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## Part 2 高阶导数

### · 定义

要考察质点的运动, 除了考虑速度, 还要考虑加速度. 速度是位移函数的导数, 加速度则是速度的导数.

**定义1** (高阶导数).

> 设 $f$ 在 $x\_0$ 附近可导, 如果导函数 $f'$ 在 $x\_0$ 处仍可导, 则称 $f$ 在 $x\_0$ 处 2 阶可导. 记
> $$
> f''(x\_0) = (f')'(x\_0),
> $$
> 称为 $f$ 在 $x\_0$ 处的 2 阶导数. 一般地, 如果 $f$ 在 $x\_0$ 附近 $n$ ($n \ge 1$) 阶可导, 且 $n$ 阶导函数 $f^{(n)}$ 在 $x\_0$ 处可导, 则称 $f$ 在 $x\_0$ 处 $n+1$ 阶可导, 记
> $$
> f^{(n+1)}(x\_0) = (f^{(n)})'(x\_0),
> $$
> 称为 $f$ 的 $n+1$ 阶导数.
>
> 按照我们的记号, $f^{(1)} = f'$, $f^{(2)} = f''$, $f^{(3)} = f'''$ 等等. 我们约定 $f^{(0)} = f$. 有时也用下面的记号表示高阶导数:
> $$
> f'' = \frac{d^2 f}{dx^2},\quad f^{(3)} = f''' = \frac{d^3 f}{dx^3},\cdots
> $$

**定义2**.

> 如果 $f$ 在区间 $I$ 的每一点处均 $n$ 阶可导, 则称 $f$ 在 $I$ 中 $n$ 阶可导; 如果 $f$ 可导, 且导函数 $f'$ 连续, 则称 $f$ (1 阶) 连续可导, 记为 $f \in C^1(I)$;
>
> 一般地, 如果 $f$ 在 $I$ 中 $n$ 阶可导, 且 $n$ 阶导函数 $f^{(n)}$ 连续, 则称 $f$ $n$ 阶连续可导, 记为 $f \in C^n(I)$. 如果 $f$ 在 $I$ 中存在任意阶导数, 则称 $f$ 是光滑的, 记为 $f \in C^\infty(I)$.

/example/

> 可微函数的导函数不一定连续.
>
> > 考虑下面的函数
> > $$
> > f(x) =
> > \begin{cases}
> > x^{\frac{3}{2}} \sin \frac{1}{x}, & x \in (0,1], \\
> > 0, & x = 0.
> > \end{cases}
> > $$
> > 我们先计算 $f$ 在 $x = 0$ 处的导数:
> > $$
> > f'(0) = \lim\_{x \to 0^+} \frac{x^{\frac{3}{2}} \sin \frac{1}{x}}{x} = \lim\_{x \to 0^+} \sqrt{x} \sin \frac{1}{x} = 0,
> > $$
> > 这里我们用到了估计
> > $$
> > \left|\sqrt{x} \sin \frac{1}{x}\right| \le \sqrt{x} \to 0\quad (x \to 0^+).
> > $$
> > 当 $x > 0$ 时, 由复合求导, 有
> > $$
> > f'(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \sin \frac{1}{x} - x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x^2} \cos \frac{1}{x}
> > \= \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \sin \frac{1}{x} - x^{-\frac{1}{2}} \cos \frac{1}{x}.
> > $$
> > 考察 $f'$ 在 $x\_n = \dfrac{1}{2n\pi}$ ($n = 1,2,\cdots$) 处的取值知 $f'(x\_n) \to -\infty$, 因此 $f'$ 不连续.
>
> 设 $k = 1,2,\cdots$, 则函数
> $$
> f(x) =
> \begin{cases}
> x^{2k+1} \sin \frac{1}{x}, & x \ne 0 \\
> 0, & x = 0
> \end{cases}
> $$
> 是 $C^k$ 函数, 但不是 $C^{k+1}$ 的.
>
> > 可以计算出 $f'(0) = 0$, 且
> > $$
> > f'(x) =
> > \begin{cases}
> > (2k+1)x^{2k} \sin \dfrac{1}{x} - x^{2k-1} \cos \dfrac{1}{x}, & x \ne 0, \\\\
> > 0, & x = 0.
> > \end{cases}
> > $$
> > 同理,
> > $$
> > f''(x) =
> > \begin{cases}
> > 2k(2k+1)x^{2k-1} \sin \dfrac{1}{x} - 4k x^{2k-2} \cos \dfrac{1}{x} - x^{2k-3} \sin \dfrac{1}{x}, & x \ne 0, \\\\
> > 0, & x = 0.
> > \end{cases}
> > $$
> > 继续求导可得 $f^{(k)}(0) = 0$, 且当 $x \ne 0$ 时,
> > $$
> > f^{(k)}(x) = x^2 \phi(x) \pm x \sin \frac{1}{x} \quad \text{or} \quad x^2 \phi(x) \pm x \cos \frac{1}{x},
> > $$
> > 其中 $\phi(x)$ 在 $x = 0$ 附近有界. 因此 $f^{(k)}$ 连续但在 $x = 0$ 处不可导.

### · 计算

/Theorem/

> 设 $f,g$ 均为 $n$ 阶可导函数, 则
>
> (1) $(\alpha f + \beta g)^{(n)} = \alpha f^{(n)} + \beta g^{(n)}$, $\forall\ \alpha,\beta \in \mathbb{R}$;
>
> (2) (Leibniz)
> $$
> (fg)^{(n)} = \sum\_{k=0}^{n} C\_n^k f^{(n-k)}g^{(k)}
> $$
> 其中 $C\_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ 为组合数.

/proof/

> (1) 这可由求导运算的线性及归纳法直接得到.
>
> (2) 对 $n$ 用数学归纳法. $n = 1$ 的情形就是求导运算的导性. 设公式对 $n = k$ 成立, 则 $n = k+1$ 时
> $$
> \begin{aligned}
> (fg)^{(k+1)} &= \[(fg)^{(k)}]' = \sum\_{l=0}^{k} C\_k^l \[f^{(k-l+1)}g^{(l)} + f^{(k-l)}g^{(l+1)}]\\\\
> &= \sum\_{l=0}^{k} C\_k^l f^{(k-l+1)}g^{(l)} + \sum\_{l=0}^{k-1} C\_k^l f^{(k-l)}g^{(l+1)} + C\_k^k f g^{(k+1)}\\\\
> &= f^{(k+1)}g + \sum\_{l=1}^{k} \[C\_k^l + C\_k^{l-1}]f^{(k-l+1)}g^{(l)} + f g^{(k+1)}\\\\
> &= \sum\_{l=0}^{k+1} C\_{k+1}^l f^{(k+1-l)}g^{(l)},
> \end{aligned}
> $$
> 其中我们用到组合恒等式 $C\_k^l + C\_k^{l-1} = C\_{k+1}^l$.

现在我们再看几个高阶导数计算和应用的例子.

/example/

> 设多项式 $p\_n(x) = a\_n x^n + a\_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a\_1 x + a\_0$ 次数为 $n$, 则
>
> (1) $p\_n^{(n)}(x) = n! a\_n$, 从而 $p\_n^{(k)} = 0$, $\forall\ k > n$;
>
> (2) $a\_k = \dfrac{1}{k!} p\_n^{(k)}(0)$, $k = 0,1,\cdots,n$.
>
> > 直接逐项求导, 利用归纳法可得
> > $$
> > p\_n^{(k)}(x) = n(n-1)\cdots(n-k+1)a\_n x^{n-k} + (n-1)\cdots(n-k)a\_{n-1}x^{n-1-k} + \cdots + k! a\_k,
> > $$
> > 其中 $1 \le k \le n$. 特别地, 取 $k = n$ 就得到 (1), 而令 $x = 0$ 就得到 (2).
>
> 求函数 $f(x) = \sin x$, $\cos x$ 的各阶导数.
>
> > 我们已知
> > $$
> > (\sin x)' = \cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2}),\quad (\sin x)'' = -\sin x = \sin(x + \pi).
> > $$
> > 一般地, 如果
> > $$
> > (\sin x)^{(k)} = \sin(x + \frac{k\pi}{2})
> > $$
> > 则
> > $$
> > (\sin x)^{(k+1)} = \cos\left(x + \frac{k\pi}{2}\right) = \sin\left(x + \frac{(k+1)\pi}{2}\right),
> > $$
> > 这说明
> > $$
> > (\sin x)^{(n)} = \sin(x + \frac{n\pi}{2})
> > $$
> > 同理可得
> > $$
> > (\cos x)^{(n)} = \cos(x + \frac{n\pi}{2})
> > $$

## Part 3 微分中值定理

要研究一个变化量, 可以考察其“最大”值和“最小”值.

### · 极值

**定义1** (极值点).

> 设 $f$ 是定义在区间 $I$ 中的函数, $x\_0 \in I$. 如果存在 $\delta > 0$, 使得
> $$
> f(x) \ge f(x\_0)\ (f(x) \le f(x\_0)),\quad \forall\ x \in (x\_0 - \delta, x\_0 + \delta) \cap I,
> $$
> 则称 $x\_0$ 为 $f$ 在 $I$ 中的一个极小(大)值点, $f(x\_0)$ 称为极小(大)值.
>
> 如果 $x\_0 \in I$, 且
> $$
> f(x) \ge f(x\_0)\ (f(x) \le f(x\_0)),\quad \forall\ x \in I,
> $$
> 则称 $x\_0$ 为 $f$ 在 $I$ 中的一个最小(大)值点, $f(x\_0)$ 称为最小(大)值.
>
> 显然, 最小(大)值点是极小(大)值点. 我们把极小值点和极大值点统称为极值点, 极小值和极大值统称为极值, 最大值和最小值统称最值. 当定义中的不等号在 $x\_0$ 的空心邻域中严格成立时, 相应的极值点称为严格极值点, 相应的极值称为严格极值.

**定理1** (Fermat). 设 $x\_0$ 是函数 $f$ 在 $I$ 中的极值点, 且 $x\_0$ 为 $I$ 的内点. 如果 $f$ 在 $x\_0$ 处可导, 则 $f'(x\_0) = 0$.

> /proof/
>
> 不妨设 $x\_0$ 为 $f$ 的极小值点 (不然可考虑 $-f$). 由于 $x\_0$ 为 $I$ 的内点, 故存在 $\delta > 0$, 使得 $(x\_0 - \delta, x\_0 + \delta) \subset I$. 当 $x\_0$ 为 $f$ 的极小值点时, 我们假设 $\delta$ 充分小, 使得
> $$
> f(x) \ge f(x\_0),\quad \forall\ x \in (x\_0 - \delta, x\_0 + \delta).
> $$
> 特别地, 当 $x \in (x\_0 - \delta, x\_0)$ 时,
> $$
> f'(x\_0) = \lim\_{x \to x\_0^-} \frac{f(x) - f(x\_0)}{x - x\_0} \le 0,
> $$
> 而当 $x \in (x\_0, x\_0 + \delta)$ 时,
> $$
> f'(x\_0) = \lim\_{x \to x\_0^+} \frac{f(x) - f(x\_0)}{x - x\_0} \ge 0,
> $$
> 这说明 $f'(x\_0) = 0$.
>
> > (1) 如果 $x\_0$ 不是 $I$ 的内点, 则即使 $f$ 在 $x\_0$ 处可导 (存在左导数或右导数), 导数也不必为零. 如定义在 $\[0,1]$ 上的函数 $f(x) = x$ 就是例子. 如果 $x\_0$ 为 $f$ 在 $I$ 中的极值点, 但不是 $I$ 的内点, 则根据定理的证明可以得到下面的结论:
> >
> > 设 $x\_0$ 是 $I$ 的左端点, 如果 $x\_0$ 为 $f$ 的极小(大)值点, 则 $f'*+(x\_0) \ge 0 (\le 0)$; 设 $x\_0$ 是 $I$ 的右端点, 如果 $x\_0$ 为 $f$ 的极小(大)值点, 则 $f'*-(x\_0) \le 0 (\ge 0)$;
> >
> > (2) 函数可能在不可导点处取极值, 例如 $f(x) = |x|$, $x \in \[-1,1]$ 在 $x\_0 = 0$ 处取到最小值, 但 $f$ 在 $x\_0 = 0$ 处不可导, 当然就谈不上导数为零了.
> >
> > (3) 我们把满足条件 $f'(x\_0) = 0$ 的点称为 $f$ 的驻点或临界点. 需要注意的是, 驻点不必为极值点, 例如 $f(x) = x^3$, $x\_0 = 0$ 为 $f$ 的驻点, 但不是极值点.

**定理2** (Darboux). (\*) 设 $f$ 为 $\[a,b]$ 上的可导函数, 则 $f'$ 可以取到 $f'*+(a)$ 与 $f'*-(b)$ 之间的任意值.

> 设 $k$ 是介于 $f'*+(a)$ 和 $f'*-(b)$ 之间的数. 考虑函数 $g(x) = f(x) - kx$, 则
> $$
> g'*+(a) \cdot g'*-(b) = (f'*+(a) - k)(f'*-(b) - k) \le 0,
> $$
> 如果上式为零, 则 $k$ 等于 $f$ 在 $a$ 或 $b$ 处的导数; 如果上式小于零, 不妨设 $g'*+(a) > 0$, $g'*-(b) < 0$, 则 $g$ 在 $a$ 或 $b$ 处均取不到最大值, 从而 $g$ 在 $\[a,b]$ 的内部某一点 $\xi$ 处取到最大值. 由 Fermat 定理, $g'(\xi) = 0$, 即 $f'(\xi) = k$.
>
> > 这个定理说明, 如果 $f$ 是区间 $I$ 中的可导函数, 则其导函数 $f'$ 的值域仍为区间. 特别地, Dirichlet 函数没有任何原函数.

**命题3**. 设 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 为连续函数, 且
$$
\lim\_{x \to -\infty} f(x) = \lim\_{x \to +\infty} f(x) = +\infty (-\infty),
$$
则 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上达到最小(大)值.

> 我们不妨设 $\displaystyle\lim\_{x \to -\infty} f(x) = \displaystyle\lim\_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. 由极限的定义, 存在 $M > 0$ 使得当 $|x| \ge M$ 时 $f(x) > f(0) + 1$. 因为 $f$ 为连续函数, 故在闭区间 $\[-M,M]$ 上取到最小值. 设 $f$ 在 $x\_0$ 处取到此最小值, 则 $f(x\_0) \le f(0)$ (因为 $0 \in \[-M,M]$). 另一方面,
> $$
> f(x\_0) \le f(0) < f(0) + 1 < f(x),\quad \forall\ x \in (-\infty, M) \cup (M, +\infty),
> $$
> 这说明 $x\_0$ 也是 $f$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上的最小值点.
>
> 显然, 上述命题可以推广到其它非闭区间的情形, 以 $(a, +\infty)$ 为例, 我们有如下结论: 如果连续函数 $f$ 满足
> $$
> \lim\_{x \to a^+} f(x) = \lim\_{x \to +\infty} f(x) = +\infty (-\infty)
> $$
> 则 $f$ 在 $(a, +\infty)$ 上达到最小(大)值.

/example/

设 $a\_i$, $i = 1,2,\cdots,n$ 为 $\mathbb{R}$ 上的 $n$ 个点. 在 $\mathbb{R}$ 上求一点, 使得它到 $a\_i$ ($1 \le i \le n$) 的距离的平方和最小.

> 设 $x \in \mathbb{R}$, 考虑连续函数
> $$
> f(x) = \sum\_{i=1}^{n} (x - a\_i)^2,\quad x \in \mathbb{R}.
> $$
> 我们的问题就是求 $f$ 的最小值点. 容易看出, 当 $|x| \to +\infty$ 时, $f(x) \to +\infty$, 因此由上面的命题, $f$ 的最小值点的确存在. 又因为 $f$ 可微, 故最小值点必为驻点. 方程
> $$
> f'(x) = 2 \sum\_{i=1}^{n} (x - a\_i) = 0
> $$
> 的惟一解为
> $$
> x = \frac{1}{n} \sum\_{i=1}^{n} a\_i,
> $$
> 因此它就是我们要求的点.设 $x \in \mathbb{R}$, 考虑连续函数
> $$
> f(x) = \sum\_{i=1}^{n} (x - a\_i)^2,\quad x \in \mathbb{R}.
> $$
> 我们的问题就是求 $f$ 的最小值点. 容易看出, 当 $|x| \to +\infty$ 时, $f(x) \to +\infty$, 因此由上面的命题, $f$ 的最小值点的确存在. 又因为 $f$ 可微, 故最小值点必为驻点. 方程
> $$
> f'(x) = 2 \sum\_{i=1}^{n} (x - a\_i) = 0
> $$
> 的惟一解为
> $$
> x = \frac{1}{n} \sum\_{i=1}^{n} a\_i,
> $$
> 因此它就是我们要求的点.

### · 中值定理

**定理1** (Rolle). 设函数 $f$ 在 $\[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 中可微, 且 $f(a) = f(b)$. 则存在 $\xi \in (a,b)$, 使得 $f'(\xi) = 0$.

> 连续函数 $f$ 在闭区间 $\[a,b]$ 上可以取到最大值 $M$ 和最小值 $m$. 如果 $M = m$, 则 $f$ 恒为常数, 从而 $f' = 0$; 如果 $M > m$, 则由 $f(a) = f(b)$ 知 $m$ 与 $M$ 中至少有一个是被 $f$ 在内点 $\xi \in (a,b)$ 处所取得, 由 Fermat 定理, $f'(\xi) = 0$.

**定理2** (Lagrange). 设函数 $f$ 在 $\[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 中可微, 则存在 $\xi \in (a,b)$, 使得
$$
f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a},\quad \text{or}\quad f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a).
$$

> /proof/
>
> 令
> $$
> F(x) = f(x) - \left\[f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)\right],
> $$
> 则 $F(a) = F(b) = 0$, $F$ 满足 Rolle 定理的条件. 从而存在 $\xi \in (a,b)$, 使得 $F'(\xi) = 0$. 此 $\xi$ 即为满足定理要求的 $\xi$.
>
> > Lagrange 定理的物理含义: 质点的平均速度等于某一点的瞬时速度. 令
> > $$
> > l(x) = f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a),
> > $$
> > 则 $l(x)$ 是满足条件 $l(a) = f(a)$, $l(b) = f(b)$ 的唯一线性函数, 其图像是连接 $(a,f(a))$ 和 $(b,f(b))$ 的直线. Lagrange 定理的证明思想就是将这条直线看成是 $X$ 轴, 从而将问题转化为已知情形.

**定理3** (Cauchy). 设函数 $f,g$ 在 $\[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 中可微, 且 $g'(x) \ne 0$, $\forall\ x \in (a,b)$. 则存在 $\xi \in (a,b)$, 使得
$$
\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.
$$

> 由 Rolle 定理和 $g' \ne 0$ 知 $g(b) \ne g(a)$. 令
> $$
> F(x) = f(x) - \left\[f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}(g(x) - g(a))\right],
> $$
> 则 $F(a) = F(b) = 0$, $F$ 满足 Rolle 定理的条件, 从而存在 $\xi \in (a,b)$, 使得 $F'(\xi) = 0$. $\xi$ 即为满足要求的点.

下面给出两个例子：

/example/ 设 $f(x)$ 在 $\[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 中二阶可导. 如果 $f(a) = f(b) = 0$, 则对任意 $c \in \[a,b]$, 存在 $\xi \in (a,b)$, 使得
$$
f(c) = \frac{f''(\xi)}{2}(c - a)(c - b).
$$

> 不妨设 $c \in (a,b)$, 令
> $$
> F(x) = f(x) - \frac{f(c)}{(c - a)(c - b)}(x - a)(x - b),\quad x \in \[a,b].
> $$
> 则 $F(a) = F(c) = F(b) = 0$, 由 Rolle 定理, 存在 $\xi\_1 \in (a,c)$, $\xi\_2 \in (c,b)$, 使得
> $$
> F'(\xi\_1) = 0,\quad F'(\xi\_2) = 0.
> $$
> 因为 $F'(x)$ 在 $\[\xi\_1,\xi\_2]$ 上可微, 再一次由 Rolle 定理知, 存在 $\xi \in (\xi\_1,\xi\_2)$, 使得
> $$
> F''(\xi) = 0.
> $$
> 简单的计算表明
> $$
> F''(x) = f''(x) - \frac{2f(c)}{(c - a)(c - b)},
> $$
> 在上式中代入 $x = \xi$ 即得欲证结论.
>
> ***
>
> 这个例子可以推广到一般情形. 例如, 设 $f$ 是 $n$ 阶可导函数, 且 $f(x) = 0$ 有 $n$ 个不同的解 ${x\_i}*{i=1}^{n}$, 则对任意 $c \in \[a,b]$, 存在 $\xi \in (a,b)$, 使得
> $$
> f(c) = \frac{1}{n!}f^{(n)}(\xi)\prod*{i=1}^{n}(c - x\_i).\tag{1}
> $$
> 证明的方法仍是构造适当的辅助函数并利用微分中值定理. 例如, 无妨设 $c \ne x\_i$ ($1 \le i \le n$), 令
> $$
> F(x) = f(x) - \frac{f(c)}{\prod\_{i=1}^{n}(c - x\_i)}\prod\_{i=1}^{n}(x - x\_i),\quad x \in \[a,b].
> $$
> 则 $F(x)$ 有 $n+1$ 个不同的零点 $c,x\_i$ ($1 \le i \le n$), 对 $F$ 反复使用 Rolle 定理可知, 存在 $\xi \in (a,b)$, 使得 $F^{(n)}(\xi) = 0$. 再利用 $n$ 次多项式 $\prod\_{i=1}^{n}(x - x\_i)$ 的 $n$ 阶导数为 $n!$ 即可得到欲证等式.
>
> 如果 $f$ 是任给的 $n$ 阶可导函数, 设 ${x\_i}*{i=1}^{n}$ 为 $\[a,b]$ 中 $n$ 个不同的点, 令
> $$
> p*{n-1}(x) = \sum\_{i=1}^{n}\left\[\prod\_{j \ne i}\frac{(x - x\_j)}{(x\_i - x\_j)}\right]f(x\_i),
> $$
> 则 $p\_{n-1}$ 为次数不超过 $n-1$ 的多项式, 它与函数 $f$ 在 ${x\_i}*{i=1}^{n}$ 处取相同的值, 称为 $f$ 的 Lagrange 插值多项式. 由于 $f - p*{n-1}$ 有 $n$ 个不同的零点, 由 (1) 可得 (注意 $p\_{n-1}$ 的 $n$ 阶导数为零)
> $$
> f(x) - p\_{n-1}(x) = \frac{1}{n!}f^{(n)}(\xi)\prod\_{i=1}^{n}(x - x\_i),\quad \xi \in (a,b).\tag{2}
> $$
> 这个等式称为插值多项式的余项公式, 我们将利用它来估计近似积分的误差.

证明勒让德 (Legendre) 多项式 $\dfrac{d^n}{dx^n}(x^2 - 1)^n$ 在 $(-1,1)$ 中有 $n$ 个不同的实根, 其中 $n \ge 1$.

> 首先, 多项式 $(x^2 - 1)^n$ 有实根 $-1$ 和 $1$, 根据 Rolle 定理, $\dfrac{d}{dx}(x^2 - 1)^n$ 在 $(-1,1)$ 内有实根, 记为 $\xi\_{11}$.
>
> 当 $n > 1$ 时, $-1$ 和 $1$ 仍为 $\dfrac{d}{dx}(x^2 - 1)^n$ 的实根, 再次由 Rolle 定理即知 $\dfrac{d^2}{dx^2}(x^2 - 1)^n$ 在 $(-1,\xi\_{11})$ 和 $(\xi\_{11},1)$ 中分别有实根 $\xi\_{21}$ 和 $\xi\_{22}$.
>
> 如果 $n > 2$, 则 $-1$ 和 $1$ 仍为 $\dfrac{d^2}{dx^2}(x^2 - 1)^n$ 的实根, 即它有四个实根 $-1,\xi\_{21},\xi\_{22}$ 和 $1$.
>
> 继续使用 Rolle 定理, $\dfrac{d^3}{dx^3}(x^2 - 1)^n$ 在 $(-1,1)$ 中就有三个不同的实根. 如此重复证明就知道欲证结论对任意正整数 $n$ 都成立.

非常重要的一点就是微分中值定理中的 $\xi$ 可以取在区间内部.

结束.