外观
Chapter 1 绪论
约 1431 字大约 5 分钟
2025-10-05
Part 0 绪论
工程控制并不是在操纵物理量,而是在构造一个人为的信息闭环系统.
Part 1 动态系统
控制理论的研究对象是动态系统(Dynamic System). 动态系统是指状态随时间变化的系统,其特点为系统的状态变量(State Variable)是时间的函数.
在光滑的平面上对一辆质量为 m 的小车施加一个随时间变化的外力 u(t),这便构成了一个动态系统. 其中,小车的位移 x(t) 是此系统的状态变量,它是时间的函数.
它随时间的变化率是其对时间 t 的导数 dtdx(t),这也代表了小车的速度.
而速度随时间的变化率为 dt2d2x(t),代表小车的加速度. 根据牛顿第二定律,得到
u(t)=mdt2d2x(t)
在这个动态系统中,将外力 u(t) 定义为系统的输入(Input),将小车位移 x(t) 定义为系统的输出(Output). 上式说明给定的系统输入(即作用在小车上的外力 u(t))将通过影响小车的加速度和小车的速度,最终影响系统的输出(小车的位移 x(t)).
先讲线性时不变系统(Linear Time Invariant System). 其中,线性指系统的输入与输出是线性映射的,符合叠加原理(Superposition Principle).
如果一个线性系统在输入 u1(t) 的作用下,输出是 x1(t);在输入 u2(t) 的作用下,输出是 x2(t). 那么当输入为 au1(t)+bu2(t)(其中 a 和 b 是常数)时,系统的输出等于 ax1(t)+bx2(t).
时不变性是指如果系统的输入信号延迟了时间 T,那么系统的输出也会延迟时间 T.
系统在输入 u1(t) 作用下的输出是 x1(t). 那么在延迟 T 之后的输入 u1(t−T) 作用下,系统的输出是 x1(t−T). 一般情况下,时不变系统的数学表达式中都是常数系数(系数不是时间的函数).
线性时不变系统必须同时满足上面两个性质.
(1).
adt2d2x(t)+bdtdx(t)+c(t)x(t)=u(t)
该系统为线性时变系统,因为参数 c(t) 随时间变化.
(2).
adt2d2x(t)+bdtdx(t)+sinx(t)=u(t)
该系统为非线性时不变系统,其中非线性项为 sinx(t),而 sinx1(t)+sinx2(t)=sin(x1(t)+x2(t)).
(3).
adt2d2x(t)+bdtdx(t)+cx(t)=u(t)
该系统为线性时不变系统.
需要说明的是,从严格意义上讲,时不变系统是不存在的,因为“人不能两次踏进同一条河流”.
但在大部分工程情况下,在系统分析的时间区间内,参数是恒定的或者是缓慢变化的.
对于非线性的系统,一般可以做线性化处理.
Part 2 控制系统
通过研究动态系统的数学模型和系统表现,可以得到在给定输入 u(t) 作用下的系统响应(Response,即系统在输入 u(t) 作用下的输出 x(t)). 当掌握了动态系统输入与输出的关系之后,就可以设计控制器来调节动态系统的输入,使得系统的输出按照预期的目标响应.
一般而言,控制系统(Control System)由控制器(Controller)和动态系统组成. 控制器会根据参考值(Reference)r(t) 来决定控制量,即动态系统的输入 u(t). 这种简单的控制方式称为开环(Open Loop)控制. 当系统的全部信息可知且准确时,开环控制可以完美地达成控制目标.
在小车控制中,如果数学式准确无误,那么就可以根据参考目标 r(t) 设计作用在小车上的控制量 u(t),使得小车的实际位移 x(t) 与 r(t) 保持一致. 但如果系统的输入输出模型不够准确,或者系统存在扰动,例如在上述例子中,如果有物体掉落在小车内使其质量发生改变,那么开环控制器将无法提供准确的控制量 u(t),也就无法保障系统输出与目标值 r(t) 一致.
在实际应用场景中,扰动无处不在,而且完美的数学模型几乎是不存在的,因此开环控制大多只能应用在简单的、对精度要求不高的场景中.
如果希望精确地控制系统,则需要使用闭环(Closed Loop)控制系统,它与开环控制的最大区别是,在闭环控制中会测量系统的输出,并将其反馈(Feedback)到输入端与参考值进行比较. 参考值与实际系统输出的差称为误差(Error),控制器将根据误差调整控制量. 闭环控制系统可以实现高精度的控制,同时补偿由于外界扰动及系统建模不准而引起的偏差.
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2026/2/18 04:56
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