---
url: /integral/integral-0/index.md
---
## Part 1 分析

### · Archimedes

Archimedes，想要求一个不规则图形的面积. 当时他计算的是抛物线 $y=x^2$ 下方、$x=a$ 左侧的面积. 他想到的办法是竖直剖分这个图形，每一个细长条近似为一个矩形，那么这个图形的不规则性就得到了缓解. 有
$$
\begin{aligned}
S&=\sum\_{i=1}^n\frac{a}{n}(\frac{ia}{n})^2=\frac{a^3}{n^3}\sum\_{i=1}^ni^2\\\\
&=\frac{a^3}{n^3}\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\\\
&=\frac{1}{6}a^3(2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2})\\
\end{aligned}
$$
当 $n\to\infty$ 时，这个面积值越来越趋近于一个常数，有
$$
\begin{aligned}
S=\lim\_{n\to\infty}\frac{1}{6}a^3(2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2})=\frac{1}{3}a^3\\
\end{aligned}
$$
由此，Archimedes认为，不同的表达式能得到相同的一个极限值，这说明开始虽然用了近似，但是最后我们得到的结果是一个确定的精确值.

我们也可以对$k$次函数做同样的事：
$$
\begin{aligned}
S=\sum\_{i=1}^n\frac{a}{n}(\frac{ia}{n})^k=\frac{a^{k+1}}{n^{k+1}}\sum\_{i=1}^ni^k\\
\end{aligned}
$$

$k$ 值越来越大，没有一般的表达式了，手算的难度也越来越大. Archimedes当年正是停在了这个地方.

### · 分析

曲线围成的图形面积，本就不是人能直接解决的东西. 但是，“不能直接计算”并不等于“不能严格研究”. 我们可以先用容易计算的对象逼近它，再考察逼近过程是否趋近于唯一的结果. 这正是分析学最基本的思想：把一个复杂对象放进一列可控的对象中，用极限描述它.

### · 极限

在上面的计算中，$rac{a}{n}$ 是每个小矩形的宽度. 当 $n$ 增大时，矩形越来越窄，矩形面积的和也越来越接近曲边图形的面积. 我们把这种“任意接近”的关系写成
$$
S\_n \longrightarrow S \quad (n\to\infty),
$$
并称 $S$ 是数列 ${S\_n}$ 的极限.

“接近”必须有精确的含义. 对任意 $arepsilon>0$，只要 $n$ 足够大，就能使
$$
|S\_n-S|<\varepsilon.
$$
这里的 $\varepsilon$ 可以任意小，而 $n$ 的大小可以依赖于 $\varepsilon$. 这句话把图形直观中的“越来越接近”变成了可以证明、可以使用的数学命题. 后面的数列极限和函数极限，都是在反复使用这一思想.

极限还解释了为什么近似计算能够给出确定的答案. 对固定的 $n$，矩形和通常只是近似值；当 $n\to\infty$ 时，如果所有合理的逼近都趋向同一个数，那么这个数就是对象本身应有的值. 因而，分析学并不是放弃精确性，而是通过极限重新获得精确性.

### · 微分与积分

积分最初来自面积、体积和总量的计算. 微分则来自另一个问题：当自变量发生很小的变化时，函数值如何变化? 对函数 $y=f(x)$，在点 $x$ 附近有
$$
f(x+h)-f(x)\approx f'(x)h,
$$
其中 $f'(x)$ 描述函数在这一点的瞬时变化率. 微分把复杂的非线性变化在局部近似为线性变化.

积分和微分看起来分别研究“累积”和“变化”，但它们实际上由微积分基本定理联系起来. 如果 $f$ 连续，令
$$
F(x)=\int\_a^x f(t),dt,
$$
则在适当条件下
$$
F'(x)=f(x).
$$
反过来，如果 $F'(x)=f(x)$，则
$$
\int\_a^b f(x),dx=F(b)-F(a).
$$
这说明面积的累积可以通过原函数的端点差计算，而变化率也可以通过积分重新累积出来. 第 11 课开始的微分学和第 15 课开始的积分学，最终都会回到这个统一关系.

### · 从一元到多元

一元分析研究定义在实数轴上的函数. 但实际问题中的状态往往由多个量共同决定，例如位置由 $(x,y,z)$ 描述，温度由空间位置和时间共同决定. 这时需要把实数推广到空间，把区间推广到区域，把导数推广为梯度、Jacobian 矩阵和全微分，把积分推广为重积分.

多元函数的局部线性近似写成
$$
f(a+h)=f(a)+Df(a)h+o(|h|),
$$
其中 $Df(a)$ 是函数在 $a$ 处的微分，$o(|h|)$ 表示比 $|h|$ 更高阶的小量. 这条公式是多元微分学的核心. 逆映射定理、隐函数定理和极值理论，都是对这条局部近似的进一步应用.

多元积分则把区域分割成许多小块，并将函数值乘以小块的体积后求和. 在极限意义下得到
$$
\int\_D f(x),dx.
$$
Fubini 定理说明，在合适的条件下，可以先对一个变量积分，再对另一个变量积分；变量替换公式说明，坐标改变时必须乘上 Jacobian 的绝对值.

### · 课程路线

本课程按以下顺序展开：

1. 第 1--10 课从集合、函数和实数系开始，建立极限、连续性以及确界原理等基础.
2. 第 11--20 课讨论一元微分学、积分学、Riemann 积分以及积分的几何和物理应用.
3. 第 21--26 课进入数项级数、函数项级数、幂级数和 Fourier 分析，研究无穷过程的收敛与交换.
4. 第 27--37 课把函数放到度量空间和欧氏空间中，建立多元函数的连续性、微分学和重积分理论.
5. 第 38--42 课研究曲线积分、曲面积分以及 Green、Gauss 和 Stokes 公式.
6. 第 43--46 课用微分形式统一描述上述公式，说明它们都是同一个边界积分原理的不同表现.

因此，课程的重点不是记住若干孤立公式，而是看清楚这些公式之间的组织关系：局部的微分描述变化，整体的积分描述累积，边界公式则把两者联系起来.

### · 记号与证明

全文默认变量取实数，除非另有说明. $\mathbb{N}$、$\mathbb{Z}$、$\mathbb{Q}$、$\mathbb{R}$ 分别表示正整数、整数、有理数和实数；$|x|$ 表示向量的 Euclid 范数；$|A|$ 在区间语境中表示长度，在有限集合语境中表示元素个数.

课程中的“定义”规定对象的含义，“命题”和“定理”是需要证明的结论，“例题”展示定义和定理的使用方式. 证明中会经常使用反证法、数学归纳法、变量替换和极限的 $\varepsilon$--$N$ 语言. 对暂时省略的证明，读者应先检查结论是否与定义一致，再尝试补出关键步骤.

分析学的计算必须建立在条件之上. 例如，只有在函数可积时才可以谈积分，只有在极限存在时才可以使用极限的四则运算，交换极限、积分和求导的顺序也需要额外的收敛条件. 这些条件不是形式上的限制，而是保证结论可靠的边界.

接下来从集合和函数开始. 它们是描述对象、关系和变化的最基本语言，也是后面所有极限与积分定义的共同基础.