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从这一章开始我们要研究多个变量的函数. 实数集的基本性质对于一元实函数的各种性质都有决定性的影响. 因此，为了研究多个变量的函数，我们要首先研究它们的定义域的基本性质.

## Part 1 基本概念

### · 内积与度量

**定义1** (内积)：

> 设 $X$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上的向量空间，如果映射
> $$
> \begin{aligned}
> \&g = \langle,\rangle\colon X \times X \to \mathbb{R} \\\\
> &(x,y) \mapsto g(x,y) = \langle x,y\rangle
> \end{aligned}
> $$
> 满足以下条件：
>
> (1) $\langle x,x\rangle \geqslant 0$，且 $\langle x,x\rangle = 0 \Longleftrightarrow x = 0$（正定性）；
>
> (2) $\langle x,y\rangle = \langle y,x\rangle$，$\forall,x,y \in X$（对称性）；
>
> (3) $\langle \lambda x + \mu y,z\rangle = \lambda\langle x,z\rangle + \mu\langle y,z\rangle$，$\forall,\lambda,\mu \in \mathbb{R}$，$x,y,z \in X$（线性性）.
>
> 则称 $g = \langle,\rangle$ 为 $X$ 上的一个内积，$(X,\langle,\rangle)$ 称为内积空间，$\langle x,y\rangle$ 称为 $x$ 与 $y$ 的内积，$|x| = \sqrt{\langle x,x\rangle}$ 称为 $x$ 的范数.

/example/

> $\mathbb{R}$ 上的内积
>
> > 对任意 $x,y \in \mathbb{R}$，定义 $\langle x,y\rangle = xy$，则显然 $\langle,\rangle$ 为 $\mathbb{R}$ 上的内积. 此时，$x$ 的范数就是其绝对值 $|x|$.
>
> $\mathbb{R}^n$ 上的内积
>
> > 记 $\mathbb{R}^n = {(x\_1,\cdots,x\_n)\mid x\_i \in \mathbb{R}}$ 为全体 $n$ 元有序实数组，以显然的方式，$\mathbb{R}^n$ 成为 $\mathbb{R}$ 上的向量空间，称为 $n$ 维欧氏空间. $\mathbb{R}^n$ 上有标准的内积 $\langle,\rangle$：\
> > $$
> > \langle x,y\rangle = \sum\_{i=1}^n x\_iy\_i,\quad \forall,x = (x\_1,\cdots,x\_n),,y = (y\_1,\cdots,y\_n) \in \mathbb{R}^n.
> > $$
> > 如果 $x = (x\_1,\cdots,x\_n) \in \mathbb{R}^n$，则其范数为\
> > $$
> > |x| = (x\_1^2 + x\_2^2 + \cdots + x\_n^2)^{1/2}.
> > $$
>
> 闭区间上连续函数空间的内积
>
> > 记 $C^0\[a,b]$ 为闭区间 $\[a,b]$ 上连续函数的全体形成的向量空间. 定义内积 $\langle,\rangle$ 如下：\
> > $$
> > \langle f,g\rangle = \int\_a^b f(x)g(x),dx.
> > $$
> > 其中，内积的正定性需要用到连续性的条件：
> >
> > 非负连续函数的积分一定是非负实数，且积分为零当且仅当被积函数为零.

**定理1** (Schwarz 不等式)：设 $(X,\langle,\rangle)$ 为内积空间，则\
$$
|\langle x,y\rangle| \leqslant |x| \cdot |y|,
$$
且等号成立当且仅当 $x$ 与 $y$ 线性相关.

> 当 $x = 0$（或 $y = 0$）时，由内积的线性知\
> $$
> \langle 0,y\rangle = \langle 0\cdot 0,y\rangle = 0\langle 0,y\rangle = 0,
> $$
> 此时 Schwarz 不等式自然成立. 下设 $x \ne 0$，$y \ne 0$，则对任意 $t \in \mathbb{R}$，有\
> $$
> \langle x,x\rangle - 2t\langle x,y\rangle + t^2\langle y,y\rangle = \langle x - ty,x - ty\rangle \geqslant 0,
> $$
> 上式是关于 $t$ 的一元二次函数，因此其判别式非正：\
> $$
> \Delta = 4\langle x,y\rangle^2 - 4\langle x,x\rangle\langle y,y\rangle \leqslant 0,
> $$
> 等号成立的条件略.
>
> **注意**. 如果不考虑等式成立条件，只要 $\langle,\rangle$ 具有非负性，则 Schwarz 不等式仍然成立.

根据 Schwarz 不等式，当 $x,y$ 为非零向量时，可以取 $\theta(x,y) \in \[0,\pi]$，使得\
$$
\cos\theta(x,y) = \frac{\langle x,y\rangle}{|x| \cdot |y|},
$$
$\theta(x,y)$ 称为 $x,y$ 的夹角，也记为 $\angle(x,y)$.

**推论2**：设 $(X,\langle,\rangle)$ 为内积空间，$x,y \in X$，则\
$$
|x + y| \leqslant |x| + |y|.
$$

> 根据 Schwarz 不等式，有\
> $$
> \begin{aligned}
> |x + y|^2 &= \langle x + y,x + y\rangle = \langle x,x\rangle + 2\langle x,y\rangle + \langle y,y\rangle \\\\
> &\leqslant |x|^2 + 2|x|\cdot|y| + |y|^2 \\\\
> &= (|x| + |y|)^2,
> \end{aligned}
> $$
> 因此欲证不等式成立.

**定义2** (度量):

> 设 $X$ 为非空集合，如果映射 $\rho\colon X \times X \to \mathbb{R}$ 满足以下条件：
>
> (1) $\rho(x,y) \geqslant 0$ 且 $\rho(x,y) = 0 \Longleftrightarrow x = y$；
>
> (2) $\rho(x,y) = \rho(y,x)$；
>
> (3) $\rho(x,z) \leqslant \rho(x,y) + \rho(y,z)$. （三角不等式）
>
> 则称 $\rho$ 为 $X$ 上的一个度量（或距离），$(X,\rho)$ 称为度量空间（或距离空间），$\rho(x,y)$ 称为 $x,y$ 之间的距离.

/example/

> $\mathbb{R}$ 上的度量
>
> > 任给 $x,y \in \mathbb{R}$，令 $\rho(x,y) = |x - y|$，则 $\rho$ 为 $\mathbb{R}$ 上的度量.
>
> 内积诱导距离
>
> > 设 $(X,\langle,\rangle)$ 为内积空间，则令\
> > $$
> > \rho(x,y) = |x - y|,\quad \forall,x,y \in X.
> > $$
> > 显然 $\rho$ 满足度量定义中的 (1)，(2)，而三角不等式也成立：\
> > $$
> > \begin{aligned}
> > \rho(x,z) &= |x - z| = |(x - y) + (y - z)| \\\\
> > &\leqslant |x - y| + |y - z| \\\\
> > &= \rho(x,y) + \rho(y,z).\\
> > \end{aligned}
> > $$
> > 因此 $\rho$ 为 $X$ 上的度量，称为由内积诱导的度量.
>
> 离散度量空间
>
> > 度量空间比内积空间要广泛得多，它们不一定为向量空间. 例如，设 $X$ 为任意非空集合，定义映射 $d\colon X \times X \to \mathbb{R}$ 如下：\
> > $$
> > d(x,y) =
> > \begin{cases}
> > 1,& x \ne y,\\
> > 0,& x = y.
> > \end{cases}
> > $$
> > 不难验证 $d$ 为 $X$ 上的一个度量，称为离散度量.

### · 度量空间的拓扑

这部分假设 $(X,\rho)$ 为度量空间. 设 $x \in X$，$r > 0$，记\
$$
B\_r(x) = {y \in X \mid \rho(y,x) < r},
$$
称为以 $x$ 为中心，$r$ 为半径的开球.

**欧氏空间中的开球**：

> 在 $\mathbb{R}$ 中，以 $x\_0$ 为中心，$r$ 为半径的开球就是开区间 $(x\_0 - r,x\_0 + r)$. 在 $\mathbb{R}^2$ 中，以 $(x\_0,y\_0)$ 为中心，以 $r$ 为半径的开球实际上是圆盘\
> $$
> {(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid (x - x\_0)^2 + (y - y\_0)^2 < r^2}.
> $$
> 在一般的欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 中，以 $(x\_0^1,\cdots,x\_0^n)$ 为中心，$r$ 为半径的开球是\
> $$
> {(x^1,\cdots,x^n) \in \mathbb{R}^n \mid (x^1 - x\_0^1)^2 + \cdots + (x^n - x\_0^n)^2 < r^2}.
> $$

**离散度量空间中的开球**：

> 设 $X$ 是离散度量空间. 由于 $X$ 中的距离只取 $0$ 或 $1$，因此\
> $$
> B\_r(x) = {x},\quad \forall,r \leqslant 1;\quad B\_r(x) = X,\quad \forall,r > 1.
> $$
> 我们注意到离散度量空间中的开球看上去和欧氏空间中的很不一样.

**定义1** (开集和闭集)：

> 设 $U$ 为 $X$ 的子集，如果任给 $x \in U$，均存在 $\varepsilon > 0$，使得 $B\_\varepsilon(x) \displaystyle\subset U$，则称 $U$ 为开集；约定空集也是开集. 如果一个集合的补集（余集）是开集，则称该集合为闭集.
>
> 显然，$X$ 为开集，从而空集也是闭集. 含有 $x$ 的开集称为 $x$ 的开邻域.

/example/

> 欧氏空间中的一些开集和闭集
>
> > 开区间 $(a,b)$，$(a,+\infty)$ 和 $(-\infty,b)$ 都是 $\mathbb{R}$ 中的开集；闭区间 $\[a,b]$ 以及区间 $\[a,+\infty)$ 和 $(-\infty,b]$ 都是 $\mathbb{R}$ 中的闭集.
> >
> > 上半平面 ${(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y > 0}$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的开集，闭的圆盘 ${x^2 + y^2 \leqslant r^2}$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的闭集.
> >
> > 一般地，一个子集可能既不是开集，也不是闭集，比如 $\mathbb{R}$ 中的半开半闭区间 $\[a,b)$.
> >
> > 不过，离散度量空间的情形却很特殊.
>
> 离散度量空间中的开集和闭集
>
> > 因为以 $x$ 为中心，以 $1/2$ 为半径的开球就是 ${x}$，因此离散度量空间的任何子集都是开集，从而任何子集也都是闭集.
>
> 度量空间中的开球为开集
>
> > 设 $x \in B\_r(x\_0)$，则 $\rho(x,x\_0) < r$. 令 $\varepsilon = r - \rho(x,x\_0)$，则当 $y \in B\_\varepsilon(x)$ 时，由三角不等式，有\
> > $$
> > \rho(y,x\_0) \leqslant \rho(y,x) + \rho(x,x\_0) < \varepsilon + \rho(x,x\_0) = r,
> > $$
> > 这说明 $y \in B\_r(x\_0)$，即 $B\_\varepsilon(x) \displaystyle\subset B\_r(x\_0)$，因此 $B\_r(x\_0)$ 是开集.
> >
> > 类似可证 ${y \in X \mid \rho(y,x\_0) > r}$ 为开集，其补集称为闭球，是闭集.

下面的命题反映了开集和闭集的基本性质.

**命题1**：

(1) 有限多个开集之交仍为开集；任意多个开集之并仍为开集；

(2) 有限多个闭集之并仍为闭集；任意多个闭集之交仍为闭集.

> (1) 设 $U\_1,\cdots,U\_k$ 为开集，任给 $x \in \displaystyle\bigcap\_{i=1}^k U\_i$，由定义，存在 $\varepsilon\_i > 0$，使得 $B\_{\varepsilon\_i}(x) \displaystyle\subset U\_i$，$i = 1,\cdots,k$. 令 $\varepsilon = \min{\varepsilon\_i\mid i = 1,\cdots,k}$，则 $B\_\varepsilon(x) \displaystyle\subset \displaystyle\bigcap\_{i=1}^k U\_i$，故 $\displaystyle\bigcap\_{i=1}^k U\_i$ 为开集，从而开集的定义立即可以推出任意多个开集之并仍为开集.
>
> (2) 利用集合的运算\
> $$
> \begin{aligned}
> (A\_1 \cup \cdots \cup A\_k)^c &= A\_1^c \cap \cdots \cap A\_k^c \\\\
> (\bigcap\_\alpha A\_\alpha)^c &= \bigcup\_\alpha A\_\alpha^c
> \end{aligned}
> $$
> 及 (1) 即可.

为了刻画闭集，我们引入极限的概念，它是实数的数列极限概念的推广.

**定义2** (极限)：

> 设 ${x\_n}*{n=1}^\infty$ 为 $X$ 中的点列，如果存在 $x\_0 \in X$，使得任给 $\varepsilon > 0$，均存在 $N = N(\varepsilon)$，当 $n > N$ 时，$x\_n \in B*\varepsilon(x\_0)$，则称 ${x\_n}$ 收敛到极限 $x\_0$，记为\
> $$
> \lim\_{n \to \infty} x\_n = x\_0 \quad \text{or} \quad x\_n \to x\_0,(n \to \infty).
> $$

**注意**：

(1) $x\_n \in B\_\varepsilon(x\_0)$ 可改写为 $\rho(x\_n,x\_0) < \varepsilon$，因此有\
$$
\lim\_{n \to \infty} x\_n = x\_0 \Longleftrightarrow \lim\_{n \to \infty} \rho(x\_n,x\_0) = 0.
$$
(2) 由三角不等式和 (1) 易见，极限如果存在，则必唯一.

极限也可以用开集来描述，它的好处是可以不涉及度量，从而便于推广到更一般的空间中.

**命题2**：设 ${x\_n}$ 为度量空间 $(X,\rho)$ 中的点列，则 ${x\_n}$ 收敛于 $x\_0$ 当且仅当任给 $x\_0$ 的开邻域 $U$，存在 $N$，当 $n > N$ 时 $x\_n \in U$.

> (必要性) 设 $\displaystyle\lim\_{n \to \infty} x\_n = x\_0$，$U$ 是 $x\_0$ 的一个开邻域. 于是存在 $\varepsilon > 0$，使得 $B\_\varepsilon(x\_0) \displaystyle\subset U$. 根据极限的定义，存在 $N = N(\varepsilon)$，当 $n > N$ 时\
> $$
> x\_n \in B\_\varepsilon(x\_0) \subset U.
> $$
> (充分性) 取 $U$ 为开球即可.

**命题3**：集合 $A$ 为闭集当且仅当 $A$ 中任何收敛点列的极限仍在 $A$ 中.

> 设 $A$ 为闭集，${x\_n} \displaystyle\subset A$，且 $\displaystyle\lim\_{n \to \infty} x\_n = x\_0$.
>
> \如果 $x\_0 \notin A$，则存在 $\varepsilon\_0 > 0$，使得 $B\_{\varepsilon\_0}(x\_0) \displaystyle\subset A^c$，但 $\displaystyle\lim\_{n \to \infty} x\_n = x\_0$ 意味着，存在 $N = N(\varepsilon\_0)$ 使得 $n > N$ 时 $x\_n \in B\_{\varepsilon\_0}(x\_0)$，这与 $x\_n \in A$ 相矛盾！因此 $x\_0 \in A$.
>
> 反之，如果 $A$ 中任何收敛点列的极限仍在 $A$ 中，则任取 $x\_0 \notin A$，我们说明存在 $n\_0 > 0$ 使得 $B\_{1/n\_0}(x\_0) \displaystyle\subset A^c$，即 $A^c$ 为开集.
>
> （反证法）如果不然，则对任意 $n \geqslant 1$，均有 $B\_{1/n}(x\_0) \cap A \ne \varnothing$. 取 $x\_n \in B\_{1/n}(x\_0) \cap A$，则 $\displaystyle\lim\_{n \to \infty} x\_n = x\_0$，这导出了矛盾.

**PS**. 这个命题可以用来解释闭集的属性：闭集关于求极限运算是封闭的.

**定义3** (内点，外点，边界点)：

> 设 $A$ 为度量空间 $X$ 的子集，$x\_0 \in X$. 如果存在 $x\_0$ 的开邻域 $U$，使得 $U \displaystyle\subset A$，则称 $x\_0$ 为 $A$ 的内点，内点的全体记为 $\operatorname{int}A$ 或 $\mathring{A}$，称为 $A$ 的内部；
>
> 如果存在 $x\_0$ 的开邻域 $U$，使得 $U \displaystyle\subset A^c$，则称 $x\_0$ 为 $A$ 的外点；
>
> 如果 $x\_0$ 的任意开邻域中都既有 $A$ 中的点，也有不属于 $A$ 中的点，则称 $x\_0$ 为 $A$ 的边界点，边界点的全体记为 $\partial A$，称为 $A$ 的边界.

从定义不难看出，内点集 $\mathring{A}$ 是包含于 $A$ 的“最大”开集，$A$ 的外点就是 $A^c$ 的内点，空间 $X$ 可分解为\
$$
X = \operatorname{int}A \cup \partial A \cup \operatorname{int}(A^c),
$$
这个分解中的三个子集互不相交. 由此可得如下性质：

> (1).  $\partial A$ 为闭集，这是因为 $\partial A = (\operatorname{int}A \cup \operatorname{int}(A^c))^c$.
>
> (2).  $\operatorname{int}A \cup \partial A$ 也是闭集，记为 $\bar{A}$，称为 $A$ 的闭包. 闭包是闭集是因为 $\bar{A} = (\operatorname{int}(A^c))^c$. 此外，$\bar{A} = A \cup \partial A$ 也成立. 这是因为，按定义显然有 $A \displaystyle\subset A \cup \partial A$. 其次，如果 $a \in A \cup \partial A$，则 $a \in A$ 或 $a \in \partial A$，总之 $a$ 不是 $A$ 的外点，因此 $a \in \bar{A}$，即 $A \cup \partial A \displaystyle\subset \bar{A}$ 也成立.
>
> (3).  $A$ 为闭集当且仅当 $\partial A \displaystyle\subset A$，即 $A = \bar{A}$. 根据前一条性质，只要证明必要性就可以了. 事实上，如果 $A$ 是闭集，则 $A^c$ 为开集，从而 $A^c$ 就是 $A$ 的全体外点，于是\
> $$
> \bar{A} = (\operatorname{int}(A^c))^c = (A^c)^c = A.
> $$
> (4).  当 $A \displaystyle\subset B$ 时，$\bar{A} \displaystyle\subset \bar{B}$. 这是因为，此时 $A^c \supset B^c$，$\operatorname{int}(A^c) \supset \operatorname{int}(B^c)$，从而 $\bar{A} \displaystyle\subset \bar{B}$ 成立.

考虑多元积分时，我们将要用到闭包和边界的上述性质.

作为 $\mathbb{R}$ 的子集，有理数全体 $\mathbb{Q}$ 既无内点，也无外点. 因此 $\mathbb{Q}$ 的边界点为整个空间 $\mathbb{R}$.

**欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 中开球的边界**：

> 设 $x\_0 \in \mathbb{R}^n$，$r > 0$. 由于 ${|x - x\_0| < r}$ 和 ${|x - x\_0| > r}$ 均为开集，故\
> $$
> \partial B\_r(x\_0) = {|x - x\_0| = r},
> $$
> 这个边界称为 $n - 1$ 维球面（以 $x\_0$ 为中心，$r$ 为半径）.