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# Chapter 1 质点运动学

## Part 0 基础知识总结

### · 位移 速度 加速度

位置矢量（位矢）：建立直角坐标系后，物体的位置可用坐标 $A(x,y,z)$ 表示，向量 $\vec{r}=\overrightarrow{OA}$ 就称为位置矢量，也记为 $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ .

运动函数：运动函数就是质点坐标 $x,y,z$ 随 $t$ 的变化关系，将 $t$ 消掉判断运动轨迹

***

位移和路程：

* 物体的位置变化称为位移 $\Delta \vec{r}$ ，实际运动路径长称为路程 $\Delta s$
* $\Delta \vec{r}$ 是位移，$|\Delta \vec{r}|$ 是位移大小， $\Delta r$ 是物体到原点距离变化
* 只有 $ds=|d\vec{r}|$ 是正确的，出现 $\Delta r$ ， $dr$ 基本都是错的

***

速度：

* 平均速度 $\overline{v} = \frac{\Delta \overline{r}}{\Delta t}$，平均速率是路程除以时间 $\overline{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t}$
* 瞬时速度就是对每个坐标分量求导 $\overline{v} = \frac{d \overline{r}}{dt} = \frac{dx}{dt} \hat{i} + \frac{dy}{dt} \hat{j} + \frac{dz}{dt} \hat{k}$
* 瞬时速率是瞬时速度的大小

$$
v = \left| \frac{d \overline{r}}{dt} \right| = \frac{ds}{dt} = \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dz}{dt} \right)^2}
$$

* 注意：不能写成 $\frac{dr}{dt}$ 或 $\frac{d|\overline{r}|}{dt}$

***

加速度：

* 平均加速度 $\overline{a} = \frac{\Delta \overline{v}}{\Delta t}$
* 瞬时加速度就是对每个速度分量求导

$$
\overline{a} = \frac{d \overline{v}}{dt} = \frac{dv\_x}{dt} \hat{i} + \frac{dv\_y}{dt} \hat{j} + \frac{dv\_z}{dt} \hat{k}
$$

* 注意：加速度与速度同号为加速、异号为减速

***

> 转换：
> $$
> v = \frac{dx}{dt}, \quad a = \frac{dv}{dt}\\
> v = v\_0 + \int\_0^t a , dt, \quad x = x\_0 + \int\_0^t v , dt
> $$

***

### · 圆周运动参数

加速度的分解：

* 加速度可以沿速度方向分解

* 与速度方向平行的称为切向加速度，改变速度的大小 $a\_t = \frac{dv}{dt}$

* 与速度方向垂直的称为法向加速度，改变速度的方向 $a\_n = \frac{v^2}{\rho}$（$\rho$ 为曲率半径）

***

> 转化：
>
> 角位移： $ \theta $ 	角速度： $\omega$ 	角加速度： $\alpha$
> $$
> \omega = \frac{d\theta}{dt}, \quad \alpha = \frac{d\omega}{dt}, \quad \omega = \omega\_0 + \int\_0^t \alpha , dt, \quad \theta = \theta\_0 + \int\_0^t \omega , dt
> $$

***

角量与线量的关系：

* 线速度 $v = \omega R$

* 法向加速度 $a\_n = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R$

* 切向加速度 $a\_t = \frac{dv}{dt} = \alpha R$

## Part 1 质点

近代物理学研究的第一个课题是力学。这是由于它直接服务于战争的需要，即解释天体的运行和如何修正炮弹的弹道。为此，这一学科的研究得到了国王们的大力资助。

为了研究一个质点的运动，人们需要引入一个参照系。在这个参照系中，可以任取一点作为原点 $O$，然后建立合适的坐标系。自然，如果原点取得不好，质点的运动方程可能写出来很复杂。除此之外，取什么样的参照系并不是什么大不了的问题。

在取定原点之后，我们可以从原点 $O$ 到质点 $P$ 画一向量（或矢量）

$$
\mathbf{r} = \overrightarrow{OP},\tag{1}
$$

称为质点在该时刻的位置向量。显然，它是时间的函数，即我们有

$$
\mathbf{r} = \mathbf{r}(t).\tag{2}
$$

在两个相邻时刻 $t$ 和 $t + \Delta t$，粒子可能有两个不同的位置向量 $\mathbf{r}(t)$ 和 $\mathbf{r}(t + \Delta t)$。它们的差 $\Delta \mathbf{r}(t)$ 定义为

$$
\Delta \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}(t + \Delta t) - \mathbf{r}(t).\tag{3}
$$

由此，我们可以定义质点在时刻 $t$ 的速度为

$$
\mathbf{v}(t) \equiv \lim\_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \mathbf{r}(t)}{\Delta t} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \dot{\mathbf{r}}(t).\tag{4}
$$
这是一个向量。它的绝对值
$$
|\mathbf{v}| \equiv \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}}\tag{5}
$$
被称为质点 $P$ 在时刻 $t$ 时的速率。

同理，我们可以定义质点在 $t$ 时刻的加速度向量为
$$
\mathbf{a}(t) \equiv \lim\_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \mathbf{v}(t)}{\Delta t} = \lim\_{\Delta t \to 0} \frac{\mathbf{v}(t + \Delta t) - \mathbf{v}(t)}{\Delta t} = \frac{d\mathbf{v}(t)}{dt} = \frac{d^2\mathbf{r}(t)}{dt^2}.\tag{6}
$$

用矢量来描述质点运动的好处是，对于给定的参照系，矢量表示的运动方程的形式与具体的坐标系的选择无关。因此，便于我们做一般性的定义陈述和理论推导。但是，在做具体计算时，我们还需要根据问题的特点，选择适当的坐标系。

## Part 2 坐标系

### · 直角坐标系

当质点的加速度为一个常向量时，选用直角坐标系往往是适宜的。在这一坐标系中，我们在原点上建立三个互相垂直的固定坐标轴。以 $\mathbf{e}\_x$, $\mathbf{e}\_y$ 和 $\mathbf{e}\_z$ 表示沿这三个轴方向的单位向量，则我们有
$$
\mathbf{e}\_x \cdot \mathbf{e}\_y = \mathbf{e}\_y \cdot \mathbf{e}\_z = \mathbf{e}\_z \cdot \mathbf{e}\_x = 0,\tag{7}
$$
以及
$$
\mathbf{e}\_x \cdot \mathbf{e}\_x = \mathbf{e}\_y \cdot \mathbf{e}\_y = \mathbf{e}\_z \cdot \mathbf{e}\_z = 1.\tag{8}
$$

在这一坐标系下，质点的位置向量可以被写作
$$
\mathbf{r}(t) = x(t)\mathbf{e}\_x + y(t)\mathbf{e}\_y + z(t)\mathbf{e}\_z.\tag{9}
$$

而其速度和加速度向量可被分别写作
$$
\begin{aligned}
\mathbf{v}(t) &= \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} = \frac{d}{dt} (x(t)\mathbf{e}\_x + y(t)\mathbf{e}\_y + z(t)\mathbf{e}\_z) \\
&= \left( \dot{x}(t)\mathbf{e}\_x + x(t)\frac{d\mathbf{e}\_x}{dt} + \dot{y}(t)\mathbf{e}\_y + y(t)\frac{d\mathbf{e}\_y}{dt} + \dot{z}(t)\mathbf{e}\_z + z(t)\frac{d\mathbf{e}\_z}{dt} \right) \\
&= \dot{x}(t)\mathbf{e}\_x + \dot{y}(t)\mathbf{e}\_y + \dot{z}(t)\mathbf{e}\_z \equiv v\_x(t)\mathbf{e}\_x + v\_y(t)\mathbf{e}\_y + v\_z(t)\mathbf{e}\_z,
\end{aligned}\tag{10}
$$
以及

$$
\begin{align\*}
\mathbf{a}(t) &= \frac{d\mathbf{v}(t)}{dt} = \dot{v}\_x(t)\mathbf{e}\_x + \dot{v}\_y(t)\mathbf{e}\_y + \dot{v}\_z(t)\mathbf{e}\_z\\
&= \frac{d^2 x(t)}{dt^2}\mathbf{e}\_x + \frac{d^2 y(t)}{dt^2}\mathbf{e}\_y + \frac{d^2 z(t)}{dt^2}\mathbf{e}\_z\\
& \equiv a\_x(t)\mathbf{e}\_x + a\_y(t)\mathbf{e}\_y + a\_z(t)\mathbf{e}\_z.
\end{align\*}\tag{11}
$$

### · 极坐标系

当质点所受到的力总是指向参照系原点时，使用所谓极坐标系是比较方便的。

首先，我们从原点 $O$ 引出一根固定的轴，称为极轴。然后再做从原点 $O$ 到质点 $P$ 的连线 $\mathbf{r}$。则质点 $P$ 的位置可以由两个参数

$$
\mathbf{r} = (r, \theta).\tag{12}
$$

给定。这里，$r$ 为质点到原点的距离，而 $ \theta $ 则为 $\mathbf{r}$ 与极轴之间的夹角。为了计算的缘故，我们再引入两个互相垂直的单位向量。其中，$\mathbf{e}*r$ 是沿 $\mathbf{r}$ 的方向，而 $\mathbf{e}*\theta$ 则沿角度 $ \theta $ 增大的方向。

需要强调一点的是，$\mathbf{e}*r$ 和 $\mathbf{e}*\theta$ 都不是常向量。因此，我们需要计算它们随时间的变化率 $\dot{\mathbf{e}}*r$ 和 $\dot{\mathbf{e}}*\theta$。首先，不难看到，我们有

$$
\Delta \mathbf{e}\_r(t) = \mathbf{e}\_r(t + \Delta t) - \mathbf{e}*r(t) \approx 1 \cdot \Delta \theta \cdot \mathbf{e}*\theta.\tag{13}
$$

因此，$\dot{\mathbf{e}}\_r$ 可以被写作

$$
\frac{d \mathbf{e}*r}{dt} = \lim*{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \mathbf{e}*r}{\Delta t} = \lim*{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t} \cdot \mathbf{e}*\theta = \dot{\theta} \mathbf{e}*\theta.\tag{14}
$$

同理，我们有

$$
\Delta \mathbf{e}*\theta(t) = \mathbf{e}*\theta(t + \Delta t) - \mathbf{e}\_\theta(t) \approx 1 \cdot \Delta \theta \cdot (-\mathbf{e}\_r).\tag{15}
$$

因此，取极限后，我们得到

$$
\frac{d \mathbf{e}*\theta}{dt} = \lim*{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \mathbf{e}*\theta}{\Delta t} = \lim*{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t} \cdot (-\mathbf{e}\_r) = -\dot{\theta} \mathbf{e}\_r.\tag{16}
$$

这两个公式是我们今后常要用到的。

现在，我们可以将质点速度和加速度向量在极坐标下的形式写出。它们分别为

$$
\mathbf{v} = \dot{\mathbf{r}} = \frac{d}{dt} (r \mathbf{e}\_r) = \dot{r} \mathbf{e}\_r + r \dot{\mathbf{e}}\_r = \dot{r} \mathbf{e}*r + r \dot{\theta} \mathbf{e}*\theta.\tag{17}
$$

以及

$$
\begin{align\*}
\mathbf{a}& = \dot{\mathbf{v}} = \frac{d}{dt} \left( \dot{r} \mathbf{e}*r + r \dot{\theta}\right)\\
&= \left( \frac{d^2r}{dt^2} \mathbf{e}*r + \dot{r} \mathbf{\hat{e}}*r + \dot{r}\dot{\theta} \mathbf{e}*{\theta} + r \frac{d^2\theta}{dt^2} \mathbf{e}*{\theta} + r \dot{\theta} \mathbf{\hat{e}}*{\theta} \right)\\
&= \left( \frac{d^2r}{dt^2} \mathbf{e}*r + \dot{r}\dot{\theta} \mathbf{e}*{\theta} + \dot{r}\dot{\theta} \mathbf{e}*{\theta} + r \frac{d^2\theta}{dt^2} \mathbf{e}*{\theta} - r \dot{\theta}^2 \mathbf{e}\_r \right)\\
&= \left( \frac{d^2r}{dt^2} - r \dot{\theta}^2 \right) \mathbf{e}*r + \left( 2 \dot{r} \dot{\theta} + r \frac{d^2\theta}{dt^2} \right) \mathbf{e}*{\theta}.
\end{align\*}\tag{18}
$$

这些表达式中，$\mathbf{e}*r$ 方向的分量被称为径向速度和径向加速度。而 $\mathbf{e}*{\theta}$ 方向的分量则被称为横向速度和横向加速度。同时，$\dot{\theta}$ 和 $\frac{d^2\theta}{dt^2}$ 被称为质点的角速度和角加速度。

***

#### · 例题

/example/

在离地面不远处，一个质点运动的加速度是指向地心的。当该质点的横向速度为何时，它做一圆周运动，从而成为地球的卫星？

> /solution/
>
> 当质点做匀速圆周运动时，其横向加速度 $a\_{\theta}$ 为零，而其径向加速度为
>
> $$
> \mathbf{a} = \mathbf{g} = -g \mathbf{e}\_r.
> $$
>
> 因此，在以地心为原点的极坐标系中，我们有
>
> $$
> \frac{d^2r}{dt^2} - r \dot{\theta}^2 = -g, \quad r \frac{d^2\theta}{dt^2} + 2 \dot{r} \dot{\theta} = 0.
> $$
>
> 特别是，在这一运动中，$r = R$ 为一常数。因此上式中，$r$ 对于时间的一次和二次导数皆为零。故上式退化为
>
> $$
> R \dot{\theta}^2 = g, \quad R \frac{d^2\theta}{dt^2} = 0.
> $$
>
> 从第二个方程中，我们解得
>
> $$
> \dot{\theta} = constant.
> $$
>
> 从第一个方程中，我们得到
>
> $$
> \frac{(R \dot{\theta})^2}{R} = g.
> $$
>
> 又由于 $R \dot{\theta}$ 为质点绕地球运动的横向速度 $v\_{\theta}$ 。因此，我们最后得到
>
> $$
> v\_{\theta}^2 = gR,
> $$
>
> 或是
>
> $$
> v\_{\theta} = \sqrt{gR}.
> $$
> 将
>
> $$
> g = 980 , \text{cm/s}^2, \quad R \approx 6.37 \times 10^8 , \text{cm}
> $$
>
> 代入上面的方程后，我们得到
>
> $$
> v\_{\theta} = \sqrt{980 \times 6.37 \times 10^8} \approx \sqrt{64 \times 10^{10}} = 8 \times 10^5 , \text{cm/s} = 8 , \text{km/s}
> $$
>
> 这一速度称为第一宇宙速度。

### · 自然坐标系

在理论推导中，采用所谓自然坐标系常会带来很大的便利。我们今后也会经常用到它。

如图所示，我们先取质点运动轨迹上的任一点作为起始位置，对应的时间为  $t = 0$ 。

在此之后  $(t > 0)$ ，质点所到达的任何一点  $P$  的坐标由其从起始点算起的弧长  $s$  决定。

在  $P$  点处，我们可以取曲线的切线方向的单位向量  $\vec{\tau}$  和内法线方向单位向量  $\vec{n}$ 。它们就定义了所谓自然坐标系。

显然，这样定义的  $\vec{\tau}$  和  $\vec{n}$  都不是常向量。在轨迹的不同位置，我们有不同的  $\vec{\tau}$  和  $\vec{n}$ 。

设在  $t$  和  $t + \Delta t$ 时刻，质点的位置分别为  $\mathbf{r}(t)$  及  $\mathbf{r}(t + \Delta t)$ 。而它们对应的从起始点计算的弧长为  $s(t)$  和  $s(t + \Delta t)$ ，并且两点间的向量差为  $\Delta \mathbf{r}$ 。则从微分几何学中，我们知道

$$
\vec{\tau} = \lim\_{\Delta s \to 0} \frac{\Delta \vec{\tau}}{\Delta s} = \frac{d\mathbf{r}}{ds}
$$

成立。进一步，我们还有

$$
\frac{d\vec{\tau}}{ds} = \lim\_{\Delta s \to 0} \frac{\Delta \vec{\tau}}{\Delta s} = \lim\_{\Delta s \to 0} \frac{\Delta \vec{\tau}}{\Delta \varphi} \cdot \lim\_{\Delta s \to 0} \frac{\Delta \varphi}{\Delta s} = \frac{1}{\rho} \vec{n}.
$$

这里， $\rho$  称为曲线在  $\mathbf{r}$  处的密切圆曲率半径。在图1中，我们给出了这些几何关系的一个示意图。下面，我们还要用到它们。

现在，让我们回过头来看一下，质点随时间改变的速度和加速度如何在自然坐标系中给出。

按照定义，我们有

$$
\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \frac{d\mathbf{r}}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} = \frac{ds}{dt} \vec{\tau} = v \vec{\tau}.
$$

这里， $v$  称为质点的切向速率。从上式中我们可以看到，质点的速度永远是沿着切线方向的。

至于加速度  $\mathbf{a}$ ，我们可以计算如下。

$$
\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(v\vec{\tau}) = \frac{dv}{dt}\vec{\tau} + v\frac{d\vec{\tau}}{dt}
$$

$$
\= \frac{dv}{dt}\vec{\tau} + v\frac{d\vec{\tau}}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} = \frac{dv}{dt}\vec{\tau} + v \cdot \frac{v}{\rho} \vec{n}
$$

$$
\= \frac{dv}{dt}\vec{\tau} + \frac{v^2}{\rho} \vec{n} \equiv a\_\tau \vec{\tau} + a\_n \vec{n}.
$$

这里，

$$
a\_\tau = \frac{dv}{dt}, \quad a\_n = \frac{v^2}{\rho}
$$

分别为质点的切向和法向加速度分量。

## Part 3  相对运动

### · 伽利略变换

在实际工作中，如何选取参照系往往是由观察环境决定的。例如，为了描述太阳系中物体的运动，最好选取太阳为坐标的原点。然而，为了描述地球上的一辆汽车或一艘轮船的运动，这样的选取显然是不明智的。此时，我们最好选取地球上的一个固定点，例如地心作为原点。这样，就导致了一个间题，即如何在两个不同的参照系中，描述同一个物体的运动。

为了回答这一问题，让我们考虑如下的例子。假设一个参照系  $S'$  相对于另外一个参照系  $S$  做运动。而空间中又有一个质点  $P$  相对于二者运动。显然，我们有

$$
\mathbf{r} = \mathbf{r'} + \mathbf{R}. \tag{1}
$$

这里， $\mathbf{r}$  和  $\mathbf{r'}$  分别是质点  $P$  相对于  $S$  系的原点  $O$  和  $S'$  系的原点  $O'$  的矢径。而  $\mathbf{R}$  则为  $O'$  相对于  $O$  的位置向量。

在非相对论力学中，我们假定时间是不随参照系的选取而改变的。即我们有

$$
t' = t. \tag{2}
$$

将方程 (1) 和方程 (2) 联立后，我们既得到所谓的 Galileo 变换。

现在将方程 (1) 两边对时间求导后，我们有

$$
\mathbf{v}*P = \dot{\mathbf{r}} = \dot{\mathbf{R}} + \dot{\mathbf{r}}' = \mathbf{V}*{e} + \mathbf{v}\_P'. \tag{3}
$$

这里， $\mathbf{v}\_P$  和  $\mathbf{v}*P'$  分别为质点相对于参照系  $S$  和  $S'$  的速度，而  $\mathbf{V}*{e}$  则称为两个参照系之间的牵连速度。

同理，对于质点的加速度，我们有

$$
\mathbf{a}\_P = \dot{\mathbf{v}}*P = \dot{\mathbf{V}}*{e} + \dot{\mathbf{v}}*P' = \mathbf{A}*{e} + \mathbf{a}\_P'. \tag{4}
$$

结束.