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## Part 1 恒定磁场

我们高中都学过磁场的相关公式：
$$
F\_m = qvB\sin\alpha
$$

$$
\vec{F}\_m = q\vec{v} \times \vec{B}
$$

$$
B = \frac{F\_m}{qv\sin\alpha}
$$

磁感应强度 $B$ 单位为特斯拉 (T)，1T = 10000G（高斯）

但是要仿照磁场研究，我们就有类似库仑定律的磁力定义方式。当然我们知道磁荷不存在，所以要提出安培分子电流假说：

**分子电流**相当于一个基元磁体，当物质中的分子电流规则排列时，物质就具有磁性。

一段段的小电流接续形成一个大的环形电流，从一端看是 N 极，从另一端看是 S 极。这个假说也能说明不存在磁单极子。因为一个磁极对应一面，存在一面就必然存在另一面。

现代理论表明，分子内电子的运动形成了分子电流，从而产生了物质的磁性。 所有的磁现象都可以归结为**运动电荷**之间的相互作用，磁力是运动电荷相互作用的表现。

> **磁荷观点（磁的库仑定律）**： 两点磁荷之间的相互作用力 (方向沿连线)
> $$
> F = \frac{1}{4\pi\mu\_0} \frac{q\_{m1} q\_{m2}}{r^2}
> $$
> 磁荷意义下，磁场强度的定义
> $$
> \vec{H} = \frac{1}{4\pi\mu\_0} \frac{q\_m}{r^3} \vec{r}
> $$
> **电流观点（安培定律）：** 两电流元之间相互作用力
> $$
> dF\_{12} = \frac{\mu\_0}{4\pi} \frac{I\_1 I\_2 (d\vec{l}*2 \times \vec{dl\_1} \times \hat{r}*{12})}{r\_{12}^2}
> $$
> 不一定大小相等、方向相反，也不一定沿连线。

我们也可以由安培定理推出“比萨定律”

### · Biot-Savart Law

![](https://pic1.imgdb.cn/item/68f5a7b63203f7be00801fe0.png)

> 关于一些参数做出说明：
> $$
> K = \frac{\mu\_0}{4\pi} = 10^{-7},\quad \mu\_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ \text{N} \cdot \text{A}^{-2}
> $$
> 我们知道真空磁导率满足：
> $$
> c = \frac{1}{\sqrt{\mu\_0 \varepsilon\_0}}
> $$
> 由此电磁理论统一

由电场库伦定律：

$$
\vec{E}\_i = \frac{\vec{F}\_i}{q\_0} = \frac{1}{4\pi\varepsilon\_0} \frac{q\_i q\_0}{r\_i^3} \vec{r}\_i = \frac{1}{4\pi\varepsilon\_0} \frac{q\_i}{r\_i^3} \vec{r}\_i
$$

根据叠加原理：
$$
\vec{E} = \sum\_{i=1}^{n} \vec{E}*i = \sum*{i=1}^{n} \frac{1}{4\pi\varepsilon\_0} \frac{q\_i}{r\_i^3} \vec{r}\_i
$$

根据磁场安培定律：
$$
d\vec{F}\_{12} = K \frac{I\_2 d\vec{l}*2 \times (I\_1 d\vec{l}*1 \times \vec{r}*{12})}{r*{12}^3}
$$

视  $I\_2 d\vec{l}\_2$  为检验电流元：

$$
d\vec{F}\_{12} = I\_2 d\vec{l}*2 \times \left( \frac{\mu\_0}{4\pi} \frac{I\_1 d\vec{l}*1 \times \vec{r}*{12}}{r*{12}^3} \right)
$$

$$
\= I\_2 d\vec{l}\_2 \times d\vec{B}\_1
$$

对回路1用叠加原理

$$
\vec{F}*{12} = \oint*{L\_1} d\vec{F}*{12} = I\_2 d\vec{l}*2 \times \left( \frac{\mu\_0}{4\pi} \oint*{L\_1} \frac{I\_1 d\vec{l}*1 \times \vec{r}*{12}}{r*{12}^3} \right)
$$

$$
\vec{F}\_{12} = I\_2 d\vec{l}\_2 \times \vec{B}\_1
$$

对上述括号去掉下标取微分部分，得到电流元在r处的场强

$$
d\vec{B} = \frac{\mu\_0}{4\pi} \frac{I d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}
$$
对电流回路积分（叠加原理）

$$
\vec{B} = \frac{\mu\_0}{4\pi} \oint\_L \frac{I d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3} = \frac{\mu\_0}{4\pi} \oint\_L \frac{I d\vec{l} \times \vec{r}\_0}{r^2}
$$
所以我们可以陈述比萨定律：

> /Theorem/
>
> 真空中电流元产生的磁感应强度为：
>
> $$
> d\vec{B} = \frac{\mu\_0}{4\pi} \frac{I dl \times \vec{e}\_r}{r^2}
> $$
> 其中， $\mu\_0$  为真空磁导率，其值为  $4\pi \times 10^{-7} , \text{T} \cdot \text{m/A}$ 。
>
> 则  $d\vec{B}$  的大小为
>
> $$
> dB = \frac{\mu\_0}{4\pi} \frac{I dl \sin \theta}{r^2}
> $$
> 其中， $\theta$  为  $dl$  与  $\vec{e}\_r$  的夹角。
>
> 因此电流元产生的磁场与电流元的大小成正比，与距离的平方成反比。
>
> 和库仑定律一样满足反比平方定律。方向由右手螺旋定则确定。

**磁偶极子**：

> 定义圆电流的磁矩为
>
> $$
> m = IS
> $$
> 单位为  $A \cdot m^2$
>
> 由于  $S = \pi R^2$ ，结合载流圆线圈轴线上的磁场公式，得
>
> $$
> B = \frac{\mu\_0 m}{2 \pi x^3}
> $$
> 该式与静电场中的电偶极子的电场强度表达式相似，而且磁感应线分布也与电偶极子的电场线分布相似，因此我们将圆电流称为磁偶极子。

**Question**：载流直导线的磁场 (长度 L ,电流 I )

![](https://pic1.imgdb.cn/item/68f5a7b63203f7be00801fe3.png)

> 由 Biot-Savart Law
> $$
> d\vec{B} = \frac{\mu\_0}{4\pi} \frac{I dl \times \vec{r}}{r^3}
> $$
> 方向垂直向内
> $$
> d\vec{B} = \frac{\mu\_0}{4\pi} \frac{I dl \cdot \sin \theta}{r^2}
> $$
>
> $$
> r \sin \theta = a \Rightarrow r = \frac{a}{\sin \theta}
> $$
>
> $$
> \frac{-l}{a} = \text{ctg} \theta \Rightarrow dl = \frac{ad\theta}{\sin^2 \theta}
> $$
>
> $$
> B = \frac{\mu\_0 I}{4\pi a} \int\_{\theta\_1}^{\theta\_2} \sin \theta , d\theta = \frac{\mu\_0 I}{4\pi a} (\cos \theta\_1 - \cos \theta\_2)
> $$
>
> 方向：右手定则
>
> 特别的： $L \rightarrow \infty$  则  $\theta\_1 = 0$   $\theta\_2 = \pi$
>
> $$
> B = \frac{\mu\_0 I}{2\pi a}
> $$

**Question**：载流圆线圈轴线上产生的磁场（R，I）

![](https://pic1.imgdb.cn/item/68f5a7b63203f7be00801fe1.png)

> 由 Biot-Savart Law
> $$
> d\vec{B} = \frac{\mu\_0}{4\pi} \frac{I dl \times \vec{r}}{r^3}
> $$
>
> $$
> d\vec{B} = \frac{\mu\_0}{4\pi} \frac{I dl}{r^2}
> $$
>
> $$
> dB\_\perp = dB \cos \theta
> $$
>
> $$
> dB\_\parallel = dB \sin \theta
> $$
>
> $$
> B\_\parallel = \oint dB\_\parallel = \frac{\mu\_\parallel I \sin \theta}{4\pi r^2} \cdot 2\pi R
> $$
>
> $$
> B = \frac{\mu\_0 IR^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}
> $$
>
> 对比电偶极子
>
> $$
> \vec{m} = IS\vec{n} = I\pi R^2 \vec{n}
> $$
>
> $$
> \vec{B} = \frac{\mu\_0 \vec{m}}{2\pi |x|^3}
> $$
>
> $$
> \vec{E} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon\_0} \frac{\vec{p}}{r^3}
> $$

**Question**：圆弧圆电流在其曲率中心处的磁场

![](https://pic1.imgdb.cn/item/68f5a7b63203f7be00801fe4.png)

> 由 Biot-Savart Law
> $$
> d\vec{B} = \frac{\mu\_0}{4\pi} \frac{I dl \times \vec{r}}{r^3}
> $$
> 方向 ⊙
>
> $$
> d\vec{B} = \frac{\mu\_0}{4\pi} \frac{I dl}{R^2}
> $$
>
> $$
> B = \frac{\mu\_0 I}{4\pi} \frac{\overset{\frown}{ab}}{R^2}
> $$

**Question**：宽度为 a 的无限长金属平板，均匀通电流 I，求图中P点的磁感应强度

![](https://pic1.imgdb.cn/item/68f5a7b63203f7be00801fe2.png)

> 建立坐标系，将板细分为许多无限长直导线
>
> 每根导线宽度为  $dx$  通电流  $i = \frac{I}{a} dx$
>
> $$
> dB = \frac{\mu\_0 i}{2\pi x} = \frac{\mu\_0 I dx}{2\pi ax}
> $$
> 所有  $dB$  的方向都一样：⊙
>
> $$
> B = \int\_a^{a+d} \frac{\mu\_0 I dx}{2\pi ax} = \frac{\mu\_0 I}{2\pi a} \ln \frac{a + d}{d}
> $$

### · 高斯定理

类比于静电场中引入的电通量，定义磁场中的磁通量为

$$
\Phi=\int \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S}
$$
在国际单位制中，磁通量的单位是韦伯，符号是 Wb。

$$
1\mathrm{~Wb}=1\mathrm{~T}\cdot\mathrm{m}^{2}
$$
由于磁场线是无头无尾的闭合曲线，从封闭曲面 S 中穿出的磁场线必然会再次进入封闭曲面 S，因此磁场的高斯定理为

$$
\iint\_{\partial V} \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S}=0
$$
或者也可表示为：
$$
\nabla\cdot \vec{B}=0
$$

### · 安培环路定理

在静电场中，电场强度的环流等于零，即

$$
\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0
$$
从毕奥-萨伐尔定律可以得到安培环路定理 安培环路定理的表述为：在恒定电流的磁场中，磁感应强度  $ \vec{B} $  沿任意闭合曲线  $ L $  的线积分（即环流）等于通过该闭合曲线内的电流代数和的  $\mu\_0$  倍。
即
$$
\oint\_L \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu\_0 \sum I\_{\text{in}}
$$
式中， $ \sum I\_{\text{in}} $  是通过环路  $ L $  内的电流代数和。

电流的正负号由电流的方向决定，若电流与环路的方向一致，则电流为正，否则为负。

> /proof/
>
> 若闭合曲线内包含有电流 取线元  $dl$ ，在  $ O $  点处的距离为  $r$ ，张角为  $ d\varphi $ ，与  $dl$  的夹角为  $\theta$ 。则有
>
> $$
> rd\varphi = dl \cdot r = rdl \cos \theta
> $$
>
> $$
> \oint\_L \vec{B} \cdot d\vec{l} = \oint\_L B dl \cos \theta = \oint\_L B r d\varphi = \int\_0^{2\pi} \frac{\mu\_0 I}{2\pi r} r d\varphi = \mu\_0 I
> $$
>
> 不包含电流时可以证明积分区域是两段角度互补的区域，所以积分为零。

### · 洛伦兹力

导线中的电流在磁场中受到的安培力为其中运动电荷所受**洛伦兹力**的宏观表现。

$$
\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}
$$
洛伦兹力**垂直于**粒子的速度 $\boldsymbol{v}$ ，故它只改变速度方向，不改变速度大小，即不做功。

**带电粒子在磁场中的运动**：

1. $\boldsymbol{v} \parallel \boldsymbol{B}$ 时，粒子做匀速直线运动。

2. $\boldsymbol{v} \perp \boldsymbol{B}$ 时，粒子做匀速圆周运动。

   > **回旋半径**
   > $$
   > R = \frac{mv}{qB}
   > $$
   > **回旋周期**
   > $$
   > T = \frac{2\pi m}{qB}
   > $$
   > **回旋频率**
   > $$
   > f = \frac{qB}{2\pi m}
   > $$

3. $\boldsymbol{v}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 的夹角为 $\theta$ 时，粒子做螺旋线运动。
   可将 $\boldsymbol{v}$ 分解为 $\boldsymbol{v\_{\parallel}}$ 和 $\boldsymbol{v\_{\perp}}$ 两部分

   > $\boldsymbol{v\_{\parallel}}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 平行，不受磁场力作用，做匀速直线运动。
   >
   > $\boldsymbol{v\_{\perp}}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 垂直，受到磁场力作用，做匀速圆周运动。
   >
   > **回旋半径**
   > $$
   > R = \frac{mv\_{\perp}}{qB} = \frac{mv\sin\theta}{qB}
   > $$
   > **螺距**
   > 在一个周期内，粒子在磁场中沿轴线方向移动的距离。
   > $$
   > L = v\_{\parallel}T = v\_{\parallel} \frac{2\pi m}{qB} =  \frac{2\pi m v\cos\theta}{qB}
   > $$
   > **磁聚焦**
   > 当 $\theta$ 很小的时候， $v\_{\parallel} \approx v$ ，一批带电粒子的速度分散在一定范围内，但是在磁场中运动后，速度分散减小，使得粒子聚焦在一点上。

**应用**：

> **速度选择器**
>
> 速度选择器是利用带电粒子在电场和磁场中的受力情况，使得只有特定速度的粒子通过的装置。
>
> 在速度选择器中，电场和磁场的方向垂直，电场的方向与磁场的方向相同，使得带电粒子在电场中受到的电场力和磁场力相互抵消，从而只有特定速度的粒子通过。
> $$
> qE = qvB
> $$
>
> $$
> v = \frac{E}{B}
> $$
>
> **汤姆孙实验**
> $$
> evB = \frac{mv^2}{r}
> $$
>
> $$
> eE = evB
> $$
>
> $$
> \frac{e}{m} = \frac{v}{rB} = \frac{E}{B^2r}
> $$
>
> **质谱仪**
> $$
> qvB' = m\frac{v^2}{r}
> $$
>
> $$
> m = \frac{qB'r}{v} = \frac{qBB'r}{E}
> $$
>
> **回旋加速器**
> $$
> \frac{T}{2} = \frac{\pi m}{qB}
> $$
>
> $$
> v = \frac{qBR}{m}
> $$
>
> **霍尔效应**
> $$
> U\_H = E\_Hh = v\_DBh
> $$
>
> $$
> I = nqv\_Dbh
> $$
>
> $$
> U\_H = \frac{IB}{nqb}
> $$
>
> 其中 $U\_H$ 为霍尔电压， $K\_H = \dfrac{1}{nq}$ 为霍尔系数，只与材料有关。

### · 安培力

$$
\boldsymbol{F} = \int I\boldsymbol{B} \times d\boldsymbol{l}
$$

**磁场对载流线圈的作用**：

磁矩 $\boldsymbol{m}$ 为
$$
\boldsymbol{m} = N I \boldsymbol{S}
$$
磁力矩的效果是让载流线圈磁矩的方向与磁场方向一致。

$$
\boldsymbol{M} = \boldsymbol{m} \times \boldsymbol{B}
$$

### · 磁介质

$$
B = \mu\_r B\_0
$$

**磁介质**：能够磁化的物质称为磁介质。磁化的磁介质要产生附加磁场  $B'$ ，对原磁场产生影响。
$$
\frac{B}{B\_0} = \mu\_r
$$

$\mu\_r$ 为磁介质的相对磁导率
$$
\quad B = B\_0 \pm B'
$$
分类：

> 略大于1的磁介质叫做顺磁质：氧, 铝，磁化后磁场 $B'$ 与原磁场 $B\_0$ 方向相同
>
> 略小于1的磁介质叫做抗磁质：汞, 铜，磁化后磁场 $B'$ 与原磁场 $B\_0$ 方向相反
>
> 远大于1的磁介质叫做铁磁质：铁, 钴, 镍, 磁化后磁场 $B'$ 与原磁场 $B\_0$方向相同，且 $B \pm B\_0$

* 弱磁质  $\approx 1$
* 强磁质  $1.0 \times 10^3$

磁介质内由大量杂乱的 **分子磁矩** 组成，可以用等效的圆电流即 **分子电流** 来描述 有外磁场时，磁介质的状态就会发生变化，这种现象称为 **磁化** 。

* 顺磁质在外磁场的作用下，分子磁矩的方向与外磁场方向一致，磁介质内部的磁场增强。
* 抗磁质在外磁场的作用下，在原有的磁矩方向上产生一个与外磁场方向相反的磁矩，磁介质内部的磁场减弱。

这些方向相同的附加磁矩的矢量和就是一个分子在外磁场中产生的 **感生磁矩**。

## Part 2 电磁感应

**楞次定律**：感应电流具有这样的方向，即感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化