mathbf{q}(t)$ 的泛函

$$S[\mathbf{q}] = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t\, L(t, \mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}),$$

在经典力学中，这里的被积函数 $L(t, \mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})$ 称为系统的拉格朗日量（Lagrangian）。我们关心的是所有这些可能的轨迹中，哪一条是真实发生的？答案是使得作用量 $S$ 取极值的那一条轨迹。这一结论就是著名的最小作用量原理（principle of least action）：经典力学体系在两个时刻之间的真实运动轨迹使得该体系的作用量取极值，即 $\delta S = 0$。因为实际往往只要求作用量取驻值，而不一定是极值，因此最小作用量原理也称作“稳恒作用量原理”（principle of stationary action）。

关于最小作用量原理，需要注意以下几点。

• 最小作用量原理中的“轨迹”，指的是位形空间和时间参数共同构成的 $s+1$ 维空间中随时间演化所形成的轨迹，而不是 $s$ 维位形空间中的轨迹。例如，对于点粒子系统，就是世界线，而不是空间轨迹。对于空间延展的对象，则是世界面、世界体等。
• 最小作用量原理在所有“可能”的轨迹之间进行比较。这里“可能”指的是运动学上满足约束，并满足端点条件的所有连续轨迹。
• 对于方程

  $$S[\mathbf{q}] = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t\, L(t, \mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}),$$

  我们假设拉格朗日量 $L$ 只依赖于广义坐标和广义速度，不依赖于广义坐标的更高阶的时间微商。这一点仅仅是为了和最简单的牛顿力学系统自洽：即给定物理体系的初始坐标、初始速度就足以唯一确定力学体系的状态。一般来说，拉格朗日量中也可以包含广义坐标更高阶的时间导数，相应的理论被称作所谓“高阶导数理论”。
• 关于最小作用量原理的讨论只适用于“完整”系统。除了某些特殊情形，非完整系统一般不能直接纳入最小作用量原理的框架内。

对于

$$S[\mathbf{q}] = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t\, L(t, \mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}))$$

形式的泛函极值问题，我们已经很熟悉。对作用量 $S$ 做变分，得到

$$\delta S \simeq -\int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t\, \left[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^a} \right) - \frac{\partial L}{\partial q^a} \right] \delta q^a,$$

因此作用量 $S$ 取极值要求广义坐标 $\mathbf{q}(t)$ 满足欧拉-拉格朗日方程

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^a} \right) - \frac{\partial L}{\partial q^a} = 0, \quad a = 1, \cdots, s,$$

物理上也称作运动方程（equations of motion）。体系的真实运动必须满足运动方程。任何一个完整力学系统都可以写出其作用量。最小作用量原理和变分法告诉我们，一旦给定了一个力学系统的作用量，其可以得到其经典运动方程，而且是唯一确定的⁵。正是在此意义下，我们说经典力学系统的作用量包含了该体系的所有时间演化信息，或者说经典力学系统的运动规律由其作用量完全描述。

对于经典力学体系，真实的运动是唯一的——即所谓决定论（determinism）。这种真实性和唯一性是先于观测者的。一个观测者看到的真实运动轨迹，在另一个观测者看来也必须是真实的。而广义坐标、以及时间参数的选取则依赖于观测者，是人为的。不同的观测者可能会选择不同的广义坐标和不同的时间参数。这意味着，在一套广义坐标和时间参数下得到的真实运动轨迹（使得作用量取极值），在另一套广义坐标和时间参数下必须仍然是真实的（同样使得作用量取极值）。体现在数学上，作用量必须是不依赖于具体的广义坐标和时间参数选取的，即作用量必须是广义坐标和时间参数变换下的不变量⁶。作用量的这个性质有时也被称作是在广义坐标和时间参数变换下的标量（scalar）。

最小作用量原理改变了经典力学系统的研究“范式”，即不再如牛顿力学中那样做受力分析，而是第一步就是写出、或者构造系统的作用量。其不仅重新表述了机械运动的规律，而且对非机械运动的物理系统同样适用。可以说，在现代理论物理的研究中，作用量是几乎所有分析的出发点。从这个意义上，最小作用量原理甚至可视为整个物理学的第一原理（first principle）。自然总是倾向于让某些基本的物理量（往往是标量）取得极值。例如：重力场中平衡位置重力势能最小，热平衡态对应的热力学势取极值，静电平衡时带点体系静电能最小，水滴的形状保证重力势能和表面张力势能总和最小，等等。

· 广义动量

牛顿力学中，点粒子的动量定义为 $\mathbf{p} = m\mathbf{v}$。我们将看到，这一定义其实只是在非相对论极限下的近似表达式。动量的一般定义是在拉格朗日力学框架下得到的。物理系统某个广义坐标 $q^a$ 对应的广义动量（generalized momentum）定义为

$$p_a := \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^a} = \frac{\partial L}{\partial v^a}, \quad a = 1, \cdots, s,$$

这里 $v^a \equiv \dot{q}^a$ 是广义速度。我们约定将广义速度 $\dot{q}^a$ 的指标摆在上方，而广义动量 $p_a$ 的指标摆在下方。只要给定了拉格朗日量，则每个广义坐标总是有对应的广义动量。这种“如影随形”的伴随关系在数学上被称为共轭（conjugate）。广义坐标 $q^a$ 及其对应的广义动量 $p_a$ 构成一对共轭变量 $\{q^a, p_a\}$。因此上式定义的广义动量又被称为共轭动量（conjugate momentum）或正则动量（canonical momentum）。

利用广义动量，运动方程

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^a} \right) - \frac{\partial L}{\partial q^a} = 0, \quad a = 1, \cdots, s,$$

可以写为

$$\frac{\mathrm{d}p_a}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial L}{\partial q^a}, \quad a = 1, \cdots, s.$$

这个式子可以与牛顿第二定律对照。方程左边即动量的时间变化率，右边 $\dfrac{\partial L}{\partial q^a}$ 则可以称为“广义力”。

广义坐标未必是长度的量纲，因此广义动量也未必是牛顿力学中动量的量纲（质量乘以速度）。但是由定义，用 $[Q]$ 表示物理量 $Q$ 的量纲，则必有 $[q^a] \cdot [p_a] = [L]$，因此 $[q^a] \cdot [p_a] = [t][L] = [S]$，即一对共轭变量量纲的乘积，一定是系统作用量的量纲。

如前所述，拉格朗日量和作用量应该是不依赖于具体的广义坐标和时间参数选取的“标量”，对于拉格朗日量来说，最自然且普适的“标量”即系统的能量。因此，“约定”所有系统的拉格朗日量都具有“能量”的量纲，于是作用量 $S$ 的量纲即为

作用量 = 时间 $\cdot$ 能量 $=$ 空间 $\cdot$ 动量 $=$ 角度 $\cdot$ 角动量 $=$ 普朗克常数 $\hbar$ 、

· 4 维形式

现在来考虑一个最简单的问题，一个自由粒子的作用量是什么？对于不受约束的点粒子，位形空间即普通空间本身，于是广义坐标即空间坐标。广义坐标和时间参数合在一起即时空坐标

$$\left\{ x^{\mu} \right\} = \left\{ x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3} \right\} \equiv \left\{ ct, x, y, z \right\}, \quad \mu = 0, 1, 2, 3.$$

作用量必须是广义坐标和时间参数变换下的标量，因此必须要求作用量在一般的时空坐标变换

$$x^{\mu} \to \tilde{x}^{\mu} = \tilde{x}^{\mu} \left( x^{\rho} \right),$$

下不变⁹。这种一般的时空坐标的变换通常被称作广义坐标变换（general coordinate transformation）。值得一提的是，这里的“广义坐标变换”，指的是“广义的坐标变换”或者“一般的坐标变换”，而且在物理学中通常特指时空坐标的一般变换。其与第二章所讨论的“广义坐标的变换”（transformation of generalized coordinates）是完全不同的概念：

• 点变换或者广义坐标的变换是变量的“变量代换”，是用来描写力学系统位形的变量的代换，是位形空间的坐标变换。
• 广义坐标变换只是作用量的积分参数的“重参数化”。在场论（包括广义相对论）中的作用量是对整个时空区域积分，所以积分参数的重参数化即时空的坐标变换。

只是在点粒子情形，其位形空间即普通的空间本身，所以空间坐标就成了描述位形的广义坐标，对于点粒子“广义坐标的变换”和“广义的（时空）坐标变换”碰巧形式上一样。对于点粒子，因为演化的背景只有一维时间（作用量只是对时间的积分），所以真正的广义坐标变换其实对应于时间的重参数化：$t \to \tilde{t} = \tilde{t}(t)$。

在本节中，我们暂时不考虑引力，时空背景为闵氏时空。这时一个基本要求即作用量必须是洛伦兹标量。所谓洛伦兹标量，是指在闵氏时空的洛伦兹变换 $x^{\mu} \to \tilde{x}^{\mu} = \Lambda^{\mu}_{\ \nu}x^{\nu}$ 下不变的量。观察作用量的数学定义，是拉格朗日量 $L$ 对时间参数 $t$ 的积分。

但是由于时间坐标 $t$ 本身并不是洛伦兹标量，所以拉格朗日量 $L$ 本身并不是洛伦兹标量（$L\mathrm{d}t$ 作为一个整体必须是洛伦兹标量）。在非相对论极限下，时间与空间分离，这时系统的作用量 $S$ 和拉格朗日量 $L$ 都是 3 维空间坐标变换下的标量。

粒子的作用量为可能轨迹的泛函。换句话说，给定一条世界线，我们需要给一个数。而且这个数，必须是不依赖于观测者的。对于自由粒子，我们能够找到的唯一的满足这个条件的数就是世界线的长度。闵氏时空中世界线上的线元（洛伦兹标量）为

$$\mathrm{d}s^{2} = \eta_{\mu\nu}\mathrm{d}x^{\mu}\mathrm{d}x^{\nu}.$$

这里 $\eta_{\mu\nu}$ 为闵氏度规。欧氏时空中的线元总是正的，但是闵氏时空中的线元可以是正的，也可以是负的，甚至可以为零。

考虑一个做惯性运动的有质量的粒子，在固定在自身的惯性系看来是静止不动的，即空间坐标不变 $\mathrm{d}x^{1} = \mathrm{d}x^{2} = \mathrm{d}x^{3} = 0$，因此线元 $\mathrm{d}s^{2} = -c^{2}\mathrm{d}t^{2} < 0$，即有质量粒子世界线上的线元恒为负。因此线元的长度就只能写成 $|\mathrm{d}s| \equiv \sqrt{-\mathrm{d}s^{2}}$。所以，自由粒子的作用量最简单的取法即

$$S = -mc \int |\mathrm{d}s| = -mc \int \sqrt{-\eta_{\mu\nu}\mathrm{d}x^{\mu}\mathrm{d}x^{\nu}},$$

这里 $m$ 为粒子的质量，$c$ 为光速。在上式中，因子 $mc$ 是为了让作用量具有“正确”的量纲（即 [空间]·[动量]），负号是为了在非相对论极限下和牛顿力学的结果自洽。上式就是闵氏时空中一个自由粒子的作用量，简言之，自由粒子的作用量正比于其世界线的长度。这里我们看到，从时空的洛伦兹不变性出发，我们几乎可以唯一地确定出一个自由粒子的作用量。

原则上可以用任一单调变化的参数来参数化世界线。最简单和自然的参数化即令参数 $\tau$ 的数值正比于世界线的长度：

$$\mathrm{d}s^{2} = \eta_{\mu\nu}\mathrm{d}x^{\mu}\mathrm{d}x^{\nu} =: -c^{2}\mathrm{d}\tau^{2}.$$

这里 $c$ 是光速。这样的参数 $\tau$ 被称作世界线的固有时（proper time），具有时间的量纲。固有时——在数值上——即做惯性运动的粒子在固定于自身的惯性系中的时钟读数。因此自由粒子的作用量还可以写成

$$S = -mc \int \mathrm{d}\tau \sqrt{-\eta_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d}\tau} \frac{\mathrm{d}x^{\nu}}{\mathrm{d}\tau}}.$$

粒子的时空坐标 $x^{\mu}$ 随着世界线参数 $\tau$ 的变化率被称作所谓 4-速度（4-velocity），

$$u^{\mu} := \frac{\mathrm{d}x^{\mu}(\tau)}{\mathrm{d}\tau}, \quad \mu = 0, 1, 2, 3,$$

其是 4 维时空中的矢量。由

$$\mathrm{d}s^{2} = \eta_{\mu\nu}\mathrm{d}x^{\mu}\mathrm{d}x^{\nu} =: -c^{2}\mathrm{d}\tau^{2}.$$

推出

$$u_{\mu}u^{\mu} \equiv \eta_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d}\tau} \frac{\mathrm{d}x^{\nu}}{\mathrm{d}\tau} = -c^{2},$$

即粒子的 4-速度 $u^{\mu}$ 的模方是常数 $-c^{2}$。

将 $S = -mc \displaystyle\int \mathrm{d}\tau \sqrt{-\eta_{\mu\nu} \dfrac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d}\tau} \dfrac{\mathrm{d}x^{\nu}}{\mathrm{d}\tau}}$对 $x^{\mu}$ 变分，并利用利用上式，得到

$$\begin{aligned} \delta S &= -mc \int \mathrm{d}\tau \delta \sqrt{-\eta_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d}\tau} \frac{\mathrm{d}x^{\nu}}{\mathrm{d}\tau}} = m \int \mathrm{d}\tau \eta_{\mu\nu} \delta \left( \frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d}\tau} \right) \frac{\mathrm{d}x^{\nu}}{\mathrm{d}\tau} \\\\ &\simeq -m \int \mathrm{d}\tau \eta_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}^{2}x^{\nu}}{\mathrm{d}\tau^{2}} \delta x^{\mu}, \end{aligned}$$

所以自由粒子的运动方程即

$$\frac{\mathrm{d}^{2}x^{\mu}}{\mathrm{d}\tau^{2}} = 0, \quad \mu = 0, 1, 2, 3.$$

上面方程的解为 $x^{\mu} = a^{\mu}\tau + b$（其中 $a^{\mu}$ 和 $b$ 都是常数），是时空中的直线，因此自由粒子的世界线是时空中的直线。这是“自由粒子（在空间中）做匀速直线运动”的更加严格的、相对论性的表述。

引入 4-速度后，自由粒子的作用量可以写成 $S = \displaystyle\int \mathrm{d}\tau L$，这里 $L = -mc \sqrt{-\eta_{\mu\nu}u^{\mu}u^{\nu}}$。由动量的定义并利用

$$u_{\mu}u^{\mu} \equiv \eta_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d}\tau} \frac{\mathrm{d}x^{\nu}}{\mathrm{d}\tau} = -c^{2},$$

粒子的 4-动量为

$$p_{\mu} := \frac{\partial L}{\partial u^{\mu}} = \frac{\partial}{\partial u^{\mu}} \left( -mc \sqrt{-\eta_{\rho\sigma}u^{\rho}u^{\sigma}} \right) = mu_{\mu}, \quad \mu = 0, 1, 2, 3.$$

自由粒子的 4-动量与 4-速度的关系形式上与牛顿力学中动量 $\mathbf{p} = m\mathbf{v}$ 一样。运动方程用 4-动量表示即

$$\frac{\mathrm{d}p^{\mu}}{\mathrm{d}\tau} = 0,$$

因此闵氏时空中自由粒子的 4-动量守恒。

· 3 维形式

我们希望将作用量

$$S = -mc \int |\mathrm{d}s| = -mc \int \sqrt{-\eta_{\mu\nu}\mathrm{d}x^{\mu}\mathrm{d}x^{\nu}},$$

写成 $S = \int \mathrm{d}t L$ 的形式。为此，需要将作用量中时间和空间部分写成明显分离的形式。首先注意到闵氏度规的空间部分 $\eta_{ij} = \delta_{ij}$，这是因为对于闵氏时空来说，其空间部分就是普通的 3 维欧氏空间。

$$S = -mc \int |\mathrm{d}s| = -mc \int \sqrt{-\eta_{\mu\nu}\mathrm{d}x^{\mu}\mathrm{d}x^{\nu}},$$

可写成

$$S = -mc \int \sqrt{c^{2}(\mathrm{d}t)^{2} - \delta_{ij}\mathrm{d}x^{i}\mathrm{d}x^{j}} = -mc^{2} \int \mathrm{d}t \sqrt{1 - \frac{1}{c^{2}}\delta_{ij} \frac{\mathrm{d}x^{i}}{\mathrm{d}t} \frac{\mathrm{d}x^{j}}{\mathrm{d}t}}.$$

其中出现了粒子的空间坐标 $\left\{ x^{i} \right\}$ 随着时间坐标 $t$ 的变化率

$$v^{i} := \frac{\mathrm{d}x^{i}}{\mathrm{d}t}, \quad i = 1, 2, 3,$$

被称作 3-速度（3-velocity），为 3 维空间中的矢量。于是作用量成为

$$S = \int \mathrm{d}t L, \quad L = -mc^{2} \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}},$$

其中 $v \equiv |\mathbf{v}| \equiv \sqrt{\delta_{ij}v^{i}v^{j}}$。上式就是闵氏时空中自由粒子作用量的 3 维形式，其中拉格朗日量 $L = L(v)$ 只与粒子 3-速度的大小有关。这里自然地出现了著名的洛伦兹因子（Lorentz factor）

$$\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} =: \gamma.$$

根据动量的定义和作用量的 3 维形式，粒子的 3-动量定义为

$$p_{i} \equiv \frac{\partial L}{\partial v^{i}} = \frac{\partial}{\partial v^{i}} \left( -mc^{2} \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} \right).$$

化简得到

$$p_{i} = \frac{mv_{i}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}, \quad i = 1, 2, 3,$$

这里 $v_{i} \equiv \delta_{ij}v^{j}$。和 3-速度一样，粒子的 3-动量是 3 维空间中的矢量。利用 $\displaystyle\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} =: \gamma$ 及 3-速度的定义，3-动量还可以写成

$$p_{i} = m \frac{\mathrm{d}x_{i}}{\mathrm{d}t} \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau} = m \frac{\mathrm{d}x_{i}}{\mathrm{d}\tau} \equiv mu_{i}, \quad i = 1, 2, 3.$$

可见 3-动量对应空间坐标对于固有时 $\tau$ 的变化率（4-速度的空间分量），而不是对于坐标时 $t$ 的变化率（3-速度）。从这里已经看出，牛顿力学中的动量 $mv_{i}$ 只是严格的 3-动量在非相对论极限下的近似。

粒子 4-动量的空间分量 $p^{i} = mu^{i}$ 即 3-动量。对于时间分量，定义

$$E := cp^{0} = mcu^{0} = mc^{2} \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau} = \frac{mc^{2}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}},$$

为粒子的能量。我们将会看到，在非相对论极限下 $E$ 确实会给出牛顿力学的动能 $\dfrac{1}{2}mv^{2}$。于是 4-动量的模方可以分解为

$$p_{\mu}p^{\mu} = -\left(p^{0}\right)^{2} + \delta_{ij}p^{i}p^{j} \equiv -\frac{E^{2}}{c^{2}} + \mathbf{p}^{2},$$

这里 $\mathbf{p}^{2} \equiv \delta_{ij}p^{i}p^{j}$。而由

$$u_{\mu}u^{\mu} \equiv \eta_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d}\tau} \frac{\mathrm{d}x^{\nu}}{\mathrm{d}\tau} = -c^{2},$$

4-动量的模方是常数

$$p_{\mu}p^{\mu} = m^{2}u_{\mu}u^{\mu} = -m^{2}c^{2},$$

上两式即给出

$$E^{2} = \mathbf{p}^{2}c^{2} + m^{2}c^{4}.$$

这就是著名的爱因斯坦能量-动量关系（energy-momentum relation）。

· 非相对论极限

以上的讨论——无论是 4 维还是 3 维形式——都是完全相对论性的。对于大部分宏观物体，其运动速度（3-速度）远远低于光速，因此可以考虑非相对论极限（non-relativistic limit），即

$$\frac{v}{c} \ll 1.$$

在非相对论极限下，闵氏时空变为牛顿力学的伽利略时空。在伽利略时空中，时间与空间发生了绝对的（即不依赖于观测者的）分离，特别是时间具有了绝对的意义。

在非相对论极限下，能量可以展开为

$$E = \frac{mc^{2}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = mc^{2} + \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{3}{8}m\frac{v^{4}}{c^{2}} + \cdots.$$