外观
Chapter 5 刚体
约 6699 字大约 22 分钟
2025-10-13
Part 1 质心参考系
· 推导
在第三章中,我们已经介绍了有关多质点体系的质心的定义以及质心运动定理。按照定义,在实验室系中,质心的位置和速度由关系式
RC=∑imi∑imiri,VC=∑imi∑imiFi=∑imi∑imivi=MP
给出。而质心运动则由下式
Fall=MaC=Mdt2d2RC
决定。除此之外,我们还证明了 König 定理
Ek=EkC+Ek′=21MVC2+21i∑mivi′2.
现在,我们再对角动量证明类似的关系
L=LC+L′=MRC×VC+i∑miri′×vi′
成立。
/proof/
按照角动量的定义,我们有
L=i=1∑Nmiri×vi=i=1∑Nmi(ri′+RC)×(vi′+VC)
=i=1∑Nmiri′×vi′+i=1∑Nmiri′×VC+i=1∑NmiRC×vi′+i=1∑NmiRC×VC.
又由于
i=1∑Nmiri′=i=1∑Nmiri−i=1∑NmiRC=MRC−MRC=0,
i=1∑Nmivi′=i=1∑Nmivi−i=1∑NmiVC=MVC−MVC=0,
我们最后得到
L=i=1∑Nmiri′×vi′+i=1∑NmiRC×VC=L′+MRC×VC=L′+LC.
我们引入质心的概念,主要是为了建立质心参照系做准备。所谓质心系,就是质心在其中静止的参照系。显然,在没有外力的情况下,这是一个惯性系。而在有外力存在的情况下,它是一个非惯性系。
又由于质心是一个点,没有内部结构,故在实验室系中不呈现自身的转动。因此,质心参照系必定是相对于实验室系作平动的参照系。特别要强调一点的是,质心参照系的原点并不一定非要取在质心上。
无论是有无外力,下面的命题都成立。
(1) 在质心系中,体系动能的改变满足方程
dEk=dwin+dwout.
当质心系为一惯性系,这一命题是显然成立的。而当质心系为非惯性系时,我们有
dEk=dwin+dwout+dwinertia.
这里, dwinertia 代表惯性力作功的贡献。但是由于
dwinertia=i=1∑Nmi(−aC)⋅dri′=−aC⋅d(i=1∑Nmiri′)=−aC⋅d(MRC′),
而在质心系中, RC′ 又是一个不变的向量,即 dRC′=0 ,故 dwinertia=0
(2) 在质心系中,若取 RC′=0 ,则体系角动量的改变满足方程
dtdL′=Mout′.
这里, Mout′ 为相对于质心的合外力矩。
事实上,按照定义,我们有
dtdL′=Mout′+Minertia′,
而
Minertia′=i∑ri′×mi(−aC)=i∑miri′×(−aC)=0×(−aC)=0.
因此,命题成立。
· 例题
考虑一个具有 N 个质点的封闭体系。假设质点之间的万有引力是线性的,即
F=−Gm1m2r.
不考虑质点间相互碰撞的可能性。试求在质点系中各个质点的运动轨道和周期。
由于没有外力,质心系是一个惯性系。将质心取作原点。对于第 i 个质点,我们有牛顿方程
midt2d2ri′=j=i∑(−Gmimj(ri′−rj′))=j=i∑Gmimjrj′−j=i∑Gmimjri′
=(j=1∑NGmimjrj′−Gmi2ri′)−(j=1∑NGmimjri′−Gmi2ri′)
=Gmij=1∑Nmjrj′−Gmiri′j=1∑Nmj+Gmi2ri′
=GmiMRC′−GmiMri′.
由于 RC′=0 ,我们最后得到
midt2d2ri′=−GmiMri′.
上面的结果表明,在质心系中,第 i 个质点所受到的合力可以等效于系统质心对其的引力。因此,它对于质心的角动量是守恒的。也就是说,它是在包含质心的一个平面中运动的。我们可以在这个平面中建立一个直角坐标系。在这个坐标系下,可以写成如下的分量形式
midt2d2xi′=−GmiMxi′,midt2d2yi′=−GmiMyi′.
这些方程具有形式
dt2d2ξ+ω2ξ=0.
在文献中,这一方程被称为简谐振子方程。其通解可以被写作
ξ(t)=ξ0cos(ωt+ϕ0).
这里, ξ0>0 和 ω>0 是正的实常数,分别被称为简谐振子的振幅和角频率。而角度 −π≤ϕ0≤π 为简谐振子的初始相位。由此我们得到
xi′(t)=A1cos(ωt+ϕ1),yi′(t)=A2cos(ωt+ϕ2).
为了求得质点 i 的运动轨迹,我们需要从这两个方程中消去时间参数 t 。为此,我们先将这两个方程改写作
A1xi′(t)=cos(ωt+ϕ1)=cosωtcosϕ1−sinωtsinϕ1,
A2yi′(t)=cos(ωt+ϕ2)=cosωtcosϕ2−sinωtsinϕ2.
我们要从这一联立方程组中解出 cosωt 和 sinωt 。利用行列式解法,我们先计算
Δ=cosϕ1cosϕ2−sinϕ1−sinϕ2=−cosϕ1sinϕ2+sinϕ1cosϕ2=sin(ϕ1−ϕ2),
Δ1=xi′(t)yi′(t)−sinϕ1−sinϕ2=−A1xi′(t)sinϕ2+A2yi′(t)sinϕ1,
Δ2=cosϕ1cosϕ2xi′(t)yi′(t)=A2yi′(t)cosϕ1−A1xi′(t)cosϕ2.
因此,我们得到
cosωt=ΔΔ1=sin(ϕ1−ϕ2)1(−A1xi′(t)sinϕ2+A2yi′(t)sinϕ1),
sinωt=ΔΔ2=sin(ϕ1−ϕ2)1(−A1xi′(t)cosϕ2+A2yi′(t)cosϕ1).
两式平方后再相加给出
1=sin2(ϕ1−ϕ2)1(A12xi′2+A22yi′2+A1A22xi′yi′(sinϕ1sinϕ2+cosϕ1cosϕ2)),
或是
sin2(ϕ1−ϕ2)=A12xi′2+A22yi′2−A1A22xi′yi′cos(ϕ1−ϕ2).
这是一个椭圆方程。而第 i 个质点的运动周期则由公式
T=ω2π=GM2π
给出。
Part 2 定轴转动
· 转动惯量
刚体的运动可以分为平动和转动。我们先来研究转动。
刚体最简单的转动形式是绕着空间中某一根固定轴的转动。此时,刚体上任一点 ri 处的速度可以写作
vi=ω×ri=ωRier.
这里, Ri 为该点到转动轴的距离,而 er 则为切线方向,由右手螺旋法则来定。因此,整个刚体的动能可以写作
Ek=i∑21mivi2=21i∑miω2Ri2=21ω2i∑miRi2≡21ω2I.
这里, I=∑imiRi2 被称为刚体相对于该转动轴的转动惯量。
同理,对于体系的总角动量,我们有
L=i∑ri×(mivi)=i∑Ri×(mivi)+i∑zik×(mivi).
这里,我们用到了向量分解关系 ri=Ri+zik 。上式的第一项求和结果是一个平行于转动轴的向量,记作
Lz=i∑Ri×(mivi)=i∑RimiωRi=i∑Ri2miω=ωI.
而第二项则是垂直于转动轴的向量。
我们看到,对于刚体的定轴转动而言,转动惯量 I 是一个重要的物理量。下面,让我们分别计算几种常见的刚体的转动惯量。
/example/ 考虑一质量为 m ,长度为 l 的匀质细杆,旋转轴垂直于杆穿过质心
则其转动惯量
IC=∫−2l2l(ρdx)x2=∫−2l2llmx2dx=lm∫−2l2lx2dx
=lm31x3−2l2l=lm[(2l)3−(−2l)3]=3l2ml3=121ml2.
同理,我们可以得到,对于垂直于杆但穿过杆的一端 A 的转动轴而言,杆的转动惯量为
IA=∫0l(ρdx)x2=∫0llmx2dx=lm∫0lx2dx=lm31x30l=lm31l3=31ml2.
/example/ 考虑一质量为 m ,半径为 R 的匀质圆盘,旋转轴垂直于圆盘并穿过圆心,
其转动惯量为
IC=∫0R(ρ2πrdr)r2=2πρ∫0Rr3dr=2ππR2m∫0Rr3dr
=R22m41r40R=2R2mR4=21mR2.
刚体是一种特殊的多粒子体系。因此,它的运动仍然满足质心运动定理
Fall=MaC=Mdt2d2RC,
动能定理
Wout=Ek2−Ek1=21Iω22−21Iω12,
以及角动量定理
dtdLz=Idtdω=Iβ=Mroutz.
这里,我们就不一一赘述了。
· 平行轴定理
利用刚体动能在实验室系和质心系中所满足的关系
Ek=EkC+Ek′,
证明所谓平行轴定理:设 MN 为刚体的一条转动轴,而 PQ 为穿过刚体质心且与 MN 平行的另外一条轴。则相对于这两条轴的刚体的转动惯量 IMN 和 IPQ 满足恒等式
IMN=IPQ+Md2.
这里, M 为刚体的总质量。而 d 则为两轴之间的距离。
设刚体绕固定轴 MN 转动的角速度为 ω ,则刚体在实验室系的动能为
Ek=21IMNω2.
而质心的速度和动能则为
VC=ωd,EkC=21MVC2=21Md2ω2.
至于刚体在质心系中的动能则为其在该系中绕轴 PQ 的转动能。考虑到在质心系中刚体的转动角速度仍为 ω ,我们有
Ek′=21IPQω2.
将这些表达式代入方程,我们即可得到
21IMNω2=21Md2ω2+21IPQω2.
将方程两边同时除以 ω2/2 后,我们得到方程
IMN=IPQ+Md2.
对于质量为 m ,长度为 l 的匀质细杆,我们有
IPQ=IC=121ml2.
而对于垂直于杆并穿过杆的一端 A 的转动轴,我们有
IA=IPQ=31ml2.
二者之差为
IA−IC=31ml2−121ml2=4l2m=(2l)2m.
而质心 C 到端 A 的距离正好是 2ll 。
Part 3 平面运动
· 刚体运动学描述
任取刚体上的两点 A 和 B 。我们有
VB=VA+ωA×RBA,VA=VB+ωB×RAB=VB−ωB×RBA.
比较两式,我们得到
ωA×RBA=ωB×RBA.
由于 A 和 B 两点是任意的,故我们进一步有
ωA=ωB.
既相对于任何转动轴,刚体运动的角速度是一样的。
现在,我们取定刚体中一点 A 。则在实验室参照系中,总会存在一点 M ,其在时刻 t 的速度
VM=VA+ω×RMA=0.
这一点,称为 t 时刻的刚体瞬时转动中心。为了确定其位置,我们可以将上式两边同时与 t 时刻的刚体角速度 ω(t) 做直乘。由此我们得到
0=ω(t)×VA(t)+ω(t)×(ω(t)×RMA)
=ω(t)×VA(t)+ω2(t)(ω(t)⋅RMA)−(ω(t)⋅ω(t))RMA(t)
=ω(t)×VA(t)−ω2(t)RMA(t).
从这一方程,我们解得
RMA(t)=ω2(t)1ω(t)×VA(t).
从上面我们可以看到, RMA 总是与 VA 垂直的。因此,若我们能找到刚体上的两点 A 和 B ,它们在 t 时刻具有不共线的速度 VA 和 VB ,则我们可以利用作图法决定瞬时转动中心的位置 M 。在瞬时转动中心确定以后,刚体上任一点 P 在时刻 t 的速度可以写作
VP=VM+ω(t)×RPM=ω(t)×RPM.
而过 M 的转动轴也称为瞬时转动轴。
需要强调一点的是,瞬时转动中心在时刻 t 的速度按照定义为零,但其加速度并不一定为零。
· 瞬时转动轴定理
刚体在做平面运动时,其瞬心位置是随时间改变的。因此,刚体相对于瞬时轴的转动惯量也会随时间改变。将 t 时刻外力对于瞬时转动轴的力矩之和记作 Mout,M 。则我们有
Mout,M=IMβ+21ωdtdIM
成立。
证: 首先,任取与刚体一起运动的参照系上的固定一点 Mˉ (不一定是瞬时转动中心)。在随 Mˉ 点运动的参照系中,我们有
IMˉω¨=Mout,Mˉ+i=1∑Nri×mi(−aMˉ).
这里, aMˉ 为 Mˉ 点在实验室系中的加速度。相对于 Mˉ 点而言,质心的速度为
VC=ω×rC.
因此,反过来,在质心系中, Mˉ 点的速度为
vMˉ′=ω×(−rC).
而它相对于实验室系的速度为
vMˉ=vMˉ′+VC=ω×(−rC)+VC.
将之对于时间求导后,我们得到
aMˉ=v˙Mˉ=dtd[ω×(−rC)]+dtdVC=ω˙×(−rC)+ω×(−r˙C)+V˙C=ω˙×(−rC)+ω×(−ω×rC)+VC=ω˙×(−rC)+ω×[−(ω×rC)]+VC=−ω˙×rC−ω(ω⋅rC)+ω2rC+VC.
将 aMˉ 代入方程
IMˉω¨=Mout,Mˉ+i=1∑Nri×mi(−aMˉ).
后,我们有
IMˉω¨=Mout,Mˉ+mrC×(−aMˉ)=Mout,Mˉ+mrC×(−ω˙×rC−ω2rC+VC)=Mout,Mˉ−mrC×(ω˙×rC)−mrC×ω2rC+Mout,Mˉ=Mout,Mˉ+mrC2ω˙−m(rC⋅ω˙)rC−mrC×VC=Mout,Mˉ+mrC2ω˙−mrC×VC.
为了求得最后一项,我们现在取 Mˉ 点为 t 时刻的瞬时转动中心 M 点,并利用过 M 点的垂直轴为瞬时转动轴这一事实。也就是说,我们有
vM=vM′+vC=ω×(−rC)+vC=0.
由此,我们解得
vC=ω×rC.
对于时间求导后,我们有
v˙C=ω˙×rC+ω×r˙C.
将它代入后,我们得到
IMω¨=M外,M+mrC2ω¨−mrC×(ω˙×r˙C)−mrC×(ω×r˙C)=Mout,M+mrC2ω¨+m(rC⋅ω¨)rC−mω(rC⋅r˙C)+m(rC⋅ω)r˙C=Mout,M−mω(rC⋅r˙C)=Mout,M−21mωdtdrC2=Mout,M−21ωdtd(mrC2)=Mout,M−21ωdtdIM=Mout,M−21ωdtdIM.
将此式右边的第二项移到左边之后,我们即可得到瞬时转动轴定理。
Part 4 刚体的定点转动
· 转动惯量张量
上面,我们讨论了刚体在平面,也就是二维空间中的运动。在三维空间中,刚体所能做的最简单的转动为定点转动。此时,我们可以将刚体的运动视作绕原点的转动。而刚体上每一点的速度都可以写作
vi(t)=ωi(t)×ri(t).
下面,我们要论证,角速度 ωi(t) 实际上是一个不依赖于位置的向量。既我们有
ωi(t)=ω(t)
成立。
任取两个点 ri 和 rj 。先假设它们是共线的。既 ri(t)=αrj(t) 。这里, α 是一个实常数。取对于时间的导数后,我们有
vi=r˙i(t)=αr˙j(t)=αvj(t).
由此我们得到
vi=ωi(t)×ri(t)=α[ωj(t)×rj(t)]=ωj(t)×(αrj(t))=ωj(t)×ri(t).
因此,我们有
ωi(t)=ωj(t).
若 ri 与 rj 不共线,则我们必须将刚体的约束条件考虑进来。此时,速度 vi 和 vj 在两点的连线方向上的投影应该是一样的。即我们有
vj⋅(rj−ri)=vi⋅(rj−ri),
或是
vj⋅rj−vj⋅ri=vi⋅rj−vi⋅ri.
由于 vi⊥ri , vj⊥rj ,我们得到
vj⋅ri+vi⋅rj=0,
或是
(ωj×rj)⋅ri+(ωi×ri)⋅rj=ωj⋅(rj×ri)+ωi⋅(ri×rj)
=ωj⋅(rj×ri)−ωi⋅(rj×ri)=(ωj−ωi)⋅(rj×ri)=0.
由于 rj×ri 的任意性,我们得出结论
ωj=ωi.
显然,在定点转动的情况下,通过原点 O 并与 ω(t) 平行的直线既是瞬时转动轴。在此轴的各点处,速度皆为零。但是加速度不一定为零。
由于定点转动时的角速度是向量。它们的加法满足熟知的平行四边形法则。因此,在实验室系中取好直角坐标系后,做定点转动的刚体的角动量可以被写作
L=i∑ri×(mivi)=i∑miri×(ω(t)×ri)=i∑mi[(ω(t)⋅ri)ri−riω(t)⋅ri]=i∑mi[(ωxi+ωyj+ωzk)(xi2+yi2+zi2)−(xii+yij+zik)(ωxxi+ωyyi+ωzzi)]
比较两边的分量后,我们有
Lx=Ixxωx+Ixyωy+Ixzωz,Ly=Iyxωx+Iyyωy+Iyzωz,
Lz=Izxωx+Izyωy+Izzωz.
这里,
Ixx=i∑mi(ri2−xi2)=i∑mi(yi2+zi2)=∭ρ(x,y,z)(y2+z2)dxdydz,Iyy=i∑mi(ri2−yi2)=i∑mi(xi2+zi2)=∭ρ(x,y,z)(x2+z2)dxdydz,Izz=i∑mi(ri2−zi2)=i∑mi(xi2+yi2)=∭ρ(x,y,z)(x2+y2)dxdydz,Ixy=−i∑mixiyi=−∭ρ(x,y,z)xydxdydz,Ixz=−i∑mixizi=−∭ρ(x,y,z)xzdxdydz,Iyx=−i∑miyixi=−∭ρ(x,y,z)yxdxdydz,Iyz=−i∑miyizi=−∭ρ(x,y,z)yzdxdydz,Izx=−i∑mizixi=−∭ρ(x,y,z)zxdxdydz,Izy=−i∑miziyi=−∭ρ(x,y,z)zydxdydz.
利用矩阵的记号,我们现在可以将上述方程改写作
LxLyLz=IxxIyxIzxIxyIyyIzyIxzIyzIzzωxωyωz.
其中的 3×3 的矩阵,在文献中被称为转动惯量张量。它是实对称矩阵。当刚体的质量分布具有某些对称性的时候,它的形式可以被简化。
· 例题
对于均匀分布的球体,我们有
Ixx=Iyy=Izz=I,
和
Ixy=Ixz=⋯=Izx=Izy=0.
而对于一个对称陀螺,我们则有
Ixx=Iyy=I1,Izz=I2,
和
Ixy=Ixz=⋯=Izx=Izy=0.
以对称陀螺为例。当陀螺的旋转轴与 z 轴重合时,我们有
ω=ωzk.
因此,其角动量为
LxLyLz=I1000I1000I300ω=00I3ω,
或是
L=I3ω.
由于刚体的总角速度是一个向量,通常它可以被分解成几个分角速度之和。即我们有
ω=j∑Kωj,
相应地,刚体的总角动量可以被写作
L=i=1∑Nmiri×vi=i=1∑Nmiri×(ω×ri)=i=1∑Nmiri×(j=1∑Kωj×ri)=j=1∑K[i=1∑Nmiri×(ωj×ri)]=j=1∑KLj.
这里,
Lj=i=1∑Nmiri×(ωj×ri)
是刚体由于角速度分量 ωj 所导致的角动量。
例如,陀螺的定点转动角速度可以分解为自转角速度,进动角速度和章动角速度。我们先考察自转轴为水平方向,进动方向竖直向上。
为了方便,我们取 y-轴与自转轴重合,并设其转动惯量为 Ic 。因此,由自转角速度 ωs 引起的角动量为
Ls=Isωs=Isj.
而进动角速度则为
Ω=Ωk,
方向沿 z- 轴。由它引起的角动量 LΩ 由下式
LxLyLz=IˉxxIˉyxIˉzxIˉxyIˉyyIˉzyIˉxzIˉyzIˉzz00Ω=IˉxzΩIˉyzΩIˉzzΩ,
或是
LΩ=IˉzzΩi+IˉyzΩj+IˉzzΩk.
另外一方面,利用陀螺的对称性,我们可以很容易地看到
Iˉxz=Iˉyz=0.
因此,我们最后有
LΩ=IˉzzΩk.
在稳定转动的情况下, LΩ 是恒定的,而 Ls 则绕着 z- 轴做进动。这一进动所需要的外力矩是由过陀螺质心的重力矩提供的。
既我们有
dtdLs=Mgravity=−mglci.
另一方面,我们从图中看出
dtdLs=−LsΩi.
比较两式后,我们得到
LsΩ=mglc,
或是
Ω=Lsmglc=Isωsmglc.
而陀螺在固定点处所受外力的竖直分量为 N⊥=mg ,其水平分量则提供刚体质心的向心加速度。因此,我们有
N∥=−mlcΩ2j=−Is2ωs2m3g2lc3j.
它是一个其方向随陀螺一起转动的水平力。
若陀螺的自转轴倾斜向上,我们可以将其自转轴取作 y'- 轴,建立一个相对于地面系的新的坐标系。此时,我们有
ωs=ωsj′,Ω=Ωk=Ωsinϕi′+Ωcosϕk′,
而总角速度 Ω=ωs+Ω 则可以写作
Ω=(ωs+Ωsinϕ)j′+Ωcosϕk′=ω′+Ω′.
相应的角动量则为
L总=L′+LΩ=Is(ωs+Ωsinϕ)j′+IˉzzΩcosϕk′.
Lall 对于地面坐标系中 y -轴的分量为
L总y=L′cosϕ−LΩ′sinϕ=Isωscosϕ+(Is−Iˉzz)Ωcosϕsinϕ.
其变化是由通过陀螺质心的重力矩引起的。如同上面的计算所示,我们有
dtdLally=−LallyΩ=−(Isωscosϕ+(Is−Iˉzz)Ωcosϕsinϕ)Ω=−mglccosϕ,
或是
(Isωs+(Is−Iˉzz)Ωsinϕ)Ω=mglc.
这是没有章动时,稳定状态下进动角速度所满足的代数方程。
如果开始时刚体的进动角速度 Ω 较小,在 Δt 时间间隔内, Ly 由 Δt 引起的变化量 ΔLy 小于 Δt 时间内重力提供的力矩 MΔt ,换句话说,除了使得 Ly 增长外,剩余的重力矩还可以引起沿 x -轴负方向逐渐增大的角动量 −Lx 。
当 Ly 或是 Ω 增大到一定程度后, ΔLy 将大于 MΔt 。此时,陀螺的向下转动将被遏止,改为反向朝上转动。既它获得一个沿 x -轴的角动量 Lx 。这样的过程往复进行,形成所谓章动。
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2025/11/28 06:02
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