Chapter 10 电磁感应

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2025-10-13

Part 1 恒定磁场

我们高中都学过磁场的相关公式：

F_m = qvB\sin\alpha

\vec{F}_m = q\vec{v} \times \vec{B}

B = \frac{F_m}{qv\sin\alpha}

磁感应强度 $B$ 单位为特斯拉 (T)，1T = 10000G（高斯）

但是要仿照磁场研究，我们就有类似库仑定律的磁力定义方式。当然我们知道磁荷不存在，所以要提出安培分子电流假说：

分子电流相当于一个基元磁体，当物质中的分子电流规则排列时，物质就具有磁性。

一段段的小电流接续形成一个大的环形电流，从一端看是 N 极，从另一端看是 S 极。这个假说也能说明不存在磁单极子。因为一个磁极对应一面，存在一面就必然存在另一面。

现代理论表明，分子内电子的运动形成了分子电流，从而产生了物质的磁性。所有的磁现象都可以归结为运动电荷之间的相互作用，磁力是运动电荷相互作用的表现。

磁荷观点（磁的库仑定律）：两点磁荷之间的相互作用力 (方向沿连线)
$F = \frac{1}{4\pi\mu_0} \frac{q_{m1} q_{m2}}{r^2}$
磁荷意义下，磁场强度的定义
$\vec{H} = \frac{1}{4\pi\mu_0} \frac{q_m}{r^3} \vec{r}$
电流观点（安培定律）： 两电流元之间相互作用力
$dF_{12} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I_1 I_2 (d\vec{l}_2 \times \vec{dl_1} \times \hat{r}_{12})}{r_{12}^2}$
不一定大小相等、方向相反，也不一定沿连线。

我们也可以由安培定理推出“比萨定律”

· Biot-Savart Law

关于一些参数做出说明：
$K = \frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7},\quad \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ \text{N} \cdot \text{A}^{-2}$
我们知道真空磁导率满足：
$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$
由此电磁理论统一

由电场库伦定律：

\vec{E}_i = \frac{\vec{F}_i}{q_0} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_i q_0}{r_i^3} \vec{r}_i = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_i}{r_i^3} \vec{r}_i

根据叠加原理：

\vec{E} = \sum_{i=1}^{n} \vec{E}_i = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_i}{r_i^3} \vec{r}_i

根据磁场安培定律：

d\vec{F}_{12} = K \frac{I_2 d\vec{l}_2 \times (I_1 d\vec{l}_1 \times \vec{r}_{12})}{r_{12}^3}

视 $I_2 d\vec{l}_2$ 为检验电流元：

d\vec{F}_{12} = I_2 d\vec{l}_2 \times \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I_1 d\vec{l}_1 \times \vec{r}_{12}}{r_{12}^3} \right)

= I_2 d\vec{l}_2 \times d\vec{B}_1

对回路1用叠加原理

\vec{F}_{12} = \oint_{L_1} d\vec{F}_{12} = I_2 d\vec{l}_2 \times \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{L_1} \frac{I_1 d\vec{l}_1 \times \vec{r}_{12}}{r_{12}^3} \right)

\vec{F}_{12} = I_2 d\vec{l}_2 \times \vec{B}_1

对上述括号去掉下标取微分部分，得到电流元在r处的场强

d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}

对电流回路积分（叠加原理）

\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_L \frac{I d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_L \frac{I d\vec{l} \times \vec{r}_0}{r^2}

所以我们可以陈述比萨定律：

/Theorem/
真空中电流元产生的磁感应强度为：
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl \times \vec{e}_r}{r^2}$
其中， $\mu_0$ 为真空磁导率，其值为 $4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}$ 。
则 $d\vec{B}$ 的大小为
$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl \sin \theta}{r^2}$
其中， $\theta$ 为 $dl$ 与 $\vec{e}_r$ 的夹角。
因此电流元产生的磁场与电流元的大小成正比，与距离的平方成反比。
和库仑定律一样满足反比平方定律。方向由右手螺旋定则确定。

磁偶极子：

定义圆电流的磁矩为
$m = IS$
单位为 $A \cdot m^2$
由于 $S = \pi R^2$ ，结合载流圆线圈轴线上的磁场公式，得
$B = \frac{\mu_0 m}{2 \pi x^3}$
该式与静电场中的电偶极子的电场强度表达式相似，而且磁感应线分布也与电偶极子的电场线分布相似，因此我们将圆电流称为磁偶极子。

Question：载流直导线的磁场 (长度 L ,电流 I )

由 Biot-Savart Law
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl \times \vec{r}}{r^3}$
方向垂直向内
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl \cdot \sin \theta}{r^2}$ $r \sin \theta = a \Rightarrow r = \frac{a}{\sin \theta}$ $\frac{-l}{a} = \text{ctg} \theta \Rightarrow dl = \frac{ad\theta}{\sin^2 \theta}$ $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi a} \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sin \theta \, d\theta = \frac{\mu_0 I}{4\pi a} (\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
方向：右手定则
特别的： $L \rightarrow \infty$ 则 $\theta_1 = 0$ $\theta_2 = \pi$
$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}$

Question：载流圆线圈轴线上产生的磁场（R，I）

由 Biot-Savart Law
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl \times \vec{r}}{r^3}$ $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl}{r^2}$ $dB_\perp = dB \cos \theta$ $dB_\parallel = dB \sin \theta$ $B_\parallel = \oint dB_\parallel = \frac{\mu_\parallel I \sin \theta}{4\pi r^2} \cdot 2\pi R$ $B = \frac{\mu_0 IR^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$
对比电偶极子
$\vec{m} = IS\vec{n} = I\pi R^2 \vec{n}$ $\vec{B} = \frac{\mu_0 \vec{m}}{2\pi |x|^3}$ $\vec{E} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\vec{p}}{r^3}$

Question：圆弧圆电流在其曲率中心处的磁场

由 Biot-Savart Law
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl \times \vec{r}}{r^3}$
方向 ⊙
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl}{R^2}$ $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{\overset{\frown}{ab}}{R^2}$

Question：宽度为 a 的无限长金属平板，均匀通电流 I，求图中P点的磁感应强度

建立坐标系，将板细分为许多无限长直导线
每根导线宽度为 $dx$ 通电流 $i = \frac{I}{a} dx$
$dB = \frac{\mu_0 i}{2\pi x} = \frac{\mu_0 I dx}{2\pi ax}$
所有 $dB$ 的方向都一样：⊙
$B = \int_a^{a+d} \frac{\mu_0 I dx}{2\pi ax} = \frac{\mu_0 I}{2\pi a} \ln \frac{a + d}{d}$

· 高斯定理

类比于静电场中引入的电通量，定义磁场中的磁通量为

\Phi=\int \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S}

在国际单位制中，磁通量的单位是韦伯，符号是 Wb。

1\mathrm{~Wb}=1\mathrm{~T}\cdot\mathrm{m}^{2}

由于磁场线是无头无尾的闭合曲线，从封闭曲面 S 中穿出的磁场线必然会再次进入封闭曲面 S，因此磁场的高斯定理为

\iint_{\partial V} \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S}=0

或者也可表示为：

\nabla\cdot \vec{B}=0

· 安培环路定理

在静电场中，电场强度的环流等于零，即

\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0

从毕奥-萨伐尔定律可以得到安培环路定理安培环路定理的表述为：在恒定电流的磁场中，磁感应强度 $ \vec{B} $ 沿任意闭合曲线 $ L $ 的线积分（即环流）等于通过该闭合曲线内的电流代数和的 $\mu_0$ 倍。即

\oint_L \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \sum I_{\text{in}}

式中， $ \sum I_{\text{in}} $ 是通过环路 $ L $ 内的电流代数和。

电流的正负号由电流的方向决定，若电流与环路的方向一致，则电流为正，否则为负。

/proof/
若闭合曲线内包含有电流取线元 $dl$ ，在 $ O $ 点处的距离为 $r$ ，张角为 $ d\varphi $ ，与 $dl$ 的夹角为 $\theta$ 。则有
$rd\varphi = dl \cdot r = rdl \cos \theta$ $\oint_L \vec{B} \cdot d\vec{l} = \oint_L B dl \cos \theta = \oint_L B r d\varphi = \int_0^{2\pi} \frac{\mu_0 I}{2\pi r} r d\varphi = \mu_0 I$
不包含电流时可以证明积分区域是两段角度互补的区域，所以积分为零。

· 洛伦兹力

导线中的电流在磁场中受到的安培力为其中运动电荷所受洛伦兹力的宏观表现。

\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}

洛伦兹力垂直于粒子的速度 $\boldsymbol{v}$ ，故它只改变速度方向，不改变速度大小，即不做功。

带电粒子在磁场中的运动：

$\boldsymbol{v} \parallel \boldsymbol{B}$ 时，粒子做匀速直线运动。
$\boldsymbol{v} \perp \boldsymbol{B}$ 时，粒子做匀速圆周运动。
回旋半径
$R = \frac{mv}{qB}$
回旋周期
$T = \frac{2\pi m}{qB}$
回旋频率
$f = \frac{qB}{2\pi m}$
$\boldsymbol{v}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 的夹角为 $\theta$ 时，粒子做螺旋线运动。可将 $\boldsymbol{v}$ 分解为 $\boldsymbol{v_{\parallel}}$ 和 $\boldsymbol{v_{\perp}}$ 两部分
$\boldsymbol{v_{\parallel}}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 平行，不受磁场力作用，做匀速直线运动。
$\boldsymbol{v_{\perp}}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 垂直，受到磁场力作用，做匀速圆周运动。
回旋半径
$R = \frac{mv_{\perp}}{qB} = \frac{mv\sin\theta}{qB}$
螺距在一个周期内，粒子在磁场中沿轴线方向移动的距离。
$L = v_{\parallel}T = v_{\parallel} \frac{2\pi m}{qB} = \frac{2\pi m v\cos\theta}{qB}$
磁聚焦 当 $\theta$ 很小的时候， $v_{\parallel} \approx v$ ，一批带电粒子的速度分散在一定范围内，但是在磁场中运动后，速度分散减小，使得粒子聚焦在一点上。

应用：

速度选择器
速度选择器是利用带电粒子在电场和磁场中的受力情况，使得只有特定速度的粒子通过的装置。
在速度选择器中，电场和磁场的方向垂直，电场的方向与磁场的方向相同，使得带电粒子在电场中受到的电场力和磁场力相互抵消，从而只有特定速度的粒子通过。
$qE = qvB$ $v = \frac{E}{B}$
汤姆孙实验
$evB = \frac{mv^2}{r}$ $eE = evB$ $\frac{e}{m} = \frac{v}{rB} = \frac{E}{B^2r}$
质谱仪
$qvB' = m\frac{v^2}{r}$ $m = \frac{qB'r}{v} = \frac{qBB'r}{E}$
回旋加速器
$\frac{T}{2} = \frac{\pi m}{qB}$ $v = \frac{qBR}{m}$
霍尔效应
$U_H = E_Hh = v_DBh$ $I = nqv_Dbh$ $U_H = \frac{IB}{nqb}$
其中 $U_H$ 为霍尔电压， $K_H = \dfrac{1}{nq}$ 为霍尔系数，只与材料有关。

· 安培力

\boldsymbol{F} = \int I\boldsymbol{B} \times d\boldsymbol{l}

磁场对载流线圈的作用：

磁矩 $\boldsymbol{m}$ 为

\boldsymbol{m} = N I \boldsymbol{S}

磁力矩的效果是让载流线圈磁矩的方向与磁场方向一致。

\boldsymbol{M} = \boldsymbol{m} \times \boldsymbol{B}

· 磁介质

B = \mu_r B_0

磁介质：能够磁化的物质称为磁介质。磁化的磁介质要产生附加磁场 $B'$ ，对原磁场产生影响。

\frac{B}{B_0} = \mu_r

$\mu_r$ 为磁介质的相对磁导率

\quad B = B_0 \pm B'

分类：

略大于1的磁介质叫做顺磁质：氧, 铝，磁化后磁场 $B'$ 与原磁场 $B_0$ 方向相同
略小于1的磁介质叫做抗磁质：汞, 铜，磁化后磁场 $B'$ 与原磁场 $B_0$ 方向相反
远大于1的磁介质叫做铁磁质：铁, 钴, 镍, 磁化后磁场 $B'$ 与原磁场 $B_0$ 方向相同，且 $B \pm B_0$