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## Part 5 重积分的应用和推广

### · 广义积分

我们在前面几节所考虑的重积分有两个局限：一是积分区域要是可求体积（面积）的有界集合，二是被积函数要是有界的.

先考虑无界区域上的积分. 假设 $A$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的（无界）集合，如果对于每个矩形 $\[-k, k]^n$ ($k \geq 1$)，$A \cap \[-k, k]^n$ 都是可求体积的，且极限 $\displaystyle\lim\_{k \to +\infty} v(A \cap \[-k, k]^n)$ 存在（有限），则称 $A$ 是广义可求体积的，其体积定义为

$$
v(A) = \lim\_{k \to +\infty} v(A \cap \[-k, k]^n).
$$

如果 $A$ 本身就是可求体积的有界集合，则它也是广义可求体积的，体积的定义和前面并无矛盾.

注意到 $v(A \cap \[-k, k]^n)$ 关于 $k$ 是单调递增的，因此有

**命题1.**

> $A$ 广义可求体积当且仅当 $A \cap \[-k, k]^n$ 可求体积且它们的体积有上界.
>
> 我们再注意到，如果将定义中的矩形 $\[-k, k]^n$ 换成半径为 $k$ 的球体 $B\_k(0)$，则结论不变. 事实上，由等式
>
> $$
> A \cap B\_k(0) = (A \cap \[-k, k]^n) \cap B\_k(0)
> $$
>
> 以及可求体积的有界集合之交仍可求体积知，如果 $A \cap \[-k, k]^n$ 都是可求体积的，则 $A \cap B\_k(0)$ 也都是可求体积的，再根据
>
> $$
> A \cap \left\[\frac{k}{\sqrt{n}}, \frac{k}{\sqrt{n}}\right]^n \subset A \cap B\_k(0) \subset A \cap \[-k, k]^n
> $$
>
> 以及数列极限的夹逼原理知
>
> $$
> \lim\_{k \to +\infty} v(A \cap B\_k(0)) = \lim\_{k \to +\infty} v(A \cap \[-k, k]^n).
> $$
>
> 反之，如果 $A \cap B\_k(0)$ 都是可求体积的，则 $A \cap \[-k, k]^n$ 也都是可求体积的，且二者极限相等.
>
> 我们可以将矩形或半径越来越大的球体推广为更一般的可求体积区域.

**定义1（穷竭）**

> 设 ${\Omega\_i}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中一列可求体积的有界开区域，满足条件
>
> (1) $\bar{\Omega}*i \subset \Omega*{i+1},\ \forall i \geq 1$；
>
> (2) $\bigcup\_{i \geq 1} \Omega\_i = \mathbb{R}^n$,
>
> 则称 ${\Omega\_i}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 的一个穷竭.
>
> 开矩形 ${(-k, k)^n}$ 和开球体 ${B\_k(0)}$ 都是 $\mathbb{R}^n$ 的穷竭. 在具体的积分计算中，往往可以适当地选取穷竭以简化计算，见后面的例子. 在穷竭的定义中当然也可以考虑一般的有界区域，此时要求 $\bar{\Omega}*i$ 含于 $\Omega*{i+1}$ 的内点集中.

现在下面的命题就比较明显了.

**命题2.**

> 设 ${\Omega\_i}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 的一个穷竭，则 $A$ 广义可求体积当且仅当 ${A \cap \Omega\_i}$ 是一列体积有上界的可求体积集，且
>
> $$
> v(A) = \lim\_{i \to \infty} v(A \cap \Omega\_i).
> $$
>
> 类似地，我们可以把重积分的定义推广到无界集合上. 设 $f: A \to \mathbb{R}$ 是集合 $A \subset \mathbb{R}^n$ 上定义的非负函数. 如果对每一个矩形 $\[-k, k]^n$，$A \cap \[-k, k]^n$ 都是可求体积的，$f$ 在 $A \cap \[-k, k]^n$ 上可积，且极限
>
> $$
> \lim\_{k \to +\infty} \int\_{A \cap \[-k, k]^n} f
> $$
>
> 存在（有限），则称 $f$ 在 $A$ 上广义可积或广义积分收敛，其（广义）积分记为
>
> $$
> \int\_A f = \lim\_{k \to +\infty} \int\_{A \cap \[-k, k]^n} f.
> $$
>
> 注意，此时 $A$ 不一定是广义可求体积的（体积可能为无穷）. 如果上式右边的极限为 $+\infty$，则称 $f$ 的广义积分在 $A$ 上发散. 下面的命题也是可以立即得到的.

**命题3.**

> 设 $f: A \to \mathbb{R}$ 为非负函数，则
>
> (1) $f$ 在 $A$ 上广义可积当且仅当积分 $\int\_{A \cap \[-k, k]^n} f$ 关于 $k$ 有上界；\
> (2) 设 ${\Omega\_i}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 的一个穷竭，则 $f$ 在 $A$ 上广义可积当且仅当 $f$ 在 $A \cap \Omega\_i$ 上可积，且积分有上界，此时
>
> $$
> \int\_A f = \lim\_{i \to \infty} \int\_{A \cap \Omega\_i} f.
> $$
>
> 对于一般的函数 $f: A \to \mathbb{R}$，记
>
> $$
> f^+ = \max{f, 0},\quad f^- = \max{-f, 0},
> $$
>
> 则 $f = f^+ - f^-$. $f^+, f^-$ 都是非负函数，当 $f^+, f^-$ 在 $A$ 上广义可积时，我们称 $f$ 在 $A$ 上广义可积，积分定义为
>
> $$
> \int\_A f = \int\_A f^+ - \int\_A f^-.
> $$

注意到 $|f| = f^+ + f^-$，因此 $f$ 在 $A$ 上广义可积时，$|f|$ 在 $A$ 上也广义可积，这和一元函数的广义积分是不同的！之所以出现这种差别还是因为被积区域在一般维数时可能非常复杂（因此对被积函数的要求较高）.

对于一般的函数广义积分敛散性，根据命题3，我们有如下比较判别法.

**定理4.**

> 设 $g(x)$ 为 $A$ 上非负广义可积函数，$f$ 在每一个 $A \cap \[-k, k]^n$ 上可积，且当 $|x|$ 充分大时，$|f(x)| \leq g(x)$，则 $f(x)$ 在 $A$ 上广义可积.

显然，定理中的矩形 $\[-k, k]^n$ 可以换成球体 $B\_k(0)$. 记 $r = |x|$，考虑函数 $r^{-p}$ 在区域 ${r\_0 \leq r \leq R}$ ($r\_0 > 0$) 上的积分，利用球面坐标以及结论可得

$$
\int\_{r\_0 \leq r \leq R} r^{-p} = \int\_{r\_0}^R r^{n-1-p} (n\omega\_n) dr = \frac{1}{n - p}(R^{n-p} - r\_0^{n-p})(n\omega\_n),
$$

因此当 $p > n$ 时，$r^{-p}$ 在 ${r \geq r\_0}$ 上广义可积. 根据比较定理，可得

**推论5.**

> 设 $f$ 在每一个 $A \cap B\_k(0)$ 上可积. 如果 $p > n$ 为常数，且当 $|x|$ 充分大时，成立
> $$
> |f(x)| \leq |x|^{-p},
> $$
>
> 则 $f$ 在 $A$ 上广义可积.

下面研究无界函数的积分. 设 $A$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中可求体积的有界集合，$p \in A$. 给定非负函数 $f: A - p \to \mathbb{R}$，如果对于任意 $\varepsilon > 0$，$f$ 在 $A - B\_\varepsilon(p)$ 上可积，且极限

$$
\lim\_{\varepsilon \to 0^+} \int\_{A - B\_\varepsilon(p)} f
$$

存在（有限），则称 $f$ 在 $A$ 上的瑕积分收敛，记为

$$
\int\_A f = \lim\_{\varepsilon \to 0^+} \int\_{A - B\_\varepsilon(p)} f,
$$

否则就称瑕积分发散. 当 $f$ 在整个 $A$ 上可积时，$f$ 在 $A$ 上的瑕积分收敛且两个积分相等.

如果 $f$ 是一般的函数，则考虑 $f^+$ 和 $f^-$，当 $f^+$ 和 $f^-$ 在 $A$ 上的瑕积分都收敛时，称 $f$ 在 $A$ 上的瑕积分收敛，且定义

$$
\int\_A f = \int\_A f^+ - \int\_A f^-.
$$

如同广义积分的讨论那样，瑕积分定义中的球体 $B\_\varepsilon(p)$ 可以换成包含 $p$ 的其它可求体积的区域，例如直径趋于零的矩形. 下面的结果当然也成立.

**命题6.**

> 设 $f: A - p \to \mathbb{R}$ 为非负函数，如果 $f$ 在 $A - B\_\varepsilon(p)$ 上均可积，且积分
>
> $$
> \int\_{A - B\_\varepsilon(p)} f
> $$
>
> 关于 $\varepsilon$ 有界，则 $f$ 在 $A$ 上的瑕积分收敛；反之亦然.

对于最一般的区域和最一般的函数，我们可能会碰到积分区域无界，且函数有很多瑕点的情形. Riemann 积分能够处理的情形仍然相当有限，在后续由 Lebesgue 积分来部分地弥补了这一不足.

### · 物理应用

(1) 物体的质量.

> 设 $A$ 为空间物体，其密度函数为 $\rho(x, y, z)$，则它的质量 $m$ 为
>
> $$
> m = \int\_A \rho(x, y, z) dx dy dz.
> $$
>
> 类似地，如果物体是密度函数为 $\rho(x, y)$ 的平面薄板，则质量可以用二重积分来计算.

(2) 物体的重心.

> 仍设 $A$ 为空间物体，其密度函数为 $\rho(x, y, z)$，则它的质量中心 $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$ 坐标为
>
> $$
> \bar{x} = \frac{1}{m} \int\_A x\rho(x, y, z),\quad \bar{y} = \frac{1}{m} \int\_A y\rho(x, y, z),\quad \bar{z} = \frac{1}{m} \int\_A z\rho(x, y, z).
> $$

(3) 转动惯量.

> 物体 $A$ 关于 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的转动惯量分别为
>
> $$
> I\_x = \int\_A (y^2 + z^2)\rho(x, y, z),\quad I\_y = \int\_A (x^2 + z^2)\rho(x, y, z),\quad I\_z = \int\_A (x^2 + y^2)\rho(x, y, z).
> $$
>
> 一般地，如果 $l$ 为空间直线，$(x, y, z)$ 到 $l$ 的距离记为 $r(x, y, z)$，则物体关于 $l$ 的转动惯量为
>
> $$
> I\_l = \int\_A r^2(x, y, z)\rho(x, y, z) dx dy dz.
> $$

(4) 万有引力.

> 设 $A$ 为如上空间物体，$B$ 为位于 $(x\_0, y\_0, z\_0)$ 处质量为 $m\_0$ 的质点，则由 Newton 万有引力定律，$A$ 对 $B$ 所产生的引力 $F$ 为
>
> $$
> \vec{F} = G m\_0 \int\_A \frac{\rho(x, y, z)}{r^3} \vec{r} dx dy dz,
> $$
>
> 其中，$G$ 为万有引力常数，
>
> $$
> \vec{r} = (x - x\_0, y - y\_0, z - z\_0),\quad r = |\vec{r}| = \sqrt{(z - z\_0)^2 + (y - y\_0)^2 + (z - z\_0)^2}.
> $$