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微分学的基本方法就是对函数或向量值的函数作线性化，用线性映射去作逼近. 大部分的内容和一元函数相应的内容平行，但有一些地方也有本质不同. 我们将研究多变量函数或映射的微分性质.

## Part 1 导数

### · 定义

**定义1 (方向导数)**.

> 设 $D$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的开集，$f: D \to \mathbb{R}$ 为 $D$ 中定义的函数. 对于 $p \in D$，以及 $\mathbb{R}^n$ 中单位向量 $u$，极限
>
> $$
> \lim\_{t \to 0} \frac{f(p + tu) - f(p)}{t}
> $$
>
> 如果存在，则称 $f$ 在 $p$ 处沿方向 $u$ 有方向导数，上述极限记为 $\dfrac{\partial f}{\partial u}(p)$，称为 $f$ 沿 $u$ 的方向导数.

> \[!important]
>
> (1) 方向导数就是一元函数 $\varphi(t) = f(p + tu)$ 在 $t = 0$ 处的导数. 特别地，当 $u = e\_i = (0, \cdots, 0, 1, 0, \cdots, 0)$（第 $i$ 个位置为 1 的单位向量）时，又将 $\dfrac{\partial f}{\partial u}(p)$ 记为 $\dfrac{\partial f}{\partial x\_i}(p)$，称为 $f$ 的第 $i$ 个偏导数. 按定义，有
>
> $$
> \frac{\partial f}{\partial x\_i}(p) = \lim\_{t \to 0} \frac{f(p\_1, \cdots, p\_{i-1}, p\_i + t, p\_{i+1}, \cdots, p\_n) - f(p\_1, \cdots, p\_n)}{t}.
> $$
>
> (2) 偏导数 $\dfrac{\partial f}{\partial x\_i}$ 又记为 $f'*{x\_i}$ 或 $f*{x\_i}$. 如果 $f'*{x\_i} = \dfrac{\partial f}{\partial x\_i}$ 仍然可求偏导数，则记 $f''*{y\_i x\_i} = \dfrac{\partial}{\partial y\_i} \left( \dfrac{\partial f}{\partial x\_i} \right)$，$f''\_{x\_i y\_i} = \dfrac{\partial}{\partial x\_i} \left( \dfrac{\partial f}{\partial y\_i} \right)$，称为 2 阶偏导数. 类似地可以定义高阶偏导数.
>
> 如果 $f$ 存在直到 $k$ 阶的连续偏导数，则称 $f$ 为 $C^k$ 函数. 我们也使用形如这样的记号：
> $$
> \frac{\partial^2 f}{\partial x\_i^2} = \frac{\partial}{\partial x\_i} \left( \frac{\partial f}{\partial x\_i} \right), \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x\_i \partial y\_i} = \frac{\partial}{\partial x\_i} \left( \frac{\partial f}{\partial y\_i} \right), \cdots.
> $$

/example/  设 $(x\_0, y\_0, z\_0) \in \mathbb{R}^3$，求函数的偏导数

$$
f(x, y, z) = \left\[ (x - x\_0)^2 + (y - y\_0)^2 + (z - z\_0)^2 \right]^{-\frac{1}{2}}
$$

> 记
>
> $$
> r = \left\[ (x - x\_0)^2 + (y - y\_0)^2 + (z - z\_0)^2 \right]^{\frac{1}{2}}
> $$
>
> 则
>
> $$
> \frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{1}{r^2} \cdot \frac{\partial r}{\partial x} = -\frac{1}{r^2} \cdot \frac{x - x\_0}{r} = -\frac{x - x\_0}{r^3}.
> $$
>
> 同理，
>
> $$
> \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{y - y\_0}{r^3}, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = -\frac{z - z\_0}{r^3}.
> $$

和一元函数不同的是，偏导数的存在不能保证多元函数的连续性，这是因为偏导数只反映函数沿特定方向的性质.

> /example/
>
> 设
>
> $$
> f(x, y) =
> \begin{cases}
> 0, & \text{when } x \cdot y = 0, \\
> 1, & \text{when } x \cdot y \ne 0,
> \end{cases}
> $$
>
> 则
>
> $$
> \begin{aligned}
> \frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) &= \lim\_{x \to 0} \frac{f(x, 0) - f(0, 0)}{x} = 0, \\\\
> \frac{\partial f}{\partial y}(0, 0) &= \lim\_{y \to 0} \frac{f(0, y) - f(0, 0)}{y} = 0.
> \end{aligned}
> $$
>
> 显然，$f$ 在 $(0, 0)$ 处不连续.

**定理1 (复合求导)**. 设 $f$ 如前，$x^0 \in D$. 假设 $f'\_{x\_i}$ ($1 \le i \le n$) 在 $x^0$ 处连续，则

(1) $f$ 在 $x^0$ 处连续；

(2) 如果 $x\_i = x\_i(t)$ 在 $t\_0$ 处可导，$x^0 = (x\_1(t\_0), \cdots, x\_n(t\_0))$，则 $f(x(t))$ 在 $t = t\_0$ 处可导，且

$$
\left. \frac{df(x(t))}{dt} \right|*{t = t\_0} = \sum*{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x\_i}(x(t\_0)) \cdot \frac{dx\_i}{dt}(t\_0).
$$

> (1) 利用微分中值定理，有
>
> $$
> \begin{aligned}
> f(x) - f(x^0) &= \sum\_{i=1}^n \left\[ f(x\_1^0, \cdots, x\_{i-1}^0, x\_i, \cdots, x\_n) - f(x\_1^0, \cdots, x\_{i-1}^0, x\_i^0, x\_{i+1}^0, \cdots, x\_n) \right] \\\\
> &= \sum\_{i=1}^n f'*{x\_i}(x\_1^0, \cdots, x*{i-1}^0, \xi\_i, x\_{i+1}, \cdots, x\_n) \cdot (x\_i - x\_i^0),
> \end{aligned}
> $$
>
> 当 $x \to x^0$ 时，$\xi\_i \to x\_i^0$，由 $f'*{x\_i}$ 在 $x^0$ 处连续知 $\displaystyle\lim*{x \to x^0} (f(x) - f(x^0)) = 0$.
>
> (2) 由 (1) 的证明，有
>
> $$
> \begin{aligned}
> \left. \frac{df}{dt} \right|*{t = t\_0} &= \lim*{t \to t\_0} \frac{f(x(t)) - f(x(t\_0))}{t - t\_0} \\\\
> &= \lim\_{t \to t\_0} \sum\_{i=1}^n f'*{x\_i}(x\_1^0, \cdots, x*{i-1}^0, \xi\_i, x\_{i+1}, \cdots, x\_n) \cdot \frac{x(t) - x\_i(t\_0)}{t - t\_0} \\\\
> &= \sum\_{i=1}^n f'\_{x\_i}(x^0) \cdot x'\_i(t\_0).
> \end{aligned}
> $$
>
> 这就证明了定理.

**推论2**. 在定理的条件下，如果 $u = \sum\_{i=1}^n u\_i \cdot e\_i = (u\_1, u\_2, \cdots, u\_n)$，则
$$
\frac{\partial f}{\partial u}(p) = \left. \frac{d}{dt} \right|*{t=0} f(p + tu) = \sum*{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x\_i}(p) \cdot u\_i.
$$

**定理3 (求导次序的可交换性)**. 设 $f: D \to \mathbb{R}$ 为二元函数，$(x\_0, y\_0) \in D$. 如果 $f''*{xy}$ 和 $f''*{yx}$ 在 $(x\_0, y\_0)$ 处连续，则
$$
f''*{xy}(x\_0, y\_0) = f''*{yx}(x\_0, y\_0).
$$

> 对于充分小的 $k \ne 0$，$h \ne 0$ 分别考虑函数
>
> $$
> \varphi(y) = f(x\_0 + h, y) - f(x\_0, y), \\
> \psi(x) = f(x, y\_0 + k) - f(x, y\_0).
> $$
>
> 由微分中值定理，有
>
> $$
> \begin{aligned}
> \varphi(y\_0 + k) - \varphi(y\_0) &= \varphi'\_y(y\_0 + \theta\_1 k) k \quad (0 < \theta\_1 < 1) \\\\
> &= \[f'\_y(x\_0 + h, y\_0 + \theta\_1 k) - f'*y(x\_0, y\_0 + \theta\_1 k)] k \\\\
> &= f''*{xy}(x\_0 + \theta\_2 h, y\_0 + \theta\_1 k) h k. \quad (0 < \theta\_2 < 1)
> \end{aligned}
> $$
>
> 同理，
>
> $$
> \psi(x\_0 + h) - \psi(x\_0) = f''\_{yx}(x\_0 + \theta\_3 h, y\_0 + \theta\_4 k) h k, \quad (0 < \theta\_3, \theta\_4 < 1).
> $$
>
> 易见，
>
> $$
> \varphi(y\_0 + k) - \varphi(y\_0) = \psi(x\_0 + h) - \psi(x\_0),
> $$
>
> 故有
>
> $$
> f''*{xy}(x\_0 + \theta\_2 h, y\_0 + \theta\_1 k) = f''*{yx}(x\_0 + \theta\_3 h, y\_0 + \theta\_4 k).
> $$
>
> 令 $k, h \to 0$，由 $f''*{xy},\ f''*{yx}$ 在 $(x\_0, y\_0)$ 处连续即得欲证等式.

**推论4**. 多元函数的各阶偏导数如果连续，则其值与求导次序无关.

### · 几何应用

设 $\sigma: \[\alpha, \beta] \to \mathbb{R}^n$ 为连续映射，称 $\sigma$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的一条连续曲线. 记

$$
\sigma(t) = (x\_1(t), \cdots, x\_n(t)), \quad t \in \[\alpha, \beta].
$$

如果 $x\_i(t)$ ($1 \le i \le n$) 在 $t = t\_0$ 处均可导，则称 $\sigma$ 在 $t\_0$ 处可导，记

$$
\sigma'(t\_0) = \frac{d\sigma}{dt}(t\_0) = \left. \frac{d\sigma}{dt} \right|\_{t = t\_0} = (x'\_1(t\_0), \cdots, x'\_n(t\_0)),
$$

称 $\sigma'(t\_0)$ 为 $\sigma$ 在 $t\_0$ 处的切向量.

当 $\sigma'(t\_0) \ne 0$ 时，称 ${ \sigma(t\_0) + \sigma'(t\_0) u \mid u \in \mathbb{R} }$ 为 $\sigma$ 在 $t\_0$ 处的切线，其方程可写为 $p - \sigma(t\_0) = u \cdot \sigma'(t\_0)$，或

$$
\frac{x - x\_0}{x'\_1(t\_0)} = \frac{y - y\_0}{x'\_2(t\_0)} = \frac{z - z\_0}{x'\_3(t\_0)}.
$$

经过 $\sigma(t\_0)$ 且与切线正交的超平面称为法面，其方程为

$$
(q - \sigma(t\_0)) \cdot \sigma'(t\_0) = 0.
$$
/example/

> 设 $f$ 为一元可微函数，令
>
> $$
> \sigma(t) = (t, f(t)),
> $$
>
> 则 $\sigma'(t\_0) = (1, f'(t\_0))$，$\sigma$ 在 $t\_0$ 处切线方程为
>
> $$
> \frac{x - t\_0}{1} = \frac{y - f(t\_0)}{f'(t\_0)},
> $$
>
> 即
>
> $$
> y = f(t\_0) + f'(t\_0)(x - t\_0).
> $$
>
> 这也就是一元函数图像的切线.

/example/  求螺旋线的切线和法面方程

$$
\sigma(t) = (a \cos t, a \sin t, t), \quad t \in \mathbb{R}
$$

> 在 $t = t\_0$ 处，$\sigma'(t\_0) = (-a \sin t\_0, a \cos t\_0, 1)$，故切线方程为
>
> $$
> \frac{x - a \cos t\_0}{-a \sin t\_0} = \frac{y - a \sin t\_0}{a \cos t\_0} = \frac{z - t\_0}{1},
> $$
>
> 法面方程化简后为 $-x a \sin t\_0 + y a \cos t\_0 + z - t\_0 = 0$.
>
> 设 $D$ 为 $\mathbb{R}^m$ 中的开集，我们称连续映射 $r: D \to \mathbb{R}^n$ ($n > m$) 为 $\mathbb{R}^n$ 中的一个参数曲面. 设 $u^0 = (u\_1^0, \cdots, u\_m^0) \in D$，则
>
> $$
> u \mapsto r(u\_1^0, \cdots, u\_{i-1}^0, u, u\_{i+1}^0, \cdots, u\_m^0)
> $$
>
> 为 $\mathbb{R}^n$ 中曲线，称为参数曲面上的 $u\_i$ 曲线. 如果 $u\_i$ 曲线在 $u\_i^0$ 处可导，则记
>
> $$
> \frac{\partial r}{\partial u\_i}(u^0) = r\_{u\_i}(u^0) = r'\_{u\_i}(u^0),
> $$
>
> 它是该曲线在 $u^0$ 处的切向量. 如果 ${ r'\_{u\_i}(u^0) \mid 1 \le i \le m }$ 线性无关（此时称 $u^0$ 为正则点），则称由这些切向量张成的、经过 $r(u^0)$ 的子线性空间为切空间，切空间的正交补称为法空间，法空间中的向量称为法向量.
>
> 对于 $\mathbb{R}^3$ 中的曲面，设其参数表示为
>
> $$
> r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),
> $$
>
> 则其切向量为
>
> $$
> \begin{aligned}
> r'\_u(u\_0, v\_0) &= (x'\_u(u\_0, v\_0), y'\_u(u\_0, v\_0), z'\_u(u\_0, v\_0)), \\\\
> r'\_v(u\_0, v\_0) &= (x'\_v(u\_0, v\_0), y'\_v(u\_0, v\_0), z'\_v(u\_0, v\_0)).
> \end{aligned}
> $$
>
> 如果 $r'\_u(u\_0, v\_0)$，$r'\_v(u\_0, v\_0)$ 线性无关，则
>
> $$
> \begin{aligned}
> \vec{n} &= r'\_u(u\_0, v\_0) \times r'\_v(u\_0, v\_0) \\\\
> &= (y'\_u z'\_v - z'\_u y'\_v, ; z'\_u x'\_v - x'\_u z'\_v, ; x'\_u y'\_v - y'\_u x'\_v) \ne 0,
> \end{aligned}
> $$
>
> $\vec{n}$ 为法向量，从而曲面的切平面方程为
>
> $$
> (p - r(u\_0, v\_0)) \cdot \vec{n} = 0
> $$
>
> 或改写为
>
> $$
> \begin{vmatrix}
> x - x(u\_0, v\_0) & y - y(u\_0, v\_0) & z - z(u\_0, v\_0) \\\\
> x'\_u(u\_0, v\_0) & y'\_u(u\_0, v\_0) & z'\_u(u\_0, v\_0) \\\\
> x'\_v(u\_0, v\_0) & y'\_v(u\_0, v\_0) & z'\_v(u\_0, v\_0)
> \end{vmatrix} = 0.
> $$

/example/  求球面 $S^2 = { (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 = 1 }$ 的切面.

> 球面可写成参数曲面
>
> $$
> x = \sin \theta \cos \varphi, ; y = \sin \theta \sin \varphi, ; z = \cos \theta,
> $$
>
> 其中 $0 \le \theta \le \pi$，$0 \le \varphi \le 2\pi$. 其法向量为
>
> $$
> \begin{aligned}
> \vec{n} &= (\cos \theta \cos \varphi, \cos \theta \sin \varphi, -\sin \theta) \times (-\sin \theta \sin \varphi, \sin \theta \cos \varphi, 0) \\\\
> &= \sin \theta \cdot (x, y, z),
> \end{aligned}
> $$
>
> 故球面在 $(x\_0, y\_0, z\_0)$ 处切平面方程为
>
> $$
> (x - x\_0) \cdot x\_0 + (y - y\_0) \cdot y\_0 + (z - z\_0) \cdot z\_0 = 0.
> $$
>
> 一般地，当 $m = n - 1$ 时，称参数曲面 $r: D \to \mathbb{R}^n$ 为超曲面. 如果 $r$ 表示为
>
> $$
> r(u) = r(u\_1, \cdots, u\_{n-1}) = (x\_1(u\_1, \cdots, u\_{n-1}), \cdots, x\_n(u\_1, \cdots, u\_{n-1})),
> $$
>
> 在正则点 $u^0$ 处，曲面的 $n - 1$ 个切向量为
>
> $$
> r'\_{u\_i}(u^0) = \left( \frac{\partial x\_1}{\partial u\_i}(u^0), \cdots, \frac{\partial x\_n}{\partial u\_i}(u^0) \right), \quad i = 1, \cdots, n - 1.
> $$
>
> 记 $\vec{N} = (N\_1, \cdots, N\_n)$，其中
>
> $$
> N\_i = (-1)^{i-1} \frac{\partial (x\_1, \cdots, x\_{i-1}, x\_{i+1} \cdots, x\_n)}{\partial (u\_1, \cdots, u\_{n-1})}(u^0),
> $$
>
> 这里我们采用了下面的记号
>
> $$
> \frac{\partial (x\_1, \cdots, x\_{i-1}, x\_{i+1} \cdots, x\_n)}{\partial (u\_1, \cdots, u\_{n-1})}(u^0) = \det
> \begin{pmatrix}
> \dfrac{\partial x\_1}{\partial u\_1}(u^0) & \cdots & \dfrac{\partial x\_1}{\partial u\_{n-1}}(u^0) \\
> \vdots & \ddots & \vdots \\
> \dfrac{\partial x\_{i-1}}{\partial u\_1}(u^0) & \cdots & \dfrac{\partial x\_{i-1}}{\partial u\_{n-1}}(u^0) \\\\
> \dfrac{\partial x\_{i+1}}{\partial u\_1}(u^0) & \cdots & \dfrac{\partial x\_{i+1}}{\partial u\_{n-1}}(u^0) \\
> \vdots & \ddots & \vdots \\
> \dfrac{\partial x\_n}{\partial u\_1}(u^0) & \cdots & \dfrac{\partial x\_n}{\partial u\_{n-1}}(u^0)
> \end{pmatrix}.
> $$
>
> 根据矩阵行列式的性质，$\vec{N}$ 与 $r'\_{u\_i}(u^0)$ ($1 \le i \le n - 1$) 均正交，即 $\vec{N}$ 是曲面的法向量.

## Part 2 映射的微分

回忆一下，对于一元函数而言，可微是指该函数可以被线性函数一阶逼近. 我们也可以利用线性化的思想来研究多元函数.

设 $D \subset \mathbb{R}^n$ 为开集，向量值函数 $f: D \to \mathbb{R}^m$ 写成分量形式为

$$
f(x\_1, \cdots, x\_n) = (f\_1(x\_1, \cdots, x\_n), \cdots, f\_m(x\_1, \cdots, x\_n)),
$$

为方便起见，在下面的内容中欧氏空间里的向量有时以列向量来表示.

### · 微分

**定义1 (微分)**.

> 设 $f$ 如上，$x^0 = (x\_1^0, \cdots, x\_n^0) \in D$. 如果存在 $m \times n$ 阶的矩阵 $A = (a\_{ij})\_{m \times n}$，使得对于 $x^0$ 附近的点 $x$，有
>
> $$
> |f(x) - \[f(x^0) + A \cdot (x - x^0)]| = o(|x - x^0|), \quad (x \to x^0)
> $$
>
> 则称 $f$ 在 $x^0$ 处可微，线性映射
>
> $$
> df(x^0): \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \\
> v \mapsto A \cdot v
> $$
>
> 称为 $f$ 在 $x^0$ 处的微分.

**命题1** (可微 $\Rightarrow$ 可导). 如果 $f: D \to \mathbb{R}^m$ 在 $x^0$ 处可微，则其分量 $f\_i$ ($1 \le i \le m$) 在 $x^0$ 处存在方向导数，并且
$$
A = \left( \frac{\partial f\_i}{\partial x\_j}(x^0) \right)\_{m \times n}.
$$

> 从微分的定义可以看出，如果 $f$ 在 $x^0$ 处可微，则 $f$ 在 $x^0$ 处连续. 下面以 $m = 1$ 为例说明方向导数的存在性.
>
> 为此，取单位向量 $u$，由定义，我们有
>
> $$
> \begin{aligned}
> f(x^0 + tu) - f(x^0) &= A \cdot (x^0 + tu - x^0) + o(|x^0 + tu - x^0|) \\\\
> &= tA \cdot u + o(|t|),
> \end{aligned}
> $$
>
> 这说明 $\dfrac{\partial f}{\partial u}(x^0) = A \cdot u$，即方向导数存在. 特别地，
>
> $$
> \frac{\partial f}{\partial x\_i}(x^0) = A \cdot e\_i, \quad A = \left( \frac{\partial f}{\partial x\_1}(x^0), \cdots, \frac{\partial f}{\partial x\_n}(x^0) \right).
> $$
>
> 这就证明了命题.

如果 $f\_i$ ($1 \le i \le m$) 的偏导数均存在，则记 $Jf = \left( \dfrac{\partial f\_i}{\partial x\_j} \right)\_{m \times n}$，称为 $f$ 的 Jacobian 矩阵.

当 $m = 1$ 时，又记 $Jf$ 为 $\nabla f$，称为 $f$ 的梯度.

$Jf$ 在每一点的值构成一个映射 $Jf: D \to \mathbb{R}^{mn}$，这里我们将 $m \times n$ 阶矩阵视为 $\mathbb{R}^{mn}$ 中的点.

**定理2 (可微的充分条件)**. 如果 $Jf$ 在 $D$ 中存在，且它作为映射在 $x^0$ 处连续，则 $f$ 在 $x^0$ 处可微.

> 仍以 $m = 1$ 为例来证明. 由条件，$f'\_{x\_i}$ 在 $x^0$ 处连续，$i = 1, 2, \cdots, n$. 根据微分中值定理，有
>
> $$
> \begin{aligned}
> f(x) - f(x^0) &= \sum\_{i=1}^n \left\[ f(x\_1^0, \cdots, x\_{i-1}^0, x\_i, x\_{i+1}, \cdots, x\_n) - f(x\_1^0, \cdots, x\_i^0, x\_{i+1}, \cdots, x\_n) \right] \\\\
> &= \sum\_{i=1}^n f'*{x\_i}(x\_1^0, \cdots, x*{i-1}^0, x\_i^0 + \theta\_i(x\_i - x\_i^0), x\_{i+1}, \cdots, x\_n) \cdot (x\_i - x\_i^0) \\\\
> &= \sum\_{i=1}^n f'*{x\_i}(x^0) \cdot (x\_i - x\_i^0) + \sum*{i=1}^n \alpha\_i \cdot (x\_i - x\_i^0),
> \end{aligned}
> $$
>
> 其中，当 $x\_i \to x\_i^0$ 时
>
> $$
> \alpha\_i = f'*{x\_i}(x\_1^0, \cdots, x*{i-1}^0, x\_i^0 + \theta\_i(x\_i - x\_i^0), x\_{i+1}, \cdots, x\_n) - f'\_{x\_i}(x\_1^0, \cdots, x\_n^0) \to 0,
> $$
>
> 从而
>
> $$
> \begin{aligned}
> \left| f(x) - \left\[ f(x^0) + \sum\_{i=1}^n f'*{x\_i}(x^0) \cdot (x\_i - x\_i^0) \right] \right| &\le \left( \sum*{i=1}^n \alpha\_i^2 \right)^{\frac{1}{2}} \cdot |x - x^0| \\\\
> &= o(|x - x^0|),
> \end{aligned}
> $$
>
> 即 $f$ 在 $x^0$ 处可微.

如果我们把 $m \times n$ 的矩阵视为 $\mathbb{R}^{mn}$ 中的点，则矩阵也可定义自然的范数. 即，如果 $A = (a\_{ij})\_{m \times n}$，则其范数定义为

$$
|A| = \left\[ \sum\_{j=1}^n \sum\_{i=1}^m a\_{ij}^2 \right]^{\frac{1}{2}}.
$$

由 Schwarz 不等式可得

$$
|A \cdot v| \le |A| \cdot |v|, \quad \forall v \in \mathbb{R}^n.
$$

### · 链式法则

**定理3 (复合求导)**. 设 $\Delta \subset \mathbb{R}^l$ 为开集，$D \subset \mathbb{R}^m$ 为开集，$g: \Delta \to D$ 及 $f: D \to \mathbb{R}^n$ 为映射. 如果 $g$ 在 $u^0 \in \Delta$ 处可微，$f$ 在 $x^0 = g(u^0)$ 处可微，则复合映射 $h = f \circ g: \Delta \to \mathbb{R}^n$ 在 $u^0$ 处可微，且
$$
Jh(u^0) = Jf(x^0) \cdot Jg(u^0).
$$

> 因为 $g$ 在 $u^0$ 处可微，故
>
> $$
> g(u) - g(u^0) = Jg(u^0) \cdot (u - u^0) + R\_g(u, u^0), \tag{1}
> $$
>
> 其中 $R\_g(u, u^0) = o(|u - u^0|)$. 同理，因为 $f$ 在 $x^0 = g(u^0)$ 处可微，故
>
> $$
> f(x) - f(x^0) = Jf(x^0) \cdot (x - x^0) + R\_f(x, x^0), \tag{2}
> $$
>
> 其中 $R\_f(x, x^0) = o(|x - x^0|)$.
>
> 由 (1) 知，当 $u \to u^0$ 时，$g(u) \to g(u^0) = x^0$. 以 $x = g(u)$ 代入 (2)，得
>
> $$
> \begin{aligned}
> f \circ g(u) - f \circ g(u^0) &= Jf(x^0)(g(u) - g(u^0)) + R\_f(g(u), g(u^0)) \\\\
> &= Jf(x^0) \cdot Jg(u^0) \cdot (u - u^0) + R\_{f \circ g}(u, u^0),
> \end{aligned} \tag{3}
> $$
>
> 其中
>
> $$
> R\_{f \circ g}(u, u^0) = Jf(x^0) \cdot R\_g(u, u^0) + R\_f(g(u), g(u^0)),
> $$
>
> 我们有如下估计
>
> $$
> \begin{aligned}
> |R\_{f \circ g}(u, u^0)| &\le |Jf(x^0) \cdot R\_g(u, u^0)| + |R\_f(g(u), g(u^0)| \\\\
> &\le |Jf(x^0)| \cdot |R\_g(u, u^0)| + o(|g(u) - g(u^0)|) \\\\
> &= o(|u - u^0|) + o(O(|u - u^0|)) = o(|u - u^0|).
> \end{aligned}
> $$
>
> 由 (3) 及微分的定义知 $f \circ g$ 在 $u^0$ 处可微，且 $J(f \circ g)(u^0) = Jf(x^0) \cdot Jg(u^0)$.
>
> 如果将 $f$, $g$ 分别表示成分量形式
>
> $$
> \begin{aligned}
> y\_i = f\_i(x\_1, \cdots, x\_m), \quad i = 1, \cdots, n, \\\\
> x\_j = g\_j(u\_1, \cdots, u\_l), \quad j = 1, \cdots, m.
> \end{aligned}
> $$
>
> 则 $J(f \circ g)(u^0) = Jf(x^0) \cdot Jg(u^0)$ 写成矩阵的形式为
>
> $$
> \begin{pmatrix}
> \dfrac{\partial y\_1}{\partial u\_1}(u^0) & \cdots & \dfrac{\partial y\_1}{\partial u\_l}(u^0) \\
> \vdots & \ddots & \vdots \\
> \dfrac{\partial y\_n}{\partial u\_1}(u^0) & \cdots & \dfrac{\partial y\_n}{\partial u\_l}(u^0)
> \end{pmatrix}\_{n \times l} \\
> ==============================
>
> \begin{pmatrix}
> \dfrac{\partial y\_1}{\partial x\_1}(x^0) & \cdots & \dfrac{\partial y\_1}{\partial x\_m}(x^0) \\
> \vdots & \ddots & \vdots \\
> \dfrac{\partial y\_n}{\partial x\_1}(x^0) & \cdots & \dfrac{\partial y\_n}{\partial x\_m}(x^0)
> \end{pmatrix}*{n \times m} \cdot
> \begin{pmatrix}
> \dfrac{\partial x\_1}{\partial u\_1}(u^0) & \cdots & \dfrac{\partial x\_1}{\partial u\_l}(u^0) \\
> \vdots & \ddots & \vdots \\
> \dfrac{\partial x\_m}{\partial u\_1}(u^0) & \cdots & \dfrac{\partial x\_m}{\partial u\_l}(u^0)
> \end{pmatrix}*{m \times l},
> $$
>
> 即
>
> $$
> \frac{\partial y\_i}{\partial u\_j}(u^0) = \sum\_{s=1}^m \frac{\partial y\_i}{\partial x\_s}(g(u^0)) \cdot \frac{\partial x\_s}{\partial u\_j}(u^0).
> $$
>
> 这也就是所谓的链规则.

设 $u = f(x, y)$ 可微，$x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$，证明

$$
\left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)^2 = \left( \frac{\partial u}{\partial r} \right)^2 + \frac{1}{r^2} \left( \frac{\partial u}{\partial \theta} \right)^2.
$$

> 由链规则，
>
> $$
> \begin{aligned}
> \frac{\partial u}{\partial r} &= \frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x} \cos \theta + \frac{\partial u}{\partial y} \sin \theta \\\\
> \frac{\partial u}{\partial \theta} &= \frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial \theta} = -r \frac{\partial u}{\partial x} \sin \theta + r \frac{\partial u}{\partial y} \cos \theta
> \end{aligned}
> $$
>
> 这说明
>
> $$
> \begin{aligned}
> \left( \frac{\partial u}{\partial r} \right)^2 + \frac{1}{r^2} \left( \frac{\partial u}{\partial \theta} \right)^2 &= \left( \frac{\partial u}{\partial x} \cos \theta + \frac{\partial u}{\partial y} \sin \theta \right)^2 + \left( -\frac{\partial u}{\partial x} \sin \theta + \frac{\partial u}{\partial y} \cos \theta \right)^2 \\\\
> &= \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)^2.
> \end{aligned}
> $$

设 $z = f(u, v, w)$, $v = \varphi(u, s)$, $s = \psi(u, w)$，求 $\dfrac{\partial z}{\partial u}$, $\dfrac{\partial z}{\partial w}$.

> 按照定义，
>
> $$
> z = f(u, v, w) = f(u, \varphi(u, s), w) = f(u, \varphi(u, \psi(u, w)), w).
> $$
>
> 由链规则，
>
> $$
> \begin{aligned}
> \frac{\partial z}{\partial u} &= \frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \left( \frac{\partial \varphi}{\partial u} + \frac{\partial \varphi}{\partial s} \cdot \frac{\partial s}{\partial u} \right) \\\\
> &= \frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial s} \cdot \frac{\partial \psi}{\partial u} \\\\
> \frac{\partial z}{\partial w} &= \frac{\partial f}{\partial w} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial w} = \frac{\partial f}{\partial w} + \frac{\partial f}{\partial v} \left( \frac{\partial \varphi}{\partial s} \cdot \frac{\partial s}{\partial w} \right) \\\\
> &= \frac{\partial f}{\partial w} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial s} \cdot \frac{\partial \psi}{\partial w}.
> \end{aligned}
> $$

### · 形式微分

最后，我们简单地介绍全微分（形式微分）的概念. 设 $f: D \to \mathbb{R}$ 为可微的多元函数，由定义，$f$ 在 $x$ 处的微分 $df(x)$ 是一个线性映射
$$
\begin{aligned}
\&df(x): \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} \\\\
\&v \mapsto \sum\_{i=1}^m \frac{\partial f}{\partial x\_i} \cdot v\_i.
\end{aligned}
$$

我们将映射 $x \mapsto df(x)$ 称为 $f$ 的全微分，记为 $df$. 由于

$$
d(\lambda f + \mu g)(x) = \lambda df(x) + \mu dg(x), \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R},
$$

因此，全微分之间也可以定义加法和数乘运算，在这个意义下，有

$$
df = \sum\_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x\_i} \cdot dx^i \quad (\*)
$$

$$
\begin{aligned}
\&d(\lambda f + \mu g) = \lambda df + \mu dg, \\\\
\&d(f \cdot g) = f dg + g df, \\\\
\&d\left( \frac{f}{g} \right) = \frac{g df - f dg}{g^2} \quad (g \ne 0).
\end{aligned}
$$

如果将 (\*) 写成矩阵形式：

$$
df = Jf \cdot (dx\_1, \cdots, dx\_n)^T,
$$

则复合映射的链规则可写为

$$
\begin{aligned}
d(f \circ g) &= J(f \circ g) \cdot (du\_1, \cdots, du\_m)^T \\\\
&= Jf(x) \cdot Jg(u)(du\_1, \cdots, du\_m)^T \quad (x = g(u)) \\\\
&= Jf(g(u)) \cdot (dg\_1, \cdots, dg\_n)^T.
\end{aligned}
$$

这个等式称为全微分的形式不变性.