Part 1 质心参考系

· 推导

在第三章中，我们已经介绍了有关多质点体系的质心的定义以及质心运动定理。按照定义，在实验室系中，质心的位置和速度由关系式

$$\mathbf{R}_C = \frac{\sum_i m_i \mathbf{r}_i}{\sum_i m_i}, \quad \mathbf{V}_C = \frac{\sum_i m_i \mathbf{F}_i}{\sum_i m_i} = \frac{\sum_i m_i \mathbf{v}_i}{\sum_i m_i} = \frac{\mathbf{P}}{M}$$

给出。而质心运动则由下式

$$\mathbf{F}_{\text{all}} = M \mathbf{a}_C = M \frac{d^2 \mathbf{R}_C}{dt^2}$$

决定。除此之外，我们还证明了 König 定理

$$E_k = E_{kC} + E'_k = \frac{1}{2} M V_C^2 + \frac{1}{2} \sum_i m_i v_i'^2.$$

现在，我们再对角动量证明类似的关系

$$\mathbf{L} = \mathbf{L}_C + \mathbf{L}' = M \mathbf{R}_C \times \mathbf{V}_C + \sum_i m_i \mathbf{r}'_i \times \mathbf{v}'_i$$

成立。

/proof/

按照角动量的定义，我们有

$$\mathbf{L} = \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{r}_i \times \mathbf{v}_i = \sum_{i=1}^{N} m_i (\mathbf{r}'_i + \mathbf{R}_C) \times (\mathbf{v}'_i + \mathbf{V}_C)$$

$$= \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{r}'_i \times \mathbf{v}'_i + \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{r}'_i \times \mathbf{V}_C + \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{R}_C \times \mathbf{v}'_i + \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{R}_C \times \mathbf{V}_C.$$

又由于

$$\sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{r}'_i = \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{r}_i - \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{R}_C = M \mathbf{R}_C - M \mathbf{R}_C = 0,$$

$$\sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{v}'_i = \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{v}_i - \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{V}_C = M \mathbf{V}_C - M \mathbf{V}_C = 0,$$

我们最后得到

$$\mathbf{L} = \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{r}'_i \times \mathbf{v}'_i + \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{R}_C \times \mathbf{V}_C = \mathbf{L}' + M \mathbf{R}_C \times \mathbf{V}_C = \mathbf{L}' + \mathbf{L}_C.$$

我们引入质心的概念，主要是为了建立质心参照系做准备。所谓质心系，就是质心在其中静止的参照系。显然，在没有外力的情况下，这是一个惯性系。而在有外力存在的情况下，它是一个非惯性系。

又由于质心是一个点，没有内部结构，故在实验室系中不呈现自身的转动。因此，质心参照系必定是相对于实验室系作平动的参照系。特别要强调一点的是，质心参照系的原点并不一定非要取在质心上。

无论是有无外力，下面的命题都成立。

(1) 在质心系中，体系动能的改变满足方程

$$dE_k = dw_{\text{in}} + dw_{\text{out}}.$$

当质心系为一惯性系，这一命题是显然成立的。而当质心系为非惯性系时，我们有

$$dE_k = dw_{\text{in}} + dw_{\text{out}} + dw_{\text{inertia}}.$$

这里， $dw_{\text{inertia}}$ 代表惯性力作功的贡献。但是由于

$$dw_{\text{inertia}} = \sum_{i=1}^{N} m_i (-\mathbf{a}_C) \cdot d\mathbf{r}'_i = -\mathbf{a}_C \cdot d \left( \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{r}'_i \right) = -\mathbf{a}_C \cdot d(M \mathbf{R}'_C),$$

而在质心系中， $\mathbf{R}'_C$ 又是一个不变的向量，即 $d\mathbf{R}'_C = 0$ ，故 $dw_{\text{inertia}} = 0$

(2) 在质心系中，若取 $\mathbf{R}'_C = 0$ ，则体系角动量的改变满足方程

$$\frac{d\mathbf{L}'}{dt} = \mathbf{M}'_{\text{out}}.$$

这里， $\mathbf{M}'_{\text{out}}$ 为相对于质心的合外力矩。

事实上，按照定义，我们有

$$\frac{d\mathbf{L}'}{dt} = \mathbf{M}'_{\text{out}} + \mathbf{M}'_{\text{inertia}},$$

而

$$\mathbf{M}'_{\text{inertia}} = \sum_i \mathbf{r}'_i \times m_i (-\mathbf{a}_C) = \sum_i m_i \mathbf{r}'_i \times (-\mathbf{a}_C) = \vec{0} \times (-\mathbf{a}_C) = \vec{0}.$$

因此，命题成立。

· 例题

考虑一个具有 $N$ 个质点的封闭体系。假设质点之间的万有引力是线性的，即

$$\mathbf{F} = -G m_1 m_2 \mathbf{r}.$$

不考虑质点间相互碰撞的可能性。试求在质点系中各个质点的运动轨道和周期。

由于没有外力，质心系是一个惯性系。将质心取作原点。对于第 $i$ 个质点，我们有牛顿方程

$$m_i \frac{d^2 \mathbf{r}'_i}{dt^2} = \sum_{j \neq i} (-G m_i m_j (\mathbf{r}'_i - \mathbf{r}'_j)) = \sum_{j \neq i} G m_i m_j \mathbf{r}'_j - \sum_{j \neq i} G m_i m_j \mathbf{r}'_i$$

$$= \left( \sum_{j=1}^{N} G m_i m_j \mathbf{r}'_j - G m_i^2 \mathbf{r}'_i \right) - \left( \sum_{j=1}^{N} G m_i m_j \mathbf{r}'_i - G m_i^2 \mathbf{r}'_i \right)$$

$$= G m_i \sum_{j=1}^{N} m_j \mathbf{r}'_j - G m_i \mathbf{r}'_i \sum_{j=1}^{N} m_j + G m_i^2 \mathbf{r}'_i$$

$$= G m_i M \mathbf{R}'_C - G m_i M \mathbf{r}'_i.$$

由于 $\mathbf{R}'_C = 0$ ，我们最后得到

$$m_i \frac{d^2 \mathbf{r}'_i}{dt^2} = -G m_i M \mathbf{r}'_i.$$

上面的结果表明，在质心系中，第 $i$ 个质点所受到的合力可以等效于系统质心对其的引力。因此，它对于质心的角动量是守恒的。也就是说，它是在包含质心的一个平面中运动的。我们可以在这个平面中建立一个直角坐标系。在这个坐标系下，可以写成如下的分量形式

$$m_i \frac{d^2 x'_i}{dt^2} = -G m_i M x'_i, \quad m_i \frac{d^2 y'_i}{dt^2} = -G m_i M y'_i.$$

这些方程具有形式

$$\frac{d^2 \xi}{dt^2} + \omega^2 \xi = 0.$$

在文献中，这一方程被称为简谐振子方程。其通解可以被写作

$$\xi(t) = \xi_0 \cos(\omega t + \phi_0).$$

这里， $\xi_0 > 0$ 和 $\omega > 0$ 是正的实常数，分别被称为简谐振子的振幅和角频率。而角度 $-\pi \leq \phi_0 \leq \pi$ 为简谐振子的初始相位。由此我们得到

$$x'_i(t) = A_1 \cos(\omega t + \phi_1), \quad y'_i(t) = A_2 \cos(\omega t + \phi_2).$$

为了求得质点 $i$ 的运动轨迹，我们需要从这两个方程中消去时间参数 $t$ 。为此，我们先将这两个方程改写作

$$\frac{x'_i(t)}{A_1} = \cos(\omega t + \phi_1) = \cos \omega t \cos \phi_1 - \sin \omega t \sin \phi_1,$$

$$\frac{y'_i(t)}{A_2} = \cos(\omega t + \phi_2) = \cos \omega t \cos \phi_2 - \sin \omega t \sin \phi_2.$$

我们要从这一联立方程组中解出 $\cos \omega t$ 和 $\sin \omega t$ 。利用行列式解法，我们先计算

$$\Delta = \begin{vmatrix} \cos \phi_1 & -\sin \phi_1 \\ \cos \phi_2 & -\sin \phi_2 \end{vmatrix} = -\cos \phi_1 \sin \phi_2 + \sin \phi_1 \cos \phi_2 = \sin(\phi_1 - \phi_2),$$

$$\Delta_1 = \begin{vmatrix} x'_i(t) & -\sin \phi_1 \\ y'_i(t) & -\sin \phi_2 \end{vmatrix} = -\frac{x'_i(t)}{A_1} \sin \phi_2 + \frac{y'_i(t)}{A_2} \sin \phi_1,$$

$$\Delta_2 = \begin{vmatrix} \cos \phi_1 & x'_i(t) \\ \cos \phi_2 & y'_i(t) \end{vmatrix} = \frac{y'_i(t)}{A_2} \cos \phi_1 - \frac{x'_i(t)}{A_1} \cos \phi_2.$$

因此，我们得到

$$\cos \omega t = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{1}{\sin(\phi_1 - \phi_2)} \left( -\frac{x'_i(t)}{A_1} \sin \phi_2 + \frac{y'_i(t)}{A_2} \sin \phi_1 \right),$$

$$\sin \omega t = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{1}{\sin(\phi_1 - \phi_2)} \left( -\frac{x'_i(t)}{A_1} \cos \phi_2 + \frac{y'_i(t)}{A_2} \cos \phi_1 \right).$$

两式平方后再相加给出

$$1 = \frac{1}{\sin^2(\phi_1 - \phi_2)} \left( \frac{x'^2_i}{A_1^2} + \frac{y'^2_i}{A_2^2} + \frac{2 x'_i y'_i}{A_1 A_2} (\sin \phi_1 \sin \phi_2 + \cos \phi_1 \cos \phi_2) \right),$$

或是

$$\sin^2(\phi_1 - \phi_2) = \frac{x'^2_i}{A_1^2} + \frac{y'^2_i}{A_2^2} - \frac{2 x'_i y'_i}{A_1 A_2} \cos(\phi_1 - \phi_2).$$

这是一个椭圆方程。而第 $i$ 个质点的运动周期则由公式

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{GM}}$$

给出。

Part 2 定轴转动

· 转动惯量

刚体的运动可以分为平动和转动。我们先来研究转动。

刚体最简单的转动形式是绕着空间中某一根固定轴的转动。此时，刚体上任一点 $\mathbf{r}_i$ 处的速度可以写作

$$\mathbf{v}_i = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_i = \omega R_i \mathbf{e}_r.$$

这里， $R_i$ 为该点到转动轴的距离，而 $\mathbf{e}_r$ 则为切线方向，由右手螺旋法则来定。因此，整个刚体的动能可以写作

$$E_k = \sum_i \frac{1}{2} m_i v_i^2 = \frac{1}{2} \sum_i m_i \omega^2 R_i^2 = \frac{1}{2} \omega^2 \sum_i m_i R_i^2 \equiv \frac{1}{2} \omega^2 I.$$

这里， $I = \sum_i m_i R_i^2$ 被称为刚体相对于该转动轴的转动惯量。

同理，对于体系的总角动量，我们有

$$\mathbf{L} = \sum_i \mathbf{r}_i \times (m_i \mathbf{v}_i) = \sum_i \mathbf{R}_i \times (m_i \mathbf{v}_i) + \sum_i z_i \mathbf{k} \times (m_i \mathbf{v}_i).$$

这里，我们用到了向量分解关系 $\mathbf{r}_i = \mathbf{R}_i + z_i \mathbf{k}$ 。上式的第一项求和结果是一个平行于转动轴的向量，记作

$$L_z = \sum_i \mathbf{R}_i \times (m_i \mathbf{v}_i) = \sum_i R_i m_i \omega R_i = \sum_i R_i^2 m_i \omega = \omega I.$$

而第二项则是垂直于转动轴的向量。

我们看到，对于刚体的定轴转动而言，转动惯量 $I$ 是一个重要的物理量。下面，让我们分别计算几种常见的刚体的转动惯量。

/example/ 考虑一质量为 $m$ ，长度为 $l$ 的匀质细杆，旋转轴垂直于杆穿过质心

则其转动惯量

$$I_C = \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} (\rho dx) x^2 = \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{m}{l} x^2 dx = \frac{m}{l} \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} x^2 dx$$

$$= \frac{m}{l} \frac{1}{3} x^3 \bigg|_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} = \frac{m}{l} \left[ \left(\frac{l}{2}\right)^3 - \left(-\frac{l}{2}\right)^3 \right] = \frac{2m l^3}{3l} = \frac{1}{12} m l^2.$$

同理，我们可以得到，对于垂直于杆但穿过杆的一端 $A$ 的转动轴而言，杆的转动惯量为

$$I_A = \int_0^l (\rho dx) x^2 = \int_0^l \frac{m}{l} x^2 dx = \frac{m}{l} \int_0^l x^2 dx = \frac{m}{l} \frac{1}{3} x^3 \bigg|_0^l = \frac{m}{l} \frac{1}{3} l^3 = \frac{1}{3} m l^2.$$

/example/ 考虑一质量为 $m$ ，半径为 $R$ 的匀质圆盘，旋转轴垂直于圆盘并穿过圆心，

其转动惯量为

$$I_C = \int_0^R (\rho 2\pi r dr) r^2 = 2\pi \rho \int_0^R r^3 dr = 2\pi \frac{m}{\pi R^2} \int_0^R r^3 dr$$

$$= \frac{2m}{R^2} \frac{1}{4} r^4 \bigg|_0^R = \frac{m}{2R^2} R^4 = \frac{1}{2} m R^2.$$

刚体是一种特殊的多粒子体系。因此，它的运动仍然满足质心运动定理

$$\mathbf{F}_{\text{all}} = M \mathbf{a}_C = M \frac{d^2 \mathbf{R}_C}{dt^2},$$

动能定理

$$W_{\text{out}} = E_{k2} - E_{k1} = \frac{1}{2} I \omega_2^2 - \frac{1}{2} I \omega_1^2,$$

以及角动量定理

$$\frac{dL_z}{dt} = I \frac{d\omega}{dt} = I \beta = M \mathbf{r}_{\text{out}}^z.$$

这里，我们就不一一赘述了。

· 平行轴定理

利用刚体动能在实验室系和质心系中所满足的关系

$$E_k = E_{kC} + E'_k,$$

证明所谓平行轴定理：设 $\overline{MN}$ 为刚体的一条转动轴，而 $\overline{PQ}$ 为穿过刚体质心且与 $\overline{MN}$ 平行的另外一条轴。则相对于这两条轴的刚体的转动惯量 $I_{MN}$ 和 $I_{PQ}$ 满足恒等式

$$I_{MN} = I_{PQ} + M d^2.$$

这里， $M$ 为刚体的总质量。而 $d$ 则为两轴之间的距离。

设刚体绕固定轴 $\overline{MN}$ 转动的角速度为 $\omega$ ，则刚体在实验室系的动能为

$$E_k = \frac{1}{2} I_{MN} \omega^2.$$

而质心的速度和动能则为

$$V_C = \omega d, \quad E_{kC} = \frac{1}{2} M V_C^2 = \frac{1}{2} M d^2 \omega^2.$$

至于刚体在质心系中的动能则为其在该系中绕轴 $PQ$ 的转动能。考虑到在质心系中刚体的转动角速度仍为 $\omega$ ，我们有

$$E'_k = \frac{1}{2} I_{PQ} \omega^2.$$

将这些表达式代入方程，我们即可得到

$$\frac{1}{2} I_{MN} \omega^2 = \frac{1}{2} M d^2 \omega^2 + \frac{1}{2} I_{PQ} \omega^2.$$

将方程两边同时除以 $\omega^2/2$ 后，我们得到方程

$$I_{MN} = I_{PQ} + M d^2.$$

对于质量为 $m$ ，长度为 $l$ 的匀质细杆，我们有

$$I_{PQ} = I_C = \frac{1}{12} m l^2.$$

而对于垂直于杆并穿过杆的一端 $A$ 的转动轴，我们有

$$I_A = I_{PQ} = \frac{1}{3} m l^2.$$

二者之差为

$$I_A - I_C = \frac{1}{3} m l^2 - \frac{1}{12} m l^2 = \frac{l^2}{4} m = \left(\frac{l}{2}\right)^2 m.$$

而质心 $C$ 到端 $A$ 的距离正好是 $\frac{l}{2} l$ 。

Part 3 平面运动

· 刚体运动学描述

任取刚体上的两点 $A$ 和 $B$ 。我们有

$$\mathbf{V}_B = \mathbf{V}_A + \vec{\omega}_A \times \mathbf{R}_{BA}, \quad \mathbf{V}_A = \mathbf{V}_B + \vec{\omega}_B \times \mathbf{R}_{AB} = \mathbf{V}_B - \vec{\omega}_B \times \mathbf{R}_{BA}.$$

比较两式，我们得到

$$\vec{\omega}_A \times \mathbf{R}_{BA} = \vec{\omega}_B \times \mathbf{R}_{BA}.$$

由于 $A$ 和 $B$ 两点是任意的，故我们进一步有

$$\vec{\omega}_A = \vec{\omega}_B.$$

既相对于任何转动轴，刚体运动的角速度是一样的。

现在，我们取定刚体中一点 $A$ 。则在实验室参照系中，总会存在一点 $M$ ，其在时刻 $t$ 的速度

$$\mathbf{V}_M = \mathbf{V}_A + \vec{\omega} \times \mathbf{R}_{MA} = 0.$$

这一点，称为 $t$ 时刻的刚体瞬时转动中心。为了确定其位置，我们可以将上式两边同时与 $t$ 时刻的刚体角速度 $\vec{\omega}(t)$ 做直乘。由此我们得到

$$0 = \vec{\omega}(t) \times \mathbf{V}_A(t) + \vec{\omega}(t) \times (\vec{\omega}(t) \times \mathbf{R}_{MA})$$

$$= \vec{\omega}(t) \times \mathbf{V}_A(t) + \vec{\omega}^2(t) (\vec{\omega}(t) \cdot \mathbf{R}_{MA}) - (\vec{\omega}(t) \cdot \vec{\omega}(t)) \mathbf{R}_{MA}(t)$$

$$= \vec{\omega}(t) \times \mathbf{V}_A(t) - \omega^2(t) \mathbf{R}_{MA}(t).$$

从这一方程，我们解得

$$\mathbf{R}_{MA}(t) = \frac{1}{\omega^2(t)} \vec{\omega}(t) \times \mathbf{V}_A(t).$$

从上面我们可以看到， $\mathbf{R}_{MA}$ 总是与 $\mathbf{V}_A$ 垂直的。因此，若我们能找到刚体上的两点 $A$ 和 $B$ ，它们在 $t$ 时刻具有不共线的速度 $\mathbf{V}_A$ 和 $\mathbf{V}_B$ ，则我们可以利用作图法决定瞬时转动中心的位置 $M$ 。在瞬时转动中心确定以后，刚体上任一点 $P$ 在时刻 $t$ 的速度可以写作

$$\mathbf{V}_P = \mathbf{V}_M + \vec{\omega}(t) \times \mathbf{R}_{PM} = \vec{\omega}(t) \times \mathbf{R}_{PM}.$$

而过 $M$ 的转动轴也称为瞬时转动轴。

需要强调一点的是，瞬时转动中心在时刻 $t$ 的速度按照定义为零，但其加速度并不一定为零。

· 瞬时转动轴定理

刚体在做平面运动时，其瞬心位置是随时间改变的。因此，刚体相对于瞬时轴的转动惯量也会随时间改变。将 $t$ 时刻外力对于瞬时转动轴的力矩之和记作 $\mathbf{M}_{\text{out},M}$ 。则我们有

$$\mathbf{M}_{\text{out},M} = I_M \beta + \frac{1}{2} \omega \frac{dI_M}{dt}$$

成立。

证: 首先，任取与刚体一起运动的参照系上的固定一点 $\bar{M}$ (不一定是瞬时转动中心)。在随 $\bar{M}$ 点运动的参照系中，我们有

$$I_{\bar{M}} \ddot{\vec{\omega}} = \mathbf{M}_{\text{out},\bar{M}} + \sum_{i=1}^{N} \mathbf{r}_i \times m_i (-\mathbf{a}_{\bar{M}}).$$

这里， $\mathbf{a}_{\bar{M}}$ 为 $\bar{M}$ 点在实验室系中的加速度。相对于 $\bar{M}$ 点而言，质心的速度为

$$\mathbf{V}_C = \vec{\omega} \times \mathbf{r}_C.$$

因此，反过来，在质心系中， $\bar{M}$ 点的速度为

$$\mathbf{v}'_{\bar{M}} = \vec{\omega} \times (-\mathbf{r}_C).$$

而它相对于实验室系的速度为

$$\mathbf{v}_{\bar{M}} = \mathbf{v}'_{\bar{M}} + \mathbf{V}_C = \vec{\omega} \times (-\mathbf{r}_C) + \mathbf{V}_C.$$

将之对于时间求导后，我们得到

$$\begin{align*} \mathbf{a}_{\bar{M}} &= \dot{\mathbf{v}}_{\bar{M}} = \frac{d}{dt} [\vec{\omega} \times (-\mathbf{r}_C)] + \frac{d}{dt} \mathbf{V}_C\\ &= \dot{\vec{\omega}} \times (-\mathbf{r}_C) + \vec{\omega} \times (-\dot{\mathbf{r}}_C) + \dot{\mathbf{V}}_C\\ &= \dot{\vec{\omega}} \times (-\mathbf{r}_C) + \vec{\omega} \times (-\vec{\omega} \times \mathbf{r}_C) + \mathbf{V}_C\\ &= \dot{\vec{\omega}} \times (-\mathbf{r}_C) + \vec{\omega} \times [-(\vec{\omega} \times \mathbf{r}_C)] + \mathbf{V}_C\\ &= -\dot{\vec{\omega}} \times \mathbf{r}_C - \vec{\omega} (\vec{\omega} \cdot \mathbf{r}_C) + \omega^2 \mathbf{r}_C + \mathbf{V}_C. \end{align*}$$

将 $\mathbf{a}_{\bar{M}}$ 代入方程

$$I_{\bar{M}} \ddot{\vec{\omega}} = \mathbf{M}_{\text{out},\bar{M}} + \sum_{i=1}^{N} \mathbf{r}_i \times m_i (-\mathbf{a}_{\bar{M}}).$$

后，我们有

$$\begin{align*} I_{\bar{M}} \ddot{\vec{\omega}} &= \mathbf{M}_{\text{out},\bar{M}} + m \mathbf{r}_C \times (-\mathbf{a}_{\bar{M}})\\ &= \mathbf{M}_{\text{out},\bar{M}} + m \mathbf{r}_C \times (-\dot{\vec{\omega}} \times \mathbf{r}_C - \vec{\omega}^2 \mathbf{r}_C + \mathbf{V}_C)\\ &= \mathbf{M}_{\text{out},\bar{M}} - m \mathbf{r}_C \times (\dot{\vec{\omega}} \times \mathbf{r}_C) - m \mathbf{r}_C \times \vec{\omega}^2 \mathbf{r}_C + \mathbf{M}_{\text{out},\bar{M}} \\ &= \mathbf{M}_{\text{out},\bar{M}} + m r_C^2 \dot{\vec{\omega}} - m (\mathbf{r}_C \cdot \dot{\vec{\omega}}) \mathbf{r}_C - m r_C \times \mathbf{V}_C\\ &= \mathbf{M}_{\text{out},\bar{M}} + m r_C^2 \dot{\vec{\omega}} - m r_C \times \mathbf{V}_C. \end{align*}$$

为了求得最后一项，我们现在取 $\bar{M}$ 点为 $t$ 时刻的瞬时转动中心 $M$ 点，并利用过 $M$ 点的垂直轴为瞬时转动轴这一事实。也就是说，我们有

$$\mathbf{v}_M = \mathbf{v}'_M + \mathbf{v}_C = \vec{\omega} \times (-\mathbf{r}_C) + \mathbf{v}_C = 0.$$

由此，我们解得

$$\mathbf{v}_C = \vec{\omega} \times \mathbf{r}_C.$$

对于时间求导后，我们有

$$\dot{\mathbf{v}}_C = \dot{\vec{\omega}} \times \mathbf{r}_C + \vec{\omega} \times \dot{\mathbf{r}}_C.$$

将它代入后，我们得到

$$\begin{align*} I_M \ddot{\vec{\omega}} &= \mathbf{M}_{\text{外},M} + m r_C^2 \ddot{\vec{\omega}} - m r_C \times (\dot{\vec{\omega}} \times \dot{\mathbf{r}}_C) - m r_C \times (\vec{\omega} \times \dot{\mathbf{r}}_C)\\ &= \mathbf{M}_{\text{out},M} + m r_C^2 \ddot{\vec{\omega}} + m (\mathbf{r}_C \cdot \ddot{\vec{\omega}}) \mathbf{r}_C - m \vec{\omega} (\mathbf{r}_C \cdot \dot{\mathbf{r}}_C) + m (\mathbf{r}_C \cdot \vec{\omega}) \dot{\mathbf{r}}_C \\ &= \mathbf{M}_{\text{out},M} - m \vec{\omega} (\mathbf{r}_C \cdot \dot{\mathbf{r}}_C) = \mathbf{M}_{\text{out},M} - \frac{1}{2} m \vec{\omega} \frac{d r_C^2}{dt}\\ &= \mathbf{M}_{\text{out},M} - \frac{1}{2} \vec{\omega} \frac{d}{dt} (m r_C^2) = \mathbf{M}_{\text{out},M} - \frac{1}{2} \vec{\omega} \frac{d I_M}{dt}\\ &= \mathbf{M}_{\text{out},M} - \frac{1}{2} \vec{\omega} \frac{d I_M}{dt}. \end{align*}$$

将此式右边的第二项移到左边之后，我们即可得到瞬时转动轴定理。

Part 4 刚体的定点转动

· 转动惯量张量

上面，我们讨论了刚体在平面，也就是二维空间中的运动。在三维空间中，刚体所能做的最简单的转动为定点转动。此时，我们可以将刚体的运动视作绕原点的转动。而刚体上每一点的速度都可以写作

$$\mathbf{v}_i(t) = \vec{\omega}_i(t) \times \mathbf{r}_i(t).$$

下面，我们要论证，角速度 $\vec{\omega}_i(t)$ 实际上是一个不依赖于位置的向量。既我们有

$$\vec{\omega}_i(t) = \vec{\omega}(t)$$

成立。

任取两个点 $\mathbf{r}_i$ 和 $\mathbf{r}_j$ 。先假设它们是共线的。既 $\mathbf{r}_i(t) = \alpha \mathbf{r}_j(t)$ 。这里， $\alpha$ 是一个实常数。取对于时间的导数后，我们有

$$\mathbf{v}_i = \dot{\mathbf{r}}_i(t) = \alpha \dot{\mathbf{r}}_j(t) = \alpha \mathbf{v}_j(t).$$

由此我们得到

$$\mathbf{v}_i = \vec{\omega}_i(t) \times \mathbf{r}_i(t) = \alpha [\vec{\omega}_j(t) \times \mathbf{r}_j(t)] = \vec{\omega}_j(t) \times (\alpha \mathbf{r}_j(t)) = \vec{\omega}_j(t) \times \mathbf{r}_i(t).$$

因此，我们有

$$\vec{\omega}_i(t) = \vec{\omega}_j(t).$$

若 $\mathbf{r}_i$ 与 $\mathbf{r}_j$ 不共线，则我们必须将刚体的约束条件考虑进来。此时，速度 $\mathbf{v}_i$ 和 $\mathbf{v}_j$ 在两点的连线方向上的投影应该是一样的。即我们有

$$\mathbf{v}_j \cdot (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_i) = \mathbf{v}_i \cdot (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_i),$$

或是

$$\mathbf{v}_j \cdot \mathbf{r}_j - \mathbf{v}_j \cdot \mathbf{r}_i = \mathbf{v}_i \cdot \mathbf{r}_j - \mathbf{v}_i \cdot \mathbf{r}_i.$$

由于 $\mathbf{v}_i \perp \mathbf{r}_i$ , $\mathbf{v}_j \perp \mathbf{r}_j$ ，我们得到

$$\mathbf{v}_j \cdot \mathbf{r}_i + \mathbf{v}_i \cdot \mathbf{r}_j = 0,$$

或是

$$(\vec{\omega}_j \times \mathbf{r}_j) \cdot \mathbf{r}_i + (\vec{\omega}_i \times \mathbf{r}_i) \cdot \mathbf{r}_j = \vec{\omega}_j \cdot (\mathbf{r}_j \times \mathbf{r}_i) + \vec{\omega}_i \cdot (\mathbf{r}_i \times \mathbf{r}_j)$$

$$= \vec{\omega}_j \cdot (\mathbf{r}_j \times \mathbf{r}_i) - \vec{\omega}_i \cdot (\mathbf{r}_j \times \mathbf{r}_i) = (\vec{\omega}_j - \vec{\omega}_i) \cdot (\mathbf{r}_j \times \mathbf{r}_i) = 0.$$

由于 $\mathbf{r}_j \times \mathbf{r}_i$ 的任意性，我们得出结论

$$\vec{\omega}_j = \vec{\omega}_i.$$

显然，在定点转动的情况下，通过原点 $O$ 并与 $\vec{\omega}(t)$ 平行的直线既是瞬时转动轴。在此轴的各点处，速度皆为零。但是加速度不一定为零。

由于定点转动时的角速度是向量。它们的加法满足熟知的平行四边形法则。因此，在实验室系中取好直角坐标系后，做定点转动的刚体的角动量可以被写作

$$\begin{align*} \mathbf{L} &= \sum_i \mathbf{r}_i \times (m_i \mathbf{v}_i) = \sum_i m_i \mathbf{r}_i \times (\vec{\omega}(t) \times \mathbf{r}_i) = \sum_i m_i \left[ (\vec{\omega}(t) \cdot \mathbf{r}_i) \mathbf{r}_i - \mathbf{r}_i \vec{\omega}(t) \cdot \mathbf{r}_i \right]\\ &= \sum_i m_i \left[ (\omega_x \mathbf{i} + \omega_y \mathbf{j} + \omega_z \mathbf{k}) (x_i^2 + y_i^2 + z_i^2) \right. \left. - (x_i \mathbf{i} + y_i \mathbf{j} + z_i \mathbf{k}) (\omega_x x_i + \omega_y y_i + \omega_z z_i) \right] \end{align*}$$

比较两边的分量后，我们有

$$L_x = I_{xx} \omega_x + I_{xy} \omega_y + I_{xz} \omega_z, \quad L_y = I_{yx} \omega_x + I_{yy} \omega_y + I_{yz} \omega_z,$$

$$L_z = I_{zx} \omega_x + I_{zy} \omega_y + I_{zz} \omega_z.$$

这里，

$$I_{xx} = \sum_i m_i (r_i^2 - x_i^2) = \sum_i m_i (y_i^2 + z_i^2) = \iiint \rho(x,y,z)(y^2 + z^2) dxdydz, \\ I_{yy} = \sum_i m_i (r_i^2 - y_i^2) = \sum_i m_i (x_i^2 + z_i^2) = \iiint \rho(x,y,z)(x^2 + z^2) dxdydz, \\ I_{zz} = \sum_i m_i (r_i^2 - z_i^2) = \sum_i m_i (x_i^2 + y_i^2) = \iiint \rho(x,y,z)(x^2 + y^2) dxdydz, \\ I_{xy} = -\sum_i m_i x_i y_i = -\iiint \rho(x,y,z) xy dxdydz, \\ I_{xz} = -\sum_i m_i x_i z_i = -\iiint \rho(x,y,z) xz dxdydz, \\ I_{yx} = -\sum_i m_i y_i x_i = -\iiint \rho(x,y,z) yx dxdydz, \\ I_{yz} = -\sum_i m_i y_i z_i = -\iiint \rho(x,y,z) yz dxdydz, \\ I_{zx} = -\sum_i m_i z_i x_i = -\iiint \rho(x,y,z) zx dxdydz, \\ I_{zy} = -\sum_i m_i z_i y_i = -\iiint \rho(x,y,z) zy dxdydz.$$

利用矩阵的记号，我们现在可以将上述方程改写作

$$\begin{pmatrix} L_x \\ L_y \\ L_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{pmatrix}.$$

其中的 $3 \times 3$ 的矩阵，在文献中被称为转动惯量张量。它是实对称矩阵。当刚体的质量分布具有某些对称性的时候，它的形式可以被简化。

· 例题

对于均匀分布的球体，我们有

$$I_{xx} = I_{yy} = I_{zz} = I,$$

和

$$I_{xy} = I_{xz} = \cdots = I_{zx} = I_{zy} = 0.$$

而对于一个对称陀螺，我们则有

$$I_{xx} = I_{yy} = I_1, \quad I_{zz} = I_2,$$

和

$$I_{xy} = I_{xz} = \cdots = I_{zx} = I_{zy} = 0.$$

以对称陀螺为例。当陀螺的旋转轴与 $z$ 轴重合时，我们有

$$\vec{\omega} = \omega_z \mathbf{k}.$$

因此，其角动量为

$$\begin{pmatrix} L_x \\ L_y \\ L_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_1 & 0 & 0 \\ 0 & I_1 & 0 \\ 0 & 0 & I_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \omega \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ I_3 \omega \end{pmatrix},$$

或是

$$\mathbf{L} = I_3 \vec{\omega}.$$

由于刚体的总角速度是一个向量，通常它可以被分解成几个分角速度之和。即我们有

$$\vec{\omega} = \sum_j^K \vec{\omega}_j,$$

相应地，刚体的总角动量可以被写作

$$\begin{align*} \mathbf{L} &= \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{r}_i \times \mathbf{v}_i = \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{r}_i \times (\vec{\omega} \times \mathbf{r}_i) \\ &= \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{r}_i \times \left( \sum_{j=1}^{K} \vec{\omega}_j \times \mathbf{r}_i \right) = \sum_{j=1}^{K} \left[ \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{r}_i \times (\vec{\omega}_j \times \mathbf{r}_i) \right] \\ &= \sum_{j=1}^{K} \mathbf{L}_j. \end{align*}$$

这里，

$$\mathbf{L}_j = \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{r}_i \times (\vec{\omega}_j \times \mathbf{r}_i)$$

是刚体由于角速度分量 $\vec{\omega}_j$ 所导致的角动量。

例如，陀螺的定点转动角速度可以分解为自转角速度，进动角速度和章动角速度。我们先考察自转轴为水平方向，进动方向竖直向上。

为了方便，我们取 y-轴与自转轴重合，并设其转动惯量为 $I_c$ 。因此，由自转角速度 $\vec{\omega}_s$ 引起的角动量为

$$\mathbf{L}_s = I_s \vec{\omega}_s = I_s \mathbf{j}.$$

而进动角速度则为

$$\vec{\Omega} = \Omega \mathbf{k},$$

方向沿 z- 轴。由它引起的角动量 $\mathbf{L}_\Omega$ 由下式

$$\begin{pmatrix} L_x \\ L_y \\ L_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bar{I}_{xx} & \bar{I}_{xy} & \bar{I}_{xz} \\ \bar{I}_{yx} & \bar{I}_{yy} & \bar{I}_{yz} \\ \bar{I}_{zx} & \bar{I}_{zy} & \bar{I}_{zz} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \Omega \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bar{I}_{xz} \Omega \\ \bar{I}_{yz} \Omega \\ \bar{I}_{zz} \Omega \end{pmatrix},$$

或是

$$\mathbf{L}_\Omega = \bar{I}_{zz} \Omega \mathbf{i} + \bar{I}_{yz} \Omega \mathbf{j} + \bar{I}_{zz} \Omega \mathbf{k}.$$

另外一方面，利用陀螺的对称性，我们可以很容易地看到

$$\bar{I}_{xz} = \bar{I}_{yz} = 0.$$

因此，我们最后有

$$\mathbf{L}_\Omega = \bar{I}_{zz} \Omega \mathbf{k}.$$

在稳定转动的情况下， $\mathbf{L}_\Omega$ 是恒定的，而 $\mathbf{L}_s$ 则绕着 z- 轴做进动。这一进动所需要的外力矩是由过陀螺质心的重力矩提供的。

既我们有

$$\frac{d\mathbf{L}_s}{dt} = \mathbf{M}_{\text{gravity}} = -mgl_c \mathbf{i}.$$

另一方面，我们从图中看出

$$\frac{d\mathbf{L}_s}{dt} = -L_s \Omega \mathbf{i}.$$

比较两式后，我们得到

$$L_s \Omega = mgl_c,$$

或是

$$\Omega = \frac{mgl_c}{L_s} = \frac{mgl_c}{I_s \omega_s}.$$

而陀螺在固定点处所受外力的竖直分量为 $N_\perp = mg$ ，其水平分量则提供刚体质心的向心加速度。因此，我们有

$$\mathbf{N}_\parallel = -m l_c \Omega^2 \mathbf{j} = -\frac{m^3 g^2 l_c^3}{I_s^2 \omega_s^2} \mathbf{j}.$$

它是一个其方向随陀螺一起转动的水平力。

若陀螺的自转轴倾斜向上，我们可以将其自转轴取作 y'- 轴，建立一个相对于地面系的新的坐标系。此时，我们有

$$\vec{\omega}_s = \omega_s \mathbf{j}', \quad \vec{\Omega} = \Omega \mathbf{k} = \Omega \sin \phi \mathbf{i}' + \Omega \cos \phi \mathbf{k}',$$

而总角速度 $\vec{\Omega} = \vec{\omega}_s + \vec{\Omega}$ 则可以写作

$$\vec{\Omega} = (\omega_s + \Omega \sin \phi) \mathbf{j}' + \Omega \cos \phi \mathbf{k}' = \vec{\omega}' + \vec{\Omega}'.$$

相应的角动量则为

$$\mathbf{L}_{\text{总}} = \mathbf{L}' + \mathbf{L}_\Omega = I_s (\omega_s + \Omega \sin \phi) \mathbf{j}' + \bar{I}_{zz} \Omega \cos \phi \mathbf{k}'.$$

$\mathbf{L}_{\text{all}}$ 对于地面坐标系中 $y$ -轴的分量为

$$L^y_{\text{总}} = L' \cos \phi - L'_{\Omega} \sin \phi = I_s \omega_s \cos \phi + (I_s - \bar{I}_{zz}) \Omega \cos \phi \sin \phi.$$

其变化是由通过陀螺质心的重力矩引起的。如同上面的计算所示，我们有

$$\frac{d L^y_{\text{all}}}{dt} = -L^y_{\text{all}} \Omega = -(I_s \omega_s \cos \phi + (I_s - \bar{I}_{zz}) \Omega \cos \phi \sin \phi) \Omega = -mgl_c \cos \phi,$$

或是

$$(I_s \omega_s + (I_s - \bar{I}_{zz}) \Omega \sin \phi) \Omega = mgl_c.$$

这是没有章动时，稳定状态下进动角速度所满足的代数方程。

如果开始时刚体的进动角速度 $\Omega$ 较小，在 $\Delta t$ 时间间隔内， $L_y$ 由 $\Delta t$ 引起的变化量 $\Delta L_y$ 小于 $\Delta t$ 时间内重力提供的力矩 $M \Delta t$ ，换句话说，除了使得 $L_y$ 增长外，剩余的重力矩还可以引起沿 $x$ -轴负方向逐渐增大的角动量 $-L_x$ 。

当 $L_y$ 或是 $\Omega$ 增大到一定程度后， $\Delta L_y$ 将大于 $M \Delta t$ 。此时，陀螺的向下转动将被遏止，改为反向朝上转动。既它获得一个沿 $x$ -轴的角动量 $L_x$ 。这样的过程往复进行，形成所谓章动。

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