Chapter 3 时域分析

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2025-09-17

Part 1 一阶电路

· 动态电路

前面两部分主要讲了两个内容：

(1). 电路中的电压和电流不随时间变化——直流稳态
(2). 电路中的电压和电流随时间按周期规律变化——周期稳态

稳态是相对的，电路不会永远处于稳态

我们以该电路为例，当我们闭上开关后电容会进行充电，尽管我们认为电路为断路，但是电容的充电过程不会在一瞬间完成——这需要时间，而时域分析则是研究这一个暂态过程。

换路：开关突然动作、参数突然变动、激励突然变动等突发性事件
暂态过程（过渡过程）：从一个稳态到另一个稳态的变化过程。

同样，不难想到，换路和含储能元件是暂态电路的必要条件

为什么暂态电路必须含储能元件？客观事实是与能量有关的现象都是连续变化的；状态变量为直接决定元件储能多少的变量，包括：电容电压（电荷）、电感电流（磁链）

电容储能:
$W_e(t) = \frac{1}{2C} q^2(t) = \frac{1}{2} C u_C^2(t)$
电感储能:
$W_m(t) = \frac{1}{2L} \psi^2(t) = \frac{1}{2} L i_L^2(t)$
换路后 $u_C$ 和 $i_L$ 连续变化，不能突变，电路经历暂态过程。

那如何描述这种暂态电路？

电路方程：
$u_R + u_C = Ri + u_C = U_s$
线性微分方程：
$RC \frac{du_C}{dt} + u_C = U_s$ $u_C(0_+) = U_0 = \lim_{t \to 0_+} u_C(t)$

以时间为参变量，求解微分方程，称为时域分析法

求一阶微分方程的解需要一个初始条件，即方程中待求变量在换路后瞬间的初始值 (initial value)。若电路在 $ t = 0 $ 时发生换路，则 $ u(0_+) $ 、 $ i(0_+) $ 表示电路变量的初始值。换路之后，电量将从其初始值开始变动。

由数学知识知，二阶常微分方程的解应该是一个特解加上齐次微分方程的通解。这里的特解用动态过程结束后电容的稳态电压，理论上达到稳态需要无穷大的时间，所以，常用 $ u_c(\infty) $ 表示。达到稳态时 $\frac{du_C}{dt} = 0$ ，所以 $u_c(\infty) = U_s$ ，针对方程

u_C + RC \frac{du_C}{dt} = 0

由数学知识知，通解为

u_c(t) = Ke^{pt}

由其特征方程 $1 + RCp = 0$ 求出 $p$ ，为

p = -\frac{1}{RC}

系数 $K$ 由电路的初始条件确定，

u_c(t) = U_s + Ke^{-\frac{t}{RC}}

在 $t = 0_+$ 时刻 $u_c(0_+) = U_s + K$ ，即有 $K = u_c(0_+) - U_s$ ，代入式 (11-3)，并令 $\tau = RC$ ，动态电路 $u_c(t)$ 的解为

u_c(t) = U_s + (U_0 - U_s)e^{-\frac{t}{\tau}}, \quad t \geq 0

电路响应是由独立电源和动态元件电容的初始能量共同作用引起的，称为全响应 (complete response)。

若 $U_0 = 0$ ，即表示电路中动态元件的初始能量为零，仅由独立电源引起响应，该响应称为零状态响应 (zero-state response)，即动态元件的充电过程， $u_c(t)$ 的解为

u_c(t) = U_s(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}), \quad t \geq 0

若动态电路中电源 $U_s = 0$ ，仅由动态元件电容的初始储能 $(u_c(0_+) = U_0)$ 产生响应，该响应称为零输入响应 (zero-input response)，即动态元件的放电过程， $u_c(t)$ 的解为

u_c(t) = U_0e^{-\frac{t}{\tau}}, \quad t \geq 0

可以验证，含有一个储能元件的动态电路中的任意电路变量，其微分方程均具有相同的特征方程。所以可以写成通用的函数表达式，即

f(t) = f(\infty) + [f(0_+) - f(\infty)]e^{-\frac{t}{\tau}}, \quad t \geq 0

式中，只要确定 $f(\infty)$ 、 $f(0_+)$ 和 $\tau$ 三个要素，一阶动态方程的解就确定了，没必要通过列写微分方程求解，这种求解一阶动态电路的工程方法叫作一阶动态电路的三要素分析法。

· 基础分析

所谓一阶电路的三要素分析法，就是求解一阶微分方程与电路基本理论相结合而形成的一种电路分析的工程方法，即只要确定出 $f(\infty)$ 、 $f(0_+)$ 和 $\tau$ 三个要素，即可定量计算一阶电路的动态过程.

电容和电感是储能元件，它们储存的能量分别与电压的平方和电流的平方成正比，因此电容电压和电感电流代表了电路的储能状态，故称它们为电路的状态变量，其余电压和电流称为非状态变量。初始值是指所求电路变量（电压或电流）及其 1，2，…，n-1 阶导数在 $t = 0_+$ 时刻的值，通常称电容电压 $u_c(0_+)$ 、电感电流 $i_L(0_+)$ 为独立初始值，即状态变量的初始值；其余的初始值为非独立初始值.

独立初始值的确定：

线性电容 C 和电感 L 的伏安关系的积分区间取为 $[0_-, 0_+]$
$u_C(0_+) = u_C(0_-) + \frac{1}{C} \int_{0^-}^{0^+} i_C d\xi$ $i_L(0_+) = i_L(0_-) + \frac{1}{L} \int_{0^-}^{0^+} u_L d\xi$
若在换路中，即 0 到 0_+ 的瞬间，电流 $i_c$ 和电压 $u_L$ 是有限值，则式 (11-10) 中的第二项为零，此时电容上电压和电感上电流不发生跃变，即
$u_C(0_+)=u_C(0_-)\\ i_L(0_+)=i_L(0_-)$
在电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路瞬间电容电压和电感电流不能跃变。上述关系又称为换路定律。
换路定律同时也阐明了独立初始值的求法，即用换路前的电路求得 $u_c(0_-)$ 或 $i_L(0_-)$ ，根据换路定则分别得到独立初始值 $u_c(0_+)$ 或 $i_L(0_+)$

非独立初始值的确定:

非独立初始值要借助 $0_+$ 时刻的等效电路来确定，而 $0_+$ 时刻的等效电路是指在 $0_+$ 时刻的电路中，将电容用电压等于 $u_c(0_+)$ 的电压源替代，电压源的方向与 $u_c$ 相同；
将电感用电流等于 $i_L(0_+)$ 的电流源替代，电流源的方向与 $i_L(0_+)$ 相同，若电路中还有受控元件；则用 $\tau = 0$ 代入。0 等效电路是线性电阻电路，利用第 1~4 章介绍的电路分析方法即可求出各非独立初始值。

换路定律的能量变化分析：

电容储能：
$W_e(t) = \frac{1}{2C} q^2(t) = \frac{1}{2} C u_C^2(t)$
电感储能：
$W_m(t) = \frac{1}{2L} \psi^2(t) = \frac{1}{2} L i_L^2(t)$
从能量连续变化的过程看，在换路时刻：
$\lim_{t \to 0_+} W_e(t) = \lim_{t \to 0_-} W_e(t)$ $\lim_{t \to 0_+} W_m(t) = \lim_{t \to 0_-} W_m(t)$ $\Rightarrow W_e(0_+) = W_e(0_-), \quad W_m(0_+) = W_m(0_-)$
能够推出：
$q(0_+) = q(0_-),\quad \psi(0_+) = \psi(0_-)$ $u_C(0_+) = u_C(0_-),\quad i_L(0_+) = i_L(0_-)$
在能量渐变条件下，在换路时刻，电容电荷和电压是连续变化的，电感磁链和电流是连续变化的.

时间常数 $\tau$ ：

电压 $u_c$ 的衰减速率取决于 $\tau$ 的大小，称 $\tau$ 为 RC 电路的时间常数 (time constant)，它具有时间的量纲。当 R 的单位为 $\Omega$ ，C 的单位为 F 时 $\tau$ 的单位为秒 (s)。
$\tau = RC$
由对偶原理可得出 RL 电路的时间常数 $\tau$ ，它同样也具有时间的量纲。当 R 的单位为 $\Omega$ ，L 的单位为 H 时， $\tau$ 的单位为秒 (s)。
$\tau = \frac{L}{R}$
R 为从储能元件电感或电容看进去无源单口网络的等效电阻，即从储能元件两端看进去的戴维南等效电阻。

稳态值 $f(\infty)$ ：

$f(\infty)$ 是指动态过程达到新的稳态时电压或电流的值。在直流电源激励的一阶电路中，稳态电路是指将电容视为开路或电感视为短路的直流电阻电路，所以，求任一 $f(\infty)$ 或 $i(\infty)$ 都是采用直流电路求解电压和电流的分析方法，对我们来说不是新内容。
在直流激励下，当电路达到新的稳态时，电压或电流的稳态值也是一个直流量，是个常数
$f(t) = f(\infty) + [f(0_+) - f(\infty)]e^{-\frac{t}{\tau}}, \quad t \geq 0$ $= f(\infty)[1 - e^{-\frac{t}{\tau}}] + f(0_+)e^{-\frac{t}{\tau}}, \quad t \geq 0$
上式是一阶电路全响应的两种表达式。 $f(\infty)$ 叫稳态分量或强制分量， $f(t)$ 最终逼近它；
$[f(0_+) - f(\infty)]e^{-\frac{t}{\tau}}$
叫暂态分量或自由分量，经过 $5\tau$ 后可以认为衰减为零。若 $f(t)$ 是 $u_c(t)$ 或 $i_L(t)$ ，
$f(\infty)[1 - e^{-\frac{t}{\tau}}]$
叫零状态响应；
$f(0_+)e^{-\frac{t}{\tau}}$
叫零输入响应。