Chapter 2 交流电路分析

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2025-09-17

首先让我们复习一下复数。

我们知道初等代数里面欧拉公式统一了初等代数届最基本的五个量：

e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta

不过在电路里，我们一般使用 $j$ 表示虚数单位.

我们知道复数三种表示形式等价:

z = x + jy \longleftrightarrow z = \rho e^{j\varphi} \longleftrightarrow z = \rho (\cos \varphi + j \sin \varphi).

我们假设这里有个交变电流形如 $\mathbf{I_m e^{j(\omega t + \psi)}}$ .

重要

根据欧拉公式

\mathbf{I_m e^{j(\omega t + \psi)}} = I_m \cos(\omega t + \psi) + j I_m \sin(\omega t + \psi)

i(t) = \text{Re}[\mathbf{I_m e^{j(\omega t + \psi)}}] = \text{Re}[I_m e^{j\psi} e^{j\omega t}] = \text{Re}[\dot{I}_m e^{j\omega t}]

$\mathbf{e^{j\omega t}}$ 模为 1、辐角随 $t$ 增大而逆时针旋转。称为旋转因子。

我们不难推出

\dot{I}_m = I_m e^{j\psi}

这称为 $i(t)$ 的相量，这是振幅相量——但我们一般较多使用有效值相量

i(t) = \sqrt{2} I \cos(\omega t + \psi) \rightarrow \dot{I} = I e^{j\psi}

默认有效值相量

i(t) = \sqrt{2} I \cos(\omega t + \psi) \xrightarrow{\dot{I} = P[i(t)]} \dot{I} = I \angle \psi

反向我们可以用这个式子：

i(t) = P^{-1}[\dot{I}] = \text{Re}[\dot{I} e^{j\omega t}]

$\mathbf{e^{j\omega t}}$ 模为 1、辐角随 $t$ 增大而逆时针旋转。称为旋转因子。

(其实这里完全可以很恶趣味的加上复数的矩阵定义)

Part 1 正弦交流电路

· 基尔霍夫定律

我们知道：同频率正弦量线性组合的相量等于各相量的同一线性组合，那么

a_1 i_1(t) + a_2 i_2(t) = a_1 \text{Re}[\dot{I}_{1m} e^{j\omega t}] + a_2 \text{Re}[\dot{I}_{2m} e^{j\omega t}] = \text{Re}[(a_1 \dot{I}_{1m} + a_2 \dot{I}_{2m}) e^{j\omega t}]

a_1 i_1(t) + a_2 i_2(t) \rightarrow a_1 \dot{I}_{1m} + a_2 \dot{I}_{2m}

那我们可以推出：

\sum i_k =0\Rightarrow\sum \dot{I}_{k}=0

同理，我们可以推出相应的 KVL

\sum u_k =0\Rightarrow\sum \dot{U}_{k}=0

· 相量

我们知道三大元件的伏安关系：

i=\frac{u}{R},\quad i = C\frac{\text{d}u}{\text{d}t},\quad u = L \frac{\text{d}i}{\text{d}t}

下面我们要将其推广为相量形式.

电阻元件：

u=iR\Rightarrow \dot{U}=\dot{I}R

不难发现，电压电流相位关系同相，有效值成正比关系.

电感元件：

u_L = L \frac{\text{d}i_L}{\text{d}t}\Rightarrow \dot{U}_L=\text{j}\omega L \dot{I}_L

定义感抗：
$X_L=\omega L$
单位欧姆，电感电压与电流幅值（有效值）之比等于感抗，相位上电压比电流超前90度.
$\varphi_u=\varphi_i + 90^\circ$

电容元件：

i = C\frac{\text{d}u}{\text{d}t}\Rightarrow \dot{U}_C=\frac{1}{\text{j}\omega C} \dot{I}_C

定义容抗：
$X_C=\frac{1}{\omega C}$
单位欧姆，电容电压与电流幅值（有效值）之比等于容抗，相位上电压比电流落后 90 度
$\varphi_u=\varphi_i - 90^\circ$

相量变换的重要优点：采用相量变换，并引入感抗和容抗作为 “参数”，则电感和电容元件的微分方程均变为代数方程。

· 导纳阻抗

(1). 阻抗

对上图电路使用KVL：
$\dot{U} = \dot{U}_R + \dot{U}_L + \dot{U}_C = RI + \text{j}\omega L\dot{I} + \frac{1}{\text{j}\omega C}\dot{I}$ $= [R + j(\omega L - \frac{1}{\omega C})]\dot{I}$
令其为 $Z$ ，称为阻抗
$Z = R + \text{j}X = |Z| \angle \varphi$
易推出欧姆定律的相量形式：
$\dot{U} = Z\dot{I}$

阻抗 $Z$ 的电路意义：

Z = R + j(\omega L - \frac{1}{\omega C}) = R + j(X_L - X_C)

阻抗模：

|Z| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}

阻抗角：

\varphi = \arctan \frac{X}{R} = \arctan \frac{X_L - X_C}{R}

阻抗三角形：

欧姆定律的相量形式：

形式：
$\dot{U} = Z\dot{I} \Rightarrow Z = \frac{\dot{U}}{\dot{I}} = |Z| \angle \varphi$
阻抗模等于电压与电流有效值（振幅）之比。
阻抗角等于电压与电流的相位差。
$|Z| = \frac{U}{I} = \frac{U_m}{I_m},\quad \varphi = \varphi_u - \varphi_i$

下面我们给出阻抗角的可能：

\varphi = \arctan \frac{X_L - X_C}{R}

当 $\varphi > 0$ 时， $X_L - X_C > 0$ ，总电压超前于电流。
当 $\varphi = 0$ 时， $X_L - X_C = 0$ ，总电压、电流同相。
当 $\varphi < 0$ 时， $X_L - X_C < 0$ ，总电压滞后于电流。

仍旧是针对阻抗给出的电路图例，我们这次希望求出 $R,\ L,\ C$ 的分压：

电流大小：
$\dot{I} = \frac{\dot{U}}{Z}$
使用元件方程：
$\dot{U}_R = R\dot{I},$ $\dot{U}_L = \text{j}\omega L\dot{I},$ $\dot{U}_C = \frac{\dot{I}}{\text{j}\omega C}$
或者直接使用分压公式：
$\dot{U}_R = \frac{R\dot{U}}{R + \text{j}\omega L + 1/(\text{j}\omega C)},$ $\dot{U}_L = \frac{\text{j}\omega L\dot{U}}{R + \text{j}\omega L + 1/(\text{j}\omega C)},$ $\dot{U}_C = \frac{(1/\text{j}\omega C)\dot{U}}{R + j\omega L + 1/(\text{j}\omega C)}$
结束.

(2). 导纳

根据 KCL
$i = i_G + i_C + i_L$ $\dot{i} = G\dot{U} + j\omega C\dot{U} + \frac{\dot{U}}{j\omega L} = \left[ G + j\left( \omega C - \frac{1}{\omega L} \right) \right] \dot{U}$
令
$Y = \left[ G + j\left( \omega C - \frac{1}{\omega L} \right) \right] = G + jB = |Y| \angle \varphi_Y$ $\Rightarrow \dot{i} = Y\dot{U}$
此为并联电路欧姆定律的相量形式。
称 $Y$ 为RLC并联电路的导纳，单位西门子，S

导纳 $Y$ 的电路意义

Y = G + jB = |Y| \angle \varphi_Y

Y = \frac{\dot{I}}{\dot{U}} = \frac{I \angle \varphi_i}{U \angle \varphi_u} = \frac{I}{U} \angle \varphi_i - \varphi_u

\Rightarrow |Y| = \frac{I}{U}, \quad \varphi_Y = \varphi_i - \varphi_u

导纳的模等于电流与电压有效值（幅值）之比；导纳角等于电流超前于电压的相位角。

画相量图，以 $\dot{U}$ 为参考

I = \sqrt{I_G^2 + (I_C - I_L)^2}

· 等效电路

数学推导：
阻抗计算公式：
$\frac{\dot{U}}{\dot{I}} = Z = R + jX$
导纳计算：
$Y = \frac{1}{R + j\omega L}= \frac{R}{R^2 + (\omega L)^2} + j(-\frac{\omega L}{R^2 + (\omega L)^2})= G + jB$ $\frac{1}{\omega L'} = \frac{\omega L}{R^2 + (\omega L)^2} = L + \frac{R^2}{\omega^2 L}$

我们这时候就可以用如下方法分析正弦电路：

· 功率

在电路中，电压 $u = \sqrt{2}U \cos(\omega t)$ 和电流 $i = \sqrt{2}I \cos(\omega t - \varphi)$ 通过阻抗 $Z$ 时，

电压和电流的关系可以表示为

Z = \frac{U}{I} \angle \varphi = R + jX

瞬时功率： $p(t) = ui$

我们知道和差化积公式：
$2 \cos \alpha \cos \beta = \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)$
功率表达式：
$p(t) = 2UI \cos \alpha \cos(\omega t - \varphi)$ $= UI \cos \varphi + UI \cos(2 \omega t - \varphi)$ $= UI \cos \varphi (1 + \cos 2 \omega t) + UI \sin \varphi \sin 2 \omega t$
不难观测到：
$UI \cos \varphi (1 + \cos 2 \omega t) \geq 0$
被 $R$ 消耗；
$UI \sin \varphi \sin 2 \omega t$
正负交替，在电源与 $L-C$ 间交换

所以我们可以给出以下定义

重要

平均功率： $P = UI \cos \varphi$ ，单位：W

无功功率： $Q = UI \sin \varphi$ ，单位：var

视在功率： $S = UI$ ，单位：VA

功率因数： $\lambda = \cos \varphi$

因为，有功功率
$P = S \cos \varphi$
无功功率
$Q = S \sin \varphi = P \tan \varphi$
所以，视在功率
$S = \sqrt{P^2 + Q^2}$
功率因数代表了视在功率中，有功功率所占的比重。

我们可以在这里给出如下关系：

重要

阻抗：

Z = |Z| \angle \varphi

相位角
$\varphi = \angle \varphi_u - \angle \varphi_i$
有功功率：
$P = UI \cos \varphi$
无功功率：
$Q = UI \sin \varphi$
视在功率：
$S=UI$

电阻元件：

Z = R

相位角：
$\varphi = 0^\circ$
有功功率：
$UI = \frac{U^2}{R} = RI^2$
无功功率： $0$
视在功率：
$S=I^2R=\frac{U^2}{R}$

电感元件：

Z = j \omega L

相位角：
$\varphi = 90^\circ$
有功功率： $0$
无功功率：
$Q = UI = \omega LI^2$
视在功率：
$S=\omega LI^2$

电容元件：

Z = -j \frac{1}{\omega C}

相位角：
$\varphi = -90^\circ$
有功功率： $0$
无功功率：
$Q = -UI = - \frac{1}{\omega C} I^2$
视在功率：
$S=\frac{1}{\omega C}I^2$

有功功率对应电源的为对外做功的能量的变化率。如电机对外做功转化成机械能的能量。

无功功率对应电源不对外做功的那部分电能，用于建立和维持电磁场，保证设备正常运转，无功功率不是无用功率。

功率表：测得的功率为有用功率，有时读数并不代表某个具体元件的功率

复功率：

复功率是纯计算量，是交流电路功率大综合
$\tilde{S} = P + \mathrm{j}Q = UI\cos\varphi + \mathrm{j}UI\sin\varphi$
复功率的相量计算法：
$\tilde{S} = UIe^{\mathrm{j}\varphi} = UIe^{\mathrm{j}(\psi_u - \psi_i)} = (Ue^{\mathrm{j}\psi_u})(Ie^{-\mathrm{j}\psi_i}) = \vec{U}\vec{I}^*$
复功率模为视在功率
$S = |\tilde{S}| = \sqrt{P^2 + Q^2} = UI$
复功率辐角即功率因数角
$\varphi = \arctan\frac{Q}{P} = \arccos\lambda$
复功率的实部为有功功率
$P = \operatorname{Re}[\tilde{S}]$
复功率的虚部为无功功率
$Q = \operatorname{Im}[\tilde{S}]$

· 例题

已知电路的有用功率为 $P$ ，电流表和电压表的读数为 $I$ 和 $U$ ，电容大小为 $C$ ，电压源的频率为 $f$

求解电路的功率因数 $\cos\varphi$ 以及电阻 $R$ 和电感 $L$ 的具体值是多少

解法一：
$\omega = 2\pi f$
电容电流大小：
$I_C = \omega C U$
设 R 与 L 支路的电流为 $I_L$ ，则：
有功功率：
$P = U I_L \cos\varphi_L = U I \cos\varphi$ $\cos\varphi=\frac{P}{UI} \quad \Rightarrow \quad \arccos\varphi =\pm \varphi$
总电流平方关系（由相量合成）：
$I^2 = (I_L \cos\varphi_L)^2 + (I_C - I_L \sin\varphi_L)^2$
根据 代数学基本定理 ，我们很容易知道有两组解
代入已知条件：
$I_L \cos\varphi_L = \frac{P}{U}$
不妨令
$I_L \sin\varphi_L = s,\quad I_L \cos\varphi_L = a$
可以推出：
$(I_C - s)^2 = \text{const}$
求支路功率因数角：
$\varphi_{L1} = \arctan\frac{s_1}{a}$ $\varphi_{L2} = \arctan\frac{s_2}{a}$
电阻与电感参数计算：
$P = I_L^2 R \quad \Rightarrow \quad R = \frac{P}{I_L^2}$ $\frac{U}{I_L} = Z_L \quad \Rightarrow \quad Z_L \sin\varphi_L = \omega L$ $X_L = \omega L = Z_L \sin\varphi_L$
代数即可.
解法二：使用相量法
电容电流大小：
$I_C = \omega C U$
且电流方向：
$\cos\varphi=\frac{P}{UI} \quad \Rightarrow \quad \arccos\varphi =\pm \varphi$
所以我们可以设定主干路电流为
$\dot{I}=I\angle \pm \varphi$
电容支路电流为：
$\dot{I}_C = \omega C U\angle 90^\circ$
然后我们可以根据功率：
$P=|\dot{I}-\dot{I}_C|^2R$
求出电阻阻值,
进而求出电感.

Part 2 磁耦合元件

· 互感

一个线圈电流所产生的磁通会穿过邻近的另一个线圈，称为磁耦合现象

磁耦合一般可以用于能量传输和信号传递（无线充电）

互感磁链：

$\Phi_{11}$ ：线圈1的自感磁通
$\Phi_{22}$ ：线圈2的自感磁通
$\Phi_{21}$ ：线圈1对线圈2的互感磁通
$\Phi_{12}$ ：线圈2对线圈1的互感磁通

自感磁链：

\begin{cases} \Psi_{11} = n_1 \Phi_{11} = L_1 i_1 \\ \Psi_{22} = n_2 \Phi_{22} = L_2 i_2 \end{cases}

互感磁链：

\begin{cases} \Psi_{21} = n_2 \Phi_{21} = M_{21} i_1 \\ \Psi_{12} = n_1 \Phi_{12} = M_{12} i_2 \end{cases}

$L_1$ 、 $L_2$ 称为自感系数，简称自感
$M_{12}$ 、 $M_{21}$ 称为互感系数，简称互感，单位：H
$M_{12} = M_{21} = M$ ，表示一个线圈对临近线圈产生感生电压的能力。

定义耦合系数

k = \sqrt{\frac{\Psi_{21} \Psi_{12}}{\Psi_{11} \Psi_{22}}} = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}\quad 0 \leq k \leq 1

互感磁链相对自感磁链越大，则 $k$ 越大，因此 $k$ 的大小代表了线圈磁耦合的紧密程度。

$k = 1$ ，称为全耦合。

由耦合系数算互感：

M = k \sqrt{L_1 L_2}

自感与互感磁链方向相同

\begin{cases} \Psi_1 = \Psi_{11} + \Psi_{12} = L_1 i_1 + M i_2 \\ \Psi_2 = \Psi_{21} + \Psi_{22} = M i_1 + L_2 i_2 \end{cases}

自感与互感磁链方向相反

\begin{cases} \Psi_1 = \Psi_{11} - \Psi_{12} = L_1 i_1 - M i_2 \\ \Psi_2 = -\Psi_{21} + \Psi_{22} = -M i_1 + L_2 i_2 \end{cases}

问题： 如果不画出线圈绕向，如何知道自感磁链与互感磁链的方向关系？

规定： 当两个线圈中的自感磁通和互感磁通方向相同时，流入（或流出）电流的两个端子称为同名端，标记*。

u_1 = -e_1 = \frac{d\Psi_1}{dt} = L_1 \frac{di_1}{dt} \pm M \frac{di_2}{dt} \\ u_2 = -e_2 = \frac{d\Psi_2}{dt} = \pm M \frac{di_1}{dt} + L_2 \frac{di_2}{dt}

互感电压，可正可负，取决于 $i_2$ 的方向和同名端

自感电压，若 $u_2$ 和 $i_2$ 为关联方向，则为正

相量表示：

u_1 = L_1 \frac{di_1}{dt} \pm M \frac{di_2}{dt} \\ u_2 = \pm M \frac{di_1}{dt} + L_2 \frac{di_2}{dt}

转换为相量表示：

\dot{U}_1 = j\omega L_1 \dot{I}_1 \pm j\omega M \dot{I}_2 \\ \dot{U}_2 = \pm j\omega M \dot{I}_1 + j\omega L_2 \dot{I}_2

· 耦合元件化简

(1). 串联等效化简.

正串：
列KVL方程得：
$u = u_1 + u_2 = \left( L_1 \frac{di}{dt} + M \frac{di}{dt} \right) + \left( M \frac{di}{dt} + L_2 \frac{di}{dt} \right)$ $= \left( L_1 + L_2 + 2M \right) \frac{di}{dt} = L_{eq} \frac{di}{dt}$
等效电感
$L_{eq} = L_1 + L_2 + 2M \geq L_1 + L_2$
反串：
列KVL方程得：
$u = u_1 + u_2 = \left( L_1 \frac{di}{dt} - M \frac{di}{dt} \right) + \left( L_2 \frac{di}{dt} - M \frac{di}{dt} \right)$ $= \left( L_1 + L_2 - 2M \right) \frac{di}{dt}$
等效电感
$L_{eq} = L_1 + L_2 - 2M$

(2). 并联等效化简.

同名端并联：
异名端并联：

(3). T形等效.

· 空心变压器

空心变压器的两个耦合线圈分别称为一次侧线圈和二次侧线圈，当一次侧线圈连接电源（或信号源），二次侧线圈连接负载时，电能（或信号）从一次侧线圈通过磁场耦合方式传递到二次侧线圈。

空心变压器中我们要做的假设很简单——为了便于计算，我们需要将耦合元件两侧的电路等效到一侧，所以我们需要引入反射阻抗的概念使得计算相对更为便捷和直接。

一次侧等效：
一次侧、二次侧电压方程
$\begin{cases} j\omega L_1 \dot{I}_1 + j\omega M \dot{I}_2 = \dot{U}_1 \\ j\omega M \dot{I}_1 + j\omega L_2 \dot{I}_2 + Z_2 \dot{I}_2 = 0 \end{cases}$
一次侧看进去的等效阻抗
$Z_{eq} = \frac{\dot{U}_1}{\dot{I}_1} = \frac{(\omega M)^2}{Z_2 + j\omega L_2} + j\omega L_1 = Z_{r1} + j\omega L_1$
二次侧对一次侧的反射阻抗
$Z_{r1} = \frac{(\omega M)^2}{Z_2 + j\omega L_2} = R_{r1} + jX_{r1} = \frac{(\omega M)^2}{Z_2}$
二次侧等效：
一次侧电流
$\dot{I}_1 = \frac{\dot{U}_s}{R_1 + j\omega L_1}$
开路电压
$\dot{U}_{oc} = j\omega M \dot{I}_1 = \frac{j\omega M}{R_1 + j\omega L_1} \dot{U}_s$
等效阻抗
$Z_{eq} = \frac{(\omega M)^2}{R_1 + j\omega L_1} + j\omega L_2 = Z_{r2} + j\omega L_2$
一次侧对二次侧的反射阻抗
$Z_{r2} = \frac{(\omega M)^2}{Z_1}$

· 理想变压器

我们以常见变压器为例：

假设一：全耦合，耦合系数 $k = 1$ 。
$\begin{cases} \psi_1 = N_1 \Phi \\ \psi_2 = N_2 \Phi \end{cases}$ $\frac{\psi_1}{\psi_2} = \frac{N_1}{N_2} = n$
磁链之比，等于匝数之比。
$\frac{e_1}{e_2} = \frac{-\frac{d\psi_1}{dt}}{-\frac{d\psi_2}{dt}} = \frac{N_1}{N_2} = n$
感应电动势之比，等于匝数之比。内部表现。
假设二：忽略线圈电阻
$\begin{cases} u_1 = -e_1 = \frac{d\psi_1}{dt} = N_1 \frac{d\Phi}{dt} \\ u_2 = -e_2 = \frac{d\psi_2}{dt} = N_2 \frac{d\Phi}{dt} \end{cases}$ $\frac{u_1}{u_2} = \frac{N_1}{N_2} = n$
电压之比，等于匝数之比。
假设三：不计涡流损耗
安培环路定律
$\oint_{l} \vec{H} \cdot d\vec{l} = N_1 i_1 + N_2 i_2$
不含涡流，只含线圈电流
假设四：磁导率 $\mu$ 为无限大
$\oint_{l} \vec{H} \cdot d\vec{l} = \oint_{l} \frac{\vec{B}}{\mu} d\vec{l} = \oint_{l} 0 d\vec{l} = 0$ $N_1 i_1 + N_2 i_2 = 0$ $\frac{i_1}{i_2} = -\frac{N_2}{N_1} = -\frac{1}{n}$
或者不计损耗且磁导率为无限大，则磁场能量密度
$W_{m0} = 0.5 \vec{B} \cdot \vec{H} = 0$
不耗能、不储能，变压器的瞬时功率为：
$p = u_1 i_1 + u_2 i_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{i_1}{i_2} = -\frac{u_2}{u_1} = -\frac{1}{n}$