Lesson 3 系统误差粗差

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2026-10-07

Part 1 系统误差

在同一条件下多次测量时，系统误差的绝对值和符号保持不变（恒定系统误差），或在条件改变时按一定规律变化（变化系统误差）

在这部分我们主要讲系统误差的校验方法。

· 校验方法

实验对比：

改变产生系统误差的条件进行不同条件的测量，适用于发现不变的系统误差。

残余误差观察法：

将残差 $v_i = x_i - \bar{x}$ 按照测量先后顺序或自变量变化顺序绘制成散点图或折线图，直接由图形的几何形态进行定性与半定量判断。
常值系统误差：残差散点整体上下平移，均值不为零。
线性系统误差：残差随序号 $i$ 呈单调递增或单调递减的斜线趋势。
周期性系统误差：残差呈现规则的正弦或余弦波动形态。

残余误差校核法：

线性系统误差：马利科夫准则（Malikov Criterion）
将按时间或顺序排列的 $n$ 个残差按先后分为两等份（每份大小为 $m = n/2$ ），分别计算两部分残差的和：
$S_1 = \sum_{i=1}^m v_i, \quad S_2 = \sum_{i=m+1}^n v_i$
计算两部分残差和的差值 $\Delta = \vert{}S_1 - S_2\vert{}$ 。若 $\Delta$ 超过了根据置信水平和标准差确定的临界值，则判定存在线性系统误差。
周期性系统误差：阿贝-海尔麦特准则（Abbe-Helmert Criterion）
利用相邻残差之间的乘积和构造统计量 $u$ ：
$u = \left\vert{}\sum_{i=1}^{n-1} v_i v_{i+1}\right\vert{}$
若 $u$ 显著大于临界阈值 $\sqrt{n-1}\sigma^2$ （其中 $\sigma$ 为总体标准差的估计值），则表明残差序列存在显著的自相关性，判定存在周期性系统误差。

不同公式计算标准差比较：

对比贝塞尔公式 $\sigma_1$ 与别捷尔斯公式 $\sigma_2$ 的比值，若差异超出临界范围则怀疑存在系统误差。

计算数据比较：

对同一量多组结果进行比较，若不存在系统误差应满足 $\vert{}\bar{x}_i - \bar{x}_j\vert{} < 2\sqrt{\sigma_i^2 + \sigma_j^2}$ 。

秩和检验法：

将两组不同来源或条件下的测量数据混合并按数值从小到大进行整体排序，赋予“秩”（序号），求出其中某一组数据的秩和 $T$ 。
小样本：直接查秩和检验临界值表，判断 $T$ 是否落在拒绝域内。
大样本（通常总样本数大于 20）：秩和 $T$ 近似服从正态分布，可标准化后计算统计量 $Z$ ，若 $\vert{}Z\vert{} > Z_{\alpha/2}$ ，则拒绝原假设，认为两组数据间存在显著的系统性偏移。

$t$ 检验法：

构造 $t$ 统计量，用来检验样本均值与理论真值（或另一组测量的均值）之间的偏差是否仅由随机误差引起。
若计算出的 $\vert{}t\vert{}$ 值大于对应自由度和显著性水平 $\alpha$ 的临界值 $t_{\alpha/2}(v)$ ，则认为偏差超出了随机波动范围，从而判定系统误差显著存在。

Part 2 粗差

判断粗大误差的基本思想是：给定一个显著性水平 $\alpha$ ，按对应分布确定临界值；超过该界限的误差不属于偶然误差，应予以剔除。

· $3\sigma$ 准则

也称之为莱特准则 / Chauvenet's Criterion.

假设测量误差服从正态分布 $N(0, \sigma^2)$ 。根据概率积分，误差绝对值大于 $3\sigma$ 的概率仅为：

P(\vert{}v\vert{} > 3\sigma) = 1 - \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-3\sigma}^{3\sigma} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} dx \approx 0.0027

这意味着在多次重复测量中，发生此事件的概率不足千分之三。在统计学上，小概率事件在一次测量中被视为“几乎不可能发生”。若实际测量中出现了 $\vert{}v_i\vert{} > 3\sigma$ ，则有理由认为它不是由随机误差引起的，而是由粗差导致的，予以剔除。

真总体标准差 $\sigma$ 通常未知，实际中必须用贝塞尔公式计算的样本标准差 $s$ 来代替：

s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}

因此，判别式写为：

\left\vert{}v_i\right\vert{} = \left\vert{}x_i - \bar{x}\right\vert{} > 3s

在实际小样本测量中，采用贝塞尔公式计算的 $s$ 代替 $\sigma$ ，因此它是一个近似准则。

· Romanovsky Criterion

针对莱特准则在小样本下失效的问题，罗曼诺夫斯基基于 $t$ 分布（Student's t-distribution）提出了更适用于小样本的准则。

操作步骤：

设定一个受怀疑的可疑数据 $x_j$ （通常是偏离均值最远的数据）。
剔除该可疑数据，利用剩余的 $n-1$ 个数据重新计算算术平均值 $\bar{x}$ 和标准差 $s$ （此时自由度为 $n-2$ ）。
构造统计量并与临界值比较：若满足下式，则判定 $x_j$ 为粗差并永久剔除：
$\frac{\vert{}x_j - \bar{x}\vert{}}{s} > K(n, \alpha)$
其中 $K(n, \alpha)$ 是由置信水平 $\alpha$ （如 $\alpha = 0.05$ ）和自由度 $n-2$ 决定的临界系数（可查罗曼诺夫斯基系数表）。

罗曼诺夫斯基准则专为小样本测量设计，克服了 $3\sigma$ 准则在少测次数下对标准差的严重污染。

· Grubbs Criterion

格拉布斯准则是目前数理统计和计量标准中最推荐的准则之一，它基于残差的最大值与标准差的比值构建检验统计量。

操作步骤：

将 $n$ 个测量数据按大小顺序排列： $x_{(1)} \le x_{(2)} \le \dots \le x_{(n)}$ 。
计算包含全部 $n$ 个数据的算术平均值 $\bar{x}$ 和总体标准差估计值 $s$ 。
针对最大值 $x_{(n)}$ 或最小值 $x_{(1)}$ 构造检验统计量 $g$ ：
$g_{(n)} = \frac{x_{(n)} - \bar{x}}{s} \quad \text{or} \quad g_{(1)} = \frac{\bar{x} - x_{(1)}}{s}$
查格拉布斯准则临界值表，得到临界值 $g_0(n, \alpha)$ 。若计算值 $g \ge g_0(n, \alpha)$ ，则对应的数据即为粗差。

在样本中仅混入一个异常值的情况下，格拉布斯准则具有最高的检验功效（Power of Test），既不易漏判，也较少误判。

· Dixon Criterion

狄克松准则最大的特色在于避开了均值 $\bar{x}$ 和标准差 $s$ 的繁琐计算，完全通过极差和相邻数据之间的差值比例来进行快速判断。

构造统计量 ( $r_{ij}$ )：

根据样本容量 $n$ 的大小，采用不同的统计量结构：
$n \le 7$ （小样本）：使用 $r_{10}$ 统计量
$r_{10} = \frac{x_{(2)} - x_{(1)}}{x_{(n)} - x_{(1)}}\quad \text{or} \quad \frac{x_{(n)} - x_{(n-1)}}{x_{(n)} - x_{(1)}}$
$8 \le n \le 10$ ：使用 $r_{11}$ 统计量
$r_{11} = \frac{x_{(2)} - x_{(1)}}{x_{(n-1)} - x_{(1)}} \quad \text{or} \quad \frac{x_{(n)} - x_{(n-1)}}{x_{(n)} - x_{(2)}}$
$11 \le n \le 13$ ：使用 $r_{21}$ 统计量
$r_{21} = \frac{x_{(3)} - x_{(1)}}{x_{(n-1)} - x_{(1)}} \quad \text{or} \quad \frac{x_{(n)} - x_{(n-2)}}{x_{(n)} - x_{(2)}}$
$n \ge 14$ ：使用 $r_{22}$ 统计量
$r_{22} = \frac{x_{(3)} - x_{(1)}}{x_{(n-2)} - x_{(1)}} \quad \text{or} \quad \frac{x_{(n)} - x_{(n-2)}}{x_{(n)} - x_{(3)}}$