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## Part 3 连续映射

### · 基本概念

回忆一下连续函数的定义：$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 在 $x\_0$ 处连续是指，任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得 $|x - x\_0| < \delta$ 时 $|f(x) - f(x\_0)| < \varepsilon$。用度量空间的语言可作如下推广：

**定义1** (连续映射)

> 设 $f: X \to Y$ 为度量空间 $(X,\rho\_1)$, $(Y,\rho\_2)$ 之间的映射，设 $x\_0 \in X$。
>
> 如果任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$ 使得 $f(B\_\delta^X(x\_0)) \subset B\_\varepsilon^Y(f(x\_0))$，则称 $f$ 在 $x\_0$ 处连续。
>
> 如果 $f$ 处处连续，则称 $f$ 为连续映射。当 $Y = \mathbb{R}$ 时，连续映射也称为连续函数。
>
> 其中，记号 $B\_\delta^X(x\_0)$ 表示 $X$ 中以 $x\_0$ 为中心，以 $\delta$ 为半径的开球，$B\_\varepsilon^Y(f(x\_0))$ 表示 $Y$ 中以 $f(x\_0)$ 为中心，以 $\varepsilon$ 为半径的开球。

/example/  距离函数的连续性

> /proof/
>
> 设 $a$ 是度量空间 $(X,\rho)$ 中固定的一点，则函数 $f(x) = \rho(x,a)$ 是连续的：设 $x\_0 \in X$，则任给 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \varepsilon$，当 $x \in B\_\delta(x\_0)$ 时\
> $$
> |f(x) - f(x\_0)| = |\rho(x,a) - \rho(x\_0,a)| \leqslant \rho(x,x\_0) < \delta = \varepsilon,
> $$
> 因此 $f$ 在 $x\_0$ 处连续。

**命题1** (连续映射的刻画)

设 $f: X \to Y$ 为度量空间之间的映射，$x\_0$ 为 $X$ 中的一点。则

(1) $f$ 在 $x\_0$ 处连续 $\iff$ 对任意收敛于 $x\_0$ 的点列 ${x\_n}$，均有\
$$
\lim\_{n \to \infty} f(x\_n) = f(x\_0);
$$
(2) $f$ 为连续映射 $\iff$ 对任意开集 $V \subset Y$，$f^{-1}(V)$ 为 $X$ 中开集；

(3) $f$ 为连续映射 $\iff$ 对任意闭集 $B \subset Y$，$f^{-1}(B)$ 为 $X$ 中闭集。

> /proof/
>
> (1) “$\Longrightarrow$” 设 $f$ 在 $x\_0$ 处连续，则任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$ 使得\
> $$
> f(B\_\delta^X(x\_0)) \subset B\_\varepsilon^Y(f(x\_0)).
> $$
> 因为 $\displaystyle\lim\_{n \to \infty} x\_n = x\_0$，故 $n$ 充分大时 $x\_n \in B\_\delta^X(x\_0)$，从而 $f(x\_n) \in B\_\varepsilon^Y(f(x\_0))$，这表明\
> $$
> f(x\_n) \to f(x\_0)\quad(n \to \infty).
> $$
>
> “$\Longleftarrow$”（反证法）如果 $f$ 在 $x\_0$ 处不连续，则存在 $\varepsilon\_0 > 0$，使得对 $\delta = 1/n$，存在 $x\_n \in B\_{1/n}^X(x\_0)$，而 $f(x\_n) \notin B\_{\varepsilon\_0}^Y(f(x\_0))$。显然 $x\_n \to x\_0$，但 $f(x\_n) \not\to f(x\_0)$，矛盾！
>
> (2) “$\Longrightarrow$” 设 $f$ 为连续映射，$V$ 为 $Y$ 中开集。如果 $x\_0 \in f^{-1}(V)$，则 $y\_0 = f(x\_0) \in V$，由于 $V$ 为开集，故存在 $\varepsilon > 0$，使得 $B\_\varepsilon^Y(y\_0) \subset V$。根据连续性，存在 $\delta > 0$，使得 $f(B\_\delta^X(x\_0)) \subset B\_\varepsilon^Y(y\_0) \subset V$，即 $B\_\delta^X(x\_0) \subset f^{-1}(V)$，这说明 $f^{-1}(V)$ 为开集。
>
> “$\Longleftarrow$” 如果开集的原象仍为开集，则任取 $x\_0 \in X$ 以及 $\varepsilon > 0$，记 $y\_0 = f(x\_0)$。于是 $f^{-1}(B\_\varepsilon^Y(y\_0))$ 为 $X$ 中包含 $x\_0$ 的开集，从而存在 $\delta > 0$，使得\
> $$
> B\_\delta^X(x\_0) \subset f^{-1}(B\_\varepsilon^Y(y\_0)),
> $$
> 即 $f(B\_\delta^X(x\_0)) \subset B\_\varepsilon^Y(y\_0)$，这说明 $f$ 在 $x\_0$ 处连续。
>
> (3): 省略.

**注意**。

(1) 如果 $A$ 为 $X$ 之子集，$f: A \to Y$ 为映射，则把 $X$ 的度量限制于 $A$，从而 $A$ 也为度量空间（子度量空间），此时可以定义 $f$ 的连续性，并有类似的刻画。

(2) 设 $f: A \to Y$ 连续，如果任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得 $\rho\_1(a\_1,a\_2) < \delta$ 时 $\rho\_2(f(a\_1),f(a\_2)) < \varepsilon$，则称 $f$ 为一致连续映射。

/example/  Lipschitz 映射

> /proof/
>
> 设 $f: X \to Y$ 是度量空间之间的映射，如果存在常数 $L$，使得\
> $$
> \rho\_2(f(x\_1),f(x\_2)) \leqslant L\rho\_1(x\_1,x\_2),\quad \forall,x\_1,x\_2 \in X,
> $$
> 则称 $f$ 为 Lipschitz 映射，$L$ 称为 Lipschitz 常数。Lipschitz 映射是一致连续的。特别地，压缩映射是 Lipschitz 映射，因此也是连续映射。

**定理2** (连续映射与紧性)：设 $f: X \to Y$ 为连续映射，则

(1) $f$ 将 $X$ 中紧致集合映为 $Y$ 中紧致集合；

(2) $f$ 在紧致集合上一致连续。

> /proof/
>
> (1) 设 $A$ 为 $X$ 中紧致集合，取 $f(A)$ 的开覆盖 ${V\_\alpha}$，则 ${f^{-1}(V\_\alpha)}$ 为 $A$ 的开覆盖，从而存在 $\alpha\_1,\cdots,\alpha\_k$ 使得 $A \subset \displaystyle\bigcup\_{i=1}^k f^{-1}(V\_{\alpha\_i})$。这说明 $f(A) \subset \bigcup\_{i=1}^k V\_{\alpha\_i}$。
>
> (2) 设 $A$ 为紧致集合。如果 $f$ 在 $A$ 上不是一致连续的，则存在 $\varepsilon\_0 > 0$，使得对 $\delta = 1/n$，存在 $a\_n,b\_n \in A$，使得\
> $$
> \rho\_1(a\_n,b\_n) < \frac{1}{n},\quad \rho\_2(f(a\_n),f(b\_n)) > \varepsilon\_0.
> $$
> ${a\_n}$ 和 ${b\_n}$ 分别存在收敛子列，不妨设它们本身是收敛的，极限分别为 $a\_0$, $b\_0$，则\
> $$
> \begin{aligned}
> \rho\_1(a\_0,b\_0) &\leqslant \rho\_1(a\_0,a\_n) + \rho\_1(a\_n,b\_n) + \rho\_1(b\_n,b\_0) \\\\
> &< \frac{1}{n} + \rho\_1(a\_0,a\_n) + \rho\_1(b\_n,b\_0) \to 0,
> \end{aligned}
> $$
> 即 $a\_0 = b\_0$。但\
> $$
> \varepsilon\_0 < \rho\_2(f(a\_n),f(b\_n)) \leqslant \rho\_2(f(a\_n),f(a\_0)) + \rho\_2(f(b\_0),f(b\_n)) \to 0.
> $$
> 这就导出了矛盾！

**推论3** (最值定理)：连续函数 $f: X \to \mathbb{R}$ 在紧致集合上可以取到最大值和最小值。

> /proof/
>
> 设 $A$ 为 $X$ 中的紧致集合，则 $f(A)$ 是 $\mathbb{R}$ 中的紧致集合，因此为 $\mathbb{R}$ 中的有界闭集。这说明 $f(A)$ 中存在最大数和最小数，它们分别是 $f$ 在 $A$ 上的最大值和最小值。

**定义2** (道路连通)

> 设 $G$ 为 $X$ 的子集，如果任给 $x\_1,x\_2 \in G$，均存在连续映射（连续曲线）$\sigma: I = \[0,1] \to X$ 使得 $\sigma(0) = x\_1$, $\sigma(1) = x\_2$, $\sigma(I) \subset G$，则称 $G$ 道路连通。
>
> 显然，$\mathbb{R}^n$ 是道路连通的，因为任何两点均可用直线段相连接。

**命题4**：$\mathbb{R}$ 中道路连通集合必为区间（可退化为一点）。

> /proof/
>
> 设 $G \subset \mathbb{R}$ 道路连通，$a \leqslant b \in G$。我们证明 $\[a,b] \subset G$。
>
> 事实上，由定义，存在连续映射 $f: \[0,1] \to \mathbb{R}$，使得 $f(0) = a$, $f(1) = b$, $f(\[0,1]) \subset G$。$f$ 为一元连续函数，由介值定理，$\[a,b] \subset f(\[0,1]) \subset G$。

**定理5** (连续映射与连通性)：连续映射将道路连通的集合映为道路连通集合。

> /proof/
>
> 设 $G \subset X$ 道路连通，$f: X \to Y$ 连续。
>
> 任取 $y\_1,y\_2 \in f(G)$，则存在 $x\_1,x\_2 \in G$ 使得 $f(x\_1) = y\_1$, $f(x\_2) = y\_2$。
>
> 由定义，存在连续映射 $\sigma: \[0,1] \to X$ 使得 $\sigma(0) = x\_1$, $\sigma(1) = x\_2$, $\sigma(\[0,1]) \subset G$。
>
> 复合映射 $f \circ \sigma: \[0,1] \to Y$ 连续，且 $f \circ \sigma(0) = f(x\_1) = y\_1$, $f \circ \sigma(1) = f(x\_2) = y\_2$, $f \circ \sigma(\[0,1]) \subset f(G)$。$f \circ \sigma$ 就是 $f(G)$ 中连接 $y\_1,y\_2$ 的道路。

**推论6** (介值定理)：设 $f: X \to \mathbb{R}$ 为连续函数，$G \subset X$ 道路连通。

(1) 如果存在 $x\_1,x\_2 \in G$，使得 $f(x\_1)f(x\_2) \leqslant 0$，则存在 $x\_0 \in G$ 使得 $f(x\_0) = 0$；

(2) 对于满足条件 $f(x\_1) \leqslant y \leqslant f(x\_2)$ 的任意 $y$，一定存在 $x \in G$ 使得 $y = f(x)$。

> /proof/
>
> 以 (2) 为例。因为 $f$ 连续，$G$ 道路连通，故 $f(G) \subset \mathbb{R}$ 也道路连通，从而 $f(G)$ 为区间。
>
> 由 $f(x\_1),f(x\_2) \in f(G)$ 即知 $\[f(x\_1),f(x\_2)] \subset f(G)$，特别地，$y \in f(G)$，即存在 $x \in G$ 使得 $y = f(x)$。

/example/设 $f: S^1 \to \mathbb{R}$ 为单位圆周上的连续函数，则存在 $x\_0 \in S^1$，使得\
$$
f(-x\_0) = f(x\_0).
$$

> /proof/
>
> 考虑函数 $g: S^1 \to \mathbb{R}$，使得\
> $$
> g(x) = f(x) - f(-x),\quad \forall,x \in S^1.
> $$
> 则 $g$ 也是连续函数，且\
> $$
> g(x)g(-x) = \[f(x) - f(-x)]\[f(-x) - f(x)] = -\[f(x) - f(-x)]^2 \leqslant 0,
> $$
> 根据介值定理，存在 $x\_0 \in S^1$，使得 $g(x\_0) = 0$，此时 $f(-x\_0) = f(x\_0)$。

### · 欧氏连续映射

在以后的章节中，欧氏空间将是我们的研究对象。因此，我们要考虑从一个欧氏空间到另一个欧氏空间的映射。从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的映射称为一元函数；当 $n > 1$ 时，从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}$ 的映射称为多元函数；一般地，从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^m$ 的映射称为向量值函数。

对于多元连续函数来说，其四则运算性质和一元连续函数没有什么区别。

**命题7**：设 $f,g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 为连续函数，则

> (1) 当 $\lambda,\mu \in \mathbb{R}$ 时，$\lambda f + \mu g$ 也是连续函数；
>
> (2) $fg$ 为连续函数；
>
> (3) 当 $g \ne 0$ 时，$f/g$ 为连续函数。

现在我们考虑向量值的函数 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$，写成分量的形式为\
$$
f(x) = (f\_1(x),\cdots,f\_m(x)),\quad x = (x\_1,\cdots,x\_n) \in \mathbb{R}^m.
$$
我们有

**命题8**：$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 为连续映射当且仅当 $f\_i$ 均为连续函数，其中 $i = 1,\cdots,m$。

> /proof/
>
> 由连续性的刻画可知，$f$ 在 $x\_0$ 处连续当且仅当 $\lim\_{x \to x\_0} f(x) = f(x\_0)$，根据欧氏空间中的极限性质，\
> $$
> \lim\_{x \to x\_0} f(x) = f(x\_0) \iff \lim\_{x \to x\_0} f\_i(x) = f\_i(x\_0),\quad i = 1,\cdots,m.
> $$
> 即 $f$ 在 $x\_0$ 处连续当且仅当 $f\_i$ ($1 \leqslant i \leqslant n$) 均在 $x\_0$ 处连续。

**线性映射**：

> 设 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 为向量值函数。如果任给 $x,y \in \mathbb{R}^n$，成立\
> $$
> f(\lambda x + \mu y) = \lambda f(x) + \mu f(y),\quad \forall,\lambda,\mu \in \mathbb{R},
> $$
> 则称 $f$ 为线性映射。$m = 1$ 的情形就是线性函数。
>
> 记 $e\_i$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中第 $i$ 个位置为 1，其它位置为零的向量，则 ${e\_1,\cdots,e\_n}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 的一组标准基。$\mathbb{R}^n$ 中的向量 $x$ 可写为\
> $$
> x = (x\_1,\cdots,x\_n) = x\_1e\_1 + \cdots + x\_ne\_n,
> $$
> 根据线性性，$f(x)$ 可写为\
> $$
> f(x) = f(x\_1e\_1 + \cdots + x\_ne\_n) = x\_1f(e\_1) + \cdots + x\_nf(e\_n),
> $$
> 这是线性函数表达式的推广。如果记 $f(e\_i) = (a\_{1i},\cdots,a\_{mi})$，用列向量表示，则上式可改写为\
> $$
> f(x) =
> \begin{pmatrix}
> a\_{11} & a\_{12} & \cdots & a\_{1n} \\
> a\_{21} & a\_{22} & \cdots & a\_{2n} \\
> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
> a\_{m1} & a\_{m2} & \cdots & a\_{mn}
> \end{pmatrix}
> \begin{pmatrix}
> x\_1 \ x\_2 \ \vdots \ x\_n
> \end{pmatrix},
> $$
> 这是线性映射的矩阵表示，$f$ 由矩阵 $A = (a\_{ij})\_{m\times n}$ 完全决定了。
>
> 如果 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, $g: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^s$ 均为连续映射，则复合映射 $g \circ f$ 是从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^s$ 的连续映射。
>
> 如果 $f,g$ 均为线性映射，且其矩阵表示分别为 $A,B$，则 $g \circ f$ 也是线性映射，其矩阵表示为 $BA$。
>
> 因此，对于线性映射的研究可以转化为对于矩阵的研究，这是线性代数的内容。

## Part 4 二元函数

映射 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 称为二元函数。$\mathbb{R}^2$ 中的点用坐标 $(x,y)$ 表示。设 $(x\_0,y\_0) \in \mathbb{R}^2$，如果存在 $A \in \mathbb{R}$，使得任给 $\varepsilon > 0$，均存在 $\delta > 0$，当\
$$
0 < |(x,y) - (x\_0,y\_0)| = \sqrt{(x - x\_0)^2 + (y - y\_0)^2} < \delta
$$
时，$|f(x,y) - A| < \varepsilon$，就称 $f$ 在 $(x\_0,y\_0)$ 处有极限（重极限），记为\
$$
\lim\_{(x,y) \to (x\_0,y\_0)} f(x,y) = A\quad\text{or}\quad \lim\_{\substack{x \to x\_0 \ y \to y\_0}} f(x,y) = A.
$$
如果对于每一个固定的 $y$，极限 $\displaystyle\lim\_{x \to x\_0} f(x,y) = \varphi(y)$ 存在，则可以定义极限\
$$
\lim\_{y \to y\_0} \lim\_{x \to x\_0} f(x,y) = \lim\_{y \to y\_0} \varphi(y).
$$
类似地定义 $\displaystyle\lim\_{x \to x\_0} \lim\_{y \to y\_0} f(x,y)$，称它们为累次极限。

/example/

> (1) $\displaystyle \lim\_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y^2}{x^2 + y^2} = 0$，这是因为\
> $$
> 0 \leqslant \frac{x^2y^2}{x^2 + y^2} \leqslant \frac{1}{2}|xy| \leqslant \frac{1}{4}(x^2 + y^2).
> $$
>
> (2) $\displaystyle \frac{xy}{x^2 + y^2}$ 在 $(0,0)$ 处无极限（分别考虑 $y = x$ 和 $y = x^2$）。
>
> (3) $f(x,y) = x\sin\dfrac{1}{y}$。由 $|f(x,y)| \leqslant x$ 知 $\displaystyle \lim\_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = 0$，但 $\displaystyle \lim\_{y \to 0} f(x,y)$ 不存在。
>
> (4) $\displaystyle \lim\_{y \to 0} \lim\_{x \to 0} \frac{xy}{x^2 + y^2} = \lim\_{x \to 0} \lim\_{y \to 0} \frac{xy}{x^2 + y^2} = 0$，但由 (2) 知重极限不存在。

**定理9**：如果 $\displaystyle \lim\_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = A$，且对任意 $y \ne b$，$\displaystyle \lim\_{x \to a} f(x,y) = \varphi(y)$ 存在，则\
$$
\lim\_{y \to b} \lim\_{x \to a} f(x,y) = \lim\_{y \to b} \varphi(y) = A;
$$
如果对任意 $x \ne a$，$\displaystyle \lim\_{y \to b} f(x,y)$ 也存在，则\
$$
\lim\_{x \to a} \lim\_{y \to b} f(x,y) = A = \lim\_{y \to b} \lim\_{x \to a} f(x,y).
$$

> /proof/
>
> 以 $A$ 有限为例。由假设，任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当\
> $$
> 0 < \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} < \delta
> $$
> 时 $|f(x,y) - A| < \dfrac{\varepsilon}{2}$。固定 $y$，令 $x \to a$，得\
> $$
> \left|\lim\_{x \to a} f(x,y) - A\right| \leqslant \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon,\quad \forall,0 < |y - b| < \frac{\delta}{2}.
> $$
> 这说明\
> $$
> \lim\_{y \to b} \lim\_{x \to a} f(x,y) = A.
> $$
> 其它情形可类似证明