Lesson 4 误差合成与分配

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2026-11-05

Part 1 误差合成

· 函数误差

科学实验和工程测量中，许多量无法直接用仪器测出，当间接测量量 $y$ 是多个直接测量量 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 的函数 $y = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 时，由于直接测量量 $x_i$ 必然带有误差，这种误差会通过函数关系“传递”给计算结果 $y$ 。

误差传播公式就是用来定量描述这种传递关系的数学工具。

(1). 系统误差传播公式（全微分形式）：

\Delta y = \frac{\partial f}{\partial x_1}\Delta x_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}\Delta x_2 + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_n}\Delta x_n

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 的物理意义：称为误差传播系数，直观地反映了直接测量量 $x_i$ 对间接测量量 $y$ 的影响敏感程度
若 $\Delta x_i$ 与 $\Delta y$ 量纲相同，起到放大或缩小作用。
若量纲不同，起到单位换算作用。

(2). 随机误差传播公式（一阶泰勒展开）：

\delta y = \frac{\partial f}{\partial x_1}\delta x_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}\delta x_2 + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_n}\delta x_n

用 $\delta x_i$ 表示随机误差（或某次测量中的随机涨落分量），其理论基础是多元函数的一阶泰勒展开式（Taylor Series Expansion），忽略了二阶及以上的高阶微小量。

· 随机误差的合成

(1). 标准差合成（方和根法）：

当直接测量量 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 含有随机误差（其标准差分别为 $\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_q$ ）时，间接测量量 $y$ 的标准差 $\sigma$ 如何计算？

一般情况（考虑相关系数 $\rho_{ij}$ ）：

\sigma = \sqrt{\sum_{i=1}^{q}(a_i\sigma_i)^2 + 2\sum_{1\le i<j}^{q}\rho_{ij}a_i a_j\sigma_i\sigma_j}

$a_i = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_i}$ ：误差传播系数（敏感度系数）
$\rho_{ij}$ （相关系数）：反映变量 $x_i$ 和 $x_j$ 之间关联程度的指标，取值范围在 $[-1, 1]$ 之间。
若 $\rho_{ij} > 0$ ：说明两变量正相关（一个偏大时另一个也倾向偏大），交叉项会增大总标准差。
若 $\rho_{ij} < 0$ ：说明负相关，交叉项会相互抵消，从而减小总标准差。
若 $\rho_{ij} = 0$ ：说明两变量完全独立，交叉项直接消去。
这是概率论中方差的加法定理在多元函数线性化后的具体表现，即
$\text{Var}(y) = \sum a_i^2 \text{Var}(x_i) + \text{2}\sum a_i a_j \text{Cov}(x_i, x_j)$
的展开。

若各分量互不相关（ $\rho_{ij} = 0$ 且 $a_i = 1$ ）：

\sigma = \sqrt{\sum_{i=1}^{q}\sigma_i^2}

这就是最著名的方和根（RSS）公式。当各个直接测量互不影响（ $\rho_{ij}=0$ ）且函数关系为简单的线性加减（ $a_i=1$ ，例如 $y = x_1 + x_2 - x_3$ ）时，总标准差等于各分量标准差平方和的平方根。

无论各个单项误差服从什么概率分布（正态分布、均匀分布或三角分布等），只要能够给出各自的标准差（或标准不确定度），就可以通过方和根法则合成总标准差。这是现代测量不确定度评定（GUM法）的基石。

(2). 极限误差合成：

在很多工程领域人们更习惯使用极限误差（Limit Error，通常记为 $\delta$ 或 $E$ ）来限制误差的边界。

极限误差通常对应一定的置信水平（例如在正态分布下，取 $3\sigma$ 对应 $99.73\%$ 的置信概率）。对于某一个分量 $x_i$ ，其极限误差为 $\delta_i$ ，对应的置信因子（或称覆盖因子）为 $k_i$ 。因此，该分量的相当标准差可以表示为：

\sigma_i = \frac{\delta_i}{k_i}

同理，最终结果 $y$ 的极限误差为 $\delta$ ，其置信因子为 $k$ ，对应的标准差为 $\sigma = \dfrac{\delta}{k}$ 。

将标准差合成公式中的 $\sigma = \dfrac{\delta}{k}$ 和 $\sigma_i = \dfrac{\delta_i}{k_i}$ 代入，两边同乘以 $k$ 即可得到：

\delta = k\sqrt{\sum_{i=1}^{q}\left(\frac{a_i\delta_i}{k_i}\right)^2 + 2\sum_{1\le i<j}^{q}\rho_{ij}a_i a_j \frac{\delta_i}{k_i}\frac{\delta_j}{k_j}}

若各项均服从正态分布且相互独立（ $k_i = k$ ， $\rho_{ij} = 0$ ， $a_i = 1$ ）：

\delta = \sqrt{\sum_{i=1}^{q}\delta_i^2}

当各项均服从正态分布、相互独立，且我们在相同的置信水平下（即置信因子 $k_i = k$ 相同）进行评估时，
极限误差的合成形式也表现为简单的方和根。

· 系统误差的合成

系统误差按性质分为两类，合成方法截然不同：

(1). 已定系统误差的合成：

特征：大小和方向均已确切掌握，不具备抵偿性。

合成方法：代数和法

\Delta = \sum_{i=1}^{r} a_i \Delta_i

为什么用代数和？ 因为每个已定系统误差 $\Delta_i$ 都有确切的正负号。
乘以误差传播系数 $a_i = \dfrac{\partial f}{\partial x_i}$ 后，它们在最终结果 $y$ 中是相互叠加的。
如果两个误差同向，它们会叠加放大；如果异向，它们会部分抵消。这里必须代入符号进行纯粹的代数加减。

(2). 未定系统误差的合成：

我们知道它存在（例如仪器说明书上写着“精度等级为 $\pm 0.5\%$ ”），但我们不知道在某一次具体的测量中，它到底是偏大还是偏小、具体数值是多少。我们只知道它被限制在某个区间内（例如不超过 $\pm e$ 的范围）。
在一组固定的测量条件下，它保持恒定不变（表现出系统误差的特征）。
但是，如果我们改变测量条件（换一台同型号的仪器、换一个操作员、在不同时间测量），或者在综合评价多个来源的此类误差时，它表现出的符号和大小具有不可预测性。
因此，从概率统计和综合作用的角度来看，它们具有类似随机误差的“抵偿性”。
既然它具有随机误差的统计特性，虽然我们不知道它确切在哪一个点，但我们可以把它看作是一个服从某种概率分布（通常假设为均匀分布）随机变量。
当有多个相互独立的未定系统误差时，由于它们方向随机、互不相关，它们的合成不能简单地用代数和（那代表最极端的“悲观估计”，会导致误差范围被严重夸大），而是应该像随机误差一样，采用方和根（RSS）法合成。

合成方法完全可以采用随机误差的合成公式（标准差合成或极限误差合成）。

标准差合成（独立时）：

u = \sqrt{\sum_{i=1}^{s}(a_i u_i)^2}

· 系统误差与随机误差合成

“系统误差（无论已知未知）不随次数增加而减小，而随机误差可以通过多次测量被显著消减。”

在实际测量中，往往需要将已定系统误差、未定系统误差和随机误差综合考虑。

(1). 单次测量情况（设误差传递系数 $a_i = 1$ ）：

极限误差合成：

\Delta_{\Sigma} = \sum_{i=1}^{r}\Delta_i \pm \sqrt{\sum_{i=1}^{s}e_i^2 + \sum_{i=1}^{q}\delta_i^2}

第一部分（ $\sum \Delta_i$ ）：已定系统误差的残余
如果已定系统误差在测量结果中已经通过修正值予以扣除，理论上这部分应该为零或极小。但如果某些已定系统误差没有被完全修正，它们会以代数和的形式直接叠加在总误差的边界上（提供一个整体的系统性偏置方向，即带有 $\pm$ 号的整体平移）。
第二部分（ $\sqrt{\sum e_i^2 + \sum \delta_i^2}$ ）：未定系统误差与随机误差的联合方和根
$e_i$ ：未定系统误差的极限误差（按均匀分布或其他分布折算）。
$\delta_i$ ：随机误差的极限误差。
因为这两者在综合作用时都表现出无规律的“抵偿性”（虽然性质不同，但从统计学合成上看都可以当作随机分量处理），所以它们彼此独立、遵循方和根（RSS）定律融合成一个综合的波动区间。

标准差合成：

\sigma = \sqrt{\sum_{i=1}^{s}u_i^2 + \sum_{i=1}^{q}\sigma_i^2}

这对应现代不确定度评定中的合成标准不确定度：由未定系统误差转换来的标准不确定度分量（B类， $u_i$ ）与随机误差的标准差分量（A类， $\sigma_i$ ）直接通过方和根进行合成。

(2). $n$ 次重复测量情况：

如果在实验中，我们对同一个量进行了 $n$ 次重复测量，并取其算术平均值作为最终结果，情况会发生根本性的变化。

系统误差（已定 $\Delta_i$ 或未定 $e_i$ ）：不具备抵偿性。无论是仪器零点偏移、刻度不准还是环境固定偏差，你在同一个仪器上测 10 次或 100 次，这个偏差依然雷打不动地存在。因此，它们绝不随测量次数 $n$ 的增加而减小。
随机误差（ $\delta_i$ 或 $\sigma_i$ ）：具备抵偿性。由于随机误差服从统计规律（正负交替、期望为零），当你进行 $n$ 次重复测量并求平均时，正负误差会互相抵消。根据数理统计，均值的方差会缩小为单次测量方差的 $\dfrac{1}{n}$ （即标准差缩小为原来的 $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ ）。