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Lesson 3 Maxwell 方程组 II

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2026-03-13

Part 2 静磁场

前面我们提到了毕奥 - 萨伐尔定律

dB(r)=μ0I24πdl2×r−r2∣r−r2∣3.dB(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0 I_2}{4\pi} dl_2 \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}_2}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_2|^3}.

如上所述，在稳恒电流的情况下，电流是在一个回路 LL 中流动。因此，它在空间 r\mathbf{r} 处所引起的总磁感应强度可以写作

B(r)=μ0I4π∮Ldl×r−r′∣r−r′∣3,\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \oint_L dl \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3},

或是

B(r)=μ04π∫∫Ωj(r′)×r−r′∣r−r′∣3 dx′dy′dz′.\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \int_\Omega \mathbf{j}(\mathbf{r}') \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\, dx'dy'dz'.

这里，Ω\Omega 为电流密度矢量 j(r′)\mathbf{j}(\mathbf{r}') 不为零的空间区域。上式称为毕奥 - 萨伐尔定律的积分形式。接下来我们要推导它的微分形式。

尽管前者可能更为直观一些，但后者在解静磁学问题时更为适用。

· 微分形式

首先，我们注意到恒等式

r−r′∣r−r′∣3=−∇r1∣r−r′∣.\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} = - \nabla_{\mathbf{r}} \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}.

成立。因此公式

B(r)=μ04π∫∫Ωj(r′)×r−r′∣r−r′∣3 dx′dy′dz′.\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \int_\Omega \mathbf{j}(\mathbf{r}') \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\, dx'dy'dz'.

可以被改写作

B(r)=−μ04π∫∫Ωj(r′)×(∇r1∣r−r′∣) dx′dy′dz′=μ04π∫∫Ω(∇r1∣r−r′∣)×j(r′) dx′dy′dz′.\begin{aligned} \mathbf{B}(\mathbf{r}) &= - \frac{\mu_0}{4\pi} \int \int_\Omega \mathbf{j}(\mathbf{r}') \times \left( \nabla_{\mathbf{r}} \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \right)\, dx'dy'dz' \\\\ &= \frac{\mu_0}{4\pi} \int \int_\Omega \left( \nabla_{\mathbf{r}} \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \right) \times \mathbf{j}(\mathbf{r}')\, dx'dy'dz'. \end{aligned}

利用恒等式

∇×(f(r)A(r))=(∇f(r))×A(r)+f(r)(∇×A(r)),\nabla \times (f(\mathbf{r}) \mathbf{A}(\mathbf{r})) = (\nabla f(\mathbf{r})) \times \mathbf{A}(\mathbf{r}) + f(\mathbf{r}) (\nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{r})),

我们可以将此式进一步改写为

B(r)=μ04π∫∫Ω∇r×j(r′)∣r−r′∣ dx′dy′dz′−μ04π∫∫Ω1∣r−r′∣(∇r×j(r′)) dx′dy′dz′.\begin{aligned} \mathbf{B}(\mathbf{r}) &= \frac{\mu_0}{4\pi} \int \int_\Omega \nabla_{\mathbf{r}} \times \frac{\mathbf{j}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, dx'dy'dz' \\\\ &- \frac{\mu_0}{4\pi} \int \int_\Omega \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} (\nabla_{\mathbf{r}} \times \mathbf{j}(\mathbf{r}'))\, dx'dy'dz'. \end{aligned}

由于电流密度 j(r′)\mathbf{j}(\mathbf{r}') 并不依赖于观察点坐标 r\mathbf{r}，故此式右边的第二项为零。因此，我们得到

B(r)=∇r×(μ04π∫∫Ωj(r′)∣r−r′∣ dx′dy′dz′)≡∇r×A(r),\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \nabla_{\mathbf{r}} \times \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \int \int_\Omega \frac{\mathbf{j}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, dx'dy'dz' \right) \equiv \nabla_{\mathbf{r}} \times \mathbf{A}(\mathbf{r}),

而

A(r)=μ04π∫∫Ωj(r′)∣r−r′∣ dx′dy′dz′\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \int_\Omega \frac{\mathbf{j}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, dx'dy'dz'

在文献中被称为由电流分布 j(r′)\mathbf{j}(\mathbf{r}') 引起的矢量势。

对数学式

B(r)=∇r×(μ04π∫∫Ωj(r′)∣r−r′∣ dx′dy′dz′)≡∇r×A(r),\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \nabla_{\mathbf{r}} \times \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \int \int_\Omega \frac{\mathbf{j}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, dx'dy'dz' \right) \equiv \nabla_{\mathbf{r}} \times \mathbf{A}(\mathbf{r}),

两边取散度后，我们得到

div B(r)≡∇⋅B(r)=∇⋅(∇×A(r))≡0.\mathrm{div}\,\mathbf{B}(\mathbf{r}) \equiv \nabla \cdot \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{r})) \equiv 0.

也就是说，磁感应强度矢量场 B(r)\mathbf{B}(\mathbf{r}) 是无源的，即没有起点，也没有终点，总是形成一个回路。

接下来，我们计算 B(r)\mathbf{B}(\mathbf{r}) 的旋度。我们有

∇×B(r)=∇r×(μ04π∫∫Ωj(r′)×r−r′∣r−r′∣3 dx′dy′dz′)\nabla \times \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \nabla_{\mathbf{r}} \times \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \int \int_\Omega \mathbf{j}(\mathbf{r}') \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\, dx'dy'dz' \right)

=μ04π∫∫Ω∇r×(j(r′)×r−r′∣r−r′∣3) dx′dy′dz′.= \frac{\mu_0}{4\pi} \int \int_\Omega \nabla_{\mathbf{r}} \times \left( \mathbf{j}(\mathbf{r}') \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \right)\, dx'dy'dz'.

进一步，我们利用恒等式

∇×(a×b)=a(∇⋅b)−b(∇⋅a)+(b⋅∇)a−(a⋅∇)b.\nabla \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{a}(\nabla \cdot \mathbf{b}) - \mathbf{b}(\nabla \cdot \mathbf{a}) + (\mathbf{b} \cdot \nabla)\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \nabla)\mathbf{b}.

改写上式。我们得到

∇×B(r)=μ04π∫∫Ωj(r′)(∇r⋅r−r′∣r−r′∣3) dr′−μ04π∫∫Ω(∇r⋅j(r′))r−r′∣r−r′∣3 dr′+μ04π∫∫Ω(r−r′∣r−r′∣3⋅∇r)j(r′) dr′−μ04π∫∫Ω(j(r′)⋅∇r)r−r′∣r−r′∣3 dr′=μ04π∫∫Ωj(r′)(∇r⋅r−r′∣r−r′∣3) dr′−μ04π∫∫Ω(j(r′)⋅∇r)r−r′∣r−r′∣3 dr′.\begin{aligned} \nabla \times \mathbf{B}(\mathbf{r}) &= \frac{\mu_0}{4\pi} \int \int_\Omega \mathbf{j}(\mathbf{r}') \left( \nabla_{\mathbf{r}} \cdot \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \right)\, d\mathbf{r}' - \frac{\mu_0}{4\pi} \int \int_\Omega (\nabla_{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{j}(\mathbf{r}')) \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\, d\mathbf{r}' \\\\ &+ \frac{\mu_0}{4\pi} \int \int_\Omega \left( \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \cdot \nabla_{\mathbf{r}} \right) \mathbf{j}(\mathbf{r}')\, d\mathbf{r}' - \frac{\mu_0}{4\pi} \int \int_\Omega (\mathbf{j}(\mathbf{r}') \cdot \nabla_{\mathbf{r}}) \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\, d\mathbf{r}' \\\\ &= \frac{\mu_0}{4\pi} \int \int_\Omega \mathbf{j}(\mathbf{r}') \left( \nabla_{\mathbf{r}} \cdot \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \right)\, d\mathbf{r}' - \frac{\mu_0}{4\pi} \int \int_\Omega (\mathbf{j}(\mathbf{r}') \cdot \nabla_{\mathbf{r}}) \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\, d\mathbf{r}'. \end{aligned}

我们需要论证上式最后一行中的第二项恒为零。为此，我们利用关系式

∇rr−r′∣r−r′∣3=−∇r′r−r′∣r−r′∣3.\nabla_{\mathbf{r}} \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} = - \nabla_{\mathbf{r}'} \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}.

因此，我们有

∫∫Ω(j(r′)⋅∇r)r−r′∣r−r′∣3 dr′=−∫∫Ω(j(r′)⋅∇r′)r−r′∣r−r′∣3 dx′dy′dz′=−∫−∞∞dx′∫−∞∞dy′∫−∞∞dz′ jx(x′,y′,z′)∂∂x′r−r′∣r−r′∣3−∫−∞∞dx′∫−∞∞dy′∫−∞∞dz′ jy(x′,y′,z′)∂∂y′r−r′∣r−r′∣3−∫−∞∞dx′∫−∞∞dy′∫−∞∞dz′ jz(x′,y′,z′)∂∂z′r−r′∣r−r′∣3.\begin{aligned} &\int \int_\Omega (\mathbf{j}(\mathbf{r}') \cdot \nabla_{\mathbf{r}}) \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\, d\mathbf{r}' = - \int \int_\Omega (\mathbf{j}(\mathbf{r}') \cdot \nabla_{\mathbf{r}'}) \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\, dx'dy'dz' \\\\ &= - \int_{-\infty}^{\infty} dx' \int_{-\infty}^{\infty} dy' \int_{-\infty}^{\infty} dz'\, j_x(x', y', z') \frac{\partial}{\partial x'} \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \\\\ &- \int_{-\infty}^{\infty} dx' \int_{-\infty}^{\infty} dy' \int_{-\infty}^{\infty} dz'\, j_y(x', y', z') \frac{\partial}{\partial y'} \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \\\\ &- \int_{-\infty}^{\infty} dx' \int_{-\infty}^{\infty} dy' \int_{-\infty}^{\infty} dz'\, j_z(x', y', z') \frac{\partial}{\partial z'} \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}. \end{aligned}

只需认真计算其中一项即可。例如，我们取上式右边的第一项，并对它做分步积分后得到

−∫−∞∞dx′∫−∞∞dy′∫−∞∞dz′ jx(x′,y′,z′)∂∂x′r−r′∣r−r′∣3- \int_{-\infty}^{\infty} dx' \int_{-\infty}^{\infty} dy' \int_{-\infty}^{\infty} dz'\, j_x(x', y', z') \frac{\partial}{\partial x'} \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}

=−∫−∞∞dy′∫−∞∞dz′ jx(x′,y′,z′)r−r′∣r−r′∣3∣x′=−∞x′=∞= - \int_{-\infty}^{\infty} dy' \int_{-\infty}^{\infty} dz'\, j_x(x', y', z') \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \Big|_{x'=-\infty}^{x'=\infty}

+∫−∞∞dx′∫−∞∞dy′∫−∞∞dz′ ∂jx(x′,y′,z′)∂x′r−r′∣r−r′∣3.+ \int_{-\infty}^{\infty} dx' \int_{-\infty}^{\infty} dy' \int_{-\infty}^{\infty} dz'\, \frac{\partial j_x(x', y', z')}{\partial x'} \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}.

由于在无穷远处，电流密度 jx(x′,y′,z′)j_x(x', y', z') 为零，故上式中的第一项为零，只有第二项得以保留。同理，我们可得

−∫−∞∞dx′∫−∞∞dy′∫−∞∞dz′ jy(x′,y′,z′)∂∂y′r−r′∣r−r′∣3- \int_{-\infty}^{\infty} dx' \int_{-\infty}^{\infty} dy' \int_{-\infty}^{\infty} dz'\, j_y(x', y', z') \frac{\partial}{\partial y'} \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}

=∫−∞∞dx′∫−∞∞dy′∫−∞∞dz′ ∂jy(x′,y′,z′)∂y′r−r′∣r−r′∣3,= \int_{-\infty}^{\infty} dx' \int_{-\infty}^{\infty} dy' \int_{-\infty}^{\infty} dz'\, \frac{\partial j_y(x', y', z')}{\partial y'} \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3},

以及

−∫−∞∞dx′∫−∞∞dy′∫−∞∞dz′ jz(x′,y′,z′)∂∂z′r−r′∣r−r′∣3- \int_{-\infty}^{\infty} dx' \int_{-\infty}^{\infty} dy' \int_{-\infty}^{\infty} dz'\, j_z(x', y', z') \frac{\partial}{\partial z'} \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}

=∫−∞∞dx′∫−∞∞dy′∫−∞∞dz′ ∂jz(x′,y′,z′)∂z′r−r′∣r−r′∣3.= \int_{-\infty}^{\infty} dx' \int_{-\infty}^{\infty} dy' \int_{-\infty}^{\infty} dz'\, \frac{\partial j_z(x', y', z')}{\partial z'} \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}.

我们最后得到

∫∫Ω(j(r′)⋅∇r)r−r′∣r−r′∣3 dr′=∫−∞∞dx′∫−∞∞dy′∫−∞∞dz′ ∂jx(x′,y′,z′)∂x′r−r′∣r−r′∣3+∫−∞∞dx′∫−∞∞dy′∫−∞∞dz′ ∂jy(x′,y′,z′)∂y′r−r′∣r−r′∣3+∫−∞∞dx′∫−∞∞dy′∫−∞∞dz′ ∂jz(x′,y′,z′)∂z′r−r′∣r−r′∣3=∫−∞∞dx′∫−∞∞dy′∫−∞∞dz′ (∇r′⋅j(x′,y′,z′))r−r′∣r−r′∣3=0.\begin{aligned} &\int \int_\Omega (\mathbf{j}(\mathbf{r}') \cdot \nabla_{\mathbf{r}}) \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\, d\mathbf{r}' \\\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} dx' \int_{-\infty}^{\infty} dy' \int_{-\infty}^{\infty} dz'\, \frac{\partial j_x(x', y', z')}{\partial x'} \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \\\\ &+ \int_{-\infty}^{\infty} dx' \int_{-\infty}^{\infty} dy' \int_{-\infty}^{\infty} dz'\, \frac{\partial j_y(x', y', z')}{\partial y'} \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \\\\ &+ \int_{-\infty}^{\infty} dx' \int_{-\infty}^{\infty} dy' \int_{-\infty}^{\infty} dz'\, \frac{\partial j_z(x', y', z')}{\partial z'} \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \\\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} dx' \int_{-\infty}^{\infty} dy' \int_{-\infty}^{\infty} dz'\, (\nabla_{\mathbf{r}'} \cdot \mathbf{j}(x', y', z')) \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} = 0. \end{aligned}

在上式推导的最后一步，我们使用了稳恒电流所满足的连续性方程 ∇r′⋅j(r′)=0\nabla_{\mathbf{r}'} \cdot \mathbf{j}(\mathbf{r}') = 0。

由此一来，

∇×B(r)=μ04π∫∫Ωj(r′)(∇r⋅r−r′∣r−r′∣3) dr′−μ04π∫∫Ω(j(r′)⋅∇r)r−r′∣r−r′∣3 dr′.\begin{aligned} \nabla \times \mathbf{B}(\mathbf{r})&= \frac{\mu_0}{4\pi} \int \int_\Omega \mathbf{j}(\mathbf{r}') \left( \nabla_{\mathbf{r}} \cdot \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \right)\, d\mathbf{r}' \\\\ &- \frac{\mu_0}{4\pi} \int \int_\Omega (\mathbf{j}(\mathbf{r}') \cdot \nabla_{\mathbf{r}}) \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\, d\mathbf{r}'. \end{aligned}

可简化为

∇×B(r)=μ04π∫∫Ωj(r′)(∇r⋅r−r′∣r−r′∣3) dr′.\nabla \times \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \int_\Omega \mathbf{j}(\mathbf{r}') \left( \nabla_{\mathbf{r}} \cdot \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \right)\, d\mathbf{r}'.

在此式中出现的散度因子当 r′≠r\mathbf{r}' \ne \mathbf{r} 时恒为零。这是由于，按照定义，我们有

∇r⋅r−r′∣r−r′∣3=∂∂xx−x′[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]3/2+∂∂yy−y′[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]3/2+∂∂zz−z′[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]3/2=[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]3/2−3(x−x′)2[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]1/2[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]3/2+[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]3/2−3(y−y′)2[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]1/2[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]3/2+[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]3/2−3(z−z′)2[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]1/2[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]3/2=3[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]3/2−3[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2][(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]5/2=3[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]3/2−3[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]3/2=0.\begin{aligned} \nabla_{\mathbf{r}} \cdot \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}&= \frac{\partial}{\partial x} \frac{x - x'}{[(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2]^{3/2}}\\\\ &+ \frac{\partial}{\partial y} \frac{y - y'}{[(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2]^{3/2}}\\\\ &+ \frac{\partial}{\partial z} \frac{z - z'}{[(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2]^{3/2}}\\\\ &= \frac{[(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2]^{3/2} - 3(x - x')^2[(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2]^{1/2}}{[(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2]^{3/2}}\\\\ &+ \frac{[(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2]^{3/2} - 3(y - y')^2[(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2]^{1/2}}{[(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2]^{3/2}}\\\\ &+ \frac{[(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2]^{3/2} - 3(z - z')^2[(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2]^{1/2}}{[(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2]^{3/2}}\\\\ &= \frac{3}{[(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2]^{3/2}} - \frac{3[(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2]}{[(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2]^{5/2}}\\\\ &= \frac{3}{[(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2]^{3/2}} - \frac{3}{[(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2]^{3/2}} = 0. \end{aligned}

而当 r′=r\mathbf{r}' = \mathbf{r} 时，此式不再成立。

为了处理这一特殊情况，我们可以选取一个以 r\mathbf{r} 为球心，半径为 δ\delta 的小球 Ωδ\Omega_\delta。因此

∇×B(r)=μ04π∫∫Ωj(r′)(∇r⋅r−r′∣r−r′∣3) dr′.\nabla \times \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \int_\Omega \mathbf{j}(\mathbf{r}') \left( \nabla_{\mathbf{r}} \cdot \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \right)\, d\mathbf{r}'.

式又可被写作

∇×B(r)=μ04π∫∫Ω−Ωδj(r′)(∇r⋅r−r′∣r−r′∣3) dr′+μ04π∫∫Ωδj(r′)(∇r⋅r−r′∣r−r′∣3) dr′=μ04π∫∫Ωδj(r′)(∇r⋅r−r′∣r−r′∣3) dr′.\begin{aligned} \nabla \times \mathbf{B}(\mathbf{r}) &= \frac{\mu_0}{4\pi} \int \int_{\Omega - \Omega_\delta} \mathbf{j}(\mathbf{r}') \left( \nabla_{\mathbf{r}} \cdot \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \right)\, d\mathbf{r}' + \frac{\mu_0}{4\pi} \int \int_{\Omega_\delta} \mathbf{j}(\mathbf{r}') \left( \nabla_{\mathbf{r}} \cdot \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \right)\, d\mathbf{r}' \\\\ &= \frac{\mu_0}{4\pi} \int \int_{\Omega_\delta} \mathbf{j}(\mathbf{r}') \left( \nabla_{\mathbf{r}} \cdot \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \right)\, d\mathbf{r}'. \end{aligned}

当 δ\delta 充分小时，我们近似有 j(r′)≅j(r)\mathbf{j}(\mathbf{r}') \cong \mathbf{j}(\mathbf{r})。因此，上式又可被写作

∇×B(r)≅μ04π∫∫Ωδj(r)(∇r⋅r−r′∣r−r′∣3) dr′=μ04πj(r)∫∫Ωδ(−∇r′⋅r−r′∣r−r′∣3) dr′=−μ04πj(r)∮Sδr−r′∣r−r′∣3⋅dS=μ04πj(r)∮Sδr′−r∣r′−r∣3⋅dS=μ04πj(r)4π=μ0j(r).\begin{aligned} \nabla \times \mathbf{B}(\mathbf{r}) &\cong \frac{\mu_0}{4\pi} \int \int_{\Omega_\delta} \mathbf{j}(\mathbf{r}) \left( \nabla_{\mathbf{r}} \cdot \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \right)\, d\mathbf{r}' \\\\ &= \frac{\mu_0}{4\pi} \mathbf{j}(\mathbf{r}) \int \int_{\Omega_\delta} \left( - \nabla_{\mathbf{r}'} \cdot \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \right)\, d\mathbf{r}' = - \frac{\mu_0}{4\pi} \mathbf{j}(\mathbf{r}) \oint_{S_\delta} \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \cdot d\mathbf{S} \\\\ &= \frac{\mu_0}{4\pi} \mathbf{j}(\mathbf{r}) \oint_{S_\delta} \frac{\mathbf{r}' - \mathbf{r}}{|\mathbf{r}' - \mathbf{r}|^3} \cdot d\mathbf{S} = \frac{\mu_0}{4\pi} \mathbf{j}(\mathbf{r}) 4\pi = \mu_0 \mathbf{j}(\mathbf{r}). \end{aligned}

在推导的中间步骤，我们使用了高斯定理。最后，我们令 δ→0\delta \to 0，从而得到

rot B(r)≡∇×B(r)=μ0j(r).\mathrm{rot}\,\mathbf{B}(\mathbf{r}) \equiv \nabla \times \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \mu_0 \mathbf{j}(\mathbf{r}).

这一方程也可以改写成一个积分形式。为此，我们任取一个曲面 SS，并将上式积分后有

∫S(∇×B(r))⋅dS=∫Sμ0j(r)⋅dS=μ0I.\int_S (\nabla \times \mathbf{B}(\mathbf{r})) \cdot d\mathbf{S} = \int_S \mu_0 \mathbf{j}(\mathbf{r}) \cdot d\mathbf{S} = \mu_0 I.

这里，II 为穿过曲面 SS 的总电流。接下来，我们再对上式的左边使用斯托克斯公式后得到

∮CB(r)⋅dl=μ0I.\oint_C \mathbf{B}(\mathbf{r}) \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I.

这里，CC 为曲面 SS 的边界。此式给出了磁感应强度矢量绕一回路 CC 的环流与穿过以该回路为边界的曲面 SS 的总电流之间的关系。

· 例题

/example/ 在一根无穷长直导线中流动的电流 II 均匀分布在半径为 aa 的导线的横截面上。求空间各点处的磁感应强度 B(r)\mathbf{B}(\mathbf{r})。

/proof/

利用毕奥 - 萨伐尔定律，我们看到，空间每一点处的磁感应强度矢量 B(r)\mathbf{B}(\mathbf{r}) 都是应该沿着柱坐标系（将导线的延展方向取作 zz 轴）的 eφ\mathbf{e}_\varphi 方向的。又从对称性的角度考虑，磁感应强度矢量的值仅应依赖于坐标 ρ\rho，而与 φ\varphi 和 zz 无关。也就是说，我们应有

B(r)=B(ρ,φ,z)=B(ρ)eφ.\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \mathbf{B}(\rho, \varphi, z) = B(\rho) \mathbf{e}_\varphi.

现在，我们取一个以导线的轴心上一点为圆心，半径为 ρ\rho，且盘面的法线方向平行于 zz 轴的圆盘 Ωρ\Omega_\rho，并将其边界记作 CρC_\rho。那么根据

∮CB(r)⋅dl=μ0I.\oint_C \mathbf{B}(\mathbf{r}) \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I.

当 ρ>a\rho > a 时，我们有

∮CρB⋅dl=∮CρB(ρ)eφ⋅dleφ=∮CρB(ρ) dl=∫02πB(ρ) ρdφ=2πρB(ρ)=μ0I.\begin{aligned} \oint_{C_\rho} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l}& = \oint_{C_\rho} B(\rho) \mathbf{e}_\varphi \cdot d\mathbf{l} \mathbf{e}_\varphi = \oint_{C_\rho} B(\rho)\, dl\\\\ &= \int_0^{2\pi} B(\rho)\, \rho d\varphi = 2\pi\rho B(\rho) = \mu_0 I. \end{aligned}

上式之所以成立，是由于当 ρ>a\rho > a 时，穿过盘面 Ωρ\Omega_\rho 的总电流恰为 II。因此，我们解得

B(ρ,φ,z)=μ0I2πρeφ.\mathbf{B}(\rho, \varphi, z) = \frac{\mu_0 I}{2\pi\rho} \mathbf{e}_\varphi.

接下来，我们考虑 ρ<a\rho < a 的情况。注意到此时穿过盘面 Ωρ\Omega_\rho 的总电流 IρI_\rho 仅仅是 II 的一部分，我们有

∮CρB⋅dl=∮CρB(ρ)eφ⋅dleφ=∮CρB(ρ) dl=∫02πB(ρ) ρdφ=2πρB(ρ)=μ0Iρ=μ0Iπa2πρ2=μ0Iρ2a2.\begin{aligned} \oint_{C_\rho} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} &= \oint_{C_\rho} B(\rho) \mathbf{e}_\varphi \cdot d\mathbf{l} \mathbf{e}_\varphi = \oint_{C_\rho} B(\rho)\, dl = \int_0^{2\pi} B(\rho)\, \rho d\varphi = 2\pi\rho B(\rho) \\\\ &= \mu_0 I_\rho = \mu_0 \frac{I}{\pi a^2} \pi \rho^2 = \mu_0 I \frac{\rho^2}{a^2}. \end{aligned}

由此，我们得到

B(ρ,φ,z)=μ0Iρ2πa2eφ.\mathbf{B}(\rho, \varphi, z) = \frac{\mu_0 I \rho}{2\pi a^2} \mathbf{e}_\varphi.

将此式与

B(ρ,φ,z)=μ0I2πρeφ.\mathbf{B}(\rho, \varphi, z) = \frac{\mu_0 I}{2\pi\rho} \mathbf{e}_\varphi.

比较后我们发现，在导线的表面，即 ρ=a\rho = a 处，磁感应强度矢量 B(ρ,φ,z)\mathbf{B}(\rho, \varphi, z) 是连续变化的。

综合上面的推导，我们看到，当电荷分布以及电流分布不随时间变化时，电磁场在空间的分布满足微分关系式

∇⋅E(r)=1ϵ0ρ(r),∇×E(r)=0,∇⋅B(r)=0,∇×B(r)=μ0j(r).\begin{aligned} \nabla \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r}) &= \frac{1}{\epsilon_0} \rho(\mathbf{r}), \quad \nabla \times \mathbf{E}(\mathbf{r}) = 0, \\\\ \nabla \cdot \mathbf{B}(\mathbf{r}) &= 0, \quad \nabla \times \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \mu_0 \mathbf{j}(\mathbf{r}). \end{aligned}

同时，我们还引入了标量势 Φ(r)\Phi(\mathbf{r}) 和矢量势 A(r)\mathbf{A}(\mathbf{r}) 的概念。它们同电磁场强的关系为

−∇Φ(r)=E(r),∇×A(r)=B(r).- \nabla \Phi(\mathbf{r}) = \mathbf{E}(\mathbf{r}), \quad \nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{r}) = \mathbf{B}(\mathbf{r}).

当空间中静电荷密度分布 ρ(r)\rho(\mathbf{r}) 和电流密度分布 j(r)\mathbf{j}(\mathbf{r}) 已知时，标量势 Φ(r)\Phi(\mathbf{r}) 和矢量势 A(r)\mathbf{A}(\mathbf{r}) 可以被写作

Φ(r)=14πϵ0∫∫∫Ωρ(x′,y′,z′)∣r−r′∣ dx′dy′dz′,A(r)=μ04π∫∫∫Ωj(x′,y′,z′)∣r−r′∣ dx′dy′dz′.\begin{aligned} &\Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \int \int_\Omega \frac{\rho(x', y', z')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, dx'dy'dz',\\\\ &\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \int \int_\Omega \frac{\mathbf{j}(x', y', z')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, dx'dy'dz'. \end{aligned}

然而，必须强调一点的是，与电场强度 E(r)\mathbf{E}(\mathbf{r}) 和磁感应强度 B(r)\mathbf{B}(\mathbf{r}) 不同的是，标量势 Φ(r)\Phi(\mathbf{r}) 和矢量势 A(r)\mathbf{A}(\mathbf{r}) 实验上是不可直接测量的。数学上，这表现为无论是标量势还是矢量势都不是唯一决定的。例如，我们可以在标势上加上一个常数 CC，即令

Φ′(r)=Φ(r)+C,\Phi'(\mathbf{r}) = \Phi(\mathbf{r}) + C,

而

E(r)=−∇Φ′(r)\mathbf{E}(\mathbf{r}) = - \nabla \Phi'(\mathbf{r})

仍然成立。更有甚者，若对矢量势 A(r)\mathbf{A}(\mathbf{r}) 加上一个形为 ∇Λ(r)\nabla \Lambda(\mathbf{r}) 的量，即令

A′(r)=A(r)+∇Λ(r),\mathbf{A}'(\mathbf{r}) = \mathbf{A}(\mathbf{r}) + \nabla \Lambda(\mathbf{r}),

这里 Λ(r)\Lambda(\mathbf{r}) 为任意一个可导函数，那么新的矢量势 A′(r)\mathbf{A}'(\mathbf{r}) 给出的磁感应强度 B(r)\mathbf{B}(\mathbf{r}) 并无改变，即

∇×A′(r)=∇×A(r)+∇×(∇\nabla \times \mathbf{A}'(\mathbf{r}) = \nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{r}) + \nabla \times (\nabla

在文献中，公式

Φ′(r)=Φ(r)+C\Phi'(\mathbf{r}) = \Phi(\mathbf{r}) + C

以及公式

A′(r)=A(r)+∇Λ(r),\mathbf{A}'(\mathbf{r}) = \mathbf{A}(\mathbf{r}) + \nabla \Lambda(\mathbf{r}),

所给出的变换称为规范变换（gauge transformation），而 Λ(r)\Lambda(\mathbf{r}) 称为规范函数。关于规范变换和规范函数，在以后的章节中我们还会深入讨论。

Part 3 含时电磁场

前面我们仅仅讨论了静电场和静磁场的情况，我们得到如下的两条方程：

∇⋅E(r,t)=1ϵ0ρ(r,t)\nabla \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{\epsilon_0} \rho(\mathbf{r}, t)

∇⋅B(r,t)=0\nabla \cdot \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) = 0

我们看到，在这种情况下，E(r)\mathbf{E}(\mathbf{r}) 和 B(r)\mathbf{B}(\mathbf{r}) 是彼此独立的。为了将二者联系起来，我们需要考虑随时间改变的电磁场的情况。为此，我们可以借助法拉第的电磁感应定律

E(t)=−dΦB(t)dt.\mathcal{E}(t) = - \frac{d\Phi_B(t)}{dt}.

对于空间中一个给定的回路 CC，上式两边的电动势 E(t)\mathcal{E}(t) 和磁通量 ΦB(t)\Phi_B(t) 可以写作

E(t)=∮CE(r,t)⋅dl,\mathcal{E}(t) = \oint_C \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) \cdot d\mathbf{l},

以及

ΦB(t)=∫SB(r,t)⋅dS.\Phi_B(t) = \int_S \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) \cdot d\mathbf{S}.

这里，SS 为由回路 CC 界定的一个曲面。将之代入法拉第定律后，我们有

∮CE(r,t)⋅dl=−ddt∫SB(r,t)⋅dS=−∫S∂B(r,t)∂t⋅dS.\oint_C \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) \cdot d\mathbf{l} = - \frac{d}{dt} \int_S \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) \cdot d\mathbf{S} = - \int_S \frac{\partial \mathbf{B}(\mathbf{r}, t)}{\partial t} \cdot d\mathbf{S}.

对此方程的左边使用斯托克斯公式后，我们进一步得到

∫S(∇×E(r,t))⋅dS=−∫S∂B(r,t)∂t⋅dS,\int_S (\nabla \times \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)) \cdot d\mathbf{S} = - \int_S \frac{\partial \mathbf{B}(\mathbf{r}, t)}{\partial t} \cdot d\mathbf{S},

或是

∇×E(r,t)=−∂B(r,t)∂t.\nabla \times \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = - \frac{\partial \mathbf{B}(\mathbf{r}, t)}{\partial t}.

此即法拉第定律的微分形式。与静电场的情况不同，现在电场强度的旋度不再为零。

综上所述，麦克斯韦将已知的电磁规律可以归纳为四个方程

∇⋅E(r,t)=1ϵ0ρ(r,t),∇×E(r,t)=−∂B(r,t)∂t,∇⋅B(r,t)=0,∇×B(r,t)=μ0j(r,t).\begin{aligned} \nabla \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) &= \frac{1}{\epsilon_0} \rho(\mathbf{r}, t), \quad \nabla \times \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = - \frac{\partial \mathbf{B}(\mathbf{r}, t)}{\partial t}, \\\\ \nabla \cdot \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) &= 0, \quad \nabla \times \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) = \mu_0 \mathbf{j}(\mathbf{r}, t). \end{aligned}

但麦克斯韦也注意到，它们彼此之间并不自治。例如，若我们将第四式的两边取散度后有

0=∇⋅(∇×B(r,t))=μ0∇⋅j(r,t).0 = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{B}(\mathbf{r}, t)) = \mu_0 \nabla \cdot \mathbf{j}(\mathbf{r}, t).

另一方面，根据连续性方程，我们又有

∇⋅j(r,t)=−∂ρ(r,t)∂t,\nabla \cdot \mathbf{j}(\mathbf{r}, t) = - \frac{\partial \rho(\mathbf{r}, t)}{\partial t},

一般来说并不为零。为了消除这一不自治之处，麦克斯韦又注意到，若将 Maxwell 方程组中的第一式的两边对时间求导的话，则

ϵ0∇⋅∂E(r,t)∂t=∂ρ(r,t)∂t\epsilon_0 \nabla \cdot \frac{\partial \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)}{\partial t} = \frac{\partial \rho(\mathbf{r}, t)}{\partial t}

成立。因此他提议将第四式修改为

∇×B(r,t)=μ0j(r,t)+μ0ϵ0∂E(r,t)∂t.\nabla \times \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) = \mu_0 \mathbf{j}(\mathbf{r}, t) + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)}{\partial t}.

现在再对此式两边求散度的话，我们有

∇⋅(∇×B(r,t))=∇⋅(μ0j(r,t)+μ0ϵ0∂E(r,t)∂t)=μ0(∇⋅j(r,t)+ϵ0∇⋅∂E(r,t)∂t)=μ0(−∂ρ(r,t)∂t+∂ρ(r,t)∂t)=0,\begin{aligned} &\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{B}(\mathbf{r}, t)) = \nabla \cdot \left( \mu_0 \mathbf{j}(\mathbf{r}, t) + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)}{\partial t} \right) \\\\ &= \mu_0 \left( \nabla \cdot \mathbf{j}(\mathbf{r}, t) + \epsilon_0 \nabla \cdot \frac{\partial \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)}{\partial t} \right) = \mu_0 \left( - \frac{\partial \rho(\mathbf{r}, t)}{\partial t} + \frac{\partial \rho(\mathbf{r}, t)}{\partial t} \right) = 0, \end{aligned}

从而消除了上述的不自治之处。同时，麦克斯韦将 ϵ0∂E(r,t)∂t\epsilon_0 \dfrac{\partial \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)}{\partial t} 称为位移电流密度（displacement current density）。

由此，在 1862 年麦克斯韦提出了以他的名字命名的方程组

∇⋅E(r,t)=1ϵ0ρ(r,t),∇×E(r,t)=−∂B(r,t)∂t,∇⋅B(r,t)=0,∇×B(r,t)=μ0j(r,t)+μ0ϵ0∂E(r,t)∂t,\begin{aligned} \nabla \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) &= \frac{1}{\epsilon_0} \rho(\mathbf{r}, t), \quad \nabla \times \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = - \frac{\partial \mathbf{B}(\mathbf{r}, t)}{\partial t}, \\\\ \nabla \cdot \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) &= 0, \quad \nabla \times \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) = \mu_0 \mathbf{j}(\mathbf{r}, t) + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)}{\partial t}, \end{aligned}

从而完成了经典电动力学的最后建立。

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