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weekly-期中寄

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Nichijou

2025-04-14

万恶的期中寄结束力！紧接着赶来的就是期末寄（悲）

· 一点数学

先给出来一道闫浩给大一微积分出的PDE的题

设 f(u,v)f(u,v) 可微，且满足以下条件：

∂f(u,v)∂u−2∂f(u,v)∂v=cos⁡(u+v),g(x,y)=f(x,y−2x)\frac{\partial f(u,v)}{\partial u}-2\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}=\cos(u+v),\quad g(x,y)=f(x,y-2x)

(1). 求解 ∂g(x,y)∂x\frac{\partial g(x,y)}{\partial x}

(2). g(0,y)=y2−sin⁡yg(0,y)=y^2-\sin y ，求 f(u,v),g(x,y)f(u,v),g(x,y) 表达式

第一问本人做出来的，第二问似乎是做错力（悲）

第一问首先我们不难发现变量代换的关系：u=x,v=y−2xu=x,v=y-2x

那么使用链式法则：

∂g∂x=∂f∂u∂u∂x+∂f∂v∂v∂x=∂f∂u−2∂f∂v=cos⁡(u+v)=cos⁡(y−x)\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}-2\frac{\partial f}{\partial v}=\cos(u+v)=\cos(y-x)

紧接着是第二问：

f(u,v)=f(x,y−2x)=h(x,y)f(u,v)=f(x,y-2x)=h(x,y)

∂h∂x=∂f∂u∂u∂x+∂f∂v∂v∂x=cos⁡(y−x)\frac{\partial h}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=\cos(y-x)

两侧同时对 xx 积分：

h(x,y)=f(x,y−2x)=∫cos⁡(y−x)dx=−sin⁡(y−x)+C(y)h(x,y)=f(x,y-2x)=\int\cos(y-x)\text{d}x=-\sin(y-x)+C(y)

f(u,v)=h(u,v+2u)=−sin⁡(u+v)+C(v+2u)f(u,v)=h(u,v+2u)=-\sin(u+v)+C(v+2u)

我们发现到这里就求不出来 C(y)C(y) 的具体表达式，但是还有个条件没有用

g(0,y)=y2−sin⁡y,g(x,y)=f(x,y−2x)⇒f(0,y)=y2−sin⁡yg(0,y)=y^2-\sin y, \quad g(x,y)=f(x,y-2x)\Rightarrow f(0,y)=y^2-\sin y

然后将 uu 赋值为 00

f(0,v)=−sin⁡v+C(v)=v2−sin⁡v⇒C(v)=v2f(0,v)=-\sin v+C(v)=v^2-\sin v\Rightarrow C(v)=v^2

f(u,v)=−sin⁡(u+v)+(v+2u)2f(u,v)=-\sin(u+v)+(v+2u)^2

g(x,y)=y2−sin⁡(y−x)g(x,y)=y^2-\sin (y-x)

Q.E.D.

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