外观
Lesson 12 静电学 II
约 4997 字大约 17 分钟
2026-03-15
Part 4 格林函数
下面要考虑一般的静电学问题。为了这一目的,我们引入格林函数方法。
一般的静电学问题可以大致分为两类:
第一类边值问题:空间区域 Ω 中的电荷分布 ρf(r) 和边界 S=∂Ω 上各点处的电势 ΦS(r) 已经给定;
第二类边值问题: Ω 内的电荷分布 ρf(r) 和边界 S=∂Ω 上各点处的电场的法线分量 ∂n∂ΦS(r) 已经给定。
我们的任务是用格林函数方法,在这两类边值条件下求解电势在 Ω 内各点处的分布 Φ(r)。
为此,我们引入所谓 δ-函数的定义。它被定义作
δ(x)=⎩⎨⎧0,∞,if x=0;if x=0,
并且满足条件
∫−∞∞δ(x)dx=1.
这一函数原本是狄拉克(Dirac)于 1926 年引入以解决量子力学中连续谱态的归一化问题的,后被物理学家广泛应用于处理各种边值问题。严格地说,它不是一种通常意义上的函数,而是一种被称之为分布(distribution)的连续泛函。在实际运算中,人们常常用某些函数来逼近它。例如,在一维空间中,若我们考虑函数
fϵ(x)=π1x2+ϵ2ϵ,ϵ>0.
显然,当 x=0 时,我们有
ϵ→0+limfϵ(x)=ϵ→0+limπ1x2+ϵ2ϵ=0,
而当 x=0 时,我们又有
ϵ→0+limfϵ(x=0)=ϵ→0+limπ1ϵ2ϵ=ϵ→0+limπϵ1=∞.
另一方面,将 fϵ(x) 在实轴上积分后我们有
∫−∞∞fϵ(x)dx=∫−∞∞π1x2+ϵ2ϵdx=π1arctanϵx−∞∞=π1(arctan∞−arctan(−∞))=π1(2π−(−2π))=1.
因此,按照定义,我们当有
ϵ→0+limπ1x2+ϵ2ϵ=δ(x).
有了 δ 函数的定义后,我们现在可以将位于坐标原点处的一个带电量为 Q 的点电荷分布写作 ρ(r)=Qδ(r)。这是由于等式
∫∫∫R3ρ(r)dxdydz=∫∫∫R3Qδ(r)dxdydz=∫∫∫R3Qδ(x)δ(y)δ(z)dxdydz=Q(∫−∞∞δ(x)dx)(∫−∞∞δ(y)dy)(∫−∞∞δ(z)dz)=Q
成立。δ 函数的另外一个有用的性质是,它与一个连续函数 f(r) 的乘积的积分等于该函数在 r=0 处的值,即我们有
∫∫∫R3f(r)δ(r)dxdydz=f(0).
这一公式的证明非常简单。让我们任取一个以原点为球心,半径为 ϵ 的小球 Ωϵ。那么,我们都有的
∫∫∫R3f(r)δ(r)dxdydz=∫∫∫R3∖Ωϵf(r)δ(r)dxdydz+∫∫∫Ωϵf(r)δ(r)dxdydz=∫∫∫Ωϵf(r)δ(r)dxdydz.
当 ϵ 足够小时,我们可以利用 f(r) 在 r=0 处的值 f(0) 代替它在被积函数的位置,从而得到
∫∫∫R3f(r)δ(r)dxdydz=∫∫∫Ωϵf(r)δ(r)dxdydz≃∫∫∫Ωϵf(0)δ(r)dxdydz=f(0)∫∫∫Ωϵδ(r)dxdydz=f(0)∫∫∫R3δ(r)dxdydz=f(0).
最后,我们令 ϵ→0,则上式变为一个等式,即
∫∫∫R3f(r)δ(r)dxdydz=f(0).
可以形象地讲,δ 函数将任何一个连续函数都映射到一个复数 f(0) 去。在这种意义上,δ 函数可以被理解为一个连续泛函(continuous functional)。
接下来,我们要介绍一个十分有用的恒等式
∇r2∣r−r′∣1=−4πδ(r−r′).
/proof/
首先,不难验证
∇r∣r−r′∣1=−∣r−r′∣3r−r′
成立。其次,利用在第二章中的相关推导,我们看到当 r=r′ 时,
∇r2∣r−r′∣1=−∇r⋅∣r−r′∣3r−r′=0.
因此,我们只需研究 ∇r2∣r−r′∣1 在 r≃r′ 附近的行为即可。取一个以 r 为球心,δ 为半径的小球体 Ωδ。则我们有
∫∫∫R3∇r2∣r−r′∣1dxdydz=∫∫∫R3∖Ωδ∇r2∣r−r′∣1dxdydz+∫∫∫Ωδ∇r2∣r−r′∣1dxdydz=∫∫∫Ωδ∇r2∣r−r′∣1dxdydz.
对上式的右边使用高斯定理后,我们进一步得到
∫∫∫R3∇r2∣r−r′∣1dxdydz=∫∫∫Ωδ∇r2∣r−r′∣1dxdydz=∮∮Sδ(∇r∣r−r′∣1)⋅dS=−∮∮Sδ∣r−r′∣3r−r′⋅dS=−4π.
另一方面,按照定义,我们有
∫∫∫R3(−4π)δ(r−r′)dxdydz=−4π,
故成立。
在做了这些准备之后,我们现在可以引入静电学问题中的格林函数了。它被定义作方程
∇r2G(r,r′)=−ϵ01δ(r−r′)
的解。
根据点电荷与 δ 函数的关系,G(r,r′) 也可以被解释作真空中一个位于空间 r′ 处带电量为 q=1 的点电荷在空间 r 处产生的静电势。
需要强调一点的是,由于 δ(r) 是一个偶函数,故 ∇r2G(r,r′)=∇r′2G(r′,r) 显然成立。除此之外,亦可证明,在第一类边值条件下,G(r,r′)=G(r′,r) 也成立。
这一互易关系隐含着,在给定的边值条件下,位于 r′ 处的单位电荷在 r 处产生的电势与位于 r 处的单位电荷在 r′ 处产生的电势是等值的。
我们知道,要想唯一地决定 G(r,r′),需要给出在相关的空间区域 Ω 的边界 S=∂Ω 上的电势分布 ΦS 或其导数分布 ∂n∂ΦSS。让我们结合讲过的例子,分别考虑以下三种情况。
(1) 无界空间中的格林函数。在此情况下,可以将无穷远处的电势取为零。因此,G0(r,r′) 可以唯一地决定下来。我们有
G0(r,r′)=4πϵ01(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)21=4πϵ01∣r−r′∣1.
事实上,利用
∇r2∣r−r′∣1=−4πδ(r−r′).
我们可以直接验证
∇r2G0(r,r′)=∇r2(4πϵ01∣r−r′∣1)=4πϵ01∇r2∣r−r′∣1=4πϵ01(−4πδ(r−r′))=−ϵ01δ(r−r′).
的确是我们要找的解。
(2) 上半平面的格林函数。我们可以写出此时的格林函数
G1(r,r′)=4πϵ01((x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)21−(x−x′)2+(y−y′)2+(z+z′)21).
(3) 球外空间的格林函数。若令
r=x2+y2+z2,r′=x′2+y′2+z′2.
则我们有
G2(r,r′)=4πϵ01(r2+r′2−2rr′cosα1−r2+b2−2rbcosαR0/r′),
这里,R0 为球的半径,电荷点为 P,场点 P′,角度 α 为 OP 和 OP′ 的夹角。
将 b=r′R02 代入上式后,我们有
G2(r,r′)=4πϵ01r2+r′2−2rr′cosα1−(R0rr′)2+R02−2rr′cosα1.
接下来,我们讨论如何利用格林函数获得一般边值问题的解。先看第一类边值问题。
由于自由电荷在空间中的分布密度函数 ρf(r′) 是已知的,故泊松方程
∇r′2Φ(r′)=−ϵ1ρf(r′)
以及
∇r2G(r,r′)=−ϵ01δ(r−r′)
成立。将 ∇r′2Φ(r′)=−ϵ1ρf(r′) 乘以 G(r,r′) 再减去 ∇r2G(r,r′)=−ϵ01δ(r−r′) 乘以 Φ(r′) 后
G(r,r′)∇r′2Φ(r′)−Φ(r′)∇r′2G(r,r′)=G(r′,r)∇r′2Φ(r′)−Φ(r′)∇r′2G(r′,r)=−ϵ1ρf(r′)G(r,r′)+ϵ01δ(r−r′)Φ(r′).
将此式的两边对全空间积分后,有
∫∫∫Ω(G(r′,r)∇r′2Φ(r′)−Φ(r′)∇r′2G(r′,r))dx′dy′dz′=∫∫∫Ω(−ϵ1ρf(r′)G(r,r′)+ϵ01δ(r−r′)Φ(r′))dx′dy′dz′=−ϵ1∫∫∫Ωρf(r′)G(r,r′)dx′dy′dz′+ϵ01Φ(r).
对于上式的左边,可以使用恒等式
Ψ(r′)∇r′2Φ(r′)−Φ(r′)∇r′2Ψ(r′)=∇r′⋅(Ψ(r′)∇r′Φ(r′)−Φ(r′)∇r′Ψ(r′))
因此,上式可以被改写作
∫∫∫Ω(G(r′,r)∇r′2Φ(r′)−Φ(r′)∇r′2G(r′,r))dx′dy′dz′=∫∫∫Ω∇r′(G(r′,r)∇r′Φ(r′)−Φ(r′)∇r′G(r′,r))dx′dy′dz′=∮∮∂Ω(G(r′,r)∇r′Φ(r′)−Φ(r′)∇r′G(r′,r))⋅dS′=∮∮∂Ω(G(r′,r)∂n′∂Φ(r′)−Φ(r′)∂n′∂G(r′,r))dS′=−ϵ1∫∫∫Ωρf(r′)G(r,r′)dx′dy′dz′+ϵ01Φ(r),
或是
Φ(r)=ϵϵ0∫∫∫Ωρf(r′)G(r,r′)dx′dy′dz′+ϵ0∮∮∂Ω(G(r′,r)∂n′∂Φ(r′)−Φ(r′)∂n′∂G(r′,r))dS′.
由于在第一类边值问题中,ρf(r′) 和 Φ(r′)∣∂Ω 是已知的,且在 ∂Ω 上,G(r′,r)=0,故我们进一步得到
Φ(r)=ϵϵ0∫∫∫Ωρf(r′)G(r,r′)dx′dy′dz′−ϵ0∮∮∂ΩΦ(r′)∂n′∂G(r′,r)dS′.
因此,Φ(r) 可以唯一地决定下来。
对于第二类边值问题,除了 ∂n∂Φ(r′)∂Ω 的值外,我们还需知道 Φ(r′) 在边界上的值。因此,格林函数在边界上的取值需要加以改动。
Part 5 电多极矩
一个无限大均匀介质中给定电荷密度 ρf(r) 所产生的电势为
Φ(r)=4πϵ1∫∫∫R3∣r−r′∣ρf(r′)dx′dy′dz′.
在许多物理问题中,电荷只分布在在一个很小的区域 Ω 内,而人们所关心的又是电势 Φ(r) 在距离这一区域较远,即 ∣r−r′∣ 远大于区域 Ω 的线度 l 处的值。因此,我们没有必要对上式中的积分求精确值。近似地,我们可以将被积表达式按照 l/∣r∣ 的幂次做展开,然后决定 Φ(r) 的各级近似值。
当 ∣r′∣≪∣r∣ 时,我们近似有
f(r−r′)≅f(r)+i=1∑3∂xi∂f(r)(−xi′)+2!1i=1∑3j=1∑3∂xi∂xj∂2f(r)(−xi′)(−xj′)=f(r)−r′⋅∇rf(r)+2!1(r′⋅∇r)2f(r).
将此展开式应用到上式中的被积函数,我们有
Φ(r)≅4πϵ1∫∫∫Ωρf(r′)(r1−r′⋅∇rr1+2!1(r′⋅∇r)2r1)dx′dy′dz′=4πϵr1∫∫∫Ωρf(r′)dx′dy′dz′−4πϵ1∫∫∫Ωρf(r′)r′⋅(∇rr1)dx′dy′dz′+8πϵ1∫∫∫Ωρ(r′)i=1∑3j=1∑3xi′xj′(∂xi∂∂xj∂r1)dx′dy′dz′=4πϵ1rQ−4πϵ1P⋅∇rr1+4πϵ161i=1∑3j=1∑3Dij∂xi∂∂xj∂r1.(a)
这里,
Q=∫∫∫Ωρf(r′)dx′dy′dz′,P=∫∫∫Ωρf(r′)r′dx′dy′dz′,
以及
Dij=∫∫∫Ωρf(r′)3xi′xj′dx′dy′dz′.
分别称为体系的总电荷,电偶极矩和电四极矩。
由表达式 (a),我们得出结论,作为第一级近似,可以将所有得电荷都置于原点处,那么在远离区域 Ω 的 r 处,电势将由 (a) 式中的第一项给出。进一步,若电荷密度分布 ρ(r′) 对于坐标原点不对称,那么 P 一般不为零。此时,(a) 式中的第二项对于电势的贡献会显现出来,我们有
Φ(2)(r)=−4πϵ1P⋅∇rr1=4πϵr3P⋅r.
由于体系的总电荷以及电偶极矩的概念相对比较熟悉,我们下面将集中讨论电四极矩的性质。首先,我们注意到,按照定义,{Dij} 构成了一个 3×3 矩阵的矩阵元,并且这个矩阵是对称的,即
Dij=∫∫∫Ω3xi′xj′ρf(x′,y′,z′)dx′dy′dz′=Dji.
因此,这九个量中最多只能有六个是彼此独立的。我们要证明,实际上它们之中只有五个是独立的。为此,我们先假定 D11,D22,D33,D12,D13 和 D23 是独立的。那么,若在前三个分量上各自加上一个常数 C,则新定义的六个分量
D11′=D11+C,D22′=D22+C,D33′=D33+C,D12′=D12,D13′=D13,D23′=D23
亦应该是独立的。现在,我们取
C=−∫∫∫Ωr′2ρf(x′,y′,z′)dx′dy′dz′,
则如此定义的新的六个分量可以统一地写作
Dij′=Dij−δij∫∫∫Ωr′2ρf(x′,y′,z′)dx′dy′dz′.
接下来,我们要论证,它们给出的相应的电势的表达式并不改变。实际上,我们有
4πϵ161i=1∑3j=1∑3Dij′∂xi∂∂xj∂r1dx′dy′dz′=4πϵ161i=1∑3j=1∑3Dij∂xi∂∂xj∂r1dx′dy′dz′−4πϵ161i=1∑3j=1∑3δij∫∫∫Ωr′2ρf(x′,y′,z′)∂xi∂∂xj∂r1dx′dy′dz′=4πϵ161i=1∑3j=1∑3Dij∂xi∂∂xj∂r1dx′dy′dz′−4πϵ161∫∫∫Ωr′2ρf(r′)(∇r2r1)dx′dy′dz′.
利用方程 ∇r2r1=−4πδ(r),我们看到,当 r=0 时,上式的第二项为零。因此,四极矩 {Dij′} 和 {Dij} 在远处产生的静电势并无区别。
另一方面,按照定义,我们有
D11′+D22′+D33′=(D11−∫∫∫Ωr′2ρf(r′)dx′dy′dz′)+(D22−∫∫∫Ωr′2ρf(r′)dx′dy′dz′)+(D33−∫∫∫Ωr′2ρf(r′)dx′dy′dz′)=∫∫∫Ω3x′x′ρf(x′,y′,z′)dx′dy′dz′+∫∫∫Ω3y′y′ρf(x′,y′,z′)dx′dy′dz′+∫∫∫Ω3z′z′ρf(x′,y′,z′)dx′dy′dz′−3∫∫∫Ωr′2ρf(x′,y′,z′)dx′dy′dz′=3∫∫∫Ωr′2ρf(x′,y′,z′)dx′dy′dz′−3∫∫∫Ωr′2ρf(x′,y′,z′)dx′dy′dz′=0.
也就是说,D11′,D22′ 和 D33′ 并非独立的。这导致了悖论。因此,六个分量 D11,D22,D33,D12,D13 和 D23 中最多只有五个是独立的。在文献中,人们一般将 {Dij′} 定义作一个电荷体系的电四极矩张量。
/example/
设外电场 Eout(r) 的电势为 Φout(r)。那么,一个处于此电场中的带电体的能量为
W=∫∫∫Ωρ(r)Φout(r)dxdydz.
假设 Ω 是一个非常小的区域,使得我们可以将其中的电势 Φout(r) 在某一点(记作 r=0)附近做展开,即
Φout(r)≅Φout(0)+i=1∑3xi∂xi∂Φout(0)+2!1i=1∑3j=1∑3xixj∂xi∂xj∂2Φout(0).
将之代入 W 的表达式后,我们有
W=∫∫∫Ωρ(r)Φout(r)dxdydz=∫∫∫Ωρ(r)Φout(0)dxdydz+i=1∑3∫∫∫Ωρ(r)xi∂xi∂Φout(0)dxdydz+2!1i=1∑3j=1∑3∫∫∫Ωρ(r)xixj∂xi∂xj∂2Φout(0)dxdydz=QΦout(0)+P⋅∇Φout(0)+61i=1∑3j=1∑3Dij∂xi∂xj∂2Φout(0).
其中的第一项可视作体系的电荷都集中在原点 r=0 时的电势能,第二项则解释作体系的电偶极矩在外场中的能量。我们又可将之写作
W(2)=P⋅∇Φout(0)=−P⋅Eout(0).
而第三项则为体系的电四极矩在外电场中的能量。它也可被重新写作
W(3)=61i=1∑3j=1∑3Dij∂xi∂xj∂2Φout(0)=−61i=1∑3j=1∑3Dij∂xi∂Eoutj(0).
因此可见,只有在非均匀外电场中,电四极矩对电势能的贡献才不为零。
利用电偶极矩的势能函数,我们可以计算它在电场 Eout(r) 中所感受到的力和力矩 Mout,即
F=−∇W(2)=−∇(−P⋅Eout(r))=∇(P⋅Eout(r))=(P⋅∇)Eout(r)+(Eout(r)⋅∇)P+P×(∇×Eout(r))+Eout(r)×(∇×P)=(P⋅∇)Eout(r),
而
Mout=−∂φ∂W(2)=−∂φ∂(−P⋅Eout(r))=∂φ∂(PEout(r)cosφ)eϕφ=−PEout(r)sinθeϕφ=P×Eout(r).
更新日志
2026/7/1 08:02
查看所有更新日志
35639-electrodymics+于edd51-weekly + electrodynamics于c5dc4-electrodynamics-10于05934-elec于
版权所有
版权归属:nicostore.mathematica