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## Part 1 连续函数

### · 定义

连续变化的量用数学的语言来刻画就是连续函数。

**定义1**（连续性）：如果 $f$ 在 $x\_0$ 的一个邻域中有定义且 $f$ 在 $x\_0$ 处的极限等于 $f(x\_0)$，则称 $f$ 在 $x\_0$ 处连续，$x\_0$ 称为 $f$ 的一个连续点；如果 $f$ 在 $x\_0$ 处的左极限等于 $f(x\_0)$，则称 $f$ 在 $x\_0$ 处左连续；如果 $f$ 在 $x\_0$ 处的右极限等于 $f(x\_0)$，则称 $f$ 在 $x\_0$ 处右连续；在定义域内每一点都连续的函数称为连续函数。

> (1) 如果 $x\_0$ 不是 $f$ 的连续点，则称 $x\_0$ 是 $f$ 的一个间断点。显然，$f$ 在 $x\_0$ 处连续当且仅当 $f$ 在 $x\_0$ 处左连续和右连续。我们还可以用 Heine 定理来描述连续性：$f$ 在 $x\_0$ 处连续当且仅当对任意收敛到 $x\_0$ 的点列 $x\_n$，均有 $f(x\_n) \to f(x\_0)$ ($n \to \infty$)。
>
> (2) 用 $\varepsilon - \delta$ 的语言来描述 $f$ 在 $x\_0$ 处连续就是：任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $|x - x\_0| < \delta$ 时，有
> $$
> |f(x) - f(x\_0)| < \varepsilon.
> $$
>
> (3)\* 上半连续和下半连续：如果任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $|x - x\_0| < \delta$ 时，有
> $$
> f(x) > f(x\_0) - \varepsilon,
> $$
> 则称 $f$ 在 $x\_0$ 处下半连续；如果任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $|x - x\_0| < \delta$ 时，有
> $$
> f(x) < f(x\_0) + \varepsilon,
> $$
> 则称 $f$ 在 $x\_0$ 处上半连续。
>
> (4) 连续点和连续性的概念可以推广到在 $\mathbb{R}$ 的子集 $X$ 上定义的函数 $f: X \to \mathbb{R}$ 上：$x\_0 \in X$ 为 $f$ 的连续点是指当 $x \in X$，$x \to x\_0$ 时 $f(x) \to f(x\_0)$。因此，当 $X = \[a,b]$ 时，$f$ 为 $\[a,b]$ 上的连续函数是指 $f$ 在 $(a,b)$ 中每一点都连续，且在 $a$ 处右连续，在 $b$ 处左连续。

下面给出几个例子：

> 根据前面两节的计算，我们已经知道下面的初等函数都是连续的：
> $$
> C ,\ x,\ \sin x,\ \cos x,\ \sqrt{x},\ \log\_a x\ (a > 0, a \ne 1).
> $$
> 如果 $f$ 为连续函数，则 $|f|$ 也是连续函数
>
> > 设 $f$ 在 $x\_0$ 处连续，则由
> > $$
> > 0 \le ||f(x)| - |f(x\_0)|| \le |f(x) - f(x\_0)|
> > $$
> > 以及夹逼原理知 $|f(x)|$ 在 $x\_0$ 处连续
>
> 研究函数 $f(x) = \frac{1}{x}\ (x \ne 0)$ 的连续性
>
> > 设 $x\_0 > 0$。任给 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \min\left{\frac{1}{2}x\_0, \frac{1}{2}x\_0^2\varepsilon\right}$，当 $|x - x\_0| < \delta$ 时
> > $$
> > \left|\frac{1}{x} - \frac{1}{x\_0}\right| = \frac{|x - x\_0|}{|x x\_0|} \le \frac{2|x - x\_0|}{x\_0^2} < \varepsilon,
> > $$
> > 因此 $f(x)$ 在 $x\_0$ 处连续。完全类似地可证明，当 $x\_0 < 0$ 时，$f$ 在 $x\_0$ 处也连续。因此 $\frac{1}{x}$ 为连续函数
>
> 研究函数 $f(x) = a^x\ (a > 0)$ 的连续性
>
> > $a = 1$ 时 $f(x) = 1$ 为常值函数，因此是连续函数。设 $a \ne 1$，$x\_0 \in \mathbb{R}$，则
> > $$
> > \lim\_{x \to x\_0} a^x = \lim\_{x \to x\_0} a^{x\_0} a^{x - x\_0} = a^{x\_0} \lim\_{y \to 0} a^y = a^{x\_0}.
> > $$
> > 因此 $f(x)$ 为连续函数

利用下面的两个定理可以得到连续函数的更多例子

**定理1**（连续函数的四则运算）．设 $f(x), g(x)$ 都在 $x\_0$ 处连续，则

(1) $\alpha f(x) + \beta g(x)$ 在 $x\_0$ 处连续，其中 $\alpha, \beta$ 为常数；

(2) $f(x)g(x)$ 在 $x\_0$ 处连续；

(3) 当 $g(x\_0) \ne 0$ 时，$f(x)/g(x)$ 在 $x\_0$ 处连续。

> 由函数极限的四则运算性质即可得到

**定理2**（复合函数的连续性）．设函数 $f(y)$ 在 $y\_0$ 处连续，函数 $g(x)$ 在 $x\_0$ 处的极限为 $y\_0$，则有
$$
\lim\_{x \to x\_0} f(g(x)) = f\left(\lim\_{x \to x\_0} g(x)\right) = f(y\_0),
$$
特别地，当 $g$ 在 $x\_0$ 处连续时，复合函数 $f(g(x))$ 在 $x\_0$ 处也连续。

> /proof/
>
> 因为函数 $f(y)$ 在 $y\_0$ 处连续，故任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $|y - y\_0| < \delta$ 时，
> $$
> |f(y) - f(y\_0)| < \varepsilon.
> $$
> 对于这个 $\delta$，因为 $g(x) \to y\_0\ (x \to x\_0)$，故存在 $\eta > 0$，使得当 $0 < |x - x\_0| < \eta$ 时，
> $$
> |g(x) - y\_0| < \delta,
> $$
> 从而
> $$
> |f(g(x)) - f(y\_0)| < \varepsilon,
> $$
> 即
> $$
> f(g(x)) \to f(y\_0) = f\left(\lim\_{x \to x\_0} g(x)\right).
> $$

下面再给出一些例子：

> 如果 $f, g$ 为连续函数，则 $\max{f,g}$ 和 $\min{f,g}$ 均为连续函数
>
> > 当 $f, g$ 连续时，$f + g$, $f - g$ 均连续。并且可以直接验证
> > $$
> > \begin{aligned}
> > \max{f,g} &= \frac{1}{2}{(f + g) + |f - g|},\\\\
> > \min{f,g} &= \frac{1}{2}{(f + g) - |f - g|}.
> > \end{aligned}
> > $$
> > 于是 $\max{f,g}$ 和 $\min{f,g}$ 均为连续函数
>
> 有理函数的连续性
>
> > 因为 $f(x) = x$ 为连续函数，因此 $x^2 = x \cdot x$, $x^3 = x \cdot x \cdot x, \cdots, x^n\ (n \ge 1)$ 都是连续函数；同理，因为 $f(x) = x^{-1}$ 连续，因此 $x^n\ (n \le -1)$ 也是连续函数。
> >
> > 进一步，有理函数（即两个多项式之商）在定义域内均为连续函数
>
> 三角函数的连续性
>
> > 因为 $\sin x, \cos x$ 为连续函数，故三角函数
> > $$
> > \csc x = \frac{1}{\sin x},\ \sec x = \frac{1}{\cos x},\ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x},\ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}
> > $$
> > 在定义域内均为连续函数
>
> 设 $\alpha \ne 0$，研究幂函数 $f(x) = x^\alpha$ 的连续性
>
> > 设 $\alpha > 0$。先来说明 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处是连续的。事实上，任给 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \varepsilon^{1/\alpha}$，当 $|x| < \delta$ 时
> > $$
> > |x^\alpha - 0| = (|x|)^\alpha \le (\varepsilon^{1/\alpha})^\alpha = \varepsilon.
> > $$
> > 因此 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续。
> >
> > 如果 $x > 0$，则 $x^\alpha = e^{\alpha \ln x}$，根据复合函数的连续性，我们知道 $f(x)$ 连续；如果 $x < 0$，则 $x^\alpha = (-1)^\alpha e^{\alpha \ln |x|}$，仍由复合函数的连续性知 $f(x)$ 连续。
> >
> > 如果 $\alpha < 0$，则
> > $$
> > x^\alpha = \left(\frac{1}{x}\right)^{-\alpha},
> > $$
> > 因此当 $x \ne 0$ 时函数是连续的。总之，在定义域内，幂函数是连续的

### · 间断点

单调函数和可逆函数之间有很密切的联系，我们先来研究单调函数的连续性

**定义2**：设 $x\_0$ 为 $f(x)$ 的一个间断点。如果 $f(x)$ 在 $x\_0$ 处的左极限 $f(x\_0 - 0)$ 和右极限 $f(x\_0 + 0)$ 都存在且有限，则称 $x\_0$ 为第一类间断点；其它的间断点都称为第二类间断点。左极限和右极限不相等的第一类间断点称为跳跃间断点；左极限和右极限相等的第一类间断点称为可去间断点。

/example/

> 研究单调函数 $f(x) = \[x]$ 的连续性，其中 $\[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数
>
> > 当 $k \le x < k + 1$ ($k$ 为整数) 时，$\[x] = k$。因此，当 $x$ 不是整数时，$f(x)$ 在 $x$ 处连续。当 $x = k$ 为整数时，$f(x)$ 在 $k$ 处的左极限为 $k - 1$，右极限为 $k$。这说明 $f(x)$ 的间断点恰为所有的整数点。$\square$
> >
> > 根据定义，函数 $f(x) = \[x]$ 的间断点都是跳跃间断点。

下面的结果说明单调函数在定义域内部的间断点都是跳跃间断点。

**命题3**．设 $f(x)$ 是区间 $(a,b)$ 中的单调函数，$x\_0 \in (a,b)$。如果 $x\_0$ 为 $f(x)$ 的间断点，则 $x\_0$ 是跳跃间断点。

> /proof/
>
> 由单调性知 $f(x)$ 在 $x\_0$ 处的左极限和右极限都存在且有限，当 $f$ 单调递增时，有
> $$
> f(x\_0 - 0) \le f(x\_0) \le f(x\_0 + 0),
> $$
> 当 $f$ 单调递减时，有
> $$
> f(x\_0 - 0) \ge f(x\_0) \ge f(x\_0 + 0).
> $$
> 因此，如果 $x\_0$ 为 $f(x)$ 的间断点，则 $x\_0$ 必为跳跃间断点

**命题4**：设 $f(x)$ 是定义在区间 $I$ 中的单调函数，则 $f(x)$ 的间断点为至多可数多个

> /proof/
>
> 不妨设 $f(x)$ 单调递增，且 $I$ 为开区间。假设 $x\_1 < x\_2$ 为间断点，则
> $$
> f(x\_1 - 0) \le f(x\_1) \le f(x\_1 + 0) \le f(x\_2 - 0) \le f(x\_2) \le f(x\_2 + 0).
> $$
> 因此，区间 $(f(x\_1 - 0), f(x\_1 + 0))$ 和 $(f(x\_2 - 0), f(x\_2 + 0))$ 不相交。如果我们把每一个间断点 $x$ 均对应到开区间 $(f(x - 0), f(x + 0))$，则这些开区间互不相交。这样的开区间只有至多可数多个，因此 $f(x)$ 的间断点也至多可数

**命题5**：设 $f(x)$ 是定义在区间 $I$ 中的严格单调函数，则 $f(x)$ 连续当且仅当 $f(I)$ 也是区间

> 不妨设 $f(x)$ 严格单调递增。如果 $f(I)$ 为区间，则 $f(x)$ 没有间断点，这是因为间断点 $x\_0$ 对应的区间 $(f(x\_0 - 0), f(x\_0 + 0))$ 不在值域内，从而会分割值域。即值域为区间时 $f$ 是连续的。
>
> 如果 $f$ 连续，则由**介值定理**知 $f(I)$ 为区间

**推论6**．定义在区间 $I$ 中的严格单调连续函数 $f(x)$ 一定是可逆的，且其逆也是严格单调连续的

> 不妨设 $f(x)$ 严格单调递增。由上一命题知 $f(I) = J$ 是区间。因为映射 $f: I \to J$ 是一一映射，故它是可逆的。设 $y\_1 < y\_2 \in J$，记 $x\_1 = f^{-1}(y\_1)$, $x\_2 = f^{-1}(y\_2)$。如果 $x\_1 \ge x\_2$，则因为 $f$ 单调递增，故 $y\_1 = f(x\_1) \ge f(x\_2) = y\_2$，这就得到矛盾。这说明
> $$
> x\_1 = f^{-1}(y\_1) < x\_2 = f^{-1}(y\_2),
> $$
> 因此 $f^{-1}$ 是 $J$ 上的严格单调递增函数。因为 $f^{-1}(J) = I$ 为区间，由上一命题即知 $f^{-1}$ 连续。
>
> **注意**．利用介值定理可以证明，区间上的连续函数可逆当且仅当它是严格单调的。

**定理7**．初等函数在其定义域内均为连续函数

> 我们已经证明了常值函数、三角函数、幂函数、指数函数与对数函数在其定义域内是连续的。根据上面的推论，反三角函数在其定义域内也是连续的。这些基本初等函数在四则运算以及复合之下也都是连续函数
>
> 利用初等函数的连续性，求函数极限的时候通常就可以直接代入定义域内的变量值来计算