Lesson 8 差分放大电路

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2025-11-04

· 差分信号

单端信号：信号线与地线，输入信号受到干扰，输出信号受到干扰；

双端信号：正信号线与负信号线，假设正负输入信号受到相同的干扰，则正负输出信号受到相同的干扰，正负输出差值无干扰；

这里三个电路图分别表示基础电路图，纯差分信号内部等效，考虑共模信号情况.

\begin{cases} u_{\text{id}} = u_{\text{I+}} - u_{\text{I-}} \\ u_{\text{Ic}} = \frac{u_{\text{I+}} + u_{\text{I-}}}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_{\text{I+}} = u_{\text{Ic}} + \frac{u_{\text{id}}}{2} \\ u_{\text{I-}} = u_{\text{Ic}} - \frac{u_{\text{id}}}{2} \end{cases}

差模信号：两条信号线的信号差值；

u_{\text{id}} = u_{\text{I+}} - u_{\text{I-}}

共模信号：两条信号线共有的信号，即两条信号线的信号均值；

u_{\text{Ic}} = \frac{u_{\text{I+}} + u_{\text{I-}}}{2}

任何一个双端信号都可以分解为差模信号与共模信号——差模信号为两个信号的差值，共模信号为两个信号的均值；

对于大多数的电路，有用的信号、需要放大的信号是差模信号，而由于外界例如温度、电磁场等引起的干扰是共模信号；放大电路的设计目标是对有用的信号即差模信号进行放大，而对干扰信号即共模信号进行衰减甚至消除；

在笔记中，统一双端信号下标分别为 1 和 2，差模信号与共模信号用 $\Delta u_{\text{Id}}$ 和 $\Delta u_{\text{Ic}}$ 表示， $\Delta$ 代表小信号、动态量（变化量）；

\begin{cases} \Delta u_{\text{Id}} = u_{11} - u_{12} \\ \Delta u_{\text{Ic}} = \frac{1}{2}(u_{11} + u_{12}) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_{11} = \Delta u_{\text{Ic}} + \frac{\Delta u_{\text{Id}}}{2} \\ u_{12} = \Delta u_{\text{Ic}} - \frac{\Delta u_{\text{Id}}}{2} \end{cases}

· 长尾式差分放大电路

两个完全对称的静态工作点稳定式共射放大电路，假设放大倍数都是 $A$ ：

u_{o1} = Au_{i1}, u_{o2} = Au_{i2}

u_o = u_{o1} - u_{o2} = A(u_{i1} - u_{i2}) = A\Delta u_{\text{id}}

虽然这个电路消除了共模干扰，即输出不含有共模信号成分，但是有以下缺点：
两个电路分别都带有发射极电阻 $R_e$ ，因此尽管消除了共模干扰，差模信号放大倍数大幅度减小甚至是衰减的；
共模信号与差模信号回路并没有完全分离，事实上放大电路对共模信号也产生了放大作用，只是由于输出方式为双端输出取电位差而抵消了，这是输出作减法的效果而非电路自身对共模信号的抑制；

所以我们设计电路的目标：差模信号回路与共模信号回路的分离

所以产生了理想长尾差分放大电路：

我们假设参数理想对称：

R_{b1} = R_{b2} = R_b

R_{c1} = R_{c2} = R_c

\beta_1 = \beta_2 = \beta

并给出如下等效：

\begin{cases} u_{I1} = \Delta u_{\text{Ic}} + \frac{\Delta u_{\text{Id}}}{2} \\ u_{I2} = \Delta u_{\text{Ic}} - \frac{\Delta u_{\text{Id}}}{2} \end{cases}

可以推出电路：

静态分析：

画出直流通路：
假设两侧参数完全对称：
电阻 $R_e$ 上流过的电流是 2 倍的发射极电流！
$0 - (-V_{EE}) = I_{BQ}R_b + U_{BEQ} + 2I_{EQ}R_e$ $I_{BQ} : I_{CQ} : I_{EQ} = 1 : \beta : 1 + \beta$ $U_{CQ} = V_{CC} - R_cI_{CQ}$ $U_o = U_{C1Q} - U_{C2Q} = 0$
计算过程也可以作以下近似，忽略基极电流即忽略 $ R_b $ 上压降：
$I_{BQ} \approx 0, I_{CQ} \approx I_{EQ}$

共模信号输入：

尝试先不画出交流等效电路（b-e之间为小电阻 $r_{be}$ ）：
$\Delta u_{\text{Ic}} = \Delta i_b R_b + \Delta i_b r_{be} + 2 \Delta i_c R_c = \Delta i_b [R_b + r_{be} + 2(1+\beta)R_c]$ $\Delta i_c = \beta \Delta i_b$ $\Delta u_{o1} = -\Delta i_c R_c \quad \Delta u_{o2} = -\Delta i_c R_c$ $\Delta u_o = \Delta u_{o1} - \Delta u_{o2} = 0$

共模信号的等效电路：

$\Delta u_{\text{Ic}} = \Delta i_b R_b + \Delta i_b r_{\text{be}} + 2 \Delta i_c R_c = \Delta i_b [R_b + r_{\text{be}} + 2(1+\beta)R_c]$ $\Delta i_c = \beta \Delta i_b$ $\Delta u_{o1} = \Delta u_{o2} = -\Delta i_c R_c$ $\frac{\Delta u_{o1}}{\Delta u_{\text{Ic}}} = \frac{\Delta u_{o2}}{\Delta u_{\text{Ic}}} = \frac{-\beta R_c}{R_b + r_{\text{be}} + 2(1+\beta)R_e}$ $\Delta u_o = \Delta u_{o1} - \Delta u_{o2} = 0$
即使输出不采用双端输出方式（即不作减法），而采用单端输出方式（即输出接在 $u_{o1}$ 或 $u_{o2}$ 与地之间），
共模信号的小信号等效电路是带有发射极电阻的共射类放大电路，放大电路也会对共模信号进行衰减；
而且根据共模信号通路，发射极与地之间相当于是两倍的实际发射极电阻，衰减效果会更明显；

差模信号输入：

两侧的信号源大小相同，极性相反（相位相反）；
当左侧信号源电压增量引起基极电流增量进而引起发射极的电流增量时，右侧会同时对应大小相同的减量：即左侧的电流增加多少，右侧的电流就减少多少，流过 $R_e$ 的总电流保持不变，电流通路如图所示；
流过 $R_e$ 的总电流保持不变，发射极电位也保持不变，对于电压不变点，动态分析可以作短路处理；

差模信号的等效电路：

如果定义 $\Delta i_{b1}$ 方向为从正电源流向地， $\Delta i_{b2}$ 方向为从地流向负电源，则 $\Delta i_{b1} = \Delta i_{b2}$ ；
因此，即使是单端输出，两个等效电路回路都是无发射极电阻具有一定放大能力的共射放大电路，T1 管为反相放大，T2 管为同相放大，如果是双端输出则两个极性相反的电位作减法，相当于增大2倍；
$\frac{\Delta u_{o1}}{\Delta u_{\text{Id}}} = \frac{-\beta R_c}{R_b + r_{be}}, \quad \frac{\Delta u_{o2}}{\Delta u_{\text{id}}} = \frac{\beta R_c}{R_b + r_{be}}$ $\Delta (u_{o1} - u_{o2}) = \frac{-\beta R_c}{R_b + r_{be}} \Delta u_{\text{Id}}$

· 差分放大电路分析方法

长尾式差分放大电路最巧妙之处在于其实现了共模信号与差模信号回路的分离；

对于共模信号，每个晶体管的动态等效电路都是具有发射极电阻即具有反馈效应的共射放大电路，在作减法之前每个晶体管的输出就已经实现了对共模信号的衰减；由于电路的对称性，两个输出电位极性（相位）相同，若采用双端输出时相减为零；

对于差模信号，两侧的内部差模信号源大小相同、极性相反，发射极电位保持不变，每个晶体管的动态等效电路都是没有发射极电阻即发射极直接接地的共射放大电路，保持了对差模信号的放大能力，两个输出电位极性（相位）相反，采用双端输出时相减为二倍的关系；

根据前面的分析思路，差分放大电路的分析方法相对于基本放大电路，可以分解成三部分：

①静态工作点求解——这里的静态工作点不特指直流量，而是代表外部电压源置零时的状态，即共模输入信号和差模输入信号均为零（短路）；
②共模信号回路求解——只考虑共模输入信号，将电路中的电位不变点置零短路、将差模信号源短路的回路；对应的动态等效电路称为共模等效电路；
③差模信号回路求解——只考虑差模输入信号，将电路中的电位不变点置零短路，将共模信号源短路的回路；对应的动态等效电路称为差模等效电路；

事实上，后面经过总结与练习可以发现，对于一些情况并不需要严格将三个状态全部分析，例如参数完全对称情况下的双端输出、恒流源代替长尾电阻时无需考虑共模信号回路；

动态参数：

差模电压放大倍数 $A_d$ ：
$A_d = \frac{\Delta u_{\text{od}}}{\Delta u_{\text{id}}}$
$\Delta u_{\text{od}}$ 指只有差模信号输入时的输出电压变化量；
共模电压放大倍数 $A_c$ ：
$A_c = \frac{\Delta u_{\text{oc}}}{\Delta u_{\text{Ic}}}$
$\Delta u_{\text{oc}}$ 指只有共模信号输入时的输出电压变化量；
差模输入电阻 $R_{\text{id}}$ ：
$R_{\text{id}} = \frac{\Delta u_{\text{id}}}{\Delta i_{\text{id}}}$
$\Delta i_{\text{id}}$ 指只有差模信号输入时的输入电流变化量；
共模输入电阻 $R_{\text{ic}}$ ：
$R_{\text{ic}} = \frac{\Delta u_{\text{Ic}}}{\Delta i_{\text{Ic}}}$
$\Delta i_{\text{Ic}}$ 指只有差模信号输入时的输入电流变化量；
输出电阻 $R_o$ ：
$R_o = \frac{\Delta u_o}{\Delta i_o}$
独立源置零输出电阻只与电路的输出方式有关；
共模抑制比 $K_{CMR}$ ：
$K_{CMR} = \left| \frac{A_d}{A_c} \right|$
表征差分放大电路抑制共模信号放大差模信号的性能；

· 输入输出方式

前面的分析只是对电路的功能和特点进行了分析，下面考虑当带有负载时差分电路的分析过程，即负载对静态工作点、共模信号输入时、差模信号输入时的影响；

负载的接法即对应着电路的输出方式：

双端输出 —— “双端负载”，接在两个晶体管的输出端口之间；
单端输出 —— “单端负载”，接在其中一个晶体管的输出端口与地之间；

差分放大电路除了普通的双端输入，也可以单端输入；所谓的单端输入本质上与双端输入并没有区别，只是两侧的电位一个是 $u_I$ ，一个是 0；

因此单端输入相当于同时输入共模信号与差模信号：

\begin{cases} u_{I1} = u_I \\ u_{I2} = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \Delta u_{\text{Id}} = u_1 \\ \Delta u_{\text{Ic}} = \frac{u_I}{2} \end{cases}

根据输入方式和输出方式的不同，差分放大电路可以分为 “双入双出”、“双入单出”、“单入双出”、“单入单出” 四种接法；其实实质上只有输出方式的不同；

关于差分放大电路的输入方式，本教材分为双端输入和单端输入；

教材中的双端输入默认指的是对称式双端输入，两个输入端子大小相同极性相反，即未给定两个输入端口具体电位大小或者只在两个端口之间画了一个电压源时，默认无共模信号输入，纯差模输入；

单端输入即其中一个端口接地，一般都是右侧的输入接地，即 $u_{I2} = 0$ ；既有差模输入又有共模输入；

无论是对称式双端输入（ $u_{i1} + u_{i2} = 0$ ）、还是非对称式双端输入（ $u_{I1} + u_{I2} \neq 0$ ）、还是单端输入（ $u_{I2} = 0$ ），差模信号输入量和共模信号输入量都符合下式：

\begin{cases} \Delta u_{\text{Id}} = u_{I1} - u_{I2} \\ \Delta u_{\text{Ic}} = \frac{1}{2}(u_{I1} + u_{I2}) \end{cases}

· 双端负载差分放大电路

静态工作点：由于两个集电极电位相等，即 $U_{o1} = U_{o2}$ ，所以接入负载后负载中无电流流过；静态工作点与空载时相同；

共模信号输入：两个晶体管集电极电位变化量大小相同，相位相同，接入负载并无影响，共模信号输出响应仍为零；因此共模电压放大倍数 $A_c$ 为零；共模抑制比为无穷大；

差模信号输入：

双端负载两侧电位变化大小相同，相位相反，因此负载的中点电位保持不变，电位不变点在动态等效电路中即可短路处理；
$A_d = \frac{\Delta u_{od}}{\Delta u_{id}} = \frac{-\beta \Delta i_b (R_c // \frac{R_L}{2}) \times 2}{2 \Delta i_b (R_b + r_{be})} = \frac{-\beta (R_c // \frac{R_L}{2})}{(R_b + r_{be})}$ $R_i = \frac{\Delta u_{Id}}{\Delta i_{Id}} = \frac{\Delta u_{Id}}{\Delta i_b} = 2(R_b + r_{be})$ $R_o = \frac{\Delta u_o}{\Delta i_o} \bigg|_{\text{const=0}} = 2R_c$
注意此时为双端输出！端口位置要找对！

警告

注意：这里的 $R_i$ 实际上是 $R_{id}$ ，不要求掌握共模输入电阻，因此差分放大电路的输入电阻默认为差模等效电路的输入电阻

· 单端负载差分放大电路

静态工作点：

此时输入回路方程不变（负载只会影响输出回路的方程），因此发射极电位、发射极电流以及集电极电流均与空载时相同；对输出回路，T1 的集电极电位应该用戴维南等效定理求解，T2 的集电极电位没有变化；
$U_{C1Q} = U_{C1Q} = V'_{CC} - R'_c I_{CQ} \quad , \quad V'_{CC} = V_{CC} \frac{R_L}{R_c + R_L} \quad , \quad R'_c = (R_c // R_L)$ $U_{C2Q} = V_{CC} - R_c I_{CQ}$

共模等效电路：

单端输出在 T1 的集电极，因此求解共模电压放大倍数没有必要画出 T2 的共模等效电路（事实上 T2 的共模动态等效电路与 T1 只相差一个负载）
$A_c = \frac{\Delta u_{oc}}{\Delta u_{Ic}} = \frac{-\beta (R_c // R_L)}{R_b + r_{be} + 2(1+\beta)R_e}$
可见单端输出时能对共模信号的干扰大幅度衰减（已经优于普通的放大电路），但是并未完全消除；

差模等效电路：

$A_d = \frac{\Delta u_{od}}{\Delta u_{id}} = \frac{-\beta \Delta i_b (R_c // R_L)}{2 \Delta i_b (R_b + r_{be})} = \frac{-\beta (R_c // R_L)}{2(R_b + r_{be})}$ $R_i = \frac{\Delta u_{id}}{\Delta i_{id}} = \frac{\Delta u_{id}}{\Delta i_b} = 2(R_b + r_{be})$ $R_o = \frac{\Delta u_o}{\Delta i_o} \bigg|_{\text{const=0}} = R_c$ $K_{CMR} = \left| \frac{A_d}{A_c} \right| = \frac{R_b + r_{be} + 2(1+\beta)R_e}{2(R_b + r_{be})}$
思考（拓展）：共模输入电阻 $ R_{ic} $ 等于多少？（并联）
$R_{ic} = \frac{\Delta u_{Ic}}{\Delta i_{Ic}} = \frac{R_b + r_{be} + 2(1+\beta)R_e}{2}$

· 差分放大电路的优化

u_o = U_o + A_c \Delta u_{Ic} + A_d \Delta u_{Id}

$U_o$ 为静态， $A_c \Delta u_{Ic}$ 为共模， $A_d \Delta u_{Id}$ 为差模

输入侧决定了共模输入信号、差模输入信号的大小：

\begin{cases} \Delta u_{Id} = u_{I1} - u_{I2} \\ \Delta u_{Ic} = \frac{1}{2}(u_{I1} + u_{I2}) \end{cases}

输出侧决定了 $A_d$ 与 $A_c$ 的大小；

在参数理想对称的前提下：

双端输出，共模电压放大倍数为 0，差模电压放大倍数相当于单管共射放大电路的电压放大倍数（负载为 $ R_L / 2 $ ），输出电阻为两倍的集电极电阻；

单端输出，共模电压放大倍数不为 0，差模电压放大倍数相当于单管共射放大电路电压放大倍数的一半，输出电阻为一个集电极电阻；

输出方式不影响输入电阻（差模等效电路的输入电阻）（因为输出方式不影响输入回路的电路方程），不同输出方式的输入电阻均为 $2(R_b + r_{be})$ ；

根据我们对“抑制共模、放大差模”的性能要求，差分放大电路最重要的性能指标是共模抑制比 $K_{CMR}$ ，共模抑制比越大越好，理想的共模抑制比应达到无穷大；在前面的分析中，双端输出时共模抑制比为无穷大，然而：

实际应用场合并不完全都是双端输出，例如集成运放电路内部大多是单端输出；
双端输出的共模电压放大倍数为零的机制是两个输出作减法，而重要的假设与前提是电路参数理想对称；而且，双端负载情况下实际上 $u_{o1}$ 和 $u_{o2}$ 对共模信号的电压放大倍数分别都相当于单端输出时的共模电压放大倍数，因此，想要提高共模抑制比，最重要的是要提高电路本身对共模信号的抑制能力，最根本的改善方法还是从共模信号回路入手，而不能仅靠减法实现；

基于我们“抑制共模、放大差模”的思想，我们的优化目标是提高对共模信号的抑制能力同时尽量不影响差模放大能力与静态工作点；差分放大电路的特点是共模信号回路通过发射极反馈电阻而差模信号回路不通过发射极反馈电阻，因此，最原始的想法便是增大发射极电阻 $R_e$ ； $R_e$ 越大，每个晶体管对共模信号输入的衰减越明显，这样即使单端输出也能实现共模电压放大倍数足够小，理想的情况是 $R_e$ 无穷大；

而 $R_e$ 的无穷大会影响静态工作点的设置，由于电源电压与发射极电流（集电极电流）的限制，不能单纯地无限增加发射极电阻阻值；理想的情况是保持静态工作点设置的要求同时对于共模信号回路其等效电阻无穷大，为此，恒流源能够满足此条件；

带有恒流源差分放大电路：

如图所示，用一个静态工作点稳定放大电路代替传统的电阻 $R_e$ ，用固定的偏置电阻使该放大电路的基极电流确定，其集电极电流即能保持恒定；
静态时，通过设定 $ R_1 $ 、 $ R_2 $ 、 $ R_3 $ 的阻值可以设定 T3 的集电极电流大小，T3 的集电极电流等于 2 倍的差分放大电路中两个晶体管的发射极电流，同时 T3 的管压降也可以确定差分放大电路两个晶体管的发射极电位，因此建立了差分放大电路合适的静态工作点；静态时 T3 的恒流源电路相当于一个普通的电阻；
恒流源部分动态分析：
KVL：
$r_{be} \Delta i_b + (R_1 // R_2) \Delta i_b + R_3 (1+\beta) \Delta i_b = 0$ $\Delta i_b = 0 \ , \ \Delta i = 0 \ , \ R_o = \frac{\Delta u}{\Delta i} = \infty$
对外相当于一个无穷大的动态电阻

根据前面的分析，这个恒流源的特点是静态时等效为一个相对较小的静态电阻，能够设置合适的静态工作点；而动态时等效为一个阻值近似无穷大的动态电阻；

由于共模输入时共模信号是通过这个恒流源所在的支路的，因此这个无穷大的动态电阻的负反馈效应也近似无穷大，每个晶体管对共模信号的放大倍数均为零，因此无论是单端输出还是双端输出共模电压放大倍数 $ A_c $ 均为 0；提高了共模抑制能力；

由于差模输入时差模信号根本不通过这个恒流源所在的支路，发射极为电位不变点，差模等效电路直接短路处理，因此这个恒流源不会影响差模等效电路的参数，即不会影响电路的差模放大能力；

根据我们前面的分析，差分放大电路之所以能够实现“抑制共模、放大差模”是因为在共模等效电路中存在的负反馈效应的发射极电阻并不出现于差模等效电路中；因为两侧参数完全对称的情况下，没有电流流经 $R_e$ 所在的支路；而如果输入回路的参数并不是完全对称，那么 $R_e$ 中就会有动态电流流过，换句话说， $R_e$ 的反馈效应对差模信号也起作用，会削弱其差模放大能力；而且参数的不对称也会导致静态工作点的偏移；

所以引入电位器来保证电路对称性：

静态工作点：
假设 $ R_w $ 滑片位置在中点处，则输入回路 KVL 应为：
$0 - (-V_{EE}) = U_{BEQ} + I_{EQ} \frac{R_w}{2} + 2I_{EQ}R_e$
（忽略基极电流）
输出回路根据输出方式不同而不同；
共模信号回路：
由于本例带有恒流源，所以无论是双端输出还是单端输出，共模电压放大倍数均为 0；