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## Part 2 闭区间连续函数

函数的性质密切依赖于实数系的基本性质

### · 介值定理

**定理1** (有界性定理). 设 $f(x)$ 为闭区间 $\[a,b]$ 上的连续函数, 则 $f(x)$ 在 $\[a,b]$ 上有界.

> /proof/
>
> **证法一**: 用反证法. 假设 $f(x)$ 无界, 则存在点列 ${x\_n} \subset \[a,b]$, 使得
> $$
> |f(x\_n)| \geq n,\quad n = 1,2,\cdots.
> $$
> 因为 ${x\_n}$ 为有界点列, 故存在收敛子列 ${x\_{n\_i}}$, 使得
> $$
> \lim\_{i \to \infty} x\_{n\_i} = x\_0 \in \[a,b].
> $$
> 又因为 $f(x)$ 在 $x\_0$ 处连续, 故
> $$
> \lim\_{i \to \infty} f(x\_{n\_i}) = f(x\_0).
> $$
> 特别地, ${f(x\_{n\_i})}$ 是有界点列, 这和 $|f(x\_{n\_i})| \geq n\_i\ (\forall\ i \geq 1)$ 相矛盾.
>
> **证法二**: 任取 $x \in \[a,b]$, 因为 $f$ 在 $x$ 处连续, 故存在 $\delta\_x > 0$, 使得
> $$
> |f(x') - f(x)| \leq 1,\quad \forall\ x' \in (x - \delta\_x, x + \delta\_x) \cap \[a,b].
> $$
> 区间族 ${(x - \delta\_x, x + \delta\_x)}*{x \in \[a,b]}$ 组成了闭区间 $\[a,b]$ 的一个开覆盖, 因此存在有限子覆盖, 记为
> $$
> {(x\_i - \delta*{x\_i}, x\_i + \delta\_{x\_i})},\ i = 1,2,\ldots,k.
> $$
> 令 $M = \max\limits\_{1 \leq i \leq k} {|f(x\_i)| + 1}$. 任取 $x \in \[a,b]$, 设 $x \in (x\_i - \delta\_{x\_i}, x\_i + \delta\_{x\_i})$, 则
> $$
> |f(x)| \leq |f(x) - f(x\_i)| + |f(x\_i)| \leq 1 + |f(x\_i)| \leq M,
> $$
> 这说明 $f(x)$ 是有界的. $\square$
>
> > 闭区间的条件不能减弱, 例如函数 $f(x) = \dfrac{1}{x}$ 在 $(0,1]$ 上连续, 但无界.

**定理2** (最值定理). 设 $f(x)$ 为闭区间 $\[a,b]$ 上的连续函数, 则 $f(x)$ 在 $\[a,b]$ 上必取到最大值和最小值, 即存在 $x\_*, x^* \in \[a,b]$, 使得
$$
f(x\_*) \leq f(x) \leq f(x^*),\quad \forall\ x \in \[a,b].
$$

> /proof/
>
> **证法一**: 根据有界性定理, $f(x)$ 有界, 因此 $f(\[a,b])$ 必有上确界和下确界. 记上确界为 $M$, 则存在点列 ${x\_n} \subset \[a,b]$, 使得
> $$
> M - \frac{1}{n} \leq f(x\_n) \leq M.
> $$
> 根据夹逼原理, $f(x\_n) \to M\ (n \to \infty)$. 因为 ${x\_n}$ 为有界点列, 故存在收敛子列 ${x\_{n\_i}}$, 使得
> $$
> \lim\_{i \to \infty} x\_{n\_i} = x^\* \in \[a,b].
> $$
> 因为 $f(x)$ 在 $x^*$ 处连续, 故 $f(x\_{n\_i}) \to f(x^*)\ (i \to \infty)$. 这说明 $M = f(x^\*)$, $M$ 即为 $f(x)$ 的最大值. 同理可证最小值可以取到, 或考虑 $-f$ 的最大值即可.
>
> **证法二**: 用反证法. 设 $M$ 为 $f$ 的上确界, 但 $f(x) \neq M,\ \forall\ x \in \[a,b]$. 考虑函数
> $$
> F(x) = \frac{1}{M - f(x)},\quad x \in \[a,b].
> $$
> $F(x)$ 是 $\[a,b]$ 上的正的连续函数. 由有界性定理, 存在正数 $K > 0$, 使得 $F(x) \leq K$. 从而
> $$
> f(x) \leq M - \frac{1}{K},\quad \forall\ x \in \[a,b].
> $$
> 这与 $M$ 为 $f$ 的上确界相矛盾, 因此 $M$ 必被 $f(x)$ 取到. 下确界的情形同理可证. $\square$
>
> **注意**. 闭区间的条件不能减弱, 如 $f(x) = x,\ x \in (0,1]$ 是连续的, 但在 $(0,1]$ 上达不到最小值.

**定理3** (零值定理, Bolzano). 设 $f(x)$ 为闭区间 $\[a,b]$ 上的连续函数, 且 $f(a)f(b) < 0$, 则存在 $\xi \in (a,b)$, 使得 $f(\xi) = 0$.

> **证法一**: 用闭区间套原理. 不妨设 $f(a) < 0,\ f(b) > 0$.
>
> (反证法) 假设 $f(x) \neq 0,\ \forall\ x \in (a,b)$. 将 $\[a,b]$ 二等分, 如果 $f\left(\dfrac{a+b}{2}\right) > 0$, 则取 $a\_1 = a,\ b\_1 = \dfrac{a+b}{2}$; 如果 $f\left(\dfrac{a+b}{2}\right) < 0$, 则取 $a\_1 = \dfrac{a+b}{2},\ b\_1 = b$,
>
> 总之 $f(a\_1) < 0,\ f(b\_1) > 0$. 再将 $\[a\_1,b\_1]$ 二等分, 用 $\[a\_2,b\_2]$ 表示满足 $f(a\_2) < 0,\ f(b\_2) > 0$ 的那一半小区间. 如此继续, 我们得到闭区间套
> $$
> \[a\_1,b\_1] \supset \[a\_2,b\_2] \supset \cdots \supset \[a\_n,b\_n] \supset \cdots,
> $$
> 满足 $f(a\_n) < 0,\ f(b\_n) > 0$, 且
> $$
> b\_n - a\_n = \frac{b-a}{2^n} \to 0,\quad n \to \infty.
> $$
> 由闭区间套原理, 存在 $x\_0 \in \[a,b]$, 使得
> $$
> \lim\_{n \to \infty} a\_n = \lim\_{n \to \infty} b\_n = x\_0.
> $$
> 根据 $f$ 的连续性, 有
> $$
> 0 \geq \lim\_{n \to \infty} f(a\_n) = f(x\_0) = \lim\_{n \to \infty} f(b\_n) \geq 0,
> $$
> 从而 $f(x\_0) = 0$. 显然 $x\_0 \neq a,b$, 这就导出了矛盾.
>
> **证法二**: 不妨设 $f(a) < 0,\ f(b) > 0$. 令
> $$
> A = {x \in \[a,b]\mid f(x) < 0},
> $$
> 则 $a \in A$. 记 $\xi$ 为 $A$ 的上确界, 由 $f$ 的连续性易见 $\xi > a$. 由确界的定义, 存在 $x\_n \in \[a,b]$, 使得 $f(x\_n) < 0,\ x\_n \to \xi$, 因此
> $$
> f(\xi) = \lim\_{n \to \infty} f(x\_n) \leq 0,
> $$
> 特别地, $\xi < b$. 由 $A$ 的定义知 $f$ 在 $(\xi,b]$ 上非负, 由 $f$ 的连续性知 $f(\xi) \geq 0$, 这说明 $f(\xi) = 0$. 显然 $\xi \in (a,b)$.
>
> > **注意**. 如果条件改为 $f(a)f(b) \leq 0$, 则存在 $\xi \in \[a,b]$, 使得 $f(\xi) = 0$. 事实上, 如果 $f(a)f(b) = 0$, 则 $f(a) = 0$ 或 $f(b) = 0$, 从而取 $\xi = a$ 或 $\xi = b$ 即可; 当 $f(a)f(b) < 0$ 时用零值定理的结论即可

**定理4** (介值定理). 设 $f(x)$ 为 $\[a,b]$ 上的连续函数, $\mu$ 是严格介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的数, 则存在 $\xi \in (a,b)$, 使得 $f(\xi) = \mu$.

> /proof/
>
> 设 $\mu$ 是严格介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的数, 则 $(f(a) - \mu)(f(b) - \mu) < 0$. 因此, 由零值定理, 连续函数 $f(x) - \mu$ 在 $(a,b)$ 内存在零点 $\xi$, 即 $f(\xi) = \mu$.

**推论5**. 设 $f(x)$ 是 $\[a,b]$ 上的连续函数, 则 $f(\[a,b]) = \[m,M]$, 其中 $m$, $M$ 分别是 $f$ 在 $\[a,b]$ 上的最小值和最大值.

> 当 $m = M$ 时 $f(x)$ 为常值函数, 结论自然成立.
>
> 设 $m < M$. 显然, $f(\[a,b]) \subset \[m,M]$. 另一方面, 由最值定理, 存在 $x\_*, x^*$, 使得 $f(x\_*) = m,\ f(x^*) = M$.
>
> 由介值定理, 介于 $m$ 和 $M$ 之间的值也能被 $f(x)$ 取到, 因此 $\[m,M] \subset f(\[a,b])$. 这说明 $f(\[a,b]) = \[m,M]$.

**推论6**. 设 $f(x)$ 是区间 $I$ 中的连续函数, 则 $f(I)$ 也是区间 (可退化为一点).

> 如果 $f(x)$ 为常值函数, 则 $f(I)$ 退化为一点. 否则, 任取 $y\_1 < y\_2 \in f(I)$, 设 $f(x\_1) = y\_1,\ f(x\_2) = y\_2$, 在以 $x\_1,\ x\_2$ 为端点的闭区间上用介值定理, 我们就知道 $\[y\_1,y\_2] \subset f(I)$. 由 $y\_1,\ y\_2$ 的任意性知 $f(I)$ 为一个区间.

**推论7**. 设 $f(x)$ 是区间 $I$ 中的连续函数, 则 $f(x)$ 可逆当且当 $f(x)$ 是严格单调函数.

> 只要证明必要性就可以了. 设 $x\_1 < x\_2 \in I$. 因为 $f(x)$ 可逆, 故 $f(x\_1) \neq f(x\_2)$. 如果 $f(x\_1) < f(x\_2)$, 我们将证明 $f(x)$ 在 $\[x\_1,x\_2]$ 上是严格单调递增的. (反证法) 设 $x' < x'' \in \[x\_1,x\_2],\ f(x') \geq f(x'')$. 分情况讨论:
>
> (1) $f(x'') < f(x\_1)$. 这时 $f(x'') < f(x\_1) < f(x\_2)$, 由介值定理, 存在 $\xi \in \[x'',x\_2]$, 使得 $f(\xi) = f(x\_1)$, 这与 $f(x)$ 可逆相矛盾;
>
> (2) $f(x'') > f(x\_1)$. 这时 $f(x') \geq f(x'') > f(x\_1)$, 由介值定理, 存在 $\xi \in \[x\_1,x']$, 使得 $f(\xi) = f(x'')$, 这与 $f(x)$ 可逆相矛盾.
>
> 如果 $f(x\_1) > f(x\_2)$, 完全类似地可以证明 $f(x)$ 在 $\[x\_1,x\_2]$ 上是严格单调递减的. 总之, $f(x)$ 在任何闭区间上都是严格单调的, 从而不难得出 $f(x)$ 在 $I$ 中是严格单调的.

### · 一致连续

**定义1** (一致连续). 设函数 $f(x)$ 定义在区间 $I$ 中, 如果任给 $\varepsilon > 0$, 均存在 $\delta = \delta(\varepsilon) > 0$, 使得当 $x\_1,x\_2 \in I$, 且 $|x\_1 - x\_2| < \delta$ 时有
$$
|f(x\_1) - f(x\_2)| < \varepsilon,
$$
则称 $f(x)$ 在 $I$ 中一致连续.

> (1) 显然, 一致连续函数一定是连续函数. 一致连续性和连续性的区别就是, 用 $\varepsilon-\delta$ 语言定义 $x\_0$ 处的连续性时, 定义中出现的 $\delta$ 一般会依赖于连续点 $x\_0$ 以及 $\varepsilon$, 而一致连续性定义中出现的 $\delta$ 是不依赖于具体连续点的, 即对所有的连续点都能取到一个公共的 $\delta$, 一致性就体现在这儿.
>
> (2) 用逆反命题的形式改写定义, 就得到: $f(x)$ 在 $I$ 中不一致连续当且仅当存在 $\varepsilon\_0 > 0$, 以及 $I$ 中点列 ${a\_n}, {b\_n}$, 使得 $a\_n - b\_n \to 0\ (n \to \infty)$, 且
> $$
> |f(a\_n) - f(b\_n)| \geq \varepsilon\_0.
> $$

/example/ 研究函数 $f(x) = \sin x,\ x \in \mathbb{R}$ 的一致连续性.

> 任给 $\varepsilon > 0$, 取 $\delta = \varepsilon$. 当 $x\_1,x\_2 \in \mathbb{R}$, 且 $|x\_1 - x\_2| < \delta$ 时, 有
> $$
> \begin{aligned}
> |\sin x\_1 - \sin x\_2| &= \left|2\sin\frac{x\_1 - x\_2}{2}\cos\frac{x\_1 + x\_2}{2}\right| \\\\
> &\leq 2\left|\sin\frac{x\_1 - x\_2}{2}\right| \\\\
> &\leq |x\_1 - x\_2| < \varepsilon.
> \end{aligned}
> $$
> 这说明 $\sin x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 中是一致连续的.
>
> $\sin x$ 是所谓 Lipschitz 函数的特殊情形.

设 $f(x)$ 是定义在区间 $I$ 中的函数. 如果存在 $0 < \alpha \leq 1$, 以及常数 $M$, 使得
$$
|f(x\_1) - f(x\_2)| \leq M|x\_1 - x\_2|^\alpha,\quad \forall\ x\_1,x\_2 \in I,
$$
则称 $f(x)$ 是 $I$ 中的 $\alpha$ 阶 Hölder 函数. 当 $\alpha = 1$ 时也称为 Lipschitz 函数.

Hölder 函数都是一致连续的: 任给 $\varepsilon > 0$, 取
$$
\delta = \left(\frac{\varepsilon}{M}\right)^{\frac{1}{\alpha}},
$$
则当 $x\_1,x\_2 \in I,\ |x\_1 - x\_2| < \delta$ 时, 有
$$
|f(x\_1) - f(x\_2)| \leq M|x\_1 - x\_2|^\alpha < M\left(\frac{\varepsilon}{M}\right) = \varepsilon.
$$
**命题8**. 设 $f(x), g(x)$ 为区间 $I$ 中的一致连续函数. 则

(1) $\alpha f(x) + \beta g(x)$ 在 $I$ 中也是一致连续的;

(2) 如果 $f(x), g(x)$ 为有界函数, 则 $f(x)g(x)$ 也是一致连续的;

(3) 如果 $f(x)$ 有界, 且存在 $\varepsilon\_0 > 0$, 使得 $g(x) \geq \varepsilon\_0,\ \forall\ x \in I$, 则 $f(x)/g(x)$ 也是一致连续的;

(4) 一致连续函数的复合函数仍为一致连续函数.

**定理9** (Cantor). 闭区间上的连续函数是一致连续的.

> /proof/
>
> 设 $f(x)$ 是 $\[a,b]$ 上的连续函数.
>
> **证法一**: (反证法) 如果 $f(x)$ 不是一致连续的, 则存在 $\varepsilon\_0 > 0$, 以及点列 ${a\_n}, {b\_n} \subset \[a,b]$, 使得 $a\_n - b\_n \to 0\ (n \to \infty)$, 且
> $$
> |f(a\_n) - f(b\_n)| \geq \varepsilon\_0.
> $$
> 因为 ${b\_n}$ 为有界点列, 故存在收敛子列 ${b\_{n\_i}}$, 设 $b\_{n\_i} \to x\_0 \in \[a,b]$. 此时
> $$
> a\_{n\_i} = (a\_{n\_i} - b\_{n\_i}) + b\_{n\_i} \to 0 + x\_0 = x\_0\quad (i \to \infty).
> $$
> 因为 $f(x)$ 在 $x\_0$ 处连续, 故
> $$
> \varepsilon\_0 \leq |f(a\_{n\_i}) - f(b\_{n\_i})| \to |f(x\_0) - f(x\_0)| = 0\quad (i \to \infty),
> $$
> 这就导出了矛盾.
>
> **证法二**: 任给 $\varepsilon > 0$, 因为 $f(x)$ 连续, 故对于任意 $x \in \[a,b]$, 存在 $\delta\_x > 0$, 使得
> $$
> |f(x') - f(x)| < \frac{\varepsilon}{2},\quad \forall\ x' \in (x - \delta\_x, x + \delta\_x) \cap \[a,b].
> $$
> 显然, $\left{(x - \frac{\delta\_x}{2}, x + \frac{\delta\_x}{2})\right}*{x \in \[a,b]}$ 为闭区间 $\[a,b]$ 的一个开覆盖, 因而存在有限子覆盖, 即存在 $x\_i\ (1 \leq i \leq k)$, 使得
> $$
> \[a,b] \subset \bigcup*{i=1}^k \left(x\_i - \frac{\delta\_{x\_i}}{2}, x\_i + \frac{\delta\_{x\_i}}{2}\right).
> $$
> 记
> $$
> \delta = \min\left{\frac{\delta\_{x\_i}}{2} \mid i = 1,2,\ldots,k\right},
> $$
> 则对于任意的 $x',x'' \in \[a,b]$, 如果 $|x' - x''| < \delta$, 设
> $$
> x' \in \left(x\_i - \frac{\delta\_{x\_i}}{2}, x\_i + \frac{\delta\_{x\_i}}{2}\right),\ \text{(对某个 } i\text{)},
> $$
> 则
> $$
> |x'' - x\_i| \leq |x'' - x'| + |x' - x\_i| < \delta + \frac{\delta\_{x\_i}}{2} \leq \delta\_{x\_i},
> $$
> 从而有 $x'' \in (x\_i - \delta\_{x\_i}, x\_i + \delta\_{x\_i})$. 因此, 我们有
> $$
> |f(x') - f(x'')| \leq |f(x') - f(x\_i)| + |f(x\_i) - f(x'')| \leq 2\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon,
> $$
> 这说明 $f(x)$ 在 $\[a,b]$ 上是一致连续的.

最后引出函数振幅的概念, 并利用它来刻画连续性和一致连续性. 某个变化量的振幅, 是指其“最大”和“最小”值的差. 如果这个变化量的值趋于一个定数, 则其振幅应趋于零.

**定义2** (振幅). 设 $f(x)$ 在 $x\_0$ 的一个开邻域内有定义, 称
$$
\omega\_f(x\_0,r) = \sup\left{|f(x') - f(x'')| \mid x',x'' \in (x\_0 - r, x\_0 + r)\right}\quad (r > 0)
$$
为 $f$ 在区间 $(x\_0 - r, x\_0 + r)$ 上的振幅. 显然, $\omega\_f(x\_0,r)$ 关于 $r \to 0^+$ 单调递减, 因此
$$
\omega\_f(x\_0) = \lim\_{r \to 0^+} \omega\_f(x\_0,r)
$$
存在 (不一定有限), 称为 $f$ 在 $x\_0$ 处的振幅.

> (1) $\omega\_f(x\_0,r)$ 也可以定义为
> $$
> \omega\_f(x\_0,r) = \sup\_{x \in (x\_0 - r, x\_0 + r)} f(x) - \inf\_{x \in (x\_0 - r, x\_0 + r)} f(x),
> $$
> (2) 也可类似地对闭区间以及 $x\_0$ 的一侧定义函数的振幅.

**命题10**. $f(x)$ 在 $x\_0$ 处连续当且仅当 $\omega\_f(x\_0) = 0$.

> 设 $f(x)$ 在 $x\_0$ 处连续. 任给 $\varepsilon > 0$, 存在 $\delta > 0$, 当 $|x - x\_0| < \delta$ 时
> $$
> |f(x) - f(x\_0)| < \frac{\varepsilon}{2}.
> $$
> 因此, 对于 $\forall\ x',x'' \in (x\_0 - r, x\_0 + r)\ (0 < r \leq \delta)$, 有
> $$
> |f(x') - f(x'')| \leq |f(x') - f(x\_0)| + |f(x\_0) - f(x'')| < 2\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
> $$
> 即当 $0 < r \leq \delta$ 时
> $$
> \omega\_f(x\_0,r) \leq \varepsilon.
> $$
> 这说明 $\omega\_f(x\_0) = \displaystyle\lim\_{r \to 0^+} \omega\_f(x\_0,r) = 0$.
>
> 反之, 设 $\displaystyle\lim\_{r \to 0^+} \omega\_f(x\_0,r) = \omega\_f(x\_0) = 0$, 则任给 $\varepsilon > 0$, 存在 $\delta > 0$, 使得
> $$
> \omega\_f(x\_0,r) < \varepsilon,\quad \forall\ 0 < r \leq \delta.
> $$
> 特别地, 对于满足 $|x - x\_0| < \delta$ 的点 $x$, 有
> $$
> |f(x) - f(x\_0)| \leq \omega\_f(x\_0,\delta) < \varepsilon,
> $$
> 这说明 $f(x)$ 在 $x\_0$ 处连续.

我们可以类似地用振幅来刻画一致连续性. 设 $f$ 定义在区间 $I$ 中, $r > 0$. 令
$$
\omega\_f(r) = \sup\left{|f(x') - f(x'')| \mid \forall\ x',x'' \in I,\ |x' - x''| < r\right},
$$
则 $\omega\_f(r)$ 关于 $r \to 0^+$ 单调递减. 利用一致连续的定义可得如下命题：

**命题11**. $f$ 在 $I$ 中一致连续当且仅当 $\displaystyle\lim\_{r \to 0^+} \omega\_f(r) = 0$.

结束.