---
url: /circuit/circuit-1/index.md
---
# Chapter 1 线性电路分析

## Part 1 电路基础

电路是由用电器件相互连接而构成的电流的通路。一般来说，实现**电能**输送和变换的电路称为**电工电路**；实现**信息**的传输和处理的电路称为**电子电路**。

电路模型则是用理想电路原件及其组合通过理想导线连接，反映实际电路部件的**主要电磁性质**，即无法考虑所有物理现象，只考虑最重要物理量的计算分析。

### · 基本电路元件

基本的五种理想电路原件如下：

| 电路原件 | 作用                             |
| :------- | -------------------------------- |
| 电阻元件 | 消耗电能的元件                   |
| 电感元件 | 产生磁场，储存磁场能量           |
| 电容元件 | 产生电场，储存磁场能量           |
| 电压源   | 将其他形式的能量转化为电能的元件 |
| 电流源   | 将其他形式的能量转化为电能的元件 |

> 电源称为**激励**，用电设备称为**负载**
>
> 激励在电路中各部分引起的电压和电流输出称为**响应**

特征如下：

> (1). 只有两个端子（元件的接头）
>
> (2). 可以用电压或电流按照数学方式描述（具有精确数学定义）
>
> (3). 不能再分解为其它元件

这里需要注意两点：

(1). 具有相同的**主要电磁性能**的实际电路部件在一定条件下可以用**同一电路模型**表示.

(2). 同一实际电路部件在**不同的应用条件**下其电路模型可以有**不同的形式**.

电路中主要物理量如下：

| 名称     | 电流 | 电压 | 电荷 |  磁通  | 磁通链 | 电功率 | 电能 |
| -------- | :--: | :--: | :--: | :----: | :----: | :----: | :--: |
| **表示** | $I$  | $U$  | $Q$  | $\Phi$ | $\Psi$ |  $P$   | $W$  |
| **单位** | $A$  | $V$  | $C$  |  $Wb$  |  $Wb$  |  $W$   | $J$  |

在线性电路分析中主要看：电流，电压，功率.

一般来说在电路分析中，随时间变化的量一般用小写字母表示，用大写字母表示的一般为恒定量.

### · 参考方向

> 电流：带电粒子规则定向运动
> $$
> i(t)=\lim\_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta q}{\Delta t}=\frac{\text{d}q}{\text{d}t}
> $$
> 我们规定正电荷运动方向为电流实际方向

实际上我们在分析**复杂电路**或**电路中电流随时间变化**时，电流实际方向难以判断，因此引入**电流的参考方向**，即任意指定一个正电荷的运动方向

当然在规定了参考方向后才可写出函数表达，同时相当于把电流看作代数量（大小+方向）

> 箭头：表示电流参考方向
>
> $I\_{AB}$ : 表示电流参考方向从 A 到 B .

关于电压的参考方向和电流同理，这里我们主要强调一下电势：

> /Definition/
>
> 在只有库仑电场的条件下，将单位正电荷，从某点移动到参考点，电场力所做的功，称为该点相对参考点的电位.
>
> 两点之间的电压，等于这两点的电位差。电压的方向从高电位指向低点位。
>
> 电势定义 ($\varphi\_{a}$)
>
> $$
> \varphi\_{\mathrm{a}}=\lim *{\Delta q \rightarrow 0} \frac{\Delta A}{\Delta q}=\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{~d} q}=\int*{\mathrm{a}}^{\mathrm{o}} \bar{E}\_{\mathrm{c}} \cdot \mathrm{d} \bar{l}
> $$
>
> **物理意义**：点 a 处的电势 $\varphi\_{a}$ 定义为将单位正电荷从该点移动到参考点 O（通常为无穷远）过程中，电场力所做的功。
>
> 电势差公式 ( $u\_{ab}$ )
>
> $$
> u\_{\mathrm{ab}}=\int\_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}} E\_{\mathrm{c}} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=\int\_{\mathrm{a}}^{\mathrm{o}} \bar{E}*{\mathrm{c}} \cdot \mathrm{d} \overline{\mathrm{l}}+\int*{\mathrm{o}}^{\mathrm{b}} E\_{\mathrm{c}} \cdot \mathrm{d} \overline{\mathrm{l}}=u\_{\mathrm{a}}-u\_{\mathrm{b}}
> $$
> 电动势
>
> 非库仑电场将单位正电荷从a点移动到b点所做的功（转换的电能）
>
> $$
> \epsilon\_{ab(l)} = \lim\_{\Delta q \to 0} \frac{\Delta A}{\Delta q} = \frac{\text{d}A}{\text{d}q} = \int\_a^b (\overrightarrow{E\_i} + \overrightarrow{E\_e}) \cdot \text{d}\overrightarrow{l}
> $$
>
> * $E\_i$ 为局外电场， $E\_e$ 为感生电场
>
> 电动势的方向是从低电位指向高电位的方向。
>
> 如果非库仑电场只有感生电场，这时的电动势就是感应电动势：
>
> $$
> e = \oint\_l \overrightarrow{E\_i} \cdot \text{d}\overrightarrow{l} = -\frac{\text{d}\Phi}{\text{d}t}
> $$

### · 电阻

$R$ 称为电阻元件的电阻系数，简称电阻。对线性电阻，$R$ 是与电压和电流无关的常量。

线性电阻符合欧姆定律，当然我们也可以用电导率（ $G$，单位为西门子 $S$ ）描述欧姆定律
$$
u=iR\quad G=\frac{1}{R}\quad i=Gu
$$

> 注意，我们这里使用的还是关联参考方向
>
> 在电路分析中电阻有两个特殊情况：短路，$R$ 为零；开路， $R$ 为无穷大。

关于电阻元件的电功率，我们有如下算式：

$\Delta t$ **时间内移动电荷**
$$
\Delta q = i \Delta t
$$
**所做的功**
$$
\Delta A = \Delta q \times u = ui \Delta t
$$
**做功速率即功率**
$$
p = \lim\_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta A}{\Delta t} = ui = i^{2}R = u^{2}G
$$

> 对于正值的电阻，消耗的功率总是非负的。所以电阻是无源元件、是耗能元件。

对于柱形材料电阻，我们在高中学过：
$$
R=\rho \frac{l}{S}
$$
同时在交流情况下，电流不是均匀分布的，电流密度从导线表面向中心指数衰减，这使得交流电阻大于直流电阻。

### · 电容

> (1) 线性电容电荷与电压的关系
>
> $$
> q = Cu
> $$
> (2) 电流与电压的关系
> $$
> i = \frac{dq}{dt} = C\frac{du}{dt}
> $$
>
> 在直流电路中，$i=0$
>
> $$
> u = \frac{q}{C} = \frac{1}{C}\int\_{-\infty}^{t} i(\lambda)d\lambda = u(0) + \frac{1}{C}\int\_{0}^{t} i(\lambda)d\lambda
> $$

**电容元件储能与功率**：

移动$dQ$电荷，电源做功为：

$$
\mathrm{d}A = U\mathrm{d}Q
$$
电荷量达到$q$，电压达到$U$时，电源做功就是此时的储能。

$$
W\_e = \int\_0^A \mathrm{d}A = \int\_0^q U\mathrm{d}Q = \int\_0^q \frac{Q}{C}\mathrm{d}Q = \frac{q^2}{2C} = \frac{1}{2}Cu^2
$$

* 与$q$的平方成正比，与$u$的平方成正比

能量变化的速率即功率为

$$
p = \frac{\mathrm{d}W\_e}{\mathrm{d}t} = u \times C \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = ui
$$
![](https://s21.ax1x.com/2025/09/03/pVgcTVf.png)

关于电容充电放电有如下公式：
$$
W\_e = \frac{1}{2}Cu^2\quad \quad
p = u \times C \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = ui
\begin{cases}

> 0 \\
> < 0 \end{cases}
> $$
> 此外，电容的作用还有通直流阻交流。

> 电容：动态元件，记忆元件，储能元件，无损元件

### · 电感

**(1). 磁链与电流的关系**

所有匝的磁通之和叫 **磁链**，单位韦伯，符号Wb

$$
\psi = \sum \Phi\_k
$$
线性电感基本关系
$$
\psi = Li
$$
![pVRNp1f.png](https://s21.ax1x.com/2025/09/10/pVRNp1f.png)

**(2). 电压与感应电动势的关系**

根据法拉第电磁感应定律，感应电动势等于闭合路径上总电场强度的线积分，为

$$
e = \oint\_{} \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{l} = -\frac{d\psi}{dt}
$$
将闭合积分路径分为线圈内部和线圈外部两段，理想线圈（γ=0）内部总电场强度为零 $\overrightarrow{E}=\overrightarrow{J}/\gamma=0$，认为线圈外仅存在库仑电场（其他电场小到忽略不计），根据（端）电压定义，则

$$
e = \int\_{in} \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{l} + \int\_{out} \overrightarrow{E\_c} \cdot d\overrightarrow{l} = 0 - u = -\frac{d\psi}{dt}
$$

$$
\Rightarrow u = -e = \frac{d\psi}{dt}
$$

—— **电磁基本定律**

***

**(3) 电压与电流的关系**
$$
u = -e = \frac{d\psi}{dt}\quad \quad
u = L \frac{di}{dt}
$$
在直流电路中，相当于短路

$$
i = \frac{\psi}{L} = \frac{1}{L} \int\_{-\infty}^{t} u(\lambda)d\lambda = i(0) + \frac{1}{L} \int\_{0}^{t} u(\lambda)d\lambda
$$

> 电感：动态元件，记忆元件，储能元件，无损元件

***

**(4). 理想电感元件的储能与功率**

dt 时间内流过的电荷
$$
dq = i dt
$$

外电路克服感应电动势做功
$$
dA = (i dt) × (d\psi/dt) = i d\psi
$$
磁链达到 $\psi$, 电流达到 i 时，外电路做功，即此时的储能为

$$
W\_m = \int\_0^A dA = \int\_0^\psi i d\psi = \int\_0^\psi \frac{\psi}{L} d\psi = \frac{\psi^2}{2L} = \frac{1}{2} Li^2
$$

* 储能元件，与 $\psi$ 的平方成正比，与 i 的平方成正比，能量变化的速率即功率为
  $$
  p = \frac{dW\_m}{dt} = Li \frac{di}{dt} = ui
  $$

![pVggnZ6.png](https://s21.ax1x.com/2025/09/03/pVggnZ6.png)

此外在不同频率下电感有如下近似表示：

![pVggZs1.png](https://s21.ax1x.com/2025/09/03/pVggZs1.png)

### · 独立电源

> 理想电源与实际电源的区别
>
> （1）理想电压源的电压、理想电流源的电流，都与负载无关（短路与开路除外），实际电源则与负载有关。
>
> （2）理想电源没有容量限制，而实际电源都有容量限制。
>
> （3）除可充电电源外，实际电源不允许或不能处于充电状态。
>
> （4）可充电电源在充电和放电时的电压是不一样的。

端电压恒为 $u\_s(t)$，与流过它的电流 i 无关的二端元件称为理想**电压源**。某元件与理想电压源并联，等效关系即为该理想电压源。

输出电流恒为 $i\_s(t)$ ，与其端电压 u 无关的二端元件称为理想**电流源**。某元件与理想电流源串联，等效关系即为该理想电流源。

而电流源实际状态如下图：

![pV2pLY8.png](https://s21.ax1x.com/2025/09/05/pV2pLY8.png)

### · 受控电源

**受控源**分为四类：电压控制电压源 VCVS，电流控制电压源 CCVS，电压控制电流源 VCCS，电流控制电流源 CCCS，具体分析如下所示。

![pVg2FTf.png](https://s21.ax1x.com/2025/09/03/pVg2FTf.png)

下图则是原理图以及近似为受控源的电路模型。

![pVWJ6W6.png](https://s21.ax1x.com/2025/09/12/pVWJ6W6.png)

### · 基尔霍夫定律

(1) 基尔霍夫电流定律 (KCL)

对任一集总电路中的任一节点或闭合线（面），在任一时刻流进或流出该节点或闭合线（面）的所有支路电流的代数和为零。表示了各支路电流的约束关系，由电荷守恒得到。

$$
\sum\_{k=1}^{n} i\_k(t) = 0\quad\text{or}\quad\sum i\_{in}(t) = \sum i\_{out}(t)
$$
必须指定电流参考方向，且求出的值无论正负都不要把参考方向改成真实方向。

(2) 基尔霍夫电压定律 (KVL)

对任一集总电路中的任一回路，在任一时刻沿着该回路的所有支路电压降的代数和为零。表示了各支路电压的约束关系，由能量守恒得到。
$$
\sum\_{k=1}^{n} u\_k(t) = 0 \quad\text{or}\quad \sum u\_{up}(t) = \sum u\_{down}(t)
$$
必须指定回路绕行方向，给出各元件的电压参考极性，且求出的值无论正负都不要把参考方向改成真实方向。

(3) 基本分压分流公式

串联电阻分压：

$$
u\_1 = \frac{R\_1}{R\_1 + R\_2} u\quad\quad u\_2 = \frac{R\_2}{R\_1 + R\_2} u
$$
并联电阻分流：
$$
i\_1 = \frac{R\_2}{R\_1 + R\_2} i\quad\quad i\_2 = \frac{R\_1}{R\_1 + R\_2} i
$$

> 只适用于集中参数电路，不适用于分布参数电路。
>
> (1) 与集中参数电路元件性质无关。
>
> (2) 与电流电压随时间的变化规律无关。
>
> (3) KCL 源于电流连续性这一普遍规律。
>
> (4) KVL 源于库仑电场做功与路径无关这一普遍规律。

## Part 2 线性电路分析

### · 等效变换

二段网络或者说单口网络是只有一个外接端口的电路，是通过引出一对端钮与外电路连接的网络，电流从一个端钮流入，从另一个端钮流出，这样一对端钮形成了网络的一个端口.

如果两个二端网络 $u-i$ 关系完全相同，则称为等效，等效的二端网络，接任意电路N，N内的电压和电流对应完全相同.

![pVRKGb6.png](https://s21.ax1x.com/2025/09/09/pVRKGb6.png)

上图则是对于二段网络的一种示意图.

无源二端网络是二端网络中没有电源；有源二端网络是二端网络中含有电源。

对于无源二端网络（仅含线性电阻），根据线性电路的性质，我们可以通过利用电阻等效变换简化为一个电阻，即等效电阻。

当然这里要强调一点：相同的**理想电压源**可以并联以增大**功率**，相同的**理想电流源**可以串联以增大**电压**.

在等效过程中也有如下方法：

> \[!tip]
>
> 理想电压源串联可视作一个理想电压源，理想电流源并联视作一个理想电流源.
>
> 理想电压源并联电阻电路可视作开路，理想电流源串联电阻电路视作短路.

我们对于电流源和电压源有以下转化：

![pVfMxpD.png](https://s21.ax1x.com/2025/09/15/pVfMxpD.png)![pVfMjfO.png](https://s21.ax1x.com/2025/09/15/pVfMjfO.png)

其中这也可被称为戴维南（Thévenin）电路和诺顿（Norton）电路

![pVRKYVK.png](https://s21.ax1x.com/2025/09/09/pVRKYVK.png)

#### · 星三角变换

PS：董维杰老师上课说了，对这里不做过高要求，这部分算是自学内容.

电阻星形联结或三角形联结较为常见（而且一点不好处理），两者之间有共同点且可以相互转化.

![pVRt66U.png](https://s21.ax1x.com/2025/09/10/pVRt66U.png)

共同特点：$U\_{12}$、$U\_{23}$、$U\_{31}$ 三个端电压相同；三个端子电流相同，且根据KCL
$$
I\_1+I\_2+I\_3=0
$$
接下来是数学推导：

> **星形电路**：
> $$
> U\_{13} = R\_1 I\_1 - R\_3 I\_3
> \= R\_1 I\_1 + R\_3 (I\_1 + I\_2)
> \= (R\_1 + R\_3) I\_1 + R\_3 I\_2\\
> U\_{23} = R\_2 I\_2 - R\_3 I\_3
> \= R\_2 I\_2 + R\_3 (I\_1 + I\_2)
> \= R\_3 I\_1 + (R\_2 + R\_3) I\_2\\
> $$
> 矩阵形式为：
> $$
> \begin{bmatrix}
> U\_{13} \\
> U\_{23}
> \end{bmatrix} =
> \begin{bmatrix}
> R\_1 + R\_3 & R\_3 \\
> R\_3 & R\_2 + R\_3
> \end{bmatrix}
> \begin{bmatrix}
> I\_1 \\
> I\_2
> \end{bmatrix}
> $$
> **三角电路**：
> $$
> I\_1 = \frac{U\_{13}}{R\_{31}} + \frac{U\_{12}}{R\_{12}}
> \= \frac{U\_{13}}{R\_{31}} + \frac{U\_{13} - U\_{23}}{R\_{12}}
> \= (G\_{12} + G\_{31}) U\_{13} - G\_{12} U\_{23}\\
> I\_2 = \frac{U\_{23}}{R\_{23}} - \frac{U\_{12}}{R\_{12}}
> \= \frac{U\_{23}}{R\_{23}} - \frac{U\_{13} - U\_{23}}{R\_{12}}
> \= -G\_{12} U\_{13} + (G\_{12} + G\_{23}) U\_{23}\\
> $$
> 矩阵形式为：
> $$
> \begin{bmatrix}
> I\_1 \\
> I\_2
> \end{bmatrix} =
> \begin{bmatrix}
> G\_{12} + G\_{31} & -G\_{12} \\
> -G\_{12} & G\_{12} + G\_{23}
> \end{bmatrix}
> \begin{bmatrix}
> U\_{13} \\
> U\_{23}
> \end{bmatrix}
> $$
> **等效等式**：
> $$
> \begin{bmatrix} R\_1 + R\_3 & R\_3 \ R\_3 & R\_2 + R\_3 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{D} \begin{bmatrix} R\_2 + R\_3 & -R\_3 \ -R\_3 & R\_1 + R\_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} G\_{12} + G\_{31} & -G\_{12} \ -G\_{12} & G\_{12} + G\_{23} \end{bmatrix}
> $$

如上这个形式似乎并不好记忆，那我们给出便于记忆的形式：

> 星形电路转化三角电路：
> $$
> R\_{12} = R\_1 + R\_2 + \frac{R\_1 R\_2}{R\_3} \\
> R\_{23} = R\_2 + R\_3 + \frac{R\_2 R\_3}{R\_1} \\
> R\_{31} = R\_1 + R\_3 + \frac{R\_3 R\_1}{R\_2}
> $$
> 三角电路转化星形电路：
> $$
> R\_1 = \frac{R\_{12} R\_{31}}{R\_{12} + R\_{23} + R\_{31}} \\
> R\_2 = \frac{R\_{23} R\_{12}}{R\_{12} + R\_{23} + R\_{31}} \\
> R\_3 = \frac{R\_{31} R\_{23}}{R\_{12} + R\_{23} + R\_{31}}
> $$
> 特别的，当三电阻相等时：
> $$
> R\_\Delta = 3 R\_Y \quad \Rightarrow \quad R\_Y = \frac{1}{3} R\_\Delta
> $$

我们做一次 $\Delta$ 变 Y 或者 $\Delta$ 变 Y 后，又可以利用串并联求等效电阻.

![pVRtylT.png](https://s21.ax1x.com/2025/09/10/pVRtylT.png)

应用的时候要身段灵活，什么好用用什么（）

#### · 平衡电桥

![pVRtspV.png](https://s21.ax1x.com/2025/09/10/pVRtspV.png)

$R\_1R\_3=R\_2R\_4$ 时，电桥平衡，此时，电阻R上电流为零，因此，电位相等的点可以短接，电流为零的支路可以断开.

等效电阻的计算最后的数值不会发生变化.

### · 电路方程组

一切电路方程组的本质都是最基本的东西：KCL，KVL，欧姆定律.

#### · 支路电流法

一般原理：以**支路电流**为变量，分别列写KCL、KVL方程。

![pVWjqoV.png](https://s21.ax1x.com/2025/09/14/pVWjqoV.png)

(1) 对节点列KCL方程：

> 节点①:
> $$
> -I\_1 + I\_2 + I\_3 = 0\tag{1}
> $$
>
> 节点②:
> $$
> -I\_3 + I\_4 + I\_5 = 0\tag{2}
> $$
> 节点③: (不独立)
> $$
> I\_1 - I\_2 - I\_4 - I\_5 = 0
> $$
>
> **独立节点数 = n - 1**

(2) 对回路列KVL方程：

> 网孔 $m\_1$ :
> $$
> R\_1 I\_1 + R\_2 I\_2 = U\_{s1}\tag{3}
> $$
> 网孔 $m\_2$ :
> $$
> -R\_2 I\_2 + R\_3 I\_3 + R\_4 I\_4 = -U\_{s4}\tag{4}
> $$
> 网孔 $m\_3$ :
> $$
> -R\_4 I\_4 + R\_5 I\_5 = U\_{s4}\tag{5}
> $$
> 回路 $l$ : (不独立)
> $$
> R\_1 I\_1 + R\_3 I\_3 + R\_4 I\_4 = U\_{s1} - U\_{s4}
> $$
> **独立回路数 = b - (n - 1)**

支路电流法具有普遍适用性。但当变量数目多时，手算不易.

#### · 回路电流法

以回路电流为变量，列写KVL方程，求得回路电流，由回路电流通过简单合成求得支路电流。

![pVWjbd0.png](https://s21.ax1x.com/2025/09/14/pVWjbd0.png)

对独立回路列写KVL方程：

> 回路1:
> $$
> R\_1 I\_{l1} + R\_2 (I\_{l1} - I\_{l2}) - u\_{s1} + u\_{s2} = 0
> $$
> 回路2:
> $$
> -R\_2 (I\_{l1} - I\_{l2}) + R\_3 I\_{l2} - u\_{s2} = 0
> $$

规范化形式:
$$
(R\_1 + R\_2) I\_{l1} - R\_2 I\_{l2} = u\_{s1} - u\_{s2} \\
-R\_2 I\_{l1} + (R\_2 + R\_3) I\_{l2} = u\_{s2}
$$
$R\_{11}$ 、$R\_{22}$：回路的自阻； $R\_{12}$、$R\_{13}$ ：相邻两回路的互阻。
$$
R\_{11} = R\_1 + R\_2\\
R\_{12} = R\_2\\
R\_{21} = R\_2\\
R\_{22} = R\_2 + R\_3\\
$$
$u\_{s1} - u\_{s2}$ 为回路电压源代数和，电动势方向与回路一致时取正号.

#### · 节点电压法

以节点电压为变量，对独立节点列写KCL方程，求得节点电压，再求得支路电压与电流，以下图电路为例：

![pVfMb01.png](https://s21.ax1x.com/2025/09/15/pVfMb01.png)

> 节点①\
> $$
> I\_1 + I\_2 + I\_3 + I\_4 = I\_{S1}
> $$
> 节点②\
> $$
> -I\_3 - I\_4 + I\_5 = -I\_{S5}
> $$
> 依据欧姆定律，用节点电压表示电流
>
> $$
> \frac{U\_{n1}}{R\_1} + \frac{U\_{n1} - U\_{s2}}{R\_2} + \frac{U\_{n1} - U\_{n2} + U\_{s3}}{R\_3} + \frac{U\_{n1} - U\_{n2}}{R\_4} = I\_{S1} \quad (1)
> $$
>
> $$
> -\frac{U\_{n1} - U\_{n2} + U\_{s3}}{R\_3} - \frac{U\_{n1} - U\_{n2}}{R\_4} + \frac{U\_{n2}}{R\_5} = -I\_{S5} \quad (2)
> $$
>
> 合并同类项
>
> $$
> \left( \frac{1}{R\_1} + \frac{1}{R\_2} + \frac{1}{R\_3} + \frac{1}{R\_4} \right) U\_{n1} - \left( \frac{1}{R\_3} + \frac{1}{R\_4} \right) U\_{n2} = I\_{S1} + \frac{U\_{s2}}{R\_2} - \frac{U\_{s3}}{R\_3} \\
>
> * \left( \frac{1}{R\_3} + \frac{1}{R\_4} \right) U\_{n1} + \left( \frac{1}{R\_3} + \frac{1}{R\_4} + \frac{1}{R\_5} \right) U\_{n2} = -I\_{S5} + \frac{U\_{s3}}{R\_3}
>   $$

因此我们引入导纳的概念：

> 节点①的自导纳和节点①、②之间的互导纳
>
> * 节点①的自导纳:
>   $$
>   G\_{11} = \frac{1}{R\_1} + \frac{1}{R\_2} + \frac{1}{R\_3} + \frac{1}{R\_4}
>   $$
>
> * 节点①、②之间的互导纳:
>   $$
>   G\_{12} = G\_{21} = -\left(\frac{1}{R\_3} + \frac{1}{R\_4}\right)
>   $$
>
> 节点②的自导纳
>
> $$
> G\_{22} = \frac{1}{R\_3} + \frac{1}{R\_4} + \frac{1}{R\_5}
> $$

节点电压方程：
$$
G\_{11} U\_{n1} + G\_{12} U\_{n2} = \sum\_{\text{init 1}} I\_{Sk} + \sum\_{\text{init 1}} G\_k U\_{Sk} \\
G\_{21} U\_{n1} + G\_{22} U\_{n2} = \sum\_{\text{init 2}} I\_{Sk} + \sum\_{\text{init 2}} G\_k U\_{Sk}
$$
其中：

* $G\_{11} U\_{n1} + G\_{12} U\_{n2}$ 表示节点①的注入电流。
* $G\_{21} U\_{n1} + G\_{22} U\_{n2}$ 表示节点②的注入电流。

电路中无受控源时

$$
G\_{ij} = G\_{ji}
$$

> \[!important]
>
> 若支路只有电压源，可以将一点设为接地的参考电势点。
>
> 其中电流源与电阻串联则电阻不在导纳计算中出现。

### · 叠加定理 齐性定理

受力分析、线性空间、线性变换等，存在加法和数乘关系，类似于叠加定理和齐性定理。

> **定义**: 设  $V$  为线性空间， $V$  上的变换  $T: V \rightarrow V$  若满足
> $$
> T(\alpha + \beta) = T(\alpha) + T(\beta)\\
> T(k\alpha) = kT(\alpha)
> $$
> 则称  $T$  为  $V$  上的线性变换。

我们根据线性限制退出来两个定理的限制：

> \[!important]
>
> (1). 叠加定理不适用于元件参数与电压、电流相关的非线性电路中.
>
> (2). 即使在线性电路中，某个电阻元件的功率也不能直接用叠加定理计算.
>
> (3). 受控电源不能单独作用；各独立电源单独作用时，受控电源必须保留在相应电路中，不能被去掉.
>
> (4). 各独立电源可以分组作用.
>
> (5). 对有唯一解的任意线性电路，叠加定理都是成立的，后续线性交流电路、线性暂态电路都可应用叠加定理.

#### · 齐性定理

在只有一个激励作用的线性直流电路中，响应与激励成正比。也就是说，若将该激励变为原来的 K 倍，则由此产生的响应也变为原来响应的 K 倍。

![pV4iPR1.png](https://s21.ax1x.com/2025/09/19/pV4iPR1.png)

#### · 叠加定理

![pV4iCGR.png](https://s21.ax1x.com/2025/09/19/pV4iCGR.png)

三个图像分别为：含两个独立电源；只含独立电压源；只含独立电流源.

> 含两个独立电源:
> $$
> U = \frac{\frac{U\_s}{R\_2}+ I\_s}{\frac{1}{R\_1} + \frac{1}{R\_2}}= \frac{R\_1}{R\_1 + R\_2} U\_s + \frac{R\_1 R\_2}{R\_1 + R\_2} I\_s
> $$
> 只含独立电压源:
> $$
> U\_1 = \frac{R\_1}{R\_1 + R\_2} U\_s
> $$
> 只含独立电流源:
> $$
> U\_2 = \frac{R\_1 R\_2}{R\_1 + R\_2} I\_s
> $$

结论：独立电压源与独立电流源共同作用产生的支路电压，等于它们各自单独作用时产生的支路电压的叠加.

> /Theorem
>
> 由多个独立电压源或电流源共同作用产生的响应（电压或电流），等于由这些独立电源单独作用产生响应的叠加。

叠加定理表述了线性电路的一种重要性质——响应的可加性.

![pV4iixx.png](https://s21.ax1x.com/2025/09/19/pV4iixx.png)

> \[!caution]
>
> 就应试角度而言，叠加定理适用于**较少独立电源**时使用，有一年出题的时候电路里面有五六个独立电流源的时候大家算的都比较的痛苦，实际上没必要.

### · 等效电源定理

> \[!tip]
>
> 等效电源定理的最大魅力在于，任意复杂的线性含源二端网络，最多用两个元件就可以等效.
>
> 不过也由于其复杂度所以在考试时要格外注意.

前面讲述过戴维南电路和诺顿电路，那对于任意二段网络我们也有类似的推广形式：

> **戴维南定理**：
>
> 线性含独立源一端口网络的对外作用，可以用一个电压源与电阻串联的电路来等效代替，其中电压源电压等于此一端口网络的开路电压，电阻等于此一端口网络内部各独立电源置零后所得无独立源一端口网络的等效电阻.
>
> **诺顿定理**：
>
> 线性含独立源一端口网络的对外作用，可以用一个电流源与电阻并联的电路来等效代替，其中源电流等于此一端口网络的短路电流，电阻等于此一端口网络内部各独立电源置零后，所得无独立源一端口网络的等效电阻.

![](https://nicostore-mathematica.github.io/picx-images-hosting/4.9kgjli9b1l.webp)

一般来说我们更倾向于先化为戴维南电路，我们知道戴维南电路由两个部分构成：开路电压 $U\_{OC}$ 和一个等效电阻 $R\_0$ ，那戴维南电路的两个基本量 $U\_{OC}$ 和 $R\_0$ 的数值如何求解？

> \[!note]
>
> 不含受控源且已知结构的开路电压的求解较为简单——只需要考虑端口内部的分压，但是对于相对复杂的情况而言我们可能会先求出**等效电阻**然后再去考虑开路电压的值是多少或者**联立方程组**.  (详情请见例题)

测量等效电阻的方法如下：

(1). 去除电源

![pV4Aizn.png](https://s21.ax1x.com/2025/09/19/pV4Aizn.png)

(2). 开路短路

![pV4APRs.png](https://s21.ax1x.com/2025/09/19/pV4APRs.png)

(3). 增量法

![pV4AkMq.png](https://s21.ax1x.com/2025/09/19/pV4AkMq.png)

***

/example/ 图示电路 $U\_0$ 已知，若将网络 $N$ 短路，如题图所示，短路电路 $I$ 已知，试求网络 $N$ 在端口的戴维南等效电路，注意图中给出的量都可作为已知量.

![pV4AAs0.png](https://s21.ax1x.com/2025/09/19/pV4AAs0.png)

> 我们先假设网络 N 的戴维南等效电路，然后将其带入，如图所示：
>
> ![pV4AELV.png](https://s21.ax1x.com/2025/09/19/pV4AELV.png)
>
> 我们以 $U\_0$ 下方节为参考点针对 $U\_0$ 上方节点列节点电压方程：
> $$
> (\frac{1}{R\_1}+\frac{1}{R\_2}+\frac{1}{R\_0})U\_0=\frac{U\_{\Delta}}{R\_1}+\frac{U\_{OC}}{R\_0}
> $$
> 然后短路后的电流的电压有两个来源：一个是 $U\_{OC}$ 作用于 $R\_0$ ，另一个则是因为 $U\_{\Delta}$ 作用于 $R\_{1}$ ，列方程：
> $$
> \frac{U\_{\Delta}}{R\_1}+\frac{U\_{OC}}{R\_0}=I
> $$
> 联立即可得到结果.

### · 最大功率传输定理

> taffy: 这就是均值不等式！！

![pV5njxg.png](https://s21.ax1x.com/2025/09/23/pV5njxg.png)

针对这个电路提出来一个问题：什么时候 $R\_L$ 能够取得最大功率？

> 负载电流:
> $$
> I = \frac{U\_S}{R\_0 + R\_L}
> $$
> 负载功率:
> $$
> P\_L = I^2 R\_L = \left( \frac{U\_S}{R\_0 + R\_L} \right)^2 R\_L\\
> $$
>
> $$
> P\_L = f(R\_L)
> $$
>
> 不妨令
> $$
> \frac{\mathrm{d}P\_L}{\mathrm{d}R\_L} = \frac{(R\_0 - R\_L)}{(R\_0 + R\_L)^3} \times U\_S^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad R\_L = R\_0
> $$
> 并且
> $$
> \frac{\mathrm{d}^2P\_L}{\mathrm{d}R\_L^2} = -\frac{U\_S^2}{8R\_0^3} < 0
> $$
> 说明是极大值 最大功率
> $$
> P\_{L\_{\max}} = \frac{U\_S^2}{4R\_0}
> $$

> \[!important]
>
> 对给定的电源，当负载电阻等于该电源的内阻（匹配）时，负载可以从电源获得最大功率.

![pV5nxMQ.png](https://s21.ax1x.com/2025/09/23/pV5nxMQ.png)

当负载与电源匹配时，实际电路电能传输效率最多 50%.

> 由于课时紧张，以往我们还会讲后面的替代定理，特勒根定理.
>
> 这回我们就不讲了，直接开始交流部分相量法那里的学习.

PS：后续有时间我会自学补上.