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## Part 1 引言

信号的传输和处理，要由用许多不同功能的单元组织起来的一个复杂系统来完成。从广泛的意义上说，一切信息的传输过程都可以看成是通信，一切完成信息传输任务的系统都是通信系统。

以一个传统的电视广播系统为例，所要传输的信息包含在一些配有声音的画面之中。在传输这些画面时，先要利用电视摄像机把画面的光线色彩转变成图像信号，并利用话筒把声音转变成伴音信号，这些就是电视要传输的带有信息的原始信号。然后，把这些信号送入电视发射机，发射机能够产生一种反映上述信号变化的、便于传播的高频电信号。最后，由天线将高频电信号转换为电磁波发射出去，在空间传播。电视接收者用接收天线截获了电磁波的一小部分能量，把它转变成高频电信号送入电视接收机。接收机的作用正好和发射机相反，它能从送入的高频电信号中恢复出原来的图像信号与伴音信号，并把这两种信号分别送到显像管和喇叭，使接收者能看到传输的画面，同时还听到画面配备的伴音。所以，信息传输的任务，就是将带有信息的信号，通过某种系统由发送者传送给接收者。

通信系统主要包括消息到信号的转换、信号的处理和信号的传输。通信技术研究的任务，是要保证通过信道传输后的输出信号能够尽量保持输入信号的原来样子或达到某种需要的变换。

由此产生了一系列的研究课题，例如：信号通过通信系统的各个部分以后会产生什么样的变化？什么样的信号适合在系统中传输？什么样的系统适合信号传输？怎样能够使得不同的信号可以在同一个信道中同时传输而不相互干扰？为了解决这些问题，必须建立系统性的分析方法，以满足工程应用中的需求。

## Part 2 信号

广义地说，信号是随着时间变化的某种物理量。在电系统中，信号是随着时间变化的电量，它们通常是电压或电流，在某些情况下，也可以是电荷或磁通。在其他的系统中，信号也可以是其他的物理量。

信号可以表示为一个时间的函数，所以在信号分析中，信号和函数二词常相通用。除了表示为时间变量的函数以外，有些信号也可以表示成其他变量的函数。例如静态图像可以表示为空间坐标的函数，动态图像可以同时表示为空间和时间的函数等。

### · 分类

信号可按不同方式进行分类，首先从**函数形式**上划分可以分为确定信号与随机信号：当信号是一确定的时间函数时，给定某一时间值，就可以确定一相应的函数值。这样的信号是确定信号(determine signal)。但是，带有信息的信号往往具有不可预知的不确定性，它们是一种随机信号(random signal)。随机信号不是一个确定的时间函数，当给定某一时间值时，其函数值并不确定，而只知道此信号取某一数值的概率。

此外，**确定信号**又可分为周期信号(periodic signal)和非周期信号(non-periodic signal)。周期信号是指对于任意的时间点 $t$，都满足：

$$
f(t) = f(t + nT) \quad n = \ldots, -1, 0, 1, \ldots
$$

其中，$T$ 被称为信号的周期。从直观上看，周期信号是一段长度为 $T$ 的信号按照时间 $T$ 不断重复而构成的信号。

此外，**周期信号**可以分成两类：简谐周期信号和非简谐周期信号。首先，简谐周期信号就是只包含一个频率成分的周期信号，比如最典型的正弦信号。它的结构非常单纯，就一个频率。而非简谐周期信号呢，就是包含多个频率成分的周期信号，它的组成更复杂，可能由一系列不同频率的分量叠加而成。

另外，信号还可以从时间取值的连续性划分。确定信号可以表示为确定的时间函数，如果在某一时间间隔内，对于一切时间值，除了若干不连续点外，该函数都给出确定的函数值，这信号就称为连续时间信号。实际上，所谓连续信号是指它的时间变量 $t$ 是连续的。

和连续信号相对应的是离散时间信号。离散信号的时间函数只在某些不连续的时间值上给定函数值，其它时间没有定义。所谓离散信号，实际上指的是它的时间变量 $t$ 取离散值，因而这种信号也常称为离散时间信号。离散时间信号可以在均匀的时间间隔上给出函数值，也可以在不均匀的时间间隔上给出函数值，但一般都采用均匀间隔。

如果将离散时间信号在各个时间点上的信号的幅度也取离散值，就形成了**数字信号**。而与之相反的，在时间和取值上都是连续的连续时间信号有时也称为**模拟信号**。另外，当 $t < 0$ 时，信号或者函数值为零，这种信号被称为有始信号，有始信号的时间起始点也可不设定为零，而取某一时间。

从能量的角度来看，信号可以分为**能量信号**和功率信号。能量信号的特点是其在全部时间内消耗于 1 欧姆电阻上的总能量是有限的（且非零），而平均功率为零。这类信号通常在时间轴上具有有限持续时间，例如短暂的脉冲或衰减到零的瞬态信号。能量的数学表达式为：

$$
W = \int\_{-\infty}^{+\infty} f^2(t) dt
$$

只要该积分是有限值，信号就属于能量信号。

相对地，功率信号通常在时间上无穷延续，其总能量发散，但平均功率有限且非零。此时不能用总能量来描述信号，而应采用单位时间的平均功率。功率定义为：

$$
P = \lim\_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int\_{-T}^{+T} f^2(t) dt
$$

当这个极限存在并为有限值时，信号被视为功率信号。周期信号是典型的功率信号，因为其在每个周期内能量有限但时间无限延续，使平均功率保持稳定。直流信号、符号函数、周期信号、单位阶跃信号、有始周期信号均为功率信号。

需要注意，一个信号可能既不是能量信号也不是功率信号，例如当总能量和平均功率均不收敛时。例如，单位斜边信号表示为：

$$
R(t) =
\begin{cases}
t & t > 0 \\
0 & t < 0
\end{cases}
$$
但信号不可能同时是能量信号和功率信号，因为能量有限与能量无限这两个条件无法同时满足，因此这两类信号在定义上是互斥的。

### · 特征

信号的特性首先表现为它的时间特性。信号的时间特性主要是指信号随时间变化的特性，例如，周期大小、幅度高低、上升下降沿的快慢，脉冲持续时间长短等。

除了时间特性外，信号还具有频率特性。，对于一个复杂信号，可以用傅里叶分析法把它分解为许多不同频率的正弦分量，而每一正弦分量则以它的幅度和相位来表征。各个正弦分量可以将其幅度和相位分别按频率高低依次排列成频谱。这样的频谱，同样也包含了信号的全部信息量。复杂信号频谱中各分量的频率，理论上说可以扩展至无限，但是由于原始信号的能量一般集中在频率较低的范围内，高于某一频率的分量在工程实用上可以忽略不计。这样，每一信号的频谱都有一个有效的频率范围，这个范围称为信号的频带。

信号的频谱和信号的时间函数既然都包含了信号所带有的全部信息量，都能表示出信号的特点，那么信号的时间特性和频率特性之间就不可能互不相关、互相独立，而必然具有密切的联系。

### · 典型信号

a. 指数信号，表达式为：

$$
f(t) = ke^{at} \quad -\infty < t < +\infty
$$

b. 单边指数信号，表达式为：

$$
f(t) =
\begin{cases}
ke^{at} & t > 0 \\\\
0 & t < 0
\end{cases}
$$

c. 正弦信号，表达式为：

$$
f(t) = k \sin(\omega\_0 t + \theta)
$$

> 正弦信号的周期 $T$ 与角频率 $\omega\_0$、频率 $f$ 的关系为：
>
> $$
> T = \frac{1}{f} = \frac{2\pi}{\omega\_0}
> $$

d. 衰减正弦信号，表达式为：
$$
f(t) =
\begin{cases}
ke^{-at} \sin \omega\_0 t & t > 0 \\\\
0 & t < 0
\end{cases}
$$

e. 虚指数信号，表达式为：

$$
x(t) = e^{j\omega\_0 t}
$$

> 由如下 Euler 公式：
>
> $$
> \cos(\omega t) = \frac{1}{2}(e^{j\omega t} + e^{-j\omega t}) \quad \text{and} \quad \sin(\omega t) = \frac{1}{2j}(e^{j\omega t} - e^{-j\omega t})
> $$
>
> 可以推导出周期性：
>
> $$
> x(t) = x(t + T\_0) = e^{j\omega\_0 t} = e^{j\omega\_0 (t + T\_0)}
> $$
>
> $$
> \omega\_0 T\_0 = 2\pi n, \quad n = \pm 1, \pm 2 \ldots
> $$
>
> 得到虚指数信号的基本周期：
>
> $$
> T\_0 = \frac{2\pi}{|\omega\_0|}
> $$

f. 复指数信号，表达式为：
$$
f(t) = Ke^{st}
$$

> 其中，$s = \sigma + j\omega$ 为一复数，这样可以得到：
>
> $$
> \begin{aligned}
> f(t) &= Ke^{(\sigma + j\omega)t}\\\\
> &= Ke^{\sigma t} e^{j\omega t}\\\\
> &= Ke^{\sigma t} (\cos \omega t + j \sin \omega t)\\\\
> &= Ke^{\sigma t} \cos \omega t + jKe^{\sigma t} \sin \omega t
> \end{aligned}
> $$

g. 抽样信号，表达式为：
$$
f(t) = Sa(t) = \frac{\sin t}{t}
$$

$Sa(t)$ 是偶函数，$t = \pm\pi, \pm2\pi, \ldots$ 时，函数值为 0。

> $Sa(t)$ 具有以下性质：
>
> $$
> \int\_0^\infty Sa(t) dt = \frac{\pi}{2} \quad \quad \int\_{-\infty}^{+\infty} Sa(t) dt = \pi
> $$
>
> 另一种类似的表示形式为：
>
> $$
> Sinc(t) = \frac{\sin \pi t}{\pi t}
> $$

### · 信号的简单处理

所谓对信号的处理，从数学意义来说，就是将信号经过一定的数学运算转变为另一信号。这种处理的过程可以通过算法来实现，也可以让信号通过一个实际的电路来实现。

**相加与相乘**：

> 两个信号的**相加**或相乘即为两个信号的时间函数相加或相乘，反映在波形上则是将相同时刻对应的函数值相加或相乘。在实际生活中有很多信号叠加的例子，如卡拉 OK 中演唱者的歌声与背景音乐的混合就是一种信号叠加的过程，影视动画中添加背景也是如此。在信号传输过程中也常有不需要的干扰和噪声叠加进来，影响正常信号的传输。信号相乘则常用于如调制、解调、混频、频率变换等系统的分析。

**时移**：

> 发射机发出的信号传输到接收机的过程中，必须经过一定的信道。信号在信道中的传输总是要花费一定的时间，这使得接收机收到的信号与发射机发送的信号相比，有一定的时向上滞后，存在着时间上的**延时**。
>
> 信号 $f(t)$ 延时 $t\_0$ 后的信号表示为 $f(t - t\_0)$，显然 $f(t)$ 在 $t = 0$ 时的值在 $f(0)$。$f(t - t\_0)$ 中将出现在 $t = t\_0$ 时刻。如果 $t\_0$ 为正值，则其波形在保持信号形状不变的同时，沿时间轴右移 $t\_0$ 的距离；如 $t\_0$ 为负值则向左移动。

**尺度变换与反褶**：

> 当时间坐标的尺度发生变换时将使信号产生展缩。信号 $f(t)$ 经尺度变换后的信号可以表示为 $f(at)$，其中 $a$ 为一常数。显然在 $t$ 为某值 $t\_1$ 时的值 $f(t\_1)$，在 $f(at)$ 的波形中将出现在 $t = \dfrac{t\_1}{a}$ 的位置。
>
> 假设 $a$ 为正数，当 $a > 1$ 时，信号波形被压缩；而 $a < 1$ 时，信号波形被展宽。
>
> 如 $a = -1$，则 $f(at)$ 的波形为 $f(-t)$，波形产生对称于纵坐标轴的反褶。
>
> 前面提到的录像机快放、慢放和倒放的例子中，如果是两倍速快放，则 $a = 2$；如果两倍速的慢放，则 $a = \dfrac{1}{2}$，如果是倒放，则 $a = -1$；当 $a$ 为负值且不等于 1 时，则反褶与尺度变换同时存在。
>
> 若 $0 < a < 1$，则 $x(at)$ 是 $x(t)$ 的扩展。若 $a > 1$，则 $x(at)$ 是 $x(t)$ 的压缩。

在信号简单处理过程中常有综合延时、尺度变换与反褶的情况，这时相应的波形分析可分步进行。分步的次序可以有所不同。因为在处理过程中，坐标轴始终是时间 $t$，因此每一步的处理都应针对时间 $t$ 进行。

**微分**：

> 信号的微分是描述信号随时间变化速度的重要运算。当一个连续时间信号 $x(t)$ 随时间变化时，其微分信号 $y(t)$ 定义为对 $x(t)$ 关于时间 $t$ 求导，表示为：
>
> $$
> y(t) = \frac{dx(t)}{dt}
> $$
>
> 微分的作用是反映信号斜率的变化，因此在信号的上升段会得到正的常数值，在下降段会得到负的常数值，而在信号保持恒定的区间内，微分结果为零。

**积分**：

> 信号的积分用于描述信号在时间上的累积效应，是微分的逆运算，表示为：
>
> $$
> y(t) = \int\_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau = x^{(-1)}(t)
> $$
>
> 当一个信号 $x(t)$ 随时间作用时，其积分信号 $y(t)$ 表示在从负无穷到当前时刻 $t$ 的范围内，对信号值逐渐累加的结果。因此，积分能够反映信号累计“面积”的增长情况。积分信号是原信号面积累加后的结果，能够清晰体现信号在时间轴上的累计贡献。

**奇偶信号**：

> 在信号分析中，偶信号与奇信号的分解是常用的表示方法。任何一个信号 $x(t)$ 都可以唯一地分解成一个偶信号和一个奇信号之和。偶信号的特点是关于纵轴对称，即满足 $x(t) = x(-t)$；奇信号则满足 $x(t) = -x(-t)$，呈中心反对称结构。
>
> 通过构造信号在正负时间的对称与反对称部分，可以将任意信号分解为两部分，便于分析信号的性质或在后续处理中分别利用其对称特点。偶部信号通过取原信号和其反向时间信号的平均来获得；而奇部信号则通过取原信号与其反向信号的差的一半得到。这样得到的偶部和奇部信号相加，即可恢复原始信号。
>
> 因此，这种分解既严格又具有明确的几何意义，是信号处理中常见的基本方法。偶部与奇部信号的表达式分别为：
> $$
> E\_e{x(t)} = \frac{1}{2}\[x(t) + x(-t)]
> $$
>
> $$
> O\_o{x(t)} = \frac{1}{2}\[x(t) - x(-t)]
> $$

## Part 3 系统

从一般的意义上说，系统是一个由若干互有关联的单元组成的、具有某种功能、用来达到某些特定目标的有机整体。

电子学中，系统常常是各种不同复杂程度的电路单元的组合体，各个电路单元完成特定的信号传输与处理任务。而各个电路单元又可以看成是更小的单元构成的系统。所以一个电路既可以从事系统的角度进行研究对输入信号处理的过程或机制，也可以当做是一个更大的系统的一个基本单元，从而研究其在更大的系统中的贡献。
$$
e(t)\rightarrow \boxed{\text{System}}\rightarrow r(t)
$$
图中的方框代表某种系统；$e(t)$ 是作用在系统输入端的输入信号，称为激励；$r(t)$ 是系统输出在其输出端的信号，称为响应。系统的功能和特性就是通过由怎样的激励产生怎样的响应来体现。

### · 分类

从系统特性上划分，可以分为**线性系统**和**非线性系统**。

**线性系统**：

> 同时具有齐次性和叠加性的系统。系统的齐次性是指当输入激励改变为原来的 $k$ 倍时，输出响应也相应地改变为原来的 $k$ 倍，这里 $k$ 为任意常数。即如果由激励 $e(t)$ 产生的系统的响应是 $r(t)$，则由激励 $ke(t)$ 产生的该系统的响应应该是 $kr(t)$。或者用符号表示为：
>
> $$
> e(t) \to r(t)\Rightarrow ke(t) \to kr(t)
> $$
> 系统的叠加性是指当有几个激励同时作用于系统上时，系统的总响应等于各个激励分别作用于系统所产生的响应分量之和。如果 $r\_1(t)$ 为系统在 $e\_1(t)$ 单独作用时的响应，$r\_2(t)$ 为同一系统在 $e\_2(t)$ 单独作用时的响应，则在激励 $e\_1(t) + e\_2(t)$ 作用时此系统的响应为 $r\_1(t) + r\_2(t)$，或者用符号表示为：
>
> $$
> e\_1(t) \to r\_1(t),\ e\_2(t) \to r\_2(t)\Rightarrow e\_1(t) + e\_2(t) \to r\_1(t) + r\_2(t)
> $$

判断下列系统是否为线性系统。

$$
y(t) = t^2 x(t) \quad\quad y(t) = 3x(t) + 4 \quad\quad y(t) = 4 \frac{dx(t)}{dt}
$$

> /proof/
> $$
> y(t) = t^2 x(t)
> $$
> ① **齐次性**：
> $$
> x\_1(t) \to t^2 x\_1(t) = y\_1(t)
> $$
> 令 $x\_2(t) = K x\_1(t)$
> $$
> x\_2(t) \to t^2 x\_2(t) = t^2 K x\_1(t) = K y\_1(t)
> $$
> ② **叠加性**：
> $$
> x\_1(t) \to t^2 x\_1(t) = y\_1(t)
> $$
>
> $$
> x\_2(t) \to t^2 x\_2(t) = y\_2(t)
> $$
>
> 令 $x\_3(t) = x\_1(t) + x\_2(t)$
> $$
> x\_3(t) \to t^2 x\_3(t) = t^2 \[x\_1(t) + x\_2(t)] = y\_1(t) + y\_2(t)
> $$
> 满足齐次性和叠加性，该系统为线性系统。

从系统参数上划分，系统又可根据其中是否包含有随时间变化参数的元件而分为**时不变系统**和**时变系统**。时不变系统的性质不随时间变化，或者说，它具有响应的形状不随激励施加的时间不同而改变的特性。

设时不变系统对于激励 $e(t)$ 的响应是 $r(t)$，则当激励延迟一段时间而成为 $e(t - t\_0)$ 时，其响应也延迟一段相同时间而形状不变，成为 $r(t - t\_0)$，用符号表示为：
$$
e(t) \to r(t)\Rightarrow e(t - t\_0) \to r(t - t\_0)
$$
系统若具有上式表示的性质则为时不变系统，不具有上述性质则为时变系统。

/example/ $r(t) = t e(t)$.

> /proof/
> $$
> e\_1(t) \to t e\_1(t) = r\_1(t)
> $$
>
> $$
> e\_2(t) = e\_1(t - t\_0) \to t e\_2(t) = t e\_1(t - t\_0) \ne r\_1(t - t\_0)
> $$
>
> 不满足时不变性，该系统为时变系统。

从信号特性上划分，系统又可划分为**连续时间系统**与**离散时间系统**。连续时间系统（continuous-time system）和离散时间系统（discrete-time system）是根据它们所传输和处理的信号的性质而定的。前者传输和处理连续信号，它的激励和响应在连续时间的一切值上都有确定的意义；与后者有关的激励和响应信号则是不连续的离散序列。

从因果特性上划分，系统又可划分为**因果系统**和**非因果系统**。人们生活的世界，所有事物的发展都必须遵循因果律。一切物理现象，都要满足先有原因然后产生结果这样一个显而易见的因果关系，结果不能早于原因而出现。对于一个系统，激励是原因，响应是结果，响应不可能出现于施加激励之前。所以响应先于激励的系统是制造不出来的，也就是在物理上是不可实现的。

符合因果律的系统称为因果系统，不符合因果律的系统称为非因果系统。

例如，$r'(t) = e(t + 1)$ 该系统在 $t$ 时刻的输出与 $t+1$ 时刻的激励有关，显然该系统为一非因果系统。如 $r'(t) = e(t - 1)$，则该系统为因果系统。

### · 模型

系统的数学模型可以用方程来表示，其中，线性系统用线性方程表示；非线性系统用非线性方程表示；时变系统用变参数方程表示；时不变系统用常参数方程表示；连续时间系统用微分方程表示；离散时间系统用差分方程表示。因此，线性时不变连续时间系统可用如下常系数微分方程表示：

$$
\frac{d^2 r(t)}{dt^2} + a\_1 \frac{dr(t)}{dt} + a\_0 r(t) = b\_2 \frac{d^2 e(t)}{dt^2} + b\_1 \frac{de(t)}{dt} + b\_0 e(t)
$$

线性时不变离散时间系统可用如下常系数差分方程表示：

$$
y(n+2) + a\_1 y(n+1) + a\_0 y(n) = b\_2 e(n+2) + b\_1 e(n+1) + b\_0 e(n)
$$

### · LTI 系统

线性时不变系统具有以下性质：首先是齐次性，若 $e(t) \to r(t)$，则 $k e(t) \to k r(t)$；其次具有叠加性，若 $e\_1(t) \to r\_1(t)$ 且 $e\_2(t) \to r\_2(t)$，则 $e\_1(t) + e\_2(t) \to r\_1(t) + r\_2(t)$。

在时不变性中，若 $e(t) \to r(t)$，则 $e(t - t\_0) \to r(t - t\_0)$。综上，对于线性时不变系统，若 $e\_1(t) \to r\_1(t)$, $e\_2(t) \to r\_2(t)$，则存在
$$
k\_1 e\_1(t - t\_0) + k\_2 e\_2(t - t\_0) \to k\_1 r\_1(t - t\_0) + k\_2 r\_2(t - t\_0)
$$

此外系统还具有微分与积分性，若 $e(t) \to r(t)$，则
$$
\frac{de(t)}{dt} \to \frac{dr(t)}{dt}, \quad \int\_0^t e(\tau) d\tau \to \int\_0^t r(\tau) d\tau
$$
当系统既具有一定的初始条件或初始储能，又有外加激励信号的作用时，系统的响应信号也应由两部分构成：一部分是外加激励信号为 0，仅仅由初始条件所产生的响应，叫**零输入响应**（zero-input response），记为 $r\_{zi}(t)$；另一部分是初始条件为 0，仅仅由外加激励信号所产生的响应，叫**零状态响应**（zero-state response），记为 $r\_{zs}(t)$。综上，系统的全响应（complete response）为：

$$
r(t) = r\_{zi}(t) + r\_{zs}(t)
$$

> 在线性时不变系统的分析中，系统研究通常分为两类：一是系统分析，即在已知系统特性与激励信号的情况下求出系统的输出；或者在已知系统输入与输出信号时，反求系统特性。二是系统综合，即在已知输入信号和期望输出信号的条件下构造满足要求的系统。在进行系统分析时，需要遵循一定的步骤。首先，应将系统的工作过程用数学形式表达出来，即建立系统的数学模型。对于线性时不变系统（LTI 系统），其模型一般表现为常系数微分方程或常系数差分方程。
>
> 其次，需要对建立的数学模型进行求解，即对系统方程进行数学处理，这可以采用时域法、变换域法等不同方法。通过求解方程，可以得到系统输出或系统行为随时间的变化规律。最后，还需要对数学求解的结果进行物理解释，使解所反映的系统行为具有明确的物理意义，从而为系统分析或系统综合提供依据。