Part 1 基变换 过渡矩阵

定义1：基变换与过渡矩阵

设 $V_k$ 是线性空间，$\{e_1, e_2, \dots, e_n\}$ 和 $\{f_1, f_2, \dots, f_n\}$ 是两组基，则有：

$$\begin{cases} f_1 = a_{11}e_1 + a_{12}e_2 + \cdots + a_{1n}e_n \\ f_2 = a_{21}e_1 + a_{22}e_2 + \cdots + a_{2n}e_n \\ \vdots \\ f_n = a_{n1}e_1 + a_{n2}e_2 + \cdots + a_{nn}e_n \end{cases}$$

记前面的系数构成的 $n \times n$ 方阵为：

$$A = (a_{ij})_{n\times n}$$

称为 从基 $\mathcal{E}$ 到基 $\mathcal{F}$ 的过渡矩阵

注意：$A$ 可逆，因为新基可由旧基线性表示，且线性无关

形式行向量 $(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)$，其中 $\alpha_i \in V$

相等

$$(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n) = (\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n) \stackrel{\text{def}}{\Longleftrightarrow} \alpha_i = \beta_i,\ \forall 1 \leq i \leq n$$

加法

$$(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n) + (\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n) \stackrel{\text{def}}{=} (\alpha_1 + \beta_1, \alpha_2 + \beta_2, \cdots, \alpha_n + \beta_n)$$

数乘

$$k \in K,\quad k \cdot (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n) \stackrel{\text{def}}{=} (k\alpha_1, k\alpha_2, \cdots, k\alpha_n)$$

矩阵乘法

$$(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n) A_{m \times n} = \left( \sum_{i=1}^n \alpha_i a_{i1}, \cdots, \sum_{i=1}^n \alpha_i a_{im} \right)$$

设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$ 列分块

$$A = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n),\quad \alpha_i \in K^m$$

$$(f_1, f_2, \cdots, f_m) = (e_1, e_2, \cdots, e_m) A\cdots\cdots(*)$$

$A$ 即为过渡矩阵

引理2：设 $\{e_1, e_2, \cdots, e_n\}$ 为 $V$ 的基，$A = (a_{ij})_{m \times n}$，令 $B = (b_{ij})_{m \times n}$，使得

$$(e_1, e_2, \cdots, e_n) A = (e_1, e_2, \cdots, e_n) B \Rightarrow A = B$$

证明：

$$(e_1, e_2, \cdots, e_n) A = \left( \sum_{i=1}^n a_{i1} e_i, \cdots, \sum_{i=1}^n a_{im} e_i \right)$$

$$(e_1, e_2, \cdots, e_n) B = \left( \sum_{i=1}^n b_{i1} e_i, \cdots, \sum_{i=1}^n b_{im} e_i \right)$$

$$\Rightarrow \sum_{i=1}^n a_{i1} e_i = \sum_{i=1}^n b_{i1} e_i,\ \cdots,\ \sum_{i=1}^n a_{im} e_i = \sum_{i=1}^n b_{im} e_i$$

$$\Rightarrow a_{ij} = b_{ij},\quad \forall 1 \leq i \leq n,\ 1 \leq j \leq m.$$

在线性空间中，$\{e_1, e_2, \cdots, e_n\}$ 为旧基，$\{f_1, f_2, \cdots, f_n\}$ 新基

对任意 $\alpha \in V$，

$$\alpha = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots + \lambda_n e_n \longrightarrow \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix}_{\text{old}}$$

$$\alpha = \mu_1 f_1 + \mu_2 f_2 + \cdots + \mu_n f_n \longrightarrow \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \\ \vdots \\ \mu_n \end{pmatrix}_{\text{new}}$$

设 $(f_1, f_2, \cdots, f_n) = (e_1, e_2, \cdots, e_n) A$ ，则：

$$\alpha = (e_1, e_2, \cdots, e_n) \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix} = (f_1, f_2, \cdots, f_n) \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \\ \vdots \\ \mu_n \end{pmatrix} = (e_1, e_2, \cdots, e_n) A \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \\ \vdots \\ \mu_n \end{pmatrix}$$

易推出引理2：

$$\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \\ \vdots \\ \mu_n \end{pmatrix} \quad \cdots\cdots\ \text{(**) }$$

$(*) \Rightarrow (**)$ ✓

$(**) \Rightarrow (*)$: $f_i$ 的新坐标向量为 $\begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$，第 $i$ 个位置为 1。

由 $(**)$ 可得 $f_i$ 的旧坐标向量为

$$A \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_i = \begin{pmatrix} a_{i1} \\ a_{i2} \\ \vdots \\ a_{in} \end{pmatrix} \Rightarrow f_i = a_{i1}e_1 + a_{i2}e_2 + \cdots + a_{in}e_n, \quad \forall 1 \leq i \leq n,\quad A=(a_{ij})_{n\times n}$$

$\Rightarrow(*)$ 成立，即 $A$ 为过渡矩阵。

命题3：设 $V_k$ 为线性空间，$\{e_1, e_2, \cdots, e_n\}$、$\{f_1, f_2, \cdots, f_n\}$、$\{g_1, g_2, \cdots, g_n\}$ 为三组基。 从基 $e$ 到基 $f$ 的过渡阵为 $A$，从基 $f$ 到基 $g$ 的过渡阵为 $B$，则：

1. $A$ 为可逆阵；
2. 从基 $e$ 到基 $g$ 的过渡阵为 $AB$ .

证明：

(1) 设从基 $f$ 到基 $e$ 的过渡阵为 $P$，

$$(f_1, f_2, \cdots, f_n) = (e_1, e_2, \cdots, e_n) A \\ (e_1, e_2, \cdots, e_n) = (f_1, f_2, \cdots, f_n) P$$

$$\Rightarrow (e_1, e_2, \cdots, e_n) I_n = (e_1, e_2, \cdots, e_n) AP$$

由 引理2 $\Rightarrow AP = I_n$，从而 $A$ 可逆。

(2) 设从基 $e$ 到基 $g$ 的过渡阵为 $C$，

$$(f_1, f_2, \cdots, f_n) = (e_1, e_2, \cdots, e_n) A \\ (g_1, g_2, \cdots, g_n) = (f_1, f_2, \cdots, f_n) B \\ (g_1, g_2, \cdots, g_n) = (e_1, e_2, \cdots, e_n) C$$

又因为

$$(g_1, g_2, \cdots, g_n) = (e_1, e_2, \cdots, e_n) AB$$

从而有：

$$C = AB$$

注：若用行向量 $(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n)$ 来表示坐标向量

设 $\{e_1, e_2, \cdots, e_n\}$、$\{f_1, \cdots, f_n\}$ 为两组基，

形式列向量：

$$\begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \\ \vdots \\ e_n \end{pmatrix}$$

则有：

$$(*)'\cdots\cdots \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \\ \vdots \\ f_n \end{pmatrix} = X \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \\ \vdots \\ e_n \end{pmatrix}$$

$X$ 为过渡矩阵

$$(**)'\Rightarrow(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n) = (\mu_1, \mu_2, \cdots, \mu_n) A$$

Part 2 子空间

定义1：设 $V_k$ 是线性空间，$V_0$ 是 $V$ 的非空子集。若对任意 $\alpha, \beta \in V_0$，$k \in K$，有：

$$\alpha + \beta \in V_0,\quad k\alpha \in V_0$$

则称 $V_0$ 为 $V$ 的线性子空间，简称子空间。

引理2：$V_0$ 在 $V$ 的加法和数乘下构成了 $K$ 上的线性空间。

性质：

对任意 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m \in V_0$，$\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_m \in K$，

$$\Rightarrow \lambda_1\alpha_1 + \lambda_2\alpha_2 + \cdots + \lambda_m\alpha_m \in V_0$$

特殊子空间：

$V_k$：线性空间； $\{0_v\}$：零子空间 → 约定 $\dim = 0$ ；$V$：全子空间 ($\{0_v\},\ V$ 称为平凡子空间)

引理：设 $V_0$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间，则

$$0 \leq \dim V_0 \leq \dim V$$

进一步，若 $V_0$ 是非平凡子空间，则取严格不等号。

证明：

设 $V_0$ 为 $V$ 的非零子空间，记 $\dim V_0 = m$，取 $V_0$ 的一组基 $\{e_1, e_2, \cdots, e_m\}$，从而 $e_1, \cdots, e_m$ 是 $V$ 中线性无关的向量。

由基扩张定理：

$\Rightarrow$ 可将 $\{e_1, \cdots, e_m\}$ 扩张为 $V$ 的一组基 $\{e_1, \cdots, e_m, e_{m+1}, \cdots, e_n\}$ .

$$\Rightarrow 0 \leq \dim V_0 = m \leq n = \dim V$$

下证：若 $\dim V_0 = \dim V = n$，则 $V_0 = V$

① 取 $V_0$ 的基 $\{e_1, e_2, \cdots, e_n\}$，从而 $e_1, \cdots, e_n$ 是 $V$ 中线性无关的向量。

又 $\dim V = n$， $\Rightarrow \{e_1, \cdots, e_n\}$ 也是 $V$ 的一组基。

对任意 $\alpha \in V$，有

$$\alpha = \lambda_1 e_1 + \cdots + \lambda_n e_n \in V_0 \Rightarrow V_0 = V$$

定义 + 命题2：设 $V_1, V_2$ 是 $V$ 的子空间。

• 交空间：$V_1 \cap V_2 = \{\alpha \mid \alpha \in V_1,\ \alpha \in V_2\}$
• 和空间：$V_1 + V_2 = \{\alpha + \beta \mid \alpha \in V_1,\ \beta \in V_2\}$

则 $V_1 \cap V_2$、$V_1 + V_2$ 都是 $V$ 的子空间。

证明：

$V_1 \cap V_2$ 是子空间：设 $\alpha, \beta \in V_1 \cap V_2$ ⇒

$$\alpha + \beta \in V_1,\ \alpha + \beta \in V_2 \Rightarrow \alpha + \beta \in V_1 \cap V_2$$

$$k \in K,\ k\alpha \in V_1,\ k\alpha \in V_2 \Rightarrow k\alpha \in V_1 \cap V_2$$

$\Rightarrow V_1 \cap V_2$ 是子空间。

$V_1 + V_2$ 是子空间：设 $\alpha, \beta \in V_1 + V_2$，即

$$\alpha = \alpha_1 + \alpha_2,\ \alpha_1 \in V_1,\ \alpha_2 \in V_2 \\ \beta = \beta_1 + \beta_2,\ \beta_1 \in V_1,\ \beta_2 \in V_2$$

则：

$$\alpha + \beta = (\alpha_1 + \beta_1) + (\alpha_2 + \beta_2) \in V_1 + V_2$$

$$k \in K,\ k\alpha = k\alpha_1 + k\alpha_2 \in V_1 + V_2$$

$\Rightarrow V_1 + V_2$ 是子空间。

设 $V = \mathbb{R}^3$，

• $V_1 =$ x轴， $V_2 =$ y轴， $V_3 =$ z轴

定义平面：

• $V_{12} =xy$ 平面，$V_{13} =xz$ 平面，$V_{23} =yz$ 平面

则：

$$V_{12} \cap V_{13} = V_1,\quad V_{12} \cap V_{23} = V_2,\quad V_{13} \cap V_{23} = V_3$$

和空间：

$$V_1 + V_2 = V_{12},\quad V_1 + V_3 = V_{13},\quad V_2 + V_3 = V_{23}$$

$$V_1 + V_{23} = V = \mathbb{R}^3 ,\quad V_1 + V_2 + V_3 = \mathbb{R}^3$$

推广：设 $V_1, V_2, \cdots, V_m$ 是 $V$ 的子空间，则：

• 交空间：

  $$V_1 \cap V_2 \cap \cdots \cap V_m$$

• 和空间：

  $$V_1 + V_2 + \cdots + V_m = \{\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_m \mid \alpha_i \in V_i\}$$

定义3：设 $S$ 是 $V$ 的非空子集，记 $L(S)$ 为 $S$ 中向量所有可能的线性组合构成的集合，即：

$$L(S) = \left\{ \lambda_1\alpha_1 + \lambda_2\alpha_2 + \cdots + \lambda_m\alpha_m \,\middle|\, \begin{array}{c} \lambda_1, \cdots, \lambda_m \in K \\ \alpha_1, \cdots, \alpha_m \in S \\ m \geq 0 \end{array} \right\}$$

易证：$L(S)$ 在加法和数乘下封闭，从而是 $V$ 的子空间，称为由 $S$ 生成（张成）的子空间。

命题4：设 $S$ 是线性空间 $V$ 的非空子集，记 $L(S)$ 为由 $S$ 张成的子空间，则：

1. $L(S)$ 是包含 $S$ 的 最小子空间；
2. 若 $S$ 存在极大线性无关组 $\{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r\}$，则 $L(S) = L(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r)$，且 $\{\alpha_1, \cdots, \alpha_r\}$ 是 $L(S)$ 的一组基，从而 $\dim L(S) = r = r(S)$.

证明：

(1) $L(S) \geq S$，任取子空间 $V_0 \geq S$。 对任意 $\alpha \in L(S)$，有

$$\alpha = \lambda_1\alpha_1 + \lambda_2\alpha_2 + \cdots + \lambda_m\alpha_m,\quad \alpha_i \in S \Rightarrow \alpha_i \in V_0 \Rightarrow \alpha \in V_0$$

$\Rightarrow L(S) \leq V_0$

(2)

$$L(S) \overset{\text{linear}}\rightarrow S \overset{\text{linear}}\rightarrow \{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r\}$$

$$\Rightarrow L(S) = L(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r)$$

又 $\alpha_1, \cdots, \alpha_r$ 线性无关 $\Rightarrow$ 是 $L(S)$ 的一组基

$$\Rightarrow \dim L(S) = r = r(S)$$

/example/ 设 $V_1, V_2$ 是 $V$ 的子空间，则

$$L(V_1 \cup V_2) = V_1 + V_2$$

证明：

任取 $\alpha \in V_1 + V_2$，即 $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$，$\alpha_1 \in V_1$，$\alpha_2 \in V_2$

$$\Rightarrow \alpha_1 \in V_1 \cup V_2,\quad\alpha_2 \in V_1 \cup V_2$$

$$\Rightarrow \alpha \in L(V_1 \cup V_2)$$

另一方面：

• $$V_1 \subseteq V_1 + V_2,\quad\alpha_1 \in V_1\Rightarrow\alpha_1 = \alpha_1 + 0 \in V_1 + V_2$$

• $$V_2 \subseteq V_1 + V_2,\quad\alpha_2 \in V_2 \Rightarrow \alpha_2 = 0 + \alpha_2 \in V_1 + V_2$$

$$\Rightarrow V_1 \cup V_2 \subseteq V_1 + V_2$$

$$\Rightarrow L(V_1 \cup V_2) \subseteq V_1 + V_2$$

结合得：

$$L(V_1 \cup V_2) = V_1 + V_2$$

推广：若 $V_1, \cdots, V_m$ 是子空间，则

$$L(V_1 \cup \cdots \cup V_m) = V_1 + \cdots + V_m$$

定理6（维数公式）：设 $V_1, V_2$ 是 $V$ 的子空间，则

$$\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)$$

证明：

取 $V_1 \cap V_2$ 的一组基 $\{\alpha_1, \cdots, \alpha_r\}$，记 $r = \dim(V_1 \cap V_2)$。

将该基扩充为 $V_1$ 的基：

$$\{\alpha_1, \cdots, \alpha_r, \beta_1, \cdots, \beta_{m-r}\}$$

将该基扩充为 $V_2$ 的基：

$$\{\alpha_1, \cdots, \alpha_r, \gamma_1, \cdots, \gamma_{n-r}\}$$

要证：

$$\{\alpha_1, \cdots, \alpha_r, \beta_1, \cdots, \beta_{m-r}, \gamma_1, \cdots, \gamma_{n-r}\}$$

是 $V_1 + V_2$ 的一组基。

任取 $\nu \in V_1 + V_2$，则 $\nu = \nu_1 + \nu_2$，$\nu_1 \in V_1$，$\nu_2 \in V_2$

$$\nu_1=\{ \alpha_1, \cdots, \alpha_r, \beta_1, \cdots, \beta_{m-r} \}\\ \nu_2=\{\alpha_1, \cdots, \alpha_r,\gamma_1, \cdots, \gamma_{n-r} \}$$

考虑线性组合：

$$\lambda_1\alpha_1 + \cdots + \lambda_r\alpha_r + \mu_1\beta_1 + \cdots + \mu_{m-r}\beta_{m-r} + k_1\gamma_1 + \cdots + k_{n-r}\gamma_{n-r} = 0$$

将前两部分归入 $V_1$，后一部分归入 $V_2$：

$$\lambda_1\alpha_1 + \cdots + \lambda_r\alpha_r + \mu_1\beta_1 + \cdots + \mu_{m-r}\beta_{m-r} \in V_1 \\ = -(k_1\gamma_1 + \cdots + k_{n-r}\gamma_{n-r}) \in V_2$$

$\Rightarrow$ 上面两组向量 $\in V_1 \cap V_2$

又因 $\{\alpha_1, \cdots, \alpha_r\}$ 是 $V_1 \cap V_2$ 的基，故存在 $t_1, \cdots, t_r$ 使得：

$$= t_1\alpha_1 + \cdots + t_r\alpha_r\\ \Rightarrow k_1\gamma_1 + \cdots + k_{n-r}\gamma_{n-r} + t_1\alpha_1 + \cdots + t_r\alpha_r = 0\\ \Rightarrow k_1 = \cdots = k_{n-r} = t_1 = \cdots = t_r = 0$$

代回得：

$$\lambda_1\alpha_1 + \cdots + \lambda_r\alpha_r + \mu_1\beta_1 + \cdots + \mu_{m-r}\beta_{m-r} = 0\\ \Rightarrow \lambda_1 = \cdots = \lambda_r = \mu_1 = \cdots = \mu_{m-r} = 0$$

当 $V_1 \cap V_2=O=\{0\}$ .

$$\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2$$

定义7：设 $V_1, \cdots, V_m$ 是 $V$ 的子空间，若对任意 $i = 1, \cdots, m$，

$$V_i \cap (V_1 + \cdots + V_{i-1} + V_{i+1} + \cdots + V_m) = \{0\}$$

成立，则称 $V_1 + V_2 + \cdots + V_m$ 为 直和，记为：

$$V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_m$$

注意：两两相交为零不能保证直和！

定理8：设 $V_1, \cdots, V_m$ 是 $V$ 的子空间，令 $V_0 = V_1 + V_2 + \cdots + V_m$，则以下条件等价：

1. $V_0 = V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_m$；

2. 对任意 $i = 1, \cdots, m$，

   $$V_i \cap (V_1 + \cdots + V_{i-1} + V_{i+1} + \cdots + V_m) = \{0\}$$

3. $\dim(V_1 + \cdots + V_m) = \dim V_1 + \cdots + \dim V_m$；

4. $V_i$ 的一组基可拼成 $V_0$ 的一组基；

5. 分块表示唯一：

   $$\text{if }\ u = u_1 + u_2 + \cdots + u_m,\quad u_i \in V_i$$

   $\Rightarrow u_i$ 唯一

特别地，零向量的分块表示唯一：

$$0 = u_1 + u_2 + \cdots + u_m,\quad u_i \in V_i \Rightarrow u_i = 0,\ \forall i$$

Part 3 线性方程组的解

定理1（解的存在性与唯一性）—— 解的判定定理

考虑线性方程组：

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} \tag{*}$$

记为：

• 系数矩阵

  $$A = (a_{ij})_{m\times n}$$

• 未知向量

  $$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$$

• 常数项

  $$\beta = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$$

• 增广矩阵

  $$\widetilde{A} = (A \mid \beta)$$

$(*)$ 有解 $\iff r(A) = r(\widetilde{A})$

且进一步有：

1. 若 $r(A) = r(\widetilde{A}) = n$，则 $(*)$ 有唯一解；
2. 若 $r(A) = r(\widetilde{A}) < n$，则 $(*)$ 有无穷多解；
3. 若 $r(A) \ne r(\widetilde{A})$，则 $(*)$ 无解，此时 $r(\widetilde{A}) = r(A) + 1$

证明：先证明 (*) 有解 $\Leftrightarrow r(A) = r(A\beta)$ 。

证明：列分块 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)$

$$Ax = \beta \Leftrightarrow x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n = \beta$$

(*) 有解 $\Leftrightarrow \beta$ 是 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 的线性组合。

必要性 设 (x) 有解，则 $\beta$ 是 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 的线性组合。

设 $\{\alpha_1, \cdots, \alpha_n\}$ 是 $A$ 列向量的一个极大无关组， $r = r(A)$ 。

从而 $\beta$ 是 $\alpha_1, \cdots, \alpha_r$ 的线性组合，于是 $\{\alpha_1, \cdots, \alpha_r\}$ 是 $A\beta$ 的列向量的极大无关组。

从而 $r(A\beta) = r = r(A)$

充分性 设 $r(A) = r(A\beta) = r$ ， $\{\alpha_1, \cdots, \alpha_r\}$ 是 $A$ 列向量的一个极大无关组。

从而 $\alpha_1, \cdots, \alpha_r$ 是 $A$ 列向量中线性无关的 $r$ 个向量，又 $r(A\beta) = r$ 。

从而 $\{\alpha_1, \cdots, \alpha_r\}$ 也是 $A\beta$ 列向量的极大无关组，于是 $\beta$ 是 $\alpha_1, \cdots, \alpha_r$ 的线性组合，也是 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 的线性组合，从而 (*) 有解。

若 $r(A) = r(A\beta) = n$ ，则 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 线性无关。

由前定理可知， $\beta$ 表示为 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 的线性组合是唯一的，则 (x) 有唯一解。

若 $r(A) = r(A\beta) < n$ ，则 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性相关。

$\exists$ 不全为0的数 $c_1, c_2, \cdots, c_n \in k$ ，使得

$$0 = c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2 + \cdots + c_n\alpha_n \cdots (1)$$

(*) 有解， $\exists k_1, k_2, \cdots, k_n \in k$ ，使得

$$\beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_n\alpha_n \cdots (2)$$

$$(1)xR + (2) : \beta = (k_1 + k_1c_1)\alpha_1 + \cdots + (k_n + k_nc_n)\alpha_n$$

解得：

$$x_1 = k_1 + k_1c_1,\quad \cdots,\quad x_n = k_n + k_nc_n,\quad \forall k \in k$$

$\Rightarrow$ (*) 有无穷多组解。

定理2：设 $Y$ 是 $Ax = \beta$ 的一个解（称为特解），则 $\alpha$ 是 $Ax = \beta$ 的解 $\Leftrightarrow \alpha - Y$ 是相应的齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的解。

证明：

$$\Rightarrow A(\alpha - Y) = A\alpha - AY = \beta - \beta = 0$$

$$\Leftarrow 0 = A(\alpha - Y) = A\alpha - AY = A\alpha - \beta = 0$$

即 $A\alpha = \beta$ ， $\alpha$ 是 $Ax = \beta$ 的解。

下面考虑齐次线性方程组 $Ax = 0 \cdots (**)$

$r(A) = r(A|0) = r(A) \Rightarrow (**)$ 有解，平凡解零解。

令 $V_A = \{x \in k^n | Ax = 0\}$ (**) 的解集。

断言 $V_A$ 是 $k^n$ 的线性子空间。

$\forall \alpha, \beta \in V_A$ ，即

$$A\alpha = A\beta = 0 \Rightarrow A(\alpha + \beta) = 0 \Rightarrow \alpha + \beta \in V_A$$

$$\forall k \in k,\quad A(k\alpha) = k(A\alpha) = 0 \Rightarrow k\alpha \in V_A$$

定理3 (齐次线性方程组解的结构定理)：设 $r(A) = r$ ，则 $V_A$ 是 $k^n$ 的 $n-r$ 维子空间，从而有一组基 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_{n-r}$ 使得 $Ax = 0$ 的所有解都是 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_{n-r}$ 的线性组合，称为 $(*)$ 的基础解系。

证明：这些对 $(*)$ 在同解的基础上进行行初等变换 $\Leftrightarrow$ 对 $A$ 实施初等行变换。

由行初等变换可将 $A$ 行向量的极大无关组调到前 $r$ 行，

不妨 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r)$ 是 $A$ 行向量的极大无关组。

通过第三类行变换 $A \rightarrow (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r, 0, \cdots, 0)$ 令 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r)$

$r(A) = r$ 在列分列对换的情形下（等价于未知数对换）

不妨设 $A$ 的列向量的极大无关组为前 $r$ 列：

$A = (b_1, b_2), r(B_2) = r,$ 从而 $B$ 非零

$A = (b_1, b_2)$ 行变换 $\rightarrow (I_r, C)$

总之， $A$ 通过初等行变换及列对换可变为如下 $R$ 阶

$$A \rightarrow \begin{pmatrix} I_r & C \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, C = (c_{ij})_{r \times (n-r)}$$

从而 $(*)$ 与下列方程组同解：

$$\begin{cases} x_1 + c_{11}x_{n-r+1} + \cdots + c_{1r}x_n = 0 \\ x_2 + c_{21}x_{n-r+1} + \cdots + c_{2r}x_n = 0 \\ \vdots \\ x_r + c_{r1}x_{n-r+1} + \cdots + c_{rr}x_n = 0 \end{cases}$$

令

$$x_{r+1} = 1, x_{n+2} = \cdots = x_n = 0,\quad\eta_1 = \begin{pmatrix} -c_{1,r+1} \\ -c_{2,r+1} \\ \vdots \\ -c_{n,r+1} \\ 1 \end{pmatrix}$$

令

$$x_{r+2} = 1, x_{r+3} = \cdots = x_n = 0,\quad \eta_2 = \begin{pmatrix} -c_{1,r+2} \\ -c_{2,r+2} \\ \vdots \\ -c_{n,r+2} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

$\cdots$ ，令

$$x_n = 1, x_{r+2} = \cdots = x_{n-1} = 0,\quad \eta_{n-r} = \begin{pmatrix} -c_{1,n} \\ -c_{2,n} \\ \vdots \\ -c_{n,n} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

断言： $\{\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_{n-r}\}$ 是 (#) 的解空间的一组基。

令 $x_1 + \lambda_{r+1}x_{r+1} + \cdots + \lambda_nx_n = 0 \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_{n-r} = 0$

任取 (#) 的解 $\eta = (a_1, a_2, \cdots, a_n)$

$$\eta = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -c_{1,r+1}a_{r+1} - \cdots - c_{1,n}a_n \\ -c_{2,r+1}a_{r+1} - \cdots - c_{2,n}a_n \\ \vdots \\ -c_{n,r+1}a_{r+1} - \cdots - c_{n,n}a_n \end{pmatrix} = a_{r+1}\eta_1 + a_{r+2}\eta_2 + \cdots + a_n\eta_{n-r}$$

于是， $\{\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_{n-r}\}$ 也是 (x) 解空间的一组基 (基础解系)

从而 $\dim V_A = n - r = n - r(A)$

定理4 (结构定理) 设 $r(A) = r(\widehat{A}) = r$ ，$r$ 是 (*) 的解。 $\{\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_{n-r}\}$ 是相伴齐次线性方程组 (#) 的基础解系，则 $AX = \beta$ 的通解为

$$r + k_1\eta_1 + k_2\eta_2 + \cdots + k_{n-r}\eta_{n-r},\quad k_i \in k$$

证明：任取 $AX = \beta$ 的解 $\alpha$

引理2 $\Rightarrow \alpha - Y$ 是 $AX = 0$ 的解

定理3

$$\Rightarrow \alpha - Y = k_1\eta_1 + k_2\eta_2 + \cdots + k_{n-r}\eta_{n-r}$$

$$\Rightarrow \alpha = Y + k_1\eta_1 + k_2\eta_2 + \cdots + k_{n-r}\eta_{n-r}$$

线性方程组 $AX = \beta$ 的求解方法

(1) 通过初等行变换将增广矩阵 $\widehat{A} = (A : \beta)$ 变为阶梯形，判断 $r(A)$ 与 $r(\widehat{A})$ 的关系，确定解是否存在。

(2) 继续对增广矩阵实施初等行变换和列对换，使之变为解方程组的标准型：

$$\begin{bmatrix} I_r & C & r \\ O & O & O \end{bmatrix}, C = (c_{ij})_{r \times (n-r)}$$

从而得到特解 $\begin{bmatrix} r \\ O \end{bmatrix}$ ，基础解系 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_{n-r}$ 。

(3) 根据列对换情况，调整各个分量，最后得到原方程的特解和基础解系。

非齐次方程组： $AX = \beta$ ，其中 $\beta \neq 0$

结构定理

$$\alpha = \gamma + k_1\eta_1 + k_2\eta_2 + \cdots + k_{n-r}\eta_{n-r}$$

$r$ 特解 $\{\eta_1, \cdots, \eta_{n-r}\}$ 是 $AX = 0$ 的基础解系。

齐次方程组： $AX = 0$ 的解空间 $V_A \subseteq k^n$ 子空间

$$\dim V_A = n - r(A)$$

推论6：设 $Ax = \beta (\beta \neq 0)$ 的解解为 $\gamma$ ，相伴齐次 $Ax = 0$ 的基础解系为 $\eta_1, \cdots, \eta_{n-r}$ 。

(1) $\gamma, \gamma + \eta_1, \cdots, \gamma + \eta_{n-r}$ 线性无关

(2) $Ax = \beta$ 的任一解可表示为如下形式：

$$\xi = \gamma + c_1(\gamma + \eta_1) + \cdots + c_{n-r}(\gamma + \eta_{n-r})$$

其中 $c_1 + c_2 + \cdots + c_{n-r} = 1$

证明：

(1) 不妨设

$$\lambda_0\gamma + \lambda_1(\gamma + \eta_1) + \cdots + \lambda_{n-r}(\gamma + \eta_{n-r}) = 0$$

$$A(\lambda_0\gamma + \lambda_1(\gamma + \eta_1) + \cdots + \lambda_{n-r}(\gamma + \eta_{n-r})) = 0$$

$$\Rightarrow (\sum_{i=0}^{n-r} \lambda_i)A\gamma = (\sum_{i=1}^{n-r} \lambda_i)A\eta_i = 0 \Rightarrow \sum_{i=0}^{n-r} \lambda_i = 0 \Rightarrow \lambda_0 = 0$$

$$\Rightarrow \lambda_1\eta_1 + \cdots + \lambda_{n-r}\eta_{n-r} = 0 \Rightarrow \lambda_1 = \cdots = \lambda_{n-r} = 0 \Rightarrow \lambda_0 = 0$$

(2) 任意解

$$\xi = \gamma + k_1\eta_1 + k_2\eta_2 + \cdots + k_{n-r}\eta_{n-r},\quad k_i \in K$$

$$= (1 - k_1 - \cdots - k_{n-r})\gamma + k_1(\gamma + \eta_1) + k_2(\gamma + \eta_2) + \cdots + k_{n-r}(\gamma + \eta_{n-r})$$

$$\Rightarrow \sum_{i=0}^{n-r} c_i = 1$$

$$A((c_0 + c_1 + \cdots + c_{n-r})(\gamma + \eta_1) + \cdots + c_{n-r}(\gamma + \eta_{n-r})) = (c_0 + c_1 + \cdots + c_{n-r})A\gamma = \beta$$

方程 $A_{m\times n}x = 0$ , $V_A$ 解空间

$$\Rightarrow \dim_k V_A + r(A) = V_k$$

应用一： $A: n$ 阶方阵，叫 $A$ 非奇异 $\Leftrightarrow Ax = 0$ 只有零解。

/example/ $A^2 - A - 3I_n = 0$ ，求证： $A - 2I_n$ 非奇异。

证明：凑因子法，

$$(A - 2I_n)(A + I_n) = I_n$$

线性方程组解法：只要证：$(A - 2I_n)x = 0$ 只有零解。

$$Ax_0 = 2x_0$$

$$A^2x_0 = 2Ax_0 = 4x_0$$

$$(A^2 - A - 3I_n)x_0 = -x_0 = 0 \Rightarrow x_0 = 0$$

应用二：利用 $r(A)$ 求 $V_A$ 、

/example/ 设 $\lambda_1, \cdots, \lambda_n$ 是 $k$ 中不同的数，$1 \leq k \leq n-1$

$$(I)\begin{cases} x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0 \\ \lambda_1x_1 + \lambda_2x_2 + \cdots + \lambda_nx_n = 0 \\ \quad\vdots \\ \lambda_1^{k-1}x_1 + \lambda_2^{k-1}x_2 + \cdots + \lambda_n^{k-1}x_n = 0 \end{cases}$$

$$(II)\begin{cases} \lambda_1^kx_1 + \lambda_2^kx_2 + \cdots + \lambda_n^k x_n = 0 \\ \quad\cdots \\ \lambda_1^{n-1}x_1 + \lambda_2^{n-1}x_2 + \cdots + \lambda_n^{n-1}x_n = 0 \end{cases}$$

设 (I) 解空间 $V_1$ ，(II) 解空间 $V_2$ 。证明： $k = V_1 \oplus V_2$

证明： $V_1 \cap V_2$ 是 (I) 与 (II) 联立之后新方程组的解空间

$$(III)\begin{cases} x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0 \\ \lambda_1x_1 + \lambda_2x_2 + \cdots + \lambda_nx_n = 0 \\ \quad\vdots \\ \lambda_1^{n-1}x_1 + \lambda_2^{n-1}x_2 + \cdots + \lambda_n^{n-1}x_n = 0 \end{cases}$$

系数矩阵为 $A$ .

$$|A| = \prod_{i=1}^{n} (\lambda_i - \lambda) \neq 0$$

$$r(A) = n \Rightarrow V_1 \cap V_2 = 0$$

$$\Rightarrow V_1 \cap V_2 = V_3 = 0$$

$$A = \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \end{pmatrix}$$

$$r(A) = n,\quad \Rightarrow r(A_1) = r,\quad r(A_2) = n-k$$

$$\dim V_1 = n - r(A_1) = n-k,\quad \dim V_2 = n - r(A_2) = k$$

$$\dim (V_1 \oplus V_2) = (n-k) + k = n = dim K^n$$

应用三：利用 $V_A$ 来求 $r(A)$

/example/ 设 $A \in M_{mn}(R)$ ，证明：$r(AA^*) = r(A^*A) = r(A)$

证明：

$$AX = 0 \Rightarrow AA'X = 0 \subseteq V_A \subseteq V_{AA'}$$

任取 $x_0 \in V_{A'A}$ ，此时 $x_0 \in R^n$ 且 $A'Ax_0 = 0$

令 $X_0 = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \in R^m$ ， $(Ax_0)'(Ax_0) = 0$

$$\Rightarrow [a_1, \cdots, a_m] \begin{bmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_m \end{bmatrix} = 0 \Rightarrow \sum_{i=1}^{m} a_i^2 = 0 \Rightarrow \forall i, a_i = 0$$

$$\Rightarrow Ax_0 = 0 \Rightarrow V_{A'A} \subseteq V_A \Rightarrow V_A = V_{A'A} \Rightarrow r(A) = r(A'A)$$

结束.

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