---
url: /physics/physics-5/index.md
---
## Part 1 质心参考系

### · 推导

在第三章中，我们已经介绍了有关多质点体系的质心的定义以及质心运动定理。按照定义，在实验室系中，质心的位置和速度由关系式

$$
\mathbf{R}\_C = \frac{\sum\_i m\_i \mathbf{r}\_i}{\sum\_i m\_i}, \quad \mathbf{V}\_C = \frac{\sum\_i m\_i \mathbf{F}\_i}{\sum\_i m\_i} = \frac{\sum\_i m\_i \mathbf{v}\_i}{\sum\_i m\_i} = \frac{\mathbf{P}}{M}
$$
给出。而质心运动则由下式

$$
\mathbf{F}\_{\text{all}} = M \mathbf{a}\_C = M \frac{d^2 \mathbf{R}\_C}{dt^2}
$$
决定。除此之外，我们还证明了 König 定理

$$
E\_k = E\_{kC} + E'\_k = \frac{1}{2} M V\_C^2 + \frac{1}{2} \sum\_i m\_i v\_i'^2.
$$
现在，我们再对角动量证明类似的关系

$$
\mathbf{L} = \mathbf{L}\_C + \mathbf{L}' = M \mathbf{R}\_C \times \mathbf{V}\_C + \sum\_i m\_i \mathbf{r}'\_i \times \mathbf{v}'\_i
$$
成立。

> /proof/
>
> 按照角动量的定义，我们有
> $$
> \mathbf{L} = \sum\_{i=1}^{N} m\_i \mathbf{r}\_i \times \mathbf{v}*i = \sum*{i=1}^{N} m\_i (\mathbf{r}'\_i + \mathbf{R}\_C) \times (\mathbf{v}'\_i + \mathbf{V}\_C)
> $$
>
> $$
> \= \sum\_{i=1}^{N} m\_i \mathbf{r}'\_i \times \mathbf{v}'*i + \sum*{i=1}^{N} m\_i \mathbf{r}'\_i \times \mathbf{V}*C + \sum*{i=1}^{N} m\_i \mathbf{R}\_C \times \mathbf{v}'*i + \sum*{i=1}^{N} m\_i \mathbf{R}\_C \times \mathbf{V}\_C.
> $$
>
> 又由于
>
> $$
> \sum\_{i=1}^{N} m\_i \mathbf{r}'*i = \sum*{i=1}^{N} m\_i \mathbf{r}*i - \sum*{i=1}^{N} m\_i \mathbf{R}\_C = M \mathbf{R}\_C - M \mathbf{R}\_C = 0,
> $$
>
> $$
> \sum\_{i=1}^{N} m\_i \mathbf{v}'*i = \sum*{i=1}^{N} m\_i \mathbf{v}*i - \sum*{i=1}^{N} m\_i \mathbf{V}\_C = M \mathbf{V}\_C - M \mathbf{V}\_C = 0,
> $$
>
> 我们最后得到
>
> $$
> \mathbf{L} = \sum\_{i=1}^{N} m\_i \mathbf{r}'\_i \times \mathbf{v}'*i + \sum*{i=1}^{N} m\_i \mathbf{R}\_C \times \mathbf{V}\_C = \mathbf{L}' + M \mathbf{R}\_C \times \mathbf{V}\_C = \mathbf{L}' + \mathbf{L}\_C.
> $$
> 我们引入质心的概念，主要是为了建立质心参照系做准备。所谓质心系，就是质心在其中静止的参照系。显然，在没有外力的情况下，这是一个惯性系。而在有外力存在的情况下，它是一个非惯性系。
>
> 又由于质心是一个点，没有内部结构，故在实验室系中不呈现自身的转动。因此，质心参照系必定是相对于实验室系作平动的参照系。特别要强调一点的是，质心参照系的原点并不一定非要取在质心上。
>
> 无论是有无外力，下面的命题都成立。
>
> (1) 在质心系中，体系动能的改变满足方程
>
> $$
> dE\_k = dw\_{\text{in}} + dw\_{\text{out}}.
> $$
> 当质心系为一惯性系，这一命题是显然成立的。而当质心系为非惯性系时，我们有
>
> $$
> dE\_k = dw\_{\text{in}} + dw\_{\text{out}} + dw\_{\text{inertia}}.
> $$
> 这里， $dw\_{\text{inertia}}$  代表惯性力作功的贡献。但是由于
>
> $$
> dw\_{\text{inertia}} = \sum\_{i=1}^{N} m\_i (-\mathbf{a}\_C) \cdot d\mathbf{r}'\_i = -\mathbf{a}*C \cdot d \left( \sum*{i=1}^{N} m\_i \mathbf{r}'\_i \right) = -\mathbf{a}\_C \cdot d(M \mathbf{R}'\_C),
> $$
> 而在质心系中， $\mathbf{R}'\_C$  又是一个不变的向量，即  $d\mathbf{R}'*C = 0$ ，故  $dw*{\text{inertia}} = 0$
>
> (2) 在质心系中，若取  $\mathbf{R}'\_C = 0$ ，则体系角动量的改变满足方程
>
> $$
> \frac{d\mathbf{L}'}{dt} = \mathbf{M}'*{\text{out}}.
> $$
> 这里， $\mathbf{M}'*{\text{out}}$  为相对于质心的合外力矩。
>
> 事实上，按照定义，我们有
>
> $$
> \frac{d\mathbf{L}'}{dt} = \mathbf{M}'*{\text{out}} + \mathbf{M}'*{\text{inertia}},
> $$
> 而
>
> $$
> \mathbf{M}'\_{\text{inertia}} = \sum\_i \mathbf{r}'\_i \times m\_i (-\mathbf{a}\_C) = \sum\_i m\_i \mathbf{r}'\_i \times (-\mathbf{a}\_C) = \vec{0} \times (-\mathbf{a}\_C) = \vec{0}.
> $$
> 因此，命题成立。

### · 例题

考虑一个具有  $N$  个质点的封闭体系。假设质点之间的万有引力是线性的，即
$$
\mathbf{F} = -G m\_1 m\_2 \mathbf{r}.
$$
不考虑质点间相互碰撞的可能性。试求在质点系中各个质点的运动轨道和周期。

> 由于没有外力，质心系是一个惯性系。将质心取作原点。对于第  $i$  个质点，我们有牛顿方程
> $$
> m\_i \frac{d^2 \mathbf{r}'*i}{dt^2} = \sum*{j \neq i} (-G m\_i m\_j (\mathbf{r}'\_i - \mathbf{r}'*j)) = \sum*{j \neq i} G m\_i m\_j \mathbf{r}'*j - \sum*{j \neq i} G m\_i m\_j \mathbf{r}'\_i
> $$
>
> $$
> \= \left( \sum\_{j=1}^{N} G m\_i m\_j \mathbf{r}'\_j - G m\_i^2 \mathbf{r}'*i \right) - \left( \sum*{j=1}^{N} G m\_i m\_j \mathbf{r}'\_i - G m\_i^2 \mathbf{r}'\_i \right)
> $$
>
> $$
> \= G m\_i \sum\_{j=1}^{N} m\_j \mathbf{r}'\_j - G m\_i \mathbf{r}'*i \sum*{j=1}^{N} m\_j + G m\_i^2 \mathbf{r}'\_i
> $$
>
> $$
> \= G m\_i M \mathbf{R}'\_C - G m\_i M \mathbf{r}'\_i.
> $$
>
> 由于  $\mathbf{R}'\_C = 0$ ，我们最后得到
>
> $$
> m\_i \frac{d^2 \mathbf{r}'\_i}{dt^2} = -G m\_i M \mathbf{r}'\_i.
> $$
> 上面的结果表明，在质心系中，第  $i$  个质点所受到的合力可以等效于系统质心对其的引力。因此，它对于质心的角动量是守恒的。也就是说，它是在包含质心的一个平面中运动的。我们可以在这个平面中建立一个直角坐标系。在这个坐标系下，可以写成如下的分量形式
>
> $$
> m\_i \frac{d^2 x'\_i}{dt^2} = -G m\_i M x'\_i, \quad m\_i \frac{d^2 y'\_i}{dt^2} = -G m\_i M y'\_i.
> $$
> 这些方程具有形式
>
> $$
> \frac{d^2 \xi}{dt^2} + \omega^2 \xi = 0.
> $$
> 在文献中，这一方程被称为简谐振子方程。其通解可以被写作
>
> $$
> \xi(t) = \xi\_0 \cos(\omega t + \phi\_0).
> $$
> 这里， $\xi\_0 > 0$  和  $\omega > 0$  是正的实常数，分别被称为简谐振子的振幅和角频率。而角度  $-\pi \leq \phi\_0 \leq \pi$  为简谐振子的初始相位。由此我们得到
>
> $$
> x'\_i(t) = A\_1 \cos(\omega t + \phi\_1), \quad y'\_i(t) = A\_2 \cos(\omega t + \phi\_2).
> $$
> 为了求得质点  $i$  的运动轨迹，我们需要从这两个方程中消去时间参数  $t$ 。为此，我们先将这两个方程改写作
>
> $$
> \frac{x'\_i(t)}{A\_1} = \cos(\omega t + \phi\_1) = \cos \omega t \cos \phi\_1 - \sin \omega t \sin \phi\_1,
> $$
>
> $$
> \frac{y'\_i(t)}{A\_2} = \cos(\omega t + \phi\_2) = \cos \omega t \cos \phi\_2 - \sin \omega t \sin \phi\_2.
> $$
>
> 我们要从这一联立方程组中解出  $\cos \omega t$  和  $\sin \omega t$ 。利用行列式解法，我们先计算
>
> $$
> \Delta = \begin{vmatrix}
> \cos \phi\_1 & -\sin \phi\_1 \\
> \cos \phi\_2 & -\sin \phi\_2
> \end{vmatrix}
> \= -\cos \phi\_1 \sin \phi\_2 + \sin \phi\_1 \cos \phi\_2 = \sin(\phi\_1 - \phi\_2),
> $$
>
> $$
> \Delta\_1 = \begin{vmatrix}
> x'\_i(t) & -\sin \phi\_1 \\
> y'\_i(t) & -\sin \phi\_2
> \end{vmatrix}
> \= -\frac{x'\_i(t)}{A\_1} \sin \phi\_2 + \frac{y'\_i(t)}{A\_2} \sin \phi\_1,
> $$
>
> $$
> \Delta\_2 = \begin{vmatrix}
> \cos \phi\_1 & x'\_i(t) \\
> \cos \phi\_2 & y'\_i(t)
> \end{vmatrix}
> \= \frac{y'\_i(t)}{A\_2} \cos \phi\_1 - \frac{x'\_i(t)}{A\_1} \cos \phi\_2.
> $$
>
> 因此，我们得到
> $$
> \cos \omega t = \frac{\Delta\_1}{\Delta} = \frac{1}{\sin(\phi\_1 - \phi\_2)} \left( -\frac{x'\_i(t)}{A\_1} \sin \phi\_2 + \frac{y'\_i(t)}{A\_2} \sin \phi\_1 \right),
> $$
>
> $$
> \sin \omega t = \frac{\Delta\_2}{\Delta} = \frac{1}{\sin(\phi\_1 - \phi\_2)} \left( -\frac{x'\_i(t)}{A\_1} \cos \phi\_2 + \frac{y'\_i(t)}{A\_2} \cos \phi\_1 \right).
> $$
>
> 两式平方后再相加给出
>
> $$
> 1 = \frac{1}{\sin^2(\phi\_1 - \phi\_2)} \left( \frac{x'^2\_i}{A\_1^2} + \frac{y'^2\_i}{A\_2^2} + \frac{2 x'\_i y'\_i}{A\_1 A\_2} (\sin \phi\_1 \sin \phi\_2 + \cos \phi\_1 \cos \phi\_2) \right),
> $$
>
> 或是
>
> $$
> \sin^2(\phi\_1 - \phi\_2) = \frac{x'^2\_i}{A\_1^2} + \frac{y'^2\_i}{A\_2^2} - \frac{2 x'\_i y'\_i}{A\_1 A\_2} \cos(\phi\_1 - \phi\_2).
> $$
>
> 这是一个椭圆方程。而第  $i$  个质点的运动周期则由公式
>
> $$
> T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{GM}}
> $$
>
> 给出。

## Part 2 定轴转动

### · 转动惯量

刚体的运动可以分为平动和转动。我们先来研究转动。

刚体最简单的转动形式是绕着空间中某一根固定轴的转动。此时，刚体上任一点  $\mathbf{r}\_i$  处的速度可以写作

$$
\mathbf{v}\_i = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}\_i = \omega R\_i \mathbf{e}\_r.
$$
这里， $R\_i$  为该点到转动轴的距离，而  $\mathbf{e}\_r$  则为切线方向，由右手螺旋法则来定。因此，整个刚体的动能可以写作

$$
E\_k = \sum\_i \frac{1}{2} m\_i v\_i^2 = \frac{1}{2} \sum\_i m\_i \omega^2 R\_i^2 = \frac{1}{2} \omega^2 \sum\_i m\_i R\_i^2 \equiv \frac{1}{2} \omega^2 I.
$$
这里， $I = \sum\_i m\_i R\_i^2$  被称为刚体相对于该转动轴的转动惯量。

同理，对于体系的总角动量，我们有

$$
\mathbf{L} = \sum\_i \mathbf{r}\_i \times (m\_i \mathbf{v}\_i) = \sum\_i \mathbf{R}\_i \times (m\_i \mathbf{v}\_i) + \sum\_i z\_i \mathbf{k} \times (m\_i \mathbf{v}\_i).
$$
这里，我们用到了向量分解关系  $\mathbf{r}\_i = \mathbf{R}\_i + z\_i \mathbf{k}$ 。上式的第一项求和结果是一个平行于转动轴的向量，记作

$$
L\_z = \sum\_i \mathbf{R}\_i \times (m\_i \mathbf{v}\_i) = \sum\_i R\_i m\_i \omega R\_i = \sum\_i R\_i^2 m\_i \omega = \omega I.
$$
而第二项则是垂直于转动轴的向量。

我们看到，对于刚体的定轴转动而言，转动惯量  $I$  是一个重要的物理量。下面，让我们分别计算几种常见的刚体的转动惯量。

/example/  考虑一质量为  $m$ ，长度为  $l$  的匀质细杆，旋转轴垂直于杆穿过质心

> 则其转动惯量
> $$
> I\_C = \int\_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} (\rho dx) x^2 = \int\_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{m}{l} x^2 dx = \frac{m}{l} \int\_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} x^2 dx
> $$
>
> $$
> \= \frac{m}{l} \frac{1}{3} x^3 \bigg|\_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} = \frac{m}{l} \left\[ \left(\frac{l}{2}\right)^3 - \left(-\frac{l}{2}\right)^3 \right] = \frac{2m l^3}{3l} = \frac{1}{12} m l^2.
> $$
>
> 同理，我们可以得到，对于垂直于杆但穿过杆的一端  $A$  的转动轴而言，杆的转动惯量为
>
> $$
> I\_A = \int\_0^l (\rho dx) x^2 = \int\_0^l \frac{m}{l} x^2 dx = \frac{m}{l} \int\_0^l x^2 dx = \frac{m}{l} \frac{1}{3} x^3 \bigg|\_0^l = \frac{m}{l} \frac{1}{3} l^3 = \frac{1}{3} m l^2.
> $$

/example/  考虑一质量为  $m$ ，半径为  $R$  的匀质圆盘，旋转轴垂直于圆盘并穿过圆心，

> 其转动惯量为
> $$
> I\_C = \int\_0^R (\rho 2\pi r dr) r^2 = 2\pi \rho \int\_0^R r^3 dr = 2\pi \frac{m}{\pi R^2} \int\_0^R r^3 dr
> $$
>
> $$
> \= \frac{2m}{R^2} \frac{1}{4} r^4 \bigg|\_0^R = \frac{m}{2R^2} R^4 = \frac{1}{2} m R^2.
> $$
>
> 刚体是一种特殊的多粒子体系。因此，它的运动仍然满足质心运动定理
>
> $$
> \mathbf{F}\_{\text{all}} = M \mathbf{a}\_C = M \frac{d^2 \mathbf{R}\_C}{dt^2},
> $$
> 动能定理
>
> $$
> W\_{\text{out}} = E\_{k2} - E\_{k1} = \frac{1}{2} I \omega\_2^2 - \frac{1}{2} I \omega\_1^2,
> $$
> 以及角动量定理
>
> $$
> \frac{dL\_z}{dt} = I \frac{d\omega}{dt} = I \beta = M \mathbf{r}\_{\text{out}}^z.
> $$

这里，我们就不一一赘述了。

### · 平行轴定理

利用刚体动能在实验室系和质心系中所满足的关系

$$
E\_k = E\_{kC} + E'*k,
$$
证明所谓平行轴定理：设  $\overline{MN}$  为刚体的一条转动轴，而  $\overline{PQ}$  为穿过刚体质心且与  $\overline{MN}$  平行的另外一条轴。则相对于这两条轴的刚体的转动惯量  $I*{MN}$  和  $I\_{PQ}$  满足恒等式

$$
I\_{MN} = I\_{PQ} + M d^2.
$$
这里， $M$  为刚体的总质量。而  $d$  则为两轴之间的距离。

> 设刚体绕固定轴  $\overline{MN}$  转动的角速度为  $\omega$ ，则刚体在实验室系的动能为
>
> $$
> E\_k = \frac{1}{2} I\_{MN} \omega^2.
> $$
> 而质心的速度和动能则为
>
> $$
> V\_C = \omega d, \quad E\_{kC} = \frac{1}{2} M V\_C^2 = \frac{1}{2} M d^2 \omega^2.
> $$
> 至于刚体在质心系中的动能则为其在该系中绕轴  $PQ$  的转动能。考虑到在质心系中刚体的转动角速度仍为  $\omega$ ，我们有
>
> $$
> E'*k = \frac{1}{2} I*{PQ} \omega^2.
> $$
> 将这些表达式代入方程，我们即可得到
>
> $$
> \frac{1}{2} I\_{MN} \omega^2 = \frac{1}{2} M d^2 \omega^2 + \frac{1}{2} I\_{PQ} \omega^2.
> $$
> 将方程两边同时除以  $\omega^2/2$  后，我们得到方程
> $$
> I\_{MN} = I\_{PQ} + M d^2.
> $$
> 对于质量为  $m$ ，长度为  $l$  的匀质细杆，我们有
>
> $$
> I\_{PQ} = I\_C = \frac{1}{12} m l^2.
> $$
> 而对于垂直于杆并穿过杆的一端  $A$  的转动轴，我们有
>
> $$
> I\_A = I\_{PQ} = \frac{1}{3} m l^2.
> $$
> 二者之差为
>
> $$
> I\_A - I\_C = \frac{1}{3} m l^2 - \frac{1}{12} m l^2 = \frac{l^2}{4} m = \left(\frac{l}{2}\right)^2 m.
> $$
> 而质心  $C$  到端  $A$  的距离正好是  $\frac{l}{2} l$ 。

## Part 3 平面运动

### · 刚体运动学描述

任取刚体上的两点  $A$  和  $B$ 。我们有

$$
\mathbf{V}\_B = \mathbf{V}\_A + \vec{\omega}*A \times \mathbf{R}*{BA}, \quad \mathbf{V}\_A = \mathbf{V}\_B + \vec{\omega}*B \times \mathbf{R}*{AB} = \mathbf{V}\_B - \vec{\omega}*B \times \mathbf{R}*{BA}.
$$
比较两式，我们得到

$$
\vec{\omega}*A \times \mathbf{R}*{BA} = \vec{\omega}*B \times \mathbf{R}*{BA}.
$$
由于  $A$  和  $B$  两点是任意的，故我们进一步有

$$
\vec{\omega}\_A = \vec{\omega}\_B.
$$
既相对于任何转动轴，刚体运动的角速度是一样的。

现在，我们取定刚体中一点  $A$ 。则在实验室参照系中，总会存在一点  $M$ ，其在时刻  $t$  的速度

$$
\mathbf{V}\_M = \mathbf{V}*A + \vec{\omega} \times \mathbf{R}*{MA} = 0.
$$
这一点，称为  $t$  时刻的刚体瞬时转动中心。为了确定其位置，我们可以将上式两边同时与  $t$  时刻的刚体角速度  $\vec{\omega}(t)$  做直乘。由此我们得到

$$
0 = \vec{\omega}(t) \times \mathbf{V}*A(t) + \vec{\omega}(t) \times (\vec{\omega}(t) \times \mathbf{R}*{MA})
$$

$$
\= \vec{\omega}(t) \times \mathbf{V}*A(t) + \vec{\omega}^2(t) (\vec{\omega}(t) \cdot \mathbf{R}*{MA}) - (\vec{\omega}(t) \cdot \vec{\omega}(t)) \mathbf{R}\_{MA}(t)
$$

$$
\= \vec{\omega}(t) \times \mathbf{V}*A(t) - \omega^2(t) \mathbf{R}*{MA}(t).
$$

从这一方程，我们解得

$$
\mathbf{R}\_{MA}(t) = \frac{1}{\omega^2(t)} \vec{\omega}(t) \times \mathbf{V}*A(t).
$$
从上面我们可以看到， $\mathbf{R}*{MA}$  总是与  $\mathbf{V}\_A$  垂直的。因此，若我们能找到刚体上的两点  $A$  和  $B$ ，它们在  $t$  时刻具有不共线的速度  $\mathbf{V}\_A$  和  $\mathbf{V}\_B$ ，则我们可以利用作图法决定瞬时转动中心的位置  $M$ 。在瞬时转动中心确定以后，刚体上任一点  $P$  在时刻  $t$  的速度可以写作

$$
\mathbf{V}*P = \mathbf{V}*M + \vec{\omega}(t) \times \mathbf{R}*{PM} = \vec{\omega}(t) \times \mathbf{R}*{PM}.
$$
而过  $M$  的转动轴也称为瞬时转动轴。

需要强调一点的是，瞬时转动中心在时刻  $t$  的速度按照定义为零，但其加速度并不一定为零。

### · 瞬时转动轴定理

刚体在做平面运动时，其瞬心位置是随时间改变的。因此，刚体相对于瞬时轴的转动惯量也会随时间改变。将  $t$  时刻外力对于瞬时转动轴的力矩之和记作  $\mathbf{M}\_{\text{out},M}$ 。则我们有

$$
\mathbf{M}\_{\text{out},M} = I\_M \beta + \frac{1}{2} \omega \frac{dI\_M}{dt}
$$
成立。

**证**: 首先，任取与刚体一起运动的参照系上的固定一点  $\bar{M}$ (不一定是瞬时转动中心)。在随  $\bar{M}$  点运动的参照系中，我们有
$$
I\_{\bar{M}} \ddot{\vec{\omega}} = \mathbf{M}*{\text{out},\bar{M}} + \sum*{i=1}^{N} \mathbf{r}*i \times m\_i (-\mathbf{a}*{\bar{M}}).
$$
这里， $\mathbf{a}\_{\bar{M}}$  为  $\bar{M}$  点在实验室系中的加速度。相对于  $\bar{M}$  点而言，质心的速度为

$$
\mathbf{V}\_C = \vec{\omega} \times \mathbf{r}\_C.
$$
因此，反过来，在质心系中， $\bar{M}$  点的速度为

$$
\mathbf{v}'\_{\bar{M}} = \vec{\omega} \times (-\mathbf{r}\_C).
$$
而它相对于实验室系的速度为

$$
\mathbf{v}*{\bar{M}} = \mathbf{v}'*{\bar{M}} + \mathbf{V}\_C = \vec{\omega} \times (-\mathbf{r}\_C) + \mathbf{V}\_C.
$$
将之对于时间求导后，我们得到

$$
\begin{align\*}
\mathbf{a}*{\bar{M}} &= \dot{\mathbf{v}}*{\bar{M}} = \frac{d}{dt} \[\vec{\omega} \times (-\mathbf{r}\_C)] + \frac{d}{dt} \mathbf{V}\_C\\
&= \dot{\vec{\omega}} \times (-\mathbf{r}\_C) + \vec{\omega} \times (-\dot{\mathbf{r}}\_C) + \dot{\mathbf{V}}\_C\\
&= \dot{\vec{\omega}} \times (-\mathbf{r}\_C) + \vec{\omega} \times (-\vec{\omega} \times \mathbf{r}\_C) + \mathbf{V}\_C\\
&= \dot{\vec{\omega}} \times (-\mathbf{r}*C) + \vec{\omega} \times \[-(\vec{\omega} \times \mathbf{r}*C)] + \mathbf{V}*C\\
&= -\dot{\vec{\omega}} \times \mathbf{r}*C - \vec{\omega} (\vec{\omega} \cdot \mathbf{r}*C) + \omega^2 \mathbf{r}*C + \mathbf{V}*C.
\end{align\*}
$$
将  $\mathbf{a}*{\bar{M}}$  代入方程
$$
I*{\bar{M}} \ddot{\vec{\omega}} = \mathbf{M}*{\text{out},\bar{M}} + \sum*{i=1}^{N} \mathbf{r}*i \times m\_i (-\mathbf{a}*{\bar{M}}).
$$
后，我们有
$$
\begin{align\*}
I*{\bar{M}} \ddot{\vec{\omega}} &= \mathbf{M}*{\text{out},\bar{M}} + m \mathbf{r}*C \times (-\mathbf{a}*{\bar{M}})\\
&= \mathbf{M}*{\text{out},\bar{M}} + m \mathbf{r}\_C \times (-\dot{\vec{\omega}} \times \mathbf{r}\_C - \vec{\omega}^2 \mathbf{r}\_C + \mathbf{V}*C)\\
&= \mathbf{M}*{\text{out},\bar{M}} - m \mathbf{r}\_C \times (\dot{\vec{\omega}} \times \mathbf{r}\_C) - m \mathbf{r}*C \times \vec{\omega}^2 \mathbf{r}*C + \mathbf{M}*{\text{out},\bar{M}} \\
&= \mathbf{M}*{\text{out},\bar{M}} + m r\_C^2 \dot{\vec{\omega}} - m (\mathbf{r}\_C \cdot \dot{\vec{\omega}}) \mathbf{r}\_C - m r\_C \times \mathbf{V}*C\\
&= \mathbf{M}*{\text{out},\bar{M}} + m r\_C^2 \dot{\vec{\omega}} - m r\_C \times \mathbf{V}\_C.
\end{align\*}
$$
为了求得最后一项，我们现在取  $\bar{M}$  点为  $t$  时刻的瞬时转动中心  $M$  点，并利用过  $M$  点的垂直轴为瞬时转动轴这一事实。也就是说，我们有

$$
\mathbf{v}\_M = \mathbf{v}'\_M + \mathbf{v}\_C = \vec{\omega} \times (-\mathbf{r}\_C) + \mathbf{v}\_C = 0.
$$
由此，我们解得

$$
\mathbf{v}\_C = \vec{\omega} \times \mathbf{r}\_C.
$$
对于时间求导后，我们有

$$
\dot{\mathbf{v}}\_C = \dot{\vec{\omega}} \times \mathbf{r}\_C + \vec{\omega} \times \dot{\mathbf{r}}\_C.
$$
将它代入后，我们得到

$$
\begin{align\*}
I\_M \ddot{\vec{\omega}} &= \mathbf{M}\_{\text{外},M} + m r\_C^2 \ddot{\vec{\omega}} - m r\_C \times (\dot{\vec{\omega}} \times \dot{\mathbf{r}}\_C) - m r\_C \times (\vec{\omega} \times \dot{\mathbf{r}}*C)\\
&= \mathbf{M}*{\text{out},M} + m r\_C^2 \ddot{\vec{\omega}} + m (\mathbf{r}\_C \cdot \ddot{\vec{\omega}}) \mathbf{r}\_C - m \vec{\omega} (\mathbf{r}\_C \cdot \dot{\mathbf{r}}*C) + m (\mathbf{r}*C \cdot \vec{\omega}) \dot{\mathbf{r}}*C \\
&= \mathbf{M}*{\text{out},M} - m \vec{\omega} (\mathbf{r}*C \cdot \dot{\mathbf{r}}*C) = \mathbf{M}*{\text{out},M} - \frac{1}{2} m \vec{\omega} \frac{d r\_C^2}{dt}\\
&= \mathbf{M}*{\text{out},M} - \frac{1}{2} \vec{\omega} \frac{d}{dt} (m r\_C^2) = \mathbf{M}*{\text{out},M} - \frac{1}{2} \vec{\omega} \frac{d I\_M}{dt}\\
&= \mathbf{M}*{\text{out},M} - \frac{1}{2} \vec{\omega} \frac{d I\_M}{dt}.
\end{align\*}
$$
将此式右边的第二项移到左边之后，我们即可得到瞬时转动轴定理。

## Part 4 刚体的定点转动

### · 转动惯量张量

上面，我们讨论了刚体在平面，也就是二维空间中的运动。在三维空间中，刚体所能做的最简单的转动为定点转动。此时，我们可以将刚体的运动视作绕原点的转动。而刚体上每一点的速度都可以写作

$$
\mathbf{v}\_i(t) = \vec{\omega}\_i(t) \times \mathbf{r}\_i(t).
$$
下面，我们要论证，角速度  $\vec{\omega}\_i(t)$  实际上是一个不依赖于位置的向量。既我们有

$$
\vec{\omega}\_i(t) = \vec{\omega}(t)
$$
成立。

任取两个点  $\mathbf{r}\_i$  和  $\mathbf{r}\_j$ 。先假设它们是共线的。既  $\mathbf{r}\_i(t) = \alpha \mathbf{r}\_j(t)$ 。这里， $\alpha$  是一个实常数。取对于时间的导数后，我们有

$$
\mathbf{v}\_i = \dot{\mathbf{r}}\_i(t) = \alpha \dot{\mathbf{r}}\_j(t) = \alpha \mathbf{v}\_j(t).
$$
由此我们得到

$$
\mathbf{v}\_i = \vec{\omega}\_i(t) \times \mathbf{r}\_i(t) = \alpha \[\vec{\omega}\_j(t) \times \mathbf{r}\_j(t)] = \vec{\omega}\_j(t) \times (\alpha \mathbf{r}\_j(t)) = \vec{\omega}\_j(t) \times \mathbf{r}\_i(t).
$$
因此，我们有

$$
\vec{\omega}\_i(t) = \vec{\omega}\_j(t).
$$
若  $\mathbf{r}\_i$  与  $\mathbf{r}\_j$  不共线，则我们必须将刚体的约束条件考虑进来。此时，速度  $\mathbf{v}\_i$  和  $\mathbf{v}\_j$  在两点的连线方向上的投影应该是一样的。即我们有

$$
\mathbf{v}\_j \cdot (\mathbf{r}\_j - \mathbf{r}\_i) = \mathbf{v}\_i \cdot (\mathbf{r}\_j - \mathbf{r}\_i),
$$
或是

$$
\mathbf{v}\_j \cdot \mathbf{r}\_j - \mathbf{v}\_j \cdot \mathbf{r}\_i = \mathbf{v}\_i \cdot \mathbf{r}\_j - \mathbf{v}\_i \cdot \mathbf{r}\_i.
$$
由于  $\mathbf{v}\_i \perp \mathbf{r}\_i$ ,  $\mathbf{v}\_j \perp \mathbf{r}\_j$ ，我们得到

$$
\mathbf{v}\_j \cdot \mathbf{r}\_i + \mathbf{v}\_i \cdot \mathbf{r}\_j = 0,
$$
或是

$$
(\vec{\omega}\_j \times \mathbf{r}\_j) \cdot \mathbf{r}\_i + (\vec{\omega}\_i \times \mathbf{r}\_i) \cdot \mathbf{r}\_j = \vec{\omega}\_j \cdot (\mathbf{r}\_j \times \mathbf{r}\_i) + \vec{\omega}\_i \cdot (\mathbf{r}\_i \times \mathbf{r}\_j)
$$

$$
\= \vec{\omega}\_j \cdot (\mathbf{r}\_j \times \mathbf{r}\_i) - \vec{\omega}\_i \cdot (\mathbf{r}\_j \times \mathbf{r}\_i) = (\vec{\omega}\_j - \vec{\omega}\_i) \cdot (\mathbf{r}\_j \times \mathbf{r}\_i) = 0.
$$

由于  $\mathbf{r}\_j \times \mathbf{r}\_i$  的任意性，我们得出结论

$$
\vec{\omega}\_j = \vec{\omega}\_i.
$$
显然，在定点转动的情况下，通过原点  $O$  并与  $\vec{\omega}(t)$  平行的直线既是瞬时转动轴。在此轴的各点处，速度皆为零。但是加速度不一定为零。

由于定点转动时的角速度是向量。它们的加法满足熟知的平行四边形法则。因此，在实验室系中取好直角坐标系后，做定点转动的刚体的角动量可以被写作

$$
\begin{align\*}
\mathbf{L} &= \sum\_i \mathbf{r}\_i \times (m\_i \mathbf{v}\_i) = \sum\_i m\_i \mathbf{r}\_i \times (\vec{\omega}(t) \times \mathbf{r}\_i) = \sum\_i m\_i \left\[ (\vec{\omega}(t) \cdot \mathbf{r}\_i) \mathbf{r}\_i - \mathbf{r}\_i \vec{\omega}(t) \cdot \mathbf{r}\_i \right]\\
&= \sum\_i m\_i \left\[ (\omega\_x \mathbf{i} + \omega\_y \mathbf{j} + \omega\_z \mathbf{k}) (x\_i^2 + y\_i^2 + z\_i^2) \right.
\left. - (x\_i \mathbf{i} + y\_i \mathbf{j} + z\_i \mathbf{k}) (\omega\_x x\_i + \omega\_y y\_i + \omega\_z z\_i) \right]
\end{align\*}
$$
比较两边的分量后，我们有

$$
L\_x = I\_{xx} \omega\_x + I\_{xy} \omega\_y + I\_{xz} \omega\_z, \quad L\_y = I\_{yx} \omega\_x + I\_{yy} \omega\_y + I\_{yz} \omega\_z,
$$

$$
L\_z = I\_{zx} \omega\_x + I\_{zy} \omega\_y + I\_{zz} \omega\_z.
$$

这里，
$$
I\_{xx} = \sum\_i m\_i (r\_i^2 - x\_i^2) = \sum\_i m\_i (y\_i^2 + z\_i^2) = \iiint \rho(x,y,z)(y^2 + z^2)  dxdydz, \\
I\_{yy} = \sum\_i m\_i (r\_i^2 - y\_i^2) = \sum\_i m\_i (x\_i^2 + z\_i^2) = \iiint \rho(x,y,z)(x^2 + z^2)  dxdydz, \\
I\_{zz} = \sum\_i m\_i (r\_i^2 - z\_i^2) = \sum\_i m\_i (x\_i^2 + y\_i^2) = \iiint \rho(x,y,z)(x^2 + y^2)  dxdydz, \\
I\_{xy} = -\sum\_i m\_i x\_i y\_i = -\iiint \rho(x,y,z) xy  dxdydz, \\
I\_{xz} = -\sum\_i m\_i x\_i z\_i = -\iiint \rho(x,y,z) xz  dxdydz, \\
I\_{yx} = -\sum\_i m\_i y\_i x\_i = -\iiint \rho(x,y,z) yx  dxdydz, \\
I\_{yz} = -\sum\_i m\_i y\_i z\_i = -\iiint \rho(x,y,z) yz  dxdydz, \\
I\_{zx} = -\sum\_i m\_i z\_i x\_i = -\iiint \rho(x,y,z) zx  dxdydz, \\
I\_{zy} = -\sum\_i m\_i z\_i y\_i = -\iiint \rho(x,y,z) zy  dxdydz.
$$
利用矩阵的记号，我们现在可以将上述方程改写作
$$
\begin{pmatrix} L\_x \ L\_y \ L\_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I\_{xx} & I\_{xy} & I\_{xz} \ I\_{yx} & I\_{yy} & I\_{yz} \ I\_{zx} & I\_{zy} & I\_{zz} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega\_x \ \omega\_y \ \omega\_z \end{pmatrix}.
$$
其中的  $3 \times 3$  的矩阵，在文献中被称为转动惯量张量。它是实对称矩阵。当刚体的质量分布具有某些对称性的时候，它的形式可以被简化。

### · 例题

对于均匀分布的球体，我们有
$$
I\_{xx} = I\_{yy} = I\_{zz} = I,
$$
和

$$
I\_{xy} = I\_{xz} = \cdots = I\_{zx} = I\_{zy} = 0.
$$
而对于一个对称陀螺，我们则有

$$
I\_{xx} = I\_{yy} = I\_1, \quad I\_{zz} = I\_2,
$$
和

$$
I\_{xy} = I\_{xz} = \cdots = I\_{zx} = I\_{zy} = 0.
$$
以对称陀螺为例。当陀螺的旋转轴与  $z$  轴重合时，我们有

$$
\vec{\omega} = \omega\_z \mathbf{k}.
$$
因此，其角动量为

$$
\begin{pmatrix} L\_x \ L\_y \ L\_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I\_1 & 0 & 0 \ 0 & I\_1 & 0 \ 0 & 0 & I\_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ \omega \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ I\_3 \omega \end{pmatrix},
$$
或是

$$
\mathbf{L} = I\_3 \vec{\omega}.
$$
由于刚体的总角速度是一个向量，通常它可以被分解成几个分角速度之和。即我们有

$$
\vec{\omega} = \sum\_j^K \vec{\omega}\_j,
$$
相应地，刚体的总角动量可以被写作

$$
\begin{align\*}
\mathbf{L} &= \sum\_{i=1}^{N} m\_i \mathbf{r}\_i \times \mathbf{v}*i = \sum*{i=1}^{N} m\_i \mathbf{r}\_i \times (\vec{\omega} \times \mathbf{r}*i) \\
&= \sum*{i=1}^{N} m\_i \mathbf{r}*i \times \left( \sum*{j=1}^{K} \vec{\omega}*j \times \mathbf{r}*i \right) = \sum*{j=1}^{K} \left\[ \sum*{i=1}^{N} m\_i \mathbf{r}\_i \times (\vec{\omega}\_j \times \mathbf{r}*i) \right] \\
&= \sum*{j=1}^{K} \mathbf{L}\_j.
\end{align\*}
$$
这里，

$$
\mathbf{L}*j = \sum*{i=1}^{N} m\_i \mathbf{r}\_i \times (\vec{\omega}\_j \times \mathbf{r}\_i)
$$
是刚体由于角速度分量  $\vec{\omega}\_j$  所导致的角动量。

例如，陀螺的定点转动角速度可以分解为自转角速度，进动角速度和章动角速度。我们先考察自转轴为水平方向，进动方向竖直向上。

为了方便，我们取 y-轴与自转轴重合，并设其转动惯量为  $I\_c$ 。因此，由自转角速度  $\vec{\omega}\_s$  引起的角动量为
$$
\mathbf{L}\_s = I\_s \vec{\omega}\_s = I\_s \mathbf{j}.
$$
而进动角速度则为

$$
\vec{\Omega} = \Omega \mathbf{k},
$$
方向沿 z- 轴。由它引起的角动量  $\mathbf{L}\_\Omega$  由下式

$$
\begin{pmatrix} L\_x \ L\_y \ L\_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bar{I}*{xx} & \bar{I}*{xy} & \bar{I}*{xz} \ \bar{I}*{yx} & \bar{I}*{yy} & \bar{I}*{yz} \ \bar{I}*{zx} & \bar{I}*{zy} & \bar{I}*{zz} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ \Omega \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bar{I}*{xz} \Omega \ \bar{I}*{yz} \Omega \ \bar{I}*{zz} \Omega \end{pmatrix},
$$
或是

$$
\mathbf{L}*\Omega = \bar{I}*{zz} \Omega \mathbf{i} + \bar{I}*{yz} \Omega \mathbf{j} + \bar{I}*{zz} \Omega \mathbf{k}.
$$
另外一方面，利用陀螺的对称性，我们可以很容易地看到

$$
\bar{I}*{xz} = \bar{I}*{yz} = 0.
$$
因此，我们最后有

$$
\mathbf{L}*\Omega = \bar{I}*{zz} \Omega \mathbf{k}.
$$
在稳定转动的情况下， $\mathbf{L}\_\Omega$  是恒定的，而  $\mathbf{L}\_s$  则绕着 z- 轴做进动。这一进动所需要的外力矩是由过陀螺质心的重力矩提供的。

既我们有
$$
\frac{d\mathbf{L}*s}{dt} = \mathbf{M}*{\text{gravity}} = -mgl\_c \mathbf{i}.
$$
另一方面，我们从图中看出

$$
\frac{d\mathbf{L}\_s}{dt} = -L\_s \Omega \mathbf{i}.
$$
比较两式后，我们得到

$$
L\_s \Omega = mgl\_c,
$$
或是

$$
\Omega = \frac{mgl\_c}{L\_s} = \frac{mgl\_c}{I\_s \omega\_s}.
$$
而陀螺在固定点处所受外力的竖直分量为  $N\_\perp = mg$ ，其水平分量则提供刚体质心的向心加速度。因此，我们有

$$
\mathbf{N}\_\parallel = -m l\_c \Omega^2 \mathbf{j} = -\frac{m^3 g^2 l\_c^3}{I\_s^2 \omega\_s^2} \mathbf{j}.
$$
它是一个其方向随陀螺一起转动的水平力。

若陀螺的自转轴倾斜向上，我们可以将其自转轴取作 y'- 轴，建立一个相对于地面系的新的坐标系。此时，我们有

$$
\vec{\omega}\_s = \omega\_s \mathbf{j}', \quad \vec{\Omega} = \Omega \mathbf{k} = \Omega \sin \phi \mathbf{i}' + \Omega \cos \phi \mathbf{k}',
$$
而总角速度  $\vec{\Omega} = \vec{\omega}\_s + \vec{\Omega}$  则可以写作

$$
\vec{\Omega} = (\omega\_s + \Omega \sin \phi) \mathbf{j}' + \Omega \cos \phi \mathbf{k}' = \vec{\omega}' + \vec{\Omega}'.
$$
相应的角动量则为

$$
\mathbf{L}*{\text{总}} = \mathbf{L}' + \mathbf{L}*\Omega = I\_s (\omega\_s + \Omega \sin \phi) \mathbf{j}' + \bar{I}*{zz} \Omega \cos \phi \mathbf{k}'.
$$
$\mathbf{L}*{\text{all}}$  对于地面坐标系中  $y$ -轴的分量为

$$
L^y\_{\text{总}} = L' \cos \phi - L'*{\Omega} \sin \phi = I\_s \omega\_s \cos \phi + (I\_s - \bar{I}*{zz}) \Omega \cos \phi \sin \phi.
$$
其变化是由通过陀螺质心的重力矩引起的。如同上面的计算所示，我们有

$$
\frac{d L^y\_{\text{all}}}{dt} = -L^y\_{\text{all}} \Omega = -(I\_s \omega\_s \cos \phi + (I\_s - \bar{I}\_{zz}) \Omega \cos \phi \sin \phi) \Omega = -mgl\_c \cos \phi,
$$
或是

$$
(I\_s \omega\_s + (I\_s - \bar{I}\_{zz}) \Omega \sin \phi) \Omega = mgl\_c.
$$
这是没有章动时，稳定状态下进动角速度所满足的代数方程。

如果开始时刚体的进动角速度  $\Omega$  较小，在  $\Delta t$  时间间隔内， $L\_y$  由  $\Delta t$  引起的变化量  $\Delta L\_y$  小于  $\Delta t$  时间内重力提供的力矩  $M \Delta t$ ，换句话说，除了使得  $L\_y$  增长外，剩余的重力矩还可以引起沿 $x$ -轴负方向逐渐增大的角动量 $-L\_x$ 。

当  $L\_y$  或是  $\Omega$  增大到一定程度后， $\Delta L\_y$  将大于  $M \Delta t$ 。此时，陀螺的向下转动将被遏止，改为反向朝上转动。既它获得一个沿  $x$ -轴的角动量  $L\_x$ 。这样的过程往复进行，形成所谓章动。