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Lesson 12 静电学 II

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2026-03-15

Part 4 格林函数

下面要考虑一般的静电学问题。为了这一目的，我们引入格林函数方法。

一般的静电学问题可以大致分为两类：

第一类边值问题：空间区域 Ω\Omega 中的电荷分布 ρf(r)\rho_f(\mathbf{r}) 和边界 S=∂ΩS = \partial\Omega 上各点处的电势 ΦS(r)\Phi_S(\mathbf{r}) 已经给定；

第二类边值问题： Ω\Omega 内的电荷分布 ρf(r)\rho_f(\mathbf{r}) 和边界 S=∂ΩS = \partial\Omega 上各点处的电场的法线分量 ∂ΦS(r)∂n\dfrac{\partial\Phi_S(\mathbf{r})}{\partial n} 已经给定。

我们的任务是用格林函数方法，在这两类边值条件下求解电势在 Ω\Omega 内各点处的分布 Φ(r)\Phi(\mathbf{r})。

为此，我们引入所谓 δ\delta-函数的定义。它被定义作

δ(x)={0,if x≠0;∞,if x=0,\delta(x) = \begin{cases} 0, & \text{if } x \ne 0; \\\\ \infty, & \text{if } x = 0, \end{cases}

并且满足条件

∫−∞∞δ(x)dx=1.\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx = 1.

这一函数原本是狄拉克（Dirac）于 1926 年引入以解决量子力学中连续谱态的归一化问题的，后被物理学家广泛应用于处理各种边值问题。严格地说，它不是一种通常意义上的函数，而是一种被称之为分布（distribution）的连续泛函。在实际运算中，人们常常用某些函数来逼近它。例如，在一维空间中，若我们考虑函数

fϵ(x)=1πϵx2+ϵ2,ϵ>0.f_\epsilon(x) = \frac{1}{\pi} \frac{\epsilon}{x^2 + \epsilon^2}, \quad \epsilon > 0.

显然，当 x≠0x \ne 0 时，我们有

lim⁡ϵ→0+fϵ(x)=lim⁡ϵ→0+1πϵx2+ϵ2=0,\lim_{\epsilon \to 0^+} f_\epsilon(x) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{\pi} \frac{\epsilon}{x^2 + \epsilon^2} = 0,

而当 x=0x = 0 时，我们又有

lim⁡ϵ→0+fϵ(x=0)=lim⁡ϵ→0+1πϵϵ2=lim⁡ϵ→0+1πϵ=∞.\lim_{\epsilon \to 0^+} f_\epsilon(x = 0) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{\pi} \frac{\epsilon}{\epsilon^2} = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{\pi\epsilon} = \infty.

另一方面，将 fϵ(x)f_\epsilon(x) 在实轴上积分后我们有

∫−∞∞fϵ(x)dx=∫−∞∞1πϵx2+ϵ2dx=1πarctan⁡xϵ∣−∞∞=1π(arctan⁡∞−arctan⁡(−∞))=1π(π2−(−π2))=1.\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f_\epsilon(x) dx &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\pi} \frac{\epsilon}{x^2 + \epsilon^2} dx = \left. \frac{1}{\pi} \arctan\frac{x}{\epsilon} \right|_{-\infty}^{\infty} \\\\ &= \frac{1}{\pi} (\arctan\infty - \arctan(-\infty)) = \frac{1}{\pi} \left( \frac{\pi}{2} - \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right) = 1. \end{aligned}

因此，按照定义，我们当有

lim⁡ϵ→0+1πϵx2+ϵ2=δ(x).\lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{\pi} \frac{\epsilon}{x^2 + \epsilon^2} = \delta(x).

有了 δ\delta 函数的定义后，我们现在可以将位于坐标原点处的一个带电量为 QQ 的点电荷分布写作 ρ(r)=Qδ(r)\rho(\mathbf{r}) = Q\delta(\mathbf{r})。这是由于等式

∫∫∫R3ρ(r)dxdydz=∫∫∫R3Qδ(r)dxdydz=∫∫∫R3Qδ(x)δ(y)δ(z)dxdydz=Q(∫−∞∞δ(x)dx)(∫−∞∞δ(y)dy)(∫−∞∞δ(z)dz)=Q\begin{aligned} \int \int \int_{R^3} \rho(\mathbf{r}) dxdydz &= \int \int \int_{R^3} Q\delta(\mathbf{r}) dxdydz = \int \int \int_{R^3} Q\delta(x)\delta(y)\delta(z) dxdydz \\\\ &= Q \left( \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx \right) \left( \int_{-\infty}^{\infty} \delta(y) dy \right) \left( \int_{-\infty}^{\infty} \delta(z) dz \right) = Q \end{aligned}

成立。δ\delta 函数的另外一个有用的性质是，它与一个连续函数 f(r)f(\mathbf{r}) 的乘积的积分等于该函数在 r=0\mathbf{r} = 0 处的值，即我们有

∫∫∫R3f(r)δ(r)dxdydz=f(0).\int \int \int_{R^3} f(\mathbf{r}) \delta(\mathbf{r}) dxdydz = f(0).

这一公式的证明非常简单。让我们任取一个以原点为球心，半径为 ϵ\epsilon 的小球 Ωϵ\Omega_\epsilon。那么，我们都有的

∫∫∫R3f(r)δ(r)dxdydz=∫∫∫R3∖Ωϵf(r)δ(r)dxdydz+∫∫∫Ωϵf(r)δ(r)dxdydz=∫∫∫Ωϵf(r)δ(r)dxdydz.\begin{aligned} &\int \int \int_{R^3} f(\mathbf{r}) \delta(\mathbf{r}) dxdydz \\\\ &= \int \int \int_{R^3 \setminus \Omega_\epsilon} f(\mathbf{r}) \delta(\mathbf{r}) dxdydz + \int \int \int_{\Omega_\epsilon} f(\mathbf{r}) \delta(\mathbf{r}) dxdydz \\\\ &= \int \int \int_{\Omega_\epsilon} f(\mathbf{r}) \delta(\mathbf{r}) dxdydz. \end{aligned}

当 ϵ\epsilon 足够小时，我们可以利用 f(r)f(\mathbf{r}) 在 r=0\mathbf{r} = 0 处的值 f(0)f(0) 代替它在被积函数的位置，从而得到

∫∫∫R3f(r)δ(r)dxdydz=∫∫∫Ωϵf(r)δ(r)dxdydz≃∫∫∫Ωϵf(0)δ(r)dxdydz=f(0)∫∫∫Ωϵδ(r)dxdydz=f(0)∫∫∫R3δ(r)dxdydz=f(0).\begin{aligned} &\int \int \int_{R^3} f(\mathbf{r}) \delta(\mathbf{r}) dxdydz = \int \int \int_{\Omega_\epsilon} f(\mathbf{r}) \delta(\mathbf{r}) dxdydz \\\\ &\simeq \int \int \int_{\Omega_\epsilon} f(0) \delta(\mathbf{r}) dxdydz = f(0) \int \int \int_{\Omega_\epsilon} \delta(\mathbf{r}) dxdydz \\\\ &= f(0) \int \int \int_{R^3} \delta(\mathbf{r}) dxdydz = f(0). \end{aligned}

最后，我们令 ϵ→0\epsilon \to 0，则上式变为一个等式，即

∫∫∫R3f(r)δ(r)dxdydz=f(0).\int \int \int_{R^3} f(\mathbf{r}) \delta(\mathbf{r}) dxdydz = f(0).

可以形象地讲，δ\delta 函数将任何一个连续函数都映射到一个复数 f(0)f(0) 去。在这种意义上，δ\delta 函数可以被理解为一个连续泛函（continuous functional）。

接下来，我们要介绍一个十分有用的恒等式

∇r21∣r−r′∣=−4πδ(r−r′).\nabla^2_{\mathbf{r}} \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} = -4\pi \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}').

/proof/

首先，不难验证

∇r1∣r−r′∣=−r−r′∣r−r′∣3\nabla_{\mathbf{r}} \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} = -\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}

成立。其次，利用在第二章中的相关推导，我们看到当 r≠r′\mathbf{r} \ne \mathbf{r}' 时，

∇r21∣r−r′∣=−∇r⋅r−r′∣r−r′∣3=0.\nabla^2_{\mathbf{r}} \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} = -\nabla_{\mathbf{r}} \cdot \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} = 0.

因此，我们只需研究 ∇r21∣r−r′∣\nabla^2_{\mathbf{r}} \dfrac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} 在 r≃r′\mathbf{r} \simeq \mathbf{r}' 附近的行为即可。取一个以 r\mathbf{r} 为球心，δ\delta 为半径的小球体 Ωδ\Omega_\delta。则我们有

∫∫∫R3∇r21∣r−r′∣dxdydz=∫∫∫R3∖Ωδ∇r21∣r−r′∣dxdydz+∫∫∫Ωδ∇r21∣r−r′∣dxdydz=∫∫∫Ωδ∇r21∣r−r′∣dxdydz.\begin{aligned} &\int \int \int_{R^3} \nabla^2_{\mathbf{r}} \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} dxdydz \\\\ &= \int \int \int_{R^3 \setminus \Omega_\delta} \nabla^2_{\mathbf{r}} \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} dxdydz + \int \int \int_{\Omega_\delta} \nabla^2_{\mathbf{r}} \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} dxdydz \\\\ &= \int \int \int_{\Omega_\delta} \nabla^2_{\mathbf{r}} \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} dxdydz. \end{aligned}

对上式的右边使用高斯定理后，我们进一步得到

∫∫∫R3∇r21∣r−r′∣dxdydz=∫∫∫Ωδ∇r21∣r−r′∣dxdydz=∮∮Sδ(∇r1∣r−r′∣)⋅dS=−∮∮Sδr−r′∣r−r′∣3⋅dS=−4π.\begin{aligned} \int \int \int_{R^3} \nabla^2_{\mathbf{r}} \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} dxdydz &= \int \int \int_{\Omega_\delta} \nabla^2_{\mathbf{r}} \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} dxdydz \\\\ &= \oint \oint_{S_\delta} \left( \nabla_{\mathbf{r}} \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \right) \cdot d\mathbf{S} = -\oint \oint_{S_\delta} \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \cdot d\mathbf{S} = -4\pi. \end{aligned}

另一方面，按照定义，我们有

∫∫∫R3(−4π)δ(r−r′)dxdydz=−4π,\int \int \int_{R^3} (-4\pi) \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}') dxdydz = -4\pi,

故成立。

在做了这些准备之后，我们现在可以引入静电学问题中的格林函数了。它被定义作方程

∇r2G(r,r′)=−1ϵ0δ(r−r′)\nabla^2_{\mathbf{r}} G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = -\frac{1}{\epsilon_0} \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')

的解。

根据点电荷与 δ\delta 函数的关系，G(r,r′)G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') 也可以被解释作真空中一个位于空间 r′\mathbf{r}' 处带电量为 q=1q = 1 的点电荷在空间 r\mathbf{r} 处产生的静电势。

需要强调一点的是，由于 δ(r)\delta(\mathbf{r}) 是一个偶函数，故 ∇r2G(r,r′)=∇r′2G(r′,r)\nabla^2_{\mathbf{r}} G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \nabla^2_{\mathbf{r}'} G(\mathbf{r}', \mathbf{r}) 显然成立。除此之外，亦可证明，在第一类边值条件下，G(r,r′)=G(r′,r)G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = G(\mathbf{r}', \mathbf{r}) 也成立。

这一互易关系隐含着，在给定的边值条件下，位于 r′\mathbf{r}' 处的单位电荷在 r\mathbf{r} 处产生的电势与位于 r\mathbf{r} 处的单位电荷在 r′\mathbf{r}' 处产生的电势是等值的。

我们知道，要想唯一地决定 G(r,r′)G(\mathbf{r}, \mathbf{r}')，需要给出在相关的空间区域 Ω\Omega 的边界 S=∂ΩS = \partial\Omega 上的电势分布 ΦS\Phi_S 或其导数分布 ∂ΦS∂n∣S\left.\dfrac{\partial\Phi_S}{\partial n}\right|_S。让我们结合讲过的例子，分别考虑以下三种情况。

(1) 无界空间中的格林函数。在此情况下，可以将无穷远处的电势取为零。因此，G0(r,r′)G_0(\mathbf{r}, \mathbf{r}') 可以唯一地决定下来。我们有

G0(r,r′)=14πϵ01(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2=14πϵ01∣r−r′∣.G_0(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{\sqrt{(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}.

事实上，利用

∇r21∣r−r′∣=−4πδ(r−r′).\nabla^2_{\mathbf{r}} \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} = -4\pi \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}').

我们可以直接验证

∇r2G0(r,r′)=∇r2(14πϵ01∣r−r′∣)=14πϵ0∇r21∣r−r′∣=14πϵ0(−4πδ(r−r′))=−1ϵ0δ(r−r′).\begin{aligned} \nabla_{\mathbf{r}}^2 G_0(\mathbf{r}, \mathbf{r}') &= \nabla_{\mathbf{r}}^2 \left( \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \right) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \nabla_{\mathbf{r}}^2 \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \\\\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} (-4\pi \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')) = -\frac{1}{\epsilon_0} \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}'). \end{aligned}

的确是我们要找的解。

(2) 上半平面的格林函数。我们可以写出此时的格林函数

G1(r,r′)=14πϵ0(1(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2−1(x−x′)2+(y−y′)2+(z+z′)2).\begin{aligned} G_1(\mathbf{r}, \mathbf{r}') &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{\sqrt{(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2}} \right. \\\\ &\quad \left. - \frac{1}{\sqrt{(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z + z')^2}} \right). \end{aligned}

(3) 球外空间的格林函数。若令

r=x2+y2+z2,r′=x′2+y′2+z′2.r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \quad r' = \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2}.

则我们有

G2(r,r′)=14πϵ0(1r2+r′2−2rr′cos⁡α−R0/r′r2+b2−2rbcos⁡α),G_2(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{\sqrt{r^2 + r'^2 - 2rr' \cos\alpha}} - \frac{R_0 / r'}{\sqrt{r^2 + b^2 - 2rb \cos\alpha}} \right),

这里，R0R_0 为球的半径，电荷点为 PP，场点 P′P'，角度 α\alpha 为 OP→\overrightarrow{OP} 和 OP′→\overrightarrow{OP'} 的夹角。

将 b=R02r′b = \dfrac{R_0^2}{r'} 代入上式后，我们有

G2(r,r′)=14πϵ0(1r2+r′2−2rr′cos⁡α−1(rr′R0)2+R02−2rr′cos⁡α).G_2(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{\sqrt{r^2 + r'^2 - 2rr' \cos\alpha}} - \frac{1}{\sqrt{\left( \frac{rr'}{R_0} \right)^2 + R_0^2 - 2rr' \cos\alpha}} \right).

接下来，我们讨论如何利用格林函数获得一般边值问题的解。先看第一类边值问题。

由于自由电荷在空间中的分布密度函数 ρf(r′)\rho_f(\mathbf{r}') 是已知的，故泊松方程

∇r′2Φ(r′)=−1ϵρf(r′)\nabla_{\mathbf{r}'}^2 \Phi(\mathbf{r}') = -\frac{1}{\epsilon} \rho_f(\mathbf{r}')

以及

∇r2G(r,r′)=−1ϵ0δ(r−r′)\nabla_{\mathbf{r}}^2 G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = -\frac{1}{\epsilon_0} \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')

成立。将 ∇r′2Φ(r′)=−1ϵρf(r′)\displaystyle\nabla_{\mathbf{r}'}^2 \Phi(\mathbf{r}') = -\dfrac{1}{\epsilon} \rho_f(\mathbf{r}') 乘以 G(r,r′)G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') 再减去 ∇r2G(r,r′)=−1ϵ0δ(r−r′)\displaystyle\nabla_{\mathbf{r}}^2 G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = -\dfrac{1}{\epsilon_0} \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}') 乘以 Φ(r′)\Phi(\mathbf{r}') 后

G(r,r′)∇r′2Φ(r′)−Φ(r′)∇r′2G(r,r′)=G(r′,r)∇r′2Φ(r′)−Φ(r′)∇r′2G(r′,r)=−1ϵρf(r′)G(r,r′)+1ϵ0δ(r−r′)Φ(r′).\begin{aligned} G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') \nabla_{\mathbf{r}'}^2 \Phi(\mathbf{r}') - \Phi(\mathbf{r}') \nabla_{\mathbf{r}'}^2 G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') &= G(\mathbf{r}', \mathbf{r}) \nabla_{\mathbf{r}'}^2 \Phi(\mathbf{r}') - \Phi(\mathbf{r}') \nabla_{\mathbf{r}'}^2 G(\mathbf{r}', \mathbf{r}) \\\\ &= -\frac{1}{\epsilon} \rho_f(\mathbf{r}') G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') + \frac{1}{\epsilon_0} \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}') \Phi(\mathbf{r}'). \end{aligned}

将此式的两边对全空间积分后，有

∫∫∫Ω(G(r′,r)∇r′2Φ(r′)−Φ(r′)∇r′2G(r′,r))dx′dy′dz′=∫∫∫Ω(−1ϵρf(r′)G(r,r′)+1ϵ0δ(r−r′)Φ(r′))dx′dy′dz′=−1ϵ∫∫∫Ωρf(r′)G(r,r′)dx′dy′dz′+1ϵ0Φ(r).\begin{aligned} &\int \int \int_\Omega \left( G(\mathbf{r}', \mathbf{r}) \nabla_{\mathbf{r}'}^2 \Phi(\mathbf{r}') - \Phi(\mathbf{r}') \nabla_{\mathbf{r}'}^2 G(\mathbf{r}', \mathbf{r}) \right) dx' dy' dz' \\\\ &= \int \int \int_\Omega \left( -\frac{1}{\epsilon} \rho_f(\mathbf{r}') G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') + \frac{1}{\epsilon_0} \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}') \Phi(\mathbf{r}') \right) dx' dy' dz' \\\\ &= -\frac{1}{\epsilon} \int \int \int_\Omega \rho_f(\mathbf{r}') G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') dx' dy' dz' + \frac{1}{\epsilon_0} \Phi(\mathbf{r}). \end{aligned}

对于上式的左边，可以使用恒等式

Ψ(r′)∇r′2Φ(r′)−Φ(r′)∇r′2Ψ(r′)=∇r′⋅(Ψ(r′)∇r′Φ(r′)−Φ(r′)∇r′Ψ(r′))\Psi(\mathbf{r}') \nabla_{\mathbf{r}'}^2 \Phi(\mathbf{r}') - \Phi(\mathbf{r}') \nabla_{\mathbf{r}'}^2 \Psi(\mathbf{r}') = \nabla_{\mathbf{r}'} \cdot \left( \Psi(\mathbf{r}') \nabla_{\mathbf{r}'} \Phi(\mathbf{r}') - \Phi(\mathbf{r}') \nabla_{\mathbf{r}'} \Psi(\mathbf{r}') \right)

因此，上式可以被改写作

∫∫∫Ω(G(r′,r)∇r′2Φ(r′)−Φ(r′)∇r′2G(r′,r))dx′dy′dz′=∫∫∫Ω∇r′(G(r′,r)∇r′Φ(r′)−Φ(r′)∇r′G(r′,r))dx′dy′dz′=∮∮∂Ω(G(r′,r)∇r′Φ(r′)−Φ(r′)∇r′G(r′,r))⋅dS′=∮∮∂Ω(G(r′,r)∂Φ(r′)∂n′−Φ(r′)∂G(r′,r)∂n′)dS′=−1ϵ∫∫∫Ωρf(r′)G(r,r′)dx′dy′dz′+1ϵ0Φ(r),\begin{aligned} &\int \int \int_\Omega \left( G(\mathbf{r}', \mathbf{r}) \nabla_{\mathbf{r}'}^2 \Phi(\mathbf{r}') - \Phi(\mathbf{r}') \nabla_{\mathbf{r}'}^2 G(\mathbf{r}', \mathbf{r}) \right) dx' dy' dz'\\\\ &= \int \int \int_\Omega \nabla_{\mathbf{r}'} \left( G(\mathbf{r}', \mathbf{r}) \nabla_{\mathbf{r}'} \Phi(\mathbf{r}') - \Phi(\mathbf{r}') \nabla_{\mathbf{r}'} G(\mathbf{r}', \mathbf{r}) \right) dx' dy' dz' \\\\ &= \oint \oint_{\partial\Omega} \left( G(\mathbf{r}', \mathbf{r}) \nabla_{\mathbf{r}'} \Phi(\mathbf{r}') - \Phi(\mathbf{r}') \nabla_{\mathbf{r}'} G(\mathbf{r}', \mathbf{r}) \right) \cdot d\mathbf{S}' \\\\ &= \oint \oint_{\partial\Omega} \left( G(\mathbf{r}', \mathbf{r}) \frac{\partial \Phi(\mathbf{r}')}{\partial n'} - \Phi(\mathbf{r}') \frac{\partial G(\mathbf{r}', \mathbf{r})}{\partial n'} \right) dS' \\\\ &= -\frac{1}{\epsilon} \int \int \int_\Omega \rho_f(\mathbf{r}') G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') dx' dy' dz' + \frac{1}{\epsilon_0} \Phi(\mathbf{r}), \end{aligned}

或是

Φ(r)=ϵ0ϵ∫∫∫Ωρf(r′)G(r,r′)dx′dy′dz′+ϵ0∮∮∂Ω(G(r′,r)∂Φ(r′)∂n′−Φ(r′)∂G(r′,r)∂n′)dS′.\begin{aligned} \Phi(\mathbf{r}) &= \frac{\epsilon_0}{\epsilon} \int \int \int_\Omega \rho_f(\mathbf{r}') G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') dx' dy' dz' \\\\ &\quad + \epsilon_0 \oint \oint_{\partial\Omega} \left( G(\mathbf{r}', \mathbf{r}) \frac{\partial \Phi(\mathbf{r}')}{\partial n'} - \Phi(\mathbf{r}') \frac{\partial G(\mathbf{r}', \mathbf{r})}{\partial n'} \right) dS'. \end{aligned}

由于在第一类边值问题中，ρf(r′)\rho_f(\mathbf{r}') 和 Φ(r′)∣∂Ω\Phi(\mathbf{r}')|_{\partial\Omega} 是已知的，且在 ∂Ω\partial\Omega 上，G(r′,r)=0G(\mathbf{r}', \mathbf{r}) = 0，故我们进一步得到

Φ(r)=ϵ0ϵ∫∫∫Ωρf(r′)G(r,r′)dx′dy′dz′−ϵ0∮∮∂ΩΦ(r′)∂G(r′,r)∂n′dS′.\Phi(\mathbf{r}) = \frac{\epsilon_0}{\epsilon} \int \int \int_\Omega \rho_f(\mathbf{r}') G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') dx' dy' dz' - \epsilon_0 \oint \oint_{\partial\Omega} \Phi(\mathbf{r}') \frac{\partial G(\mathbf{r}', \mathbf{r})}{\partial n'} dS'.

因此，Φ(r)\Phi(\mathbf{r}) 可以唯一地决定下来。

对于第二类边值问题，除了 ∂Φ(r′)∂n∣∂Ω\left. \dfrac{\partial \Phi(\mathbf{r}')}{\partial n} \right|_{\partial\Omega} 的值外，我们还需知道 Φ(r′)\Phi(\mathbf{r}') 在边界上的值。因此，格林函数在边界上的取值需要加以改动。

Part 5 电多极矩

一个无限大均匀介质中给定电荷密度 ρf(r)\rho_f(\mathbf{r}) 所产生的电势为

Φ(r)=14πϵ∫∫∫R3ρf(r′)∣r−r′∣dx′dy′dz′.\Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon} \int \int \int_{R^3} \frac{\rho_f(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} dx'dy'dz'.

在许多物理问题中，电荷只分布在在一个很小的区域 Ω\Omega 内，而人们所关心的又是电势 Φ(r)\Phi(\mathbf{r}) 在距离这一区域较远，即 ∣r−r′∣|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| 远大于区域 Ω\Omega 的线度 ll 处的值。因此，我们没有必要对上式中的积分求精确值。近似地，我们可以将被积表达式按照 l/∣r∣l/|\mathbf{r}| 的幂次做展开，然后决定 Φ(r)\Phi(\mathbf{r}) 的各级近似值。

当 ∣r′∣≪∣r∣|\mathbf{r}'| \ll |\mathbf{r}| 时，我们近似有

f(r−r′)≅f(r)+∑i=13∂f(r)∂xi(−xi′)+12!∑i=13∑j=13∂2f(r)∂xi∂xj(−xi′)(−xj′)=f(r)−r′⋅∇rf(r)+12!(r′⋅∇r)2f(r).\begin{aligned} f(\mathbf{r}-\mathbf{r}') &\cong f(\mathbf{r})+\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial f(\mathbf{r})}{\partial x_i}(-x'_i)+\frac{1}{2!}\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\frac{\partial^2 f(\mathbf{r})}{\partial x_i\partial x_j}(-x'_i)(-x'_j) \\ &= f(\mathbf{r})-\mathbf{r}'\cdot\nabla_{\mathbf{r}}f(\mathbf{r})+\frac{1}{2!}(\mathbf{r}'\cdot\nabla_{\mathbf{r}})^2f(\mathbf{r}). \end{aligned}

将此展开式应用到上式中的被积函数，我们有

Φ(r)≅14πϵ∫∫∫Ωρf(r′)(1r−r′⋅∇r1r+12!(r′⋅∇r)21r)dx′dy′dz′=14πϵr∫∫∫Ωρf(r′)dx′dy′dz′−14πϵ∫∫∫Ωρf(r′)r′⋅(∇r1r)dx′dy′dz′+18πϵ∫∫∫Ωρ(r′)∑i=13∑j=13xi′xj′(∂∂xi∂∂xj1r)dx′dy′dz′=14πϵQr−14πϵP⋅∇r1r+14πϵ16∑i=13∑j=13Dij∂∂xi∂∂xj1r.(a)\begin{aligned} \Phi(\mathbf{r})&\cong\frac{1}{4\pi\epsilon}\int\int\int_{\Omega}\rho_f(\mathbf{r}')\left(\frac{1}{r}-\mathbf{r}'\cdot\nabla_{\mathbf{r}}\frac{1}{r}+\frac{1}{2!}(\mathbf{r}'\cdot\nabla_{\mathbf{r}})^2\frac{1}{r}\right)dx'dy'dz'\\\\ &=\frac{1}{4\pi\epsilon r}\int\int\int_{\Omega}\rho_f(\mathbf{r}')dx'dy'dz'-\frac{1}{4\pi\epsilon}\int\int\int_{\Omega}\rho_f(\mathbf{r}')\mathbf{r}'\cdot\left(\nabla_{\mathbf{r}}\frac{1}{r}\right)dx'dy'dz'\\\\ &+\frac{1} {8\pi\epsilon}\int\int\int_{\Omega}\rho(\mathbf{r}')\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}x'_ix'_j\left(\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{1}{r}\right)dx'dy'dz'\\\\ &=\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{Q}{r}-\frac{1}{4\pi\epsilon}\mathbf{P}\cdot\nabla_{\mathbf{r}}\frac{1}{r}+\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}D_{ij}\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{1}{r}. \end{aligned} \tag{a}

这里，

Q=∫∫∫Ωρf(r′)dx′dy′dz′,P=∫∫∫Ωρf(r′)r′dx′dy′dz′,Q=\int\int\int_{\Omega}\rho_f(\mathbf{r}')dx'dy'dz',\quad \mathbf{P}=\int\int\int_{\Omega}\rho_f(\mathbf{r}')\mathbf{r}'dx'dy'dz',

以及

Dij=∫∫∫Ωρf(r′)3xi′xj′dx′dy′dz′.D_{ij}=\int\int\int_{\Omega}\rho_f(\mathbf{r}')3x'_ix'_jdx'dy'dz'.

分别称为体系的总电荷，电偶极矩和电四极矩。

由表达式 (a)，我们得出结论，作为第一级近似，可以将所有得电荷都置于原点处，那么在远离区域 Ω\Omega 的 r\mathbf{r} 处，电势将由 (a) 式中的第一项给出。进一步，若电荷密度分布 ρ(r′)\rho(\mathbf{r}') 对于坐标原点不对称，那么 P\mathbf{P} 一般不为零。此时，(a) 式中的第二项对于电势的贡献会显现出来，我们有

Φ(2)(r)=−14πϵP⋅∇r1r=P⋅r4πϵr3.\Phi^{(2)}(\mathbf{r})=-\frac{1}{4\pi\epsilon}\mathbf{P}\cdot\nabla_{\mathbf{r}}\frac{1}{r}=\frac{\mathbf{P}\cdot\mathbf{r}}{4\pi\epsilon r^3}.

由于体系的总电荷以及电偶极矩的概念相对比较熟悉，我们下面将集中讨论电四极矩的性质。首先，我们注意到，按照定义，{Dij}\{D_{ij}\} 构成了一个 3×33\times 3 矩阵的矩阵元，并且这个矩阵是对称的，即

Dij=∫∫∫Ω3xi′xj′ρf(x′,y′,z′)dx′dy′dz′=Dji.D_{ij}=\int\int\int_{\Omega}3x'_ix'_j\rho_f(x',y',z')dx'dy'dz'=D_{ji}.

因此，这九个量中最多只能有六个是彼此独立的。我们要证明，实际上它们之中只有五个是独立的。为此，我们先假定 D11,D22,D33,D12,D13D_{11}, D_{22}, D_{33}, D_{12}, D_{13} 和 D23D_{23} 是独立的。那么，若在前三个分量上各自加上一个常数 CC，则新定义的六个分量

D11′=D11+C, D22′=D22+C, D33′=D33+C, D12′=D12, D13′=D13, D23′=D23D'_{11}=D_{11}+C,\, D'_{22}=D_{22}+C,\, D'_{33}=D_{33}+C,\, D'_{12}=D_{12},\, D'_{13}=D_{13},\, D'_{23}=D_{23}

亦应该是独立的。现在，我们取

C=−∫∫∫Ωr′2ρf(x′,y′,z′)dx′dy′dz′,C=-\int\int\int_{\Omega}r'^2\rho_f(x',y',z')dx'dy'dz',

则如此定义的新的六个分量可以统一地写作

Dij′=Dij−δij∫∫∫Ωr′2ρf(x′,y′,z′)dx′dy′dz′.D'_{ij}=D_{ij}-\delta_{ij}\int\int\int_{\Omega}r'^2\rho_f(x',y',z')dx'dy'dz'.

接下来，我们要论证，它们给出的相应的电势的表达式并不改变。实际上，我们有

14πϵ16∑i=13∑j=13Dij′∂∂xi∂∂xj1rdx′dy′dz′=14πϵ16∑i=13∑j=13Dij∂∂xi∂∂xj1rdx′dy′dz′−14πϵ16∑i=13∑j=13δij∫∫∫Ωr′2ρf(x′,y′,z′)∂∂xi∂∂xj1rdx′dy′dz′=14πϵ16∑i=13∑j=13Dij∂∂xi∂∂xj1rdx′dy′dz′−14πϵ16∫∫∫Ωr′2ρf(r′)(∇r21r)dx′dy′dz′.\begin{aligned} &\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}D'_{ij}\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{1}{r}dx'dy'dz'=\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}D_{ij}\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{1}{r}dx'dy'dz'\\\\ &-\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\delta_{ij}\int\int\int_{\Omega}r'^2\rho_f(x',y',z')\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{1}{r}dx'dy'dz'\\\\ &=\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}D_{ij}\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{1}{r}dx'dy'dz'-\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{1}{6}\int\int\int_{\Omega}r'^2\rho_f(\mathbf{r}')\left(\nabla^2_{\mathbf{r}}\frac{1}{r}\right)dx'dy'dz'. \end{aligned}

利用方程 ∇r21r=−4πδ(r)\nabla^2_{\mathbf{r}}\dfrac{1}{r}=-4\pi\delta(\mathbf{r})，我们看到，当 r≠0\mathbf{r}\neq 0 时，上式的第二项为零。因此，四极矩 {Dij′}\{D'_{ij}\} 和 {Dij}\{D_{ij}\} 在远处产生的静电势并无区别。

另一方面，按照定义，我们有

D11′+D22′+D33′=(D11−∫∫∫Ωr′2ρf(r′)dx′dy′dz′)+(D22−∫∫∫Ωr′2ρf(r′)dx′dy′dz′)+(D33−∫∫∫Ωr′2ρf(r′)dx′dy′dz′)=∫∫∫Ω3x′x′ρf(x′,y′,z′)dx′dy′dz′+∫∫∫Ω3y′y′ρf(x′,y′,z′)dx′dy′dz′+∫∫∫Ω3z′z′ρf(x′,y′,z′)dx′dy′dz′−3∫∫∫Ωr′2ρf(x′,y′,z′)dx′dy′dz′=3∫∫∫Ωr′2ρf(x′,y′,z′)dx′dy′dz′−3∫∫∫Ωr′2ρf(x′,y′,z′)dx′dy′dz′=0.\begin{aligned} D'_{11}+D'_{22}+D'_{33}&=\left(D_{11}-\int\int\int_{\Omega}r'^2\rho_f(\mathbf{r}')dx'dy'dz'\right)\\\\ &+\left(D_{22}-\int\int\int_{\Omega}r'^2\rho_f(\mathbf{r}')dx'dy'dz'\right)+\left(D_{33}-\int\int\int_{\Omega}r'^2\rho_f(\mathbf{r}')dx'dy'dz'\right)\\\\ &=\int\int\int_{\Omega}3x'x'\rho_f(x',y',z')dx'dy'dz'+\int\int\int_{\Omega}3y'y'\rho_f(x',y',z')dx'dy'dz'\\\\ &+\int\int\int_{\Omega}3z'z'\rho_f(x',y',z')dx'dy'dz'-3\int\int\int_{\Omega}r'^2\rho_f(x',y',z')dx'dy'dz'\\\\ &=3\int\int\int_{\Omega}r'^2\rho_f(x',y',z')dx'dy'dz'-3\int\int\int_{\Omega}r'^2\rho_f(x',y',z')dx'dy'dz'\\\\ &=0. \end{aligned}

也就是说，D11′,D22′D'_{11}, D'_{22} 和 D33′D'_{33} 并非独立的。这导致了悖论。因此，六个分量 D11,D22,D33,D12,D13D_{11}, D_{22}, D_{33}, D_{12}, D_{13} 和 D23D_{23} 中最多只有五个是独立的。在文献中，人们一般将 {Dij′}\{D'_{ij}\} 定义作一个电荷体系的电四极矩张量。

/example/

设外电场 Eout(r)\mathbf{E}_{\text{out}}(\mathbf{r}) 的电势为 Φout(r)\Phi_{\text{out}}(\mathbf{r})。那么，一个处于此电场中的带电体的能量为

W=∫∫∫Ωρ(r)Φout(r)dxdydz.W=\int\int\int_{\Omega}\rho(\mathbf{r})\Phi_{\text{out}}(\mathbf{r})dxdydz.

假设 Ω\Omega 是一个非常小的区域，使得我们可以将其中的电势 Φout(r)\Phi_{\text{out}}(\mathbf{r}) 在某一点（记作 r=0\mathbf{r}=0）附近做展开，即

Φout(r)≅Φout(0)+∑i=13xi∂Φout(0)∂xi+12!∑i=13∑j=13xixj∂2Φout(0)∂xi∂xj.\Phi_{\text{out}}(\mathbf{r})\cong\Phi_{\text{out}}(0)+\sum_{i=1}^{3}x_i\frac{\partial\Phi_{\text{out}}(0)}{\partial x_i}+\frac{1}{2!}\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}x_ix_j\frac{\partial^2\Phi_{\text{out}}(0)}{\partial x_i\partial x_j}.

将之代入 WW 的表达式后，我们有

W=∫∫∫Ωρ(r)Φout(r)dxdydz=∫∫∫Ωρ(r)Φout(0)dxdydz+∑i=13∫∫∫Ωρ(r)xi∂Φout(0)∂xidxdydz+12!∑i=13∑j=13∫∫∫Ωρ(r)xixj∂2Φout(0)∂xi∂xjdxdydz=QΦout(0)+P⋅∇Φout(0)+16∑i=13∑j=13Dij∂2Φout(0)∂xi∂xj.\begin{aligned} W &= \int\int\int_{\Omega}\rho(\mathbf{r})\Phi_{\text{out}}(\mathbf{r})dxdydz=\int\int\int_{\Omega}\rho(\mathbf{r})\Phi_{\text{out}}(0)dxdydz\\\\ &+ \sum_{i=1}^{3}\int\int\int_{\Omega}\rho(\mathbf{r})x_i\frac{\partial\Phi_{\text{out}}(0)}{\partial x_i}dxdydz+\frac{1}{2!}\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\int\int\int_{\Omega}\rho(\mathbf{r})x_ix_j\frac{\partial^2\Phi_{\text{out}}(0)}{\partial x_i\partial x_j}dxdydz\\\\ &= Q\Phi_{\text{out}}(0)+\mathbf{P}\cdot\nabla\Phi_{\text{out}}(0)+\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}D_{ij}\frac{\partial^2\Phi_{\text{out}}(0)}{\partial x_i\partial x_j}. \end{aligned}

其中的第一项可视作体系的电荷都集中在原点 r=0\mathbf{r}=0 时的电势能，第二项则解释作体系的电偶极矩在外场中的能量。我们又可将之写作

W(2)=P⋅∇Φout(0)=−P⋅Eout(0).W^{(2)}=\mathbf{P}\cdot\nabla\Phi_{\text{out}}(0)=-\mathbf{P}\cdot\mathbf{E}_{\text{out}}(0).

而第三项则为体系的电四极矩在外电场中的能量。它也可被重新写作

W(3)=16∑i=13∑j=13Dij∂2Φout(0)∂xi∂xj=−16∑i=13∑j=13Dij∂Eoutj(0)∂xi.W^{(3)}=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}D_{ij}\frac{\partial^2\Phi_{\text{out}}(0)}{\partial x_i\partial x_j}=-\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}D_{ij}\frac{\partial E_{\text{out}}^j(0)}{\partial x_i}.

因此可见，只有在非均匀外电场中，电四极矩对电势能的贡献才不为零。

利用电偶极矩的势能函数，我们可以计算它在电场 Eout(r)\mathbf{E}_{\text{out}}(\mathbf{r}) 中所感受到的力和力矩 Mout\mathbf{M}_{\text{out}}，即

F=−∇W(2)=−∇(−P⋅Eout(r))=∇(P⋅Eout(r))=(P⋅∇)Eout(r)+(Eout(r)⋅∇)P+P×(∇×Eout(r))+Eout(r)×(∇×P)=(P⋅∇)Eout(r),\begin{aligned} \mathbf{F} &= -\nabla W^{(2)}=-\nabla(-\mathbf{P}\cdot\mathbf{E}_{\text{out}}(\mathbf{r}))=\nabla(\mathbf{P}\cdot\mathbf{E}_{\text{out}}(\mathbf{r}))\\\\ &= (\mathbf{P}\cdot\nabla)\mathbf{E}_{\text{out}}(\mathbf{r})+(\mathbf{E}_{\text{out}}(\mathbf{r})\cdot\nabla)\mathbf{P}+\mathbf{P}\times(\nabla\times\mathbf{E}_{\text{out}}(\mathbf{r}))+\mathbf{E}_{\text{out}}(\mathbf{r})\times(\nabla\times\mathbf{P})\\\\ &= (\mathbf{P}\cdot\nabla)\mathbf{E}_{\text{out}}(\mathbf{r}), \end{aligned}

而

Mout=−∂W(2)∂φ⃗=−∂∂φ(−P⋅Eout(r))=∂∂φ(PEout(r)cos⁡φ)eϕφ=−PEout(r)sin⁡θeϕφ=P×Eout(r).\begin{aligned} \mathbf{M}_{\text{out}} &= -\frac{\partial W^{(2)}}{\partial\vec{\varphi}}=-\frac{\partial}{\partial\varphi}\left(-\mathbf{P}\cdot\mathbf{E}_{\text{out}}(\mathbf{r})\right)\\\\ &= \frac{\partial}{\partial\varphi}\left(PE_{\text{out}}(\mathbf{r})\cos\varphi\right)\mathbf{e}_{\phi\varphi}=-PE_{\text{out}}(\mathbf{r})\sin\theta\mathbf{e}_{\phi\varphi}=\mathbf{P}\times\mathbf{E}_{\text{out}}(\mathbf{r}). \end{aligned}

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2026/7/1 08:02
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