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Chapter 6 线性映射基础

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2025-12-18

Part 1 线性映射的概念

· 映射

所谓映射，是指从一个集合 AA 到另一个集合 BB 的对应 φ:A→B\varphi: A \to B.

对 AA 中任一元素 aa，均有唯一的元素 b∈Bb \in B 与之对应，记之为 b=φ(a)b = \varphi(a). 元素 bb 称为 aa 在 φ\varphi 下的像，aa 称为元素 bb 的原像或逆像.

AA 中元素在 φ\varphi 下的像全体构成 BB 的一个子集，记之为 φ(A)\varphi(A) 或 Im⁡φ\operatorname{Im} \varphi.

如果 Im⁡φ=B\operatorname{Im} \varphi = B，即 BB 中任一元素 bb 均在 AA 中有元素 aa，使 b=φ(a)b = \varphi(a)，则称 φ\varphi 是满映射或称 φ\varphi 是映上的映射.

如果映射 φ\varphi 适合下列条件：若 a≠a′a \ne a'，则 φ(a)≠φ(a′)\varphi(a) \ne \varphi(a')，那么就称 φ\varphi 是单映射.

单映射的另外一个等价说法是从 φ(a)=φ(a′)\varphi(a) = \varphi(a') 可推出 a=a′a = a'. 如果 φ\varphi 既是单映射又是满映射，则称 φ\varphi 是双射.

这时不仅对 AA 中的任一元素，有且仅有 BB 中的一个元素与之对应；而且对 BB 中的任一元素，有且仅有 AA 中的一个元素与之对应.

因此，双射又称为一一对应.

设 Mn(R)M_n(\mathbb{R}) 是实数域 R\mathbb{R} 的 n(n>1)n (n > 1) 阶方阵全体组成的集合，定义 Mn(R)→RM_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R} 的映射为：φ(A)=det⁡A\varphi(A) = \det A，则 φ\varphi 是映射，且这是个映上的映射，但它不是单映射. 事实上，对 R\mathbb{R} 中任意一个实数，均有无穷多个矩阵，其行列式值等于这个实数.

Descartes 平面上的点到实数偶之间的对应：

φ:C↦(a,b),\varphi: C \mapsto (a,b),

其中点 CC 的横坐标为 aa，纵坐标为 bb. 这是一个映射且是一个双射，即一一对应.

若集合 AA 是集合 BB 的子集，作 A→BA \to B 的映射 jj：

j(a)=a, a∈A,j(a) = a,\ a \in A,

则 jj 是一个映射且显然是单映射. 若 A=BA = B，则 jj 是一个一一对应，这时映射 jj 实际上把 AA 中任一元素映射为自身，因此称为恒等映射，记为 1A1_A 或 IAI_A.

一个集合 AA 到自身的映射通常称为变换，比如 y=x2y = x^2 可以看成是 R\mathbb{R} 自身的变换.

集合 AA 到 BB 的两个映射 ff 与 gg 称为是相等的当且仅当对任意的 a∈Aa \in A，都有 f(a)=g(a)f(a) = g(a)，这时记 f=gf = g.

若 ff 是集合 A→BA \to B 的映射，gg 是集合 B→CB \to C 的映射，定义映射 gg 与 ff 的复合 g∘fg \circ f 为集合 A→CA \to C 的映射，且

(g∘f)(a)=g(f(a)), a∈A.(g \circ f)(a) = g(f(a)),\ a \in A.

这里需要注意的是并非任意两个映射都有复合. 只有当 ff 的像落在 gg 所定义的集合上时才可定义 gg 与 ff 的复合. 如果 A=BA = B，那么 AA 上的任意两个变换都可复合.

若 ff 是 A→BA \to B 的映射，gg 是 B→CB \to C 的映射，hh 是 C→DC \to D 的映射，则 h∘(g∘f)h \circ (g \circ f) 及 (h∘g)∘f(h \circ g) \circ f 都是 A→DA \to D 的映射且对任意的 a∈Aa \in A，有

((h∘g)∘f)(a)=(h∘g)(f(a))=h(g(f(a))),((h \circ g) \circ f)(a) = (h \circ g)(f(a)) = h(g(f(a))),

(h∘(g∘f))(a)=h((g∘f)(a))=h(g(f(a))),(h \circ (g \circ f))(a) = h((g \circ f)(a)) = h(g(f(a))),

因此

(h∘g)∘f=h∘(g∘f).(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f).

上式通常称为映射复合的结合律. 正因为如此，我们写 3 个（或 3 个以上）映射的复合时常省略去括号，写为 h∘g∘fh \circ g \circ f. 通常复合号 “∘\circ” 也省略，即 g∘fg \circ f 写为 gfgf.

下面我们着重讨论一下双射.

设 ff 是 A→BA \to B 的双射，我们定义 B→AB \to A 的映射 gg 如下：对任一 b∈Bb \in B，取 bb 在 ff 下的原像记为 aa，定义 g(b)=ag(b) = a. 由于 ff 是双射，故对 BB 中的元素 bb，有且仅有一个 aa 作为 bb 在 ff 下的原像.

因此 gg 确是 B→AB \to A 的映射. 不仅如此，显然 gg 也是一个双射，且

gf=1A, fg=1B.gf = 1_A,\ fg = 1_B.

我们称 gg 是 ff 的逆映射，记为 g=f−1g = f^{-1}.

命题1. 设 ff 是集合 A→BA \to B 的映射，如果存在 B→AB \to A 的映射 gg，使

gf=1A, fg=1B,gf = 1_A,\ fg = 1_B,

则 ff 是双射且 g=f−1g = f^{-1}.

先证 ff 是单映射：若 f(a1)=f(a2)f(a_1) = f(a_2)，则由 gf(a1)=1A(a1)=a1gf(a_1) = 1_A(a_1) = a_1，gf(a2)=1A(a2)=a2gf(a_2) = 1_A(a_2) = a_2，知 a1=a2a_1 = a_2，因此 ff 为单映射.

又对 BB 中任一元素 bb，g(b)∈Ag(b) \in A 且 fg(b)=1B(b)=bfg(b) = 1_B(b) = b. 因此 g(b)g(b) 是 bb 在 ff 下的原像，即 ff 是映上的映射.

从命题1 的证明中可看出，从 gf=1Agf = 1_A 可推出 ff 是单映射，从 fg=1Bfg = 1_B 可推出 ff 是满映射.

· 线性映射

现在我们转而来考虑线性映射.

定义1

设 φ\varphi 是数域 K\mathbb{K} 上线性空间 VV 到 K\mathbb{K} 上线性空间 UU 的映射，如果 φ\varphi 适合下列条件：

(1) φ(α+β)=φ(α)+φ(β)\varphi(\alpha + \beta) = \varphi(\alpha) + \varphi(\beta)，α,β∈V\alpha, \beta \in V；

(2) φ(kα)=kφ(α)\varphi(k\alpha) = k\varphi(\alpha)，k∈Kk \in \mathbb{K}，α∈V\alpha \in V，

则称 φ\varphi 是 V→UV \to U 的线性映射. VV 到自身的线性映射称为 VV 上的线性变换. 若 φ:V→U\varphi: V \to U 作为映射是单的，则称 φ\varphi 是单线性映射；如 φ\varphi 作为映射是满的，则称 φ\varphi 是满线性映射.

若 φ\varphi 是双射，则称 φ\varphi 是线性同构，简称同构. 若 V=UV = U，VV 自身上的同构称为自同构.

/example/

设 V,UV,U 是 K\mathbb{K} 上的线性空间，定义 φ\varphi 为 V→UV \to U 的映射，且对一切 α∈V\alpha \in V，φ(α)=0\varphi(\alpha) = 0，则 φ\varphi 是一个线性映射，称之为零映射，通常记为 00，但要注意这是一个映射.

设 VV 是 K\mathbb{K} 上的线性空间，定义 VV 到自身的映射为恒等映射 1V1_V，则显然 1V1_V 是 VV 上的线性变换，称为恒等变换，记为 IVI_V 或 IdVId_V，在不致于混淆的情形下，也简记为 II.

设 V=KnV = \mathbb{K}_n，U=KmU = \mathbb{K}_m 分别是数域 K\mathbb{K} 上的 nn 维和 mm 维列向量空间，AA 是 K\mathbb{K} 上一个已知的 m×nm \times n 矩阵，定义 V→UV \to U 的映射 φ\varphi 为

φ(α)=Aα.\varphi(\alpha) = A\alpha.

这个映射由矩阵乘法定义（m×nm \times n 矩阵乘以 nn 维列向量是一个 mm 维列向量），由矩阵乘法性质容易验证 φ\varphi 是一个线性映射.

设 Kn\mathbb{K}^n 是 K\mathbb{K} 上 nn 维行向量空间，Kn\mathbb{K}_n 是 K\mathbb{K} 上 nn 维列向量空间，定义 Kn→Kn\mathbb{K}^n \to \mathbb{K}_n 的映射 φ\varphi：

(a1,a2,⋯ ,an)↦(a1a2⋮an),(a_1, a_2, \cdots, a_n) \mapsto \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix},

则容易验证 φ\varphi 是线性同构.

设 VV 是 K\mathbb{K} 上的线性空间，定义 VV 上变换 φ\varphi，对任意的 α∈V\alpha \in V，有

φ(α)=kα,\varphi(\alpha) = k\alpha,

其中 kk 是一个固定常数，则 φ\varphi 是 VV 上线性变换，这个变换常称之为纯量变换或数量变换.

设 VV 是区间 [0,1][0,1] 上的实无穷次可微函数全体组成的实线性空间，定义 φ\varphi 为求导变换

φ(f(x))=ddxf(x),\varphi(f(x)) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x),

由求导性质知 φ\varphi 是 VV 上的线性变换.

命题2：设 φ\varphi 是 V→UV \to U 的线性映射，则

(1) φ(0)=0\varphi(0) = 0；

(2) φ(kα+lβ)=kφ(α)+lφ(β)\varphi(k\alpha + l\beta) = k\varphi(\alpha) + l\varphi(\beta)，α,β∈V\alpha, \beta \in V，k,l∈Kk, l \in \mathbb{K}；

(3) 若 φ\varphi 是同构，则其逆映射 φ−1\varphi^{-1} 也是线性映射，从而是 U→VU \to V 的同构.

(1).

φ(0)=φ(0⋅α)=0⋅φ(α)=0\varphi(0) = \varphi(0 \cdot \alpha) = 0 \cdot \varphi(\alpha) = 0

(2).

φ(kα+lβ)=φ(kα)+φ(lβ)=kφ(α)+lφ(β)\varphi(k\alpha + l\beta) = \varphi(k\alpha) + \varphi(l\beta) = k\varphi(\alpha) + l\varphi(\beta)

(3). 省略

重要

注意 若 V→UV \to U 的一个映射 φ\varphi 适合命题2中的 (2)，则 φ\varphi 必是线性映射. 在线性映射的定义中，我们要求 VV 与 UU 都是数域 K\mathbb{K} 上的线性空间，不同数域上线性空间之间的映射不是线性映射.

Part 2 线性映射的运算

任意一个 m×nm \times n 矩阵 AA 都可以定义一个从 nn 维列向量空间到 mm 维列向量空间的线性映射：φ(α)=Aα\varphi(\alpha) = A\alpha.

如果另有一个 m×nm \times n 矩阵 BB，它定义的线性映射是 ψ(α)=Bα\psi(\alpha) = B\alpha，注意到矩阵之间存在的运算，我们可以定义这两个映射的加法：(φ+ψ)(α)=(A+B)α(\varphi + \psi)(\alpha) = (A + B)\alpha.

显然这仍是一个线性映射.

类似地，我们还可定义线性映射的数乘：(kφ)(α)=kAα(k\varphi)(\alpha) = kA\alpha. 对一般的线性映射，我们是否也可以定义它们的加法和数乘呢？

定义1：

设 φ,ψ\varphi, \psi 是 K\mathbb{K} 上线性空间 V→UV \to U 的线性映射，定义 φ+ψ\varphi + \psi 为 V→UV \to U 的映射：

(φ+ψ)(α)=φ(α)+ψ(α), α∈V.(\varphi + \psi)(\alpha) = \varphi(\alpha) + \psi(\alpha),\ \alpha \in V.

若 k∈Kk \in \mathbb{K}，定义 kφk\varphi 为 V→UV \to U 的映射：

(kφ)(α)=kφ(α), α∈V.(k\varphi)(\alpha) = k\varphi(\alpha),\ \alpha \in V.

容易验证 φ+ψ\varphi + \psi 是线性映射. 事实上

(φ+ψ)(kα+lβ)=φ(kα+lβ)+ψ(kα+lβ)=φ(kα)+φ(lβ)+ψ(kα)+ψ(lβ)=kφ(α)+lφ(β)+kψ(α)+lψ(β)=k(φ(α)+ψ(α))+l(φ(β)+ψ(β))=k(φ+ψ)(α)+l(φ+ψ)(β).\begin{aligned} (\varphi + \psi)(k\alpha + l\beta) &= \varphi(k\alpha + l\beta) + \psi(k\alpha + l\beta) \\\\ &= \varphi(k\alpha) + \varphi(l\beta) + \psi(k\alpha) + \psi(l\beta) \\\\ &= k\varphi(\alpha) + l\varphi(\beta) + k\psi(\alpha) + l\psi(\beta) \\\\ &= k(\varphi(\alpha) + \psi(\alpha)) + l(\varphi(\beta) + \psi(\beta)) \\\\ &= k(\varphi + \psi)(\alpha) + l(\varphi + \psi)(\beta). \end{aligned}

同理可证明 kφk\varphi 也是线性映射.

若 U=KU = \mathbb{K}，即把 K\mathbb{K} 看成是 K\mathbb{K} 上的一维空间，则 V→KV \to \mathbb{K} 的线性映射通常称为 VV 上的线性函数.

现在我们考虑从 VV 到 UU 的线性映射全体组成的集合 L(V,U)\mathcal{L}(V,U). 在这个集合上，既然我们定义了加法和数乘，它是一个线性空间吗？

命题1： 设 L(V,U)\mathcal{L}(V,U) 是 V→UV \to U 的线性映射全体，则在上述线性映射的加法及数乘定义下，L(V,U)\mathcal{L}(V,U) 是 K\mathbb{K} 上的线性空间. 特别，V→KV \to \mathbb{K} 上的所有线性函数全体构成一个线性空间.

重要

这个命题的证明很容易，只需按照线性空间的定义逐条验证即可. VV 上的所有线性函数构成的线性空间通常称为 VV 的共轭空间，记为 V∗V^*. 当 VV 是有限维空间时，V∗V^* 也称为 VV 的对偶空间.

如果 V=UV = U，我们用 L(V)\mathcal{L}(V) 来记 L(V,V)\mathcal{L}(V,V)，即 VV 上线性变换全体组成的集合. 这时在 L(V)\mathcal{L}(V) 上，除了加法和数乘运算外，还有乘法运算，这个乘法就是映射的复合.

定义2：

设 AA 是数域 K\mathbb{K} 上的线性空间，如果在 AA 上定义了一个乘法 “⋅\cdot”（通常可以省略），使对任意 AA 中元素 a,b,ca,b,c 及 K\mathbb{K} 中元素 kk，适合下列条件：

(1) 乘法结合律：a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅ca \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c；

(2) 存在 AA 中元 ee，使对一切 a∈Aa \in A，均有

e⋅a=a⋅e=a；e \cdot a = a \cdot e = a；

(3) 分配律：

a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c,(b+c)⋅a=b⋅a+c⋅a；a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c, \\ (b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a；

(4) 乘法与数乘的相容性：

(ka)⋅b=k(a⋅b)=a⋅(kb),(ka) \cdot b = k(a \cdot b) = a \cdot (kb),

则称 AA 是数域 K\mathbb{K} 上的代数，元素 ee 称为 AA 的恒等元.

注意. AA 的恒等元常用 11 表示，注意不要与数 11 混淆.

定理1 设 VV 是数域 K\mathbb{K} 上的线性空间，则 L(V)\mathcal{L}(V) 是 K\mathbb{K} 上的代数.

由命题1，L(V)\mathcal{L}(V) 是 K\mathbb{K} 上的线性空间. 我们逐条来验证定义2.

(1) 乘法结合律实际上就是映射复合的结合律，因此自然成立.

(2) 设 1V1_V 是 VV 上的恒等映射，由上节可知它是线性变换，显然对任意的 φ∈L(V)\varphi \in \mathcal{L}(V)，有

1V∘φ=φ∘1V=φ,1_V \circ \varphi = \varphi \circ 1_V = \varphi,

因此 1V1_V 是 L(V)\mathcal{L}(V) 的恒等元.

(3) 设 φ1,φ2,φ3\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3 都是 VV 上线性变换，对任意的 α∈V\alpha \in V，有

(φ1∘(φ2+φ3))(α)=φ1((φ2+φ3)(α))=φ1(φ2(α)+φ3(α))=φ1(φ2(α))+φ1(φ3(α))=(φ1∘φ2)(α)+(φ1∘φ3)(α)=(φ1∘φ2+φ1∘φ3)(α).\begin{aligned} (\varphi_1 \circ (\varphi_2 + \varphi_3))(\alpha) &= \varphi_1((\varphi_2 + \varphi_3)(\alpha)) \\\\ &= \varphi_1(\varphi_2(\alpha) + \varphi_3(\alpha)) \\\\ &= \varphi_1(\varphi_2(\alpha)) + \varphi_1(\varphi_3(\alpha)) \\\\ &= (\varphi_1 \circ \varphi_2)(\alpha) + (\varphi_1 \circ \varphi_3)(\alpha) \\\\ &= (\varphi_1 \circ \varphi_2 + \varphi_1 \circ \varphi_3)(\alpha). \end{aligned}

因此

φ1∘(φ2+φ3)=φ1∘φ2+φ1∘φ3.\varphi_1 \circ (\varphi_2 + \varphi_3) = \varphi_1 \circ \varphi_2 + \varphi_1 \circ \varphi_3.

同理可证明另外一个分配律.

(4) 设 kk 是 K\mathbb{K} 中任一数，φ,ψ\varphi, \psi 为 VV 上线性变换，则对 VV 中任意的 α\alpha，有

((kφ)∘ψ)(α)=(kφ)(ψ(α))=k(φ(ψ(α)))=k((φ∘ψ)(α))=(k(φ∘ψ))(α),\begin{aligned} \bigl((k\varphi) \circ \psi\bigr)(\alpha) &= (k\varphi)(\psi(\alpha)) = k\bigl(\varphi(\psi(\alpha))\bigr) \\ &= k\bigl((\varphi \circ \psi)(\alpha)\bigr) = \bigl(k(\varphi \circ \psi)\bigr)(\alpha), \end{aligned}

从而

(kφ)∘ψ=k(φ∘ψ).(k\varphi) \circ \psi = k(\varphi \circ \psi).

同理可证明

φ∘(kψ)=k(φ∘ψ). \varphi \circ (k\psi) = k(\varphi \circ \psi).\

在 L(V)\mathcal{L}(V) 中，定义线性变换 φ\varphi 的 nn 次幂为 nn 个 φ\varphi 的复合，则不难验证：

φn∘φm=φn+m, (φn)m=φnm.(1)\varphi^n \circ \varphi^m = \varphi^{n+m},\ (\varphi^n)^m = \varphi^{nm}. \tag{1}

若 φ\varphi 是双射，即为 VV 上的自同构，则 φ−1\varphi^{-1} 也是 VV 上的线性映射（也是自同构），称 φ−1\varphi^{-1} 为 φ\varphi 的逆变换. 如定义

φ−n=(φ−1)n,\varphi^{-n} = (\varphi^{-1})^n,

则不难验证：

φ−n=(φn)−1.(2)\varphi^{-n} = (\varphi^n)^{-1}. \tag{2}

这时定义

φ0=IV,\varphi^0 = I_V,

则 (1) 式对一切整数均成立. 但需注意 φ\varphi 的负数次幂仅对自同构（又称可逆变换或非异变换）有意义.

需要特别注意的是，线性变换的复合通常不满足交换律，即一般来说

φ∘ψ≠ψ∘φ.\varphi \circ \psi \ne \psi \circ \varphi.

因此一般来说 (φ∘ψ)n≠φn∘ψn(\varphi \circ \psi)^n \ne \varphi^n \circ \psi^n.

如果 φ\varphi 与 ψ\psi 都是可逆线性变换，则 φ∘ψ\varphi \circ \psi 也是可逆线性变换，且

(φ∘ψ)−1=ψ−1∘φ−1.(\varphi \circ \psi)^{-1} = \psi^{-1} \circ \varphi^{-1}.

对任一非零数 kk，若 φ\varphi 可逆，则 kφk\varphi 也可逆，且

(kφ)−1=k−1φ−1.(k\varphi)^{-1} = k^{-1}\varphi^{-1}.

结束.

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