Part 1 机械振动

· 简谐振动

让我们考虑一个与弹簧连在一起的质点在光滑桌面上的运动。假设弹簧的另外一端固定在墙壁上，而其质量可以忽略不计。若我们将弹簧未变形时质点的坐标取作 $x = 0$ ，根据 Hooke 定律，当质点运动到 $x$ 处时质点所受到的力为

$$\mathbf{F} = -kx\mathbf{i}.$$

其运动方程为

$$m \frac{d^2 x}{dt^2} = -kx,$$

或是

$$\frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{k}{m} x = \frac{d^2 x}{dt^2} + \omega_0^2 x = 0.$$

这里， $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ 称为弹簧振子的本征频率。

下面，我们再来考虑一个单摆的运动方程。我们看到，栓在长度为 $l$ 的摆线下端的小物体所受到的外力有二：一是重力 $-mg\mathbf{j}$ ，二是摆线对其的拉力 $\mathbf{T}$ 。显然，小物体做的是一个以 $O$ 点为圆心， $l$ 为半径的圆周运动。因此，它的切向加速度为

$$a_\tau = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 s}{dt^2} = l \frac{d^2 \theta}{dt^2}.$$

而合外力在切向的分量则为 $-mg \sin \theta$ 。因此，我们有牛顿方程

$$ml \frac{d^2 \theta}{dt^2} = -mg \sin \theta.$$

当小物体在其平衡点附近做微小振动时，我们近似地有 $\sin \theta \approx \theta$ 。因此，上式可以近似地写作

$$ml \frac{d^2 \theta}{dt^2} + mg \sin \theta \approx ml \frac{d^2 \theta}{dt^2} + mg \theta = 0,$$

或是

$$\frac{d^2 \theta}{dt^2} + \tilde{\omega}^2 \theta = 0.$$

这里， $\tilde{\omega} = \sqrt{\frac{g}{l}}$ 称为单摆的振动频率。

综合上面的两个例子，我们看到，有许多振动体系的运动可以由下面的微分方程

$$\frac{d^2 y(t)}{dt^2} + \Omega^2 y(t) = 0$$

来描述，这一方程称为简谐振动方程，它的通解可以写作

$$y(t) = A \cos(\Omega t + \varphi_0).$$

而相对应的运动被称之为简谐振动。依照惯例， $\Omega$ 被称为该体系的固有振动频率。它代表振子的相位在单位时间内的改变量，相应地，振子的振动周期定义作

$$T = \frac{2\pi}{\Omega}.$$

而 $A$ 和 $\varphi_0$ 则是两个需要通过振动的初始条件来确定的量，被分别称为振子的振幅和初相位。 $A$ 一般取作一个正数，而 $\varphi_0$ 的取值范围则为 $0 \leq \varphi_0 \leq 2\pi$ 。

这里，我们给出通解一个不太直接的推导。首先，我们有

$$\frac{d^2 y}{dt^2} = \dot{y} \frac{d\dot{y}}{dy} = \frac{1}{2} \frac{d\dot{y}^2}{dy}.$$

因此，方程可以改写作

$$\frac{1}{2} \frac{d\dot{y}^2}{dy} = -\Omega^2 y.$$

将此式两边积分后，我们有

$$\dot{y}^2 = -\Omega^2 y^2 + C.$$

不难看出， $C$ 是一个大于零的常数。因此，我们从上式得到

$$\dot{y} = \frac{dy}{dt} = \sqrt{(\sqrt{C})^2 - \Omega^2 y^2},$$

或是

$$\int \frac{dy}{\sqrt{(\sqrt{C})^2 - \Omega^2 y^2}} = \int dt + D = t + D.$$

为了确定起见，我们先取“+”号。利用积分公式

$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin \frac{x}{a},$$

我们立刻可得

$$\int \frac{dy}{\sqrt{(\sqrt{C})^2 - \Omega^2 y^2}} = \frac{1}{\Omega} \int \frac{dy}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{C}}{\Omega}\right)^2 - y^2}} = \frac{1}{\Omega} \arcsin \frac{\Omega y}{\sqrt{C}} = t + D.$$

由此方程，我们解得

$$y(t) = \frac{\sqrt{C}}{\Omega} \sin(\Omega t + \Omega D) = \frac{\sqrt{C}}{\Omega} \cos\left[\frac{\pi}{2} - (\Omega t + \Omega D)\right]$$

$$= \frac{\sqrt{C}}{\Omega} \cos\left[-\left(\frac{\pi}{2} - (\Omega t + \Omega D)\right)\right] = \frac{\sqrt{C}}{\Omega} \cos\left[\Omega t + (\Omega D - \frac{\pi}{2})\right].$$

现在，我们令 $A = \frac{\sqrt{C}}{\Omega}$ 及 $\varphi_0 = \Omega D - \frac{\pi}{2}$ ，则上式写成了与上面相同的形式。

至于方程中“-”号的情况，可以仿照上面的方法处理。这里不再重复。

下面，让我们看一看谐振子的机械能是如何同其振幅和频率联系在一起的。我们以弹簧振子为例。

$$\begin{align*} E &= E_K + E_P = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 + \frac{1}{2} k x^2\\ &= \frac{1}{2} m \left(A \frac{d}{dt} \cos(\Omega t + \varphi_0)\right)^2 + \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\Omega t + \varphi_0)\\ &= \frac{1}{2} m A^2 \Omega^2 \sin^2(\Omega t + \varphi_0) + \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\Omega t + \varphi_0)\\ &= \frac{1}{2} m A^2 \frac{k}{m} \sin^2(\Omega t + \varphi_0) + \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\Omega t + \varphi_0)\\ &= \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\Omega t + \varphi_0) + \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\Omega t + \varphi_0)\\ &= \frac{1}{2} k A^2.\\ \end{align*}$$

这一关系是普适的，但仅限于经典体系。今后，我们会看到，在量子体系中， $E \sim \Omega$ 。

· 简谐振动的合成

对于单个简谐振子而言，其初始相位 $\varphi_0$ 如何选取并不重要。为了简单起见，我们总可以令它为零。但是，当体系内有多于两个以上的简谐振子共同运动时，彼此之间初始相位的差就会带来影响。让我们来看几个具体的例子。

/example/ 沿彼此垂直方向作同一频率的两个简谐振动的合成

考虑二维平面内一个质点在力 $\mathbf{F} = -GMm\mathbf{r} = -kr \mathbf{r}$ 作用下的运动。在第五章中，我们已经讨论过这一问题。在直角坐标系中，质点的运动方程可以写作

$$\frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{k}{m} x = \frac{d^2 x}{dt^2} + \Omega^2 x = 0,$$

$$\frac{d^2 y}{dt^2} + \frac{k}{m} y = \frac{d^2 y}{dt^2} + \Omega^2 y = 0.$$

这一方程组的通解为

$$x(t) = A_1 \cos(\Omega t + \varphi_1),$$

$$y(t) = A_2 \cos(\Omega t + \varphi_2).$$

为了求得质点的运动轨迹，我们需要从这两个方程中消去时间参数 $t$ 。为此，我们先将这两个方程改写作

$$\frac{x}{A_1} = \cos(\Omega t + \varphi_1) = \cos \Omega t \cos \varphi_1 - \sin \Omega t \sin \varphi_1,$$

$$\frac{y}{A_2} = \cos(\Omega t + \varphi_2) = \cos \Omega t \cos \varphi_2 - \sin \Omega t \sin \varphi_2.$$

我们要从这一联立方程组中解出 $\cos \Omega t$ 和 $\sin \Omega t$ ，利用行列式解法，我们先计算

$$\Delta = \begin{vmatrix} \cos \varphi_1 & -\sin \varphi_1 \\ \cos \varphi_2 & -\sin \varphi_2 \end{vmatrix} = -\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 + \sin \varphi_1 \cos \varphi_2 = \sin(\varphi_1 - \varphi_2),$$

$$\Delta_1 = \begin{vmatrix} \frac{x}{A_1} & -\sin \varphi_1 \\ \frac{y}{A_2} & -\sin \varphi_2 \end{vmatrix} = -\frac{x}{A_1} \sin \varphi_2 + \frac{y}{A_2} \sin \varphi_1,$$

$$\Delta_2 = \begin{vmatrix} \cos \varphi_1 & \frac{x}{A_1} \\ \cos \varphi_2 & \frac{y}{A_2} \end{vmatrix} = \frac{y}{A_2} \cos \varphi_1 - \frac{x}{A_1} \cos \varphi_2.$$

因此，我们得到

$$\cos \Omega t = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{1}{\sin(\varphi_1 - \varphi_2)} \left(-\frac{x}{A_1} \sin \varphi_2 + \frac{y}{A_2} \sin \varphi_1\right),$$

$$\sin \Omega t = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{1}{\sin(\varphi_1 - \varphi_2)} \left(-\frac{x}{A_1} \cos \varphi_2 + \frac{y}{A_2} \cos \varphi_1\right).$$

两式平方后相给出

$$1 = \frac{1}{\sin^2(\varphi_1 - \varphi_2)} \left(\frac{x^2}{A_1^2} + \frac{y^2}{A_2^2} - \frac{2xy}{A_1 A_2} (\sin \varphi_1 \sin \varphi_2 + \cos \varphi_1 \cos \varphi_2)\right),$$

或是

$$\sin^2(\varphi_1 - \varphi_2) = \frac{x^2}{A_1^2} + \frac{y^2}{A_2^2} - \frac{2xy}{A_1 A_2} \cos(\varphi_1 - \varphi_2).$$

这是一个椭圆方程。显然，其具体形状要由初始相位之差 $\Delta \varphi = \varphi_1 - \varphi_2$ 来决定。我们有下面几种情况。

(1) $\Delta \varphi = 0$ 。此时，我们称两个振动同相位，并且有 $\sin \Delta \varphi = 0, \cos \Delta \varphi = 1$ 。而上面的质点运动方程则退化为

$$\left(\frac{x}{A_1} - \frac{y}{A_2}\right) = 0.$$

或是

$$\frac{x}{A_1} = \frac{y}{A_2}.$$

换句话说，质点的运动轨迹为一直线，其斜率为 $A_1/A_2$ 。

(2) 若 $\Delta \varphi = \varphi_1 - \varphi_2 = \pi$ ，我们称两个振动是反相位，并且有 $\sin \Delta \varphi = 0, \cos \Delta \varphi = -1$ 。此时，上面的质点运动方程退化为

$$\left(\frac{x}{A_1} + \frac{y}{A_2}\right) = 0,$$

或是

$$\frac{x}{A_1} = -\frac{y}{A_2},$$

质点的运动轨迹亦为一直线，但其斜率为 $-A_1/A_2$ 。

(3) 一般而言，若 $\pi > \varphi_1 - \varphi_2 > 0$ ，我们称相位 $\varphi_1$ 超前于相位 $\varphi_2$ 。而若 $-\pi < \varphi_1 - \varphi_2 < 0$ 成立，则称相位 $\varphi_1$ 落后于相位 $\varphi_2$ 。自然，若 $|\varphi_1 - \varphi_2| > \pi$ ，我们可以先减去 $2\pi$ 的一个适当的整数倍，以使得上式之一成立。

无论如何，此时质点的运动轨迹总是一个椭圆。只不过当 $\varphi_1$ 超前于相位 $\varphi_2$ 时，质点是逆时针运动；而当 $\varphi_1$ 落后于相位 $\varphi_2$ 时，质点做顺时针运动。

从这个例子，我们可以看到，两个简谐振子初始相位之差会带来明显的物理后果。为了加深印象，我们再来看另外两个例子。

(1) 质点同时参与两个同方向，同频率，但是不同振幅的简谐振动。这两个振动分别由下式给出。

$$x_1(t) = A_1 \cos(\omega t + \varphi_{10}), \quad x_2(t) = A_2 \cos(\omega t + \varphi_{20}).$$

此时，该质点的合成运动为

$$\begin{align*} x(t) &= x_1(t) + x_2(t) = A_1 \cos(\omega t + \varphi_{10}) + A_2 \cos(\omega t + \varphi_{20}) \\ &= A_1 \cos \omega t \cos \varphi_{10} - A_1 \sin \omega t \sin \varphi_{10} + A_2 \cos \omega t \cos \varphi_{20} - A_2 \sin \omega t \sin \varphi_{20} \\ &= (A_1 \cos \varphi_{10} + A_2 \cos \varphi_{20}) \cos \omega t - (A_1 \sin \varphi_{10} + A_2 \sin \varphi_{20}) \sin \omega t. \end{align*}$$

若令

$$A_1 \cos \varphi_{10} + A_2 \cos \varphi_{20} = A \cos \varphi_0, \quad A_1 \sin \varphi_{10} + A_2 \sin \varphi_{20} = A \sin \varphi_0,$$

则上式可以重新改写为

$$x(t) = A \cos \varphi_0 \cos \omega t - A \sin \varphi_0 \sin \omega t = A \cos(\omega t + \varphi_0).$$

为了明确地写出 $A$ 和 $\varphi_0$ ，我们可以把两个公式的两边平方后相加后得到

$$\begin{align*} A^2 \cos^2 \varphi_0 + A^2 \sin^2 \varphi_0 &= A^2 \\ &= (A_1 \cos \varphi_{10} + A_2 \cos \varphi_{20})^2 + (A_1 \sin \varphi_{10} + A_2 \sin \varphi_{20})^2 \\ &= A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 (\cos \varphi_{10} \cos \varphi_{20} + \sin \varphi_{10} \sin \varphi_{20})\\ &= A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\varphi_{10} - \varphi_{20}). \end{align*}$$

因此，我们有

$$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\varphi_{10} - \varphi_{20})},$$

以及

$$\tan \varphi_0 = \frac{A_1 \sin \varphi_{10} + A_2 \sin \varphi_{20}}{A_1 \cos \varphi_{10} + A_2 \cos \varphi_{20}}.$$

由此可见，在同一方向上以同一振动频率运动的两个简谐振子的合成运动仍为一简谐振动，只不过改变了振幅和初始相位。这一结果在研究声波和电磁波的干涉现象时非常有用。下面，让我们考虑几个特殊相位差的选取。

(i) 当 $\varphi_{20} - \varphi_{10} = 2n\pi$ 时， $\cos(\varphi_{20} - \varphi_{10}) = 1$ 。此时，我们有

$$A = A_2 + A_1.$$

既合成振动的振幅取极大值。

(ii) 当 $\varphi_{20} - \varphi_{10} = (2n + 1)\pi$ 时， $\cos(\varphi_{20} - \varphi_{10}) = -1$ 。此时，我们有

$$A = |A_2 - A_1|.$$

既合成振动的振幅取极小值。

(iii) 在一般情况下，我们有

$$|A_2 - A_1| < A < A_1 + A_2.$$

(2) 两个同方向运动，但是振动频率不同的简谐振动的合成。

假设同一个质点同时参与了两个同方向，但是不同频率（分别为 $\omega_1$ 和 $\omega_2$ ）的简谐振动。我们考虑质点的合成振动形式。

为了突出这一合成运动的特点，我们仅考虑最简单的情况，即假设

$$A_1 = A_2 = A, \quad \varphi_1 = \varphi_2 = 0.$$

也就是说，两个简谐振动可以写成

$$x_1(t) = A \cos \omega_1 t, \quad x_2(t) = A \cos \omega_2 t$$

的形式。因此，合成振动随时间的改变为

$$x(t) = x_1(t) + x_2(t) = A \cos \omega_1 t + A \cos \omega_2 t$$

$$= 2A \cos \left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t\right) \cos \left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2} t\right).$$

显然，这已经不再是一个简谐振动的表达式了。

一个极为重要的特例是，两个分振动的频率 $\omega_1$ 和 $\omega_2$ 都很大，但是二者之差却很小，即

$$|\omega_2 - \omega_1| \ll \omega_1 + \omega_2$$

的情况。此时，因子 $2A \cos \left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t\right)$ 随时间的改变要比因子 $\cos \left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2} t\right)$ 缓慢许多。因此，可以将合成运动近似地看作振幅按照

$$\tilde{A} \equiv 2A \cos \left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t\right)$$

规律做缓慢变化，而角频率为 $\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}$ 的“准简谐振动”。合成运动的这种合振幅时而加强，时而减弱的现象，称为“拍”。

为了研究更为一般的振动体系的运动，我们需要做一点数学准备。

(1) 简谐振动的复数表达方式

我们知道，一个复数可以被写成

$$z = re^{i\theta} = r \cos \theta + ir \sin \theta$$

的形式，特别其实部为 $r \cos \theta$ ，记作

$$\text{Re } z = r \cos \theta.$$

因此，一个简谐振动的表达式

$$x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0),$$

可以被重新写作

$$x(t) = \text{Re} \left(A e^{i\omega t + i\varphi_0}\right).$$

应用这一表达式，我们可以大大简化上面所做过的各种运算。

例如，为了计算两个简谐振动

$$x_1(t) = A_1 \cos(\omega t + \varphi_1) = \text{Re} \left(A_1 e^{i\omega t + i\varphi_1}\right),$$

$$x_2(t) = A_2 \cos(\omega t + \varphi_2) = \text{Re} \left(A_2 e^{i\omega t + i\varphi_2}\right)$$

的合成运动，我们可以先计算

$$\begin{align*} \tilde{z}(t) &= A_1 e^{i\omega t + i\varphi_1} + A_2 e^{i\omega t + i\varphi_2} = A_1 e^{i\omega t} e^{i\varphi_1} + A_2 e^{i\omega t} e^{i\varphi_2}\\ &= \left(A_1 e^{i\varphi_1} + A_2 e^{i\varphi_2}\right) e^{i\omega t}\\ & \equiv A e^{i\omega t + i\varphi}. \end{align*}$$

其中， $A$ 和 $\varphi$ 可以通过平行四边形法则来决定。我们有

$$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2 \cos[\pi - (\varphi_2 - \varphi_2)]} = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\varphi_2 - \varphi_2)},$$

而 $\varphi$ 则由下式

$$A e^{i\varphi} = A \cos \varphi + i A \sin \varphi = (A_1 \cos \varphi_1 + A_2 \cos \varphi_2) + i (A_1 \sin \varphi_1 + A_2 \sin \varphi_2)$$

来决定。比较公式两边的实部和虚部后，我们有

$$A \cos \varphi = A_1 \cos \varphi_1 + A_2 \cos \varphi_2,$$

$$A \sin \varphi = A_1 \sin \varphi_1 + A_2 \sin \varphi_2.$$

由此，我们得到

$$\tan \varphi = \frac{A_1 \sin \varphi_1 + A_2 \sin \varphi_2}{A_1 \cos \varphi_1 + A_2 \cos \varphi_2}.$$

最后，我们取 $\tilde{z}$ 的实部，从而得到合成振动的表达式。既我们有

$$x(t) = \text{Re} \, \tilde{z}(t) = A \cos(\omega t + \varphi).$$

这与我们前面得到的公式是完全一样的。

(2) 振动的傅立叶 (Fourier) 分解

上面，我们研究了简谐振动。这是一种最基本的振动形式。在实际的物理世界中，我们所遇到的周期运动往往要复杂得多。人们不禁要问，这些振动可否被分解成不同简谐振动的叠加。答案是肯定的。

法国数学家傅立叶证明了，任何一个周期函数 $f(t)$ ，若其运动周期为 $T$ ，则它可以被写作

$$f(t) = A_0 + \sum_{k=1}^{\infty} \left(A_k \cos k\omega_0 t + B_k \sin k\omega_0 t\right) = A_0 + \sum_{k=1}^{\infty} \tilde{A}_k \cos(k\omega_0 t + \varphi_k),$$

这里， $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$ ，而 $A_0$ 、 $A_k$ 和 $B_k$ 则是一些常数，称为傅立叶系数。 $\tilde{A}_k$ 和 $\varphi_k$ 则可通过关系

$$\tilde{A}_k = \sqrt{A_k^2 + B_k^2}, \quad \tan \varphi_k = -\frac{B_k}{A_k}$$

来决定。

我们不准备在这里给出这一定理的证明，而仅限于说明一下证明的思路。可以很容易地验证，三角函数系

$$1, \cos \theta, \sin \theta, \cos 2\theta, \sin 2\theta, \cdots, \cos n\theta, \sin n\theta, \cdots$$

在区间 $[- \pi, \pi]$ 上的积分分满足关系

$$\int_{-\pi}^{\pi} 1 \cdot \cos \theta d\theta = \int_{-\pi}^{\pi} 1 \cdot \sin \theta d\theta = 0,$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos m\theta \cos n\theta d\theta = \int_{-\pi}^{\pi} \sin m\theta \sin n\theta d\theta = 0,$$

若 $m \neq n$ 成立。而当 $m = n$ 时，我们有

$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 n\theta \, d\theta = \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 n\theta \, d\theta = \pi.$$

最后，对于任何 $m$ 和 $n$ ，我们都有

$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos m\theta \sin n\theta \, d\theta = 0.$$

利用这些恒等式，我们就可以唯一地定出 $f(t)$ 展开式中的傅立叶系数。它们由下式给出

$$A_0 = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) dt, \quad A_k = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos(k\omega_0 t) dt, \quad B_k = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \sin(k\omega_0 t) dt.$$

利用欧拉 (Euler) 公式

$$\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \quad \sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$$

我们可以将上式改写为

$$f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} C_k \exp(ik\omega_0 t).$$

此式中的展开系数 $C_k$ 可以由下式

$$C_k = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \exp(-ik\omega_0 t) dt$$

来决定。

总之，任何一个复杂的周期性运动都可以分解成无穷多个简谐振动的叠加。其中， $k = 1$ 的简谐振动称为基频振动。而 $k = 2, 3 \cdots$ 的简谐振动，则被称为基频振动的谐波。人们常常以这些振动的频率

$$\nu_k = \frac{k}{T}$$

为横坐标，以相应的展开系数 $C_k$ 绝对值的平方为纵坐标做图。所得到的图称为振动 $f(t)$ 的频谱分析图。这一图形在实际应用中往往比振动 $f(t)$ 本身的图形还有用。

· 谐振子的阻尼振动

我们上面研究的是简谐振子的理想运动情况。在实际的物理运动中，摩擦力和黏滞阻力的影响总是不可避免地存在的。在这些耗散力作用下的简谐振子的运动称为阻尼振动。

当物体的运动速度不大时，阻尼力可以被写作

$$\mathbf{f}_\nu = -\gamma \mathbf{v}.$$

考虑了阻尼力的影响之后，弹簧振子的运动方程可以被重新写作

$$m \frac{d^2 x}{dt^2} = -kx - \gamma \frac{dx}{dt},$$

或是

$$m \frac{d^2 x}{dt^2} + kx + \gamma \frac{dx}{dt} = 0.$$

令 $\omega_0^2 = \frac{k}{m}, 2\beta = \frac{\gamma}{m}$ ，我们有

$$\frac{d^2 x}{dt^2} + 2\beta \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = 0.$$

我们取这个方程如下形式的解

$$\tilde{x}(t) = e^{\lambda t}$$

的解。将其代入后，我们得到代数方程

$$\lambda^2 + 2\beta\lambda + \omega_0^2 = 0.$$

这个方程有两个根

$$\lambda = -\beta \pm \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2}.$$

因此，这个微分方程的通解为

$$\tilde{x}(t) = A_1 e^{-(\beta + \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2})t} + A_2 e^{-(\beta - \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2})t}$$

$$= e^{-\beta t} \left(A_1 e^{-\sqrt{\beta^2 - \omega_0^2}t} + A_2 e^{\sqrt{\beta^2 - \omega_0^2}t}\right).$$

根据阻尼系数 $\beta = \frac{\gamma}{2m}$ 的大小，存在着三种情况。

(1) 阻尼振荡。当 $\beta$ 较小，即 $\beta^2 < \omega_0^2$ 时， $\sqrt{\beta^2 - \omega_0^2}$ 为一个虚数。此时，我们有

$$\tilde{x}(t) = e^{-\beta t} \left(A_1 e^{i\sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}t} + A_2 e^{-i\sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}t}\right).$$

取其实部，我们得到 $x(t) = \text{Re} \tilde{x}(t) = A e^{-\beta t} \cos(\omega t + \varphi_0)$ 。这里， $\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}$ 称为表观角频率。这是一种准简谐振动模式，即振幅 $A_0 e^{-\beta t}$ 随时间增大不断减小。

(2) 过阻尼振荡。当阻尼较大，即 $\beta^2 > \omega_0^2$ 时， $\sqrt{\beta^2 - \omega_0^2}$ 为一个实数。此时，我们有

$$\tilde{x}(t) = C_1 e^{-\beta t - \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2}t} + C_2 e^{-\beta t + \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2}t}.$$

这是一个实函数，故我们有 $x(t) = \text{Re} \tilde{x}(t) = \tilde{x}(t)$ 。这种运动没有振荡。随着时间 $t$ 的增大， $x(t) \to 0$ ，即质点很快趋于平衡位置。

(3) 临界阻尼运动。当 $\beta^2 = \omega_0^2$ 时，方程的解为

$$\tilde{x}(t) = (C_1 + C_2 t) e^{-\beta t}.$$

这是一个衰减过程。

在实际问题中，若希望物体在一段时间内做近似简谐振动，应该是阻尼充分小。若希望物体很快回到平衡状态，则应该是体系处于临界阻尼状态。此时，我们称 $\beta$ 为衰减常数，而将 $\tau = \frac{1}{\beta}$ 称为弛豫时间。

· 受迫振动和共振

仅受弹性力和阻力作用的振动系统，其振幅总是随着时间衰减的。为使振动持续下去，必须用外力作为系统补充能量。这种的振动称为受迫振动。

为简单起见，让我们考虑存在一个简谐驱动力

$$f_d = F_d \cos \omega_d t$$

的情况。此时，质点的运动方程为

$$m \frac{d^2 x}{dt^2} = -kx - \gamma \frac{dx}{dt} + F_d \cos \omega_d t,$$

或是

$$\frac{d^2 x}{dt^2} + 2\beta \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = \frac{F_d}{m} \cos \omega_d t = \alpha \cos \omega_d t = \frac{\alpha}{2} (e^{i\omega_d t} + e^{-i\omega_d t}).$$

令

$$x(t) = ae^{i\omega_d t} + be^{-i\omega_d t}.$$

代入微分方程后，我们得到

$$a(i\omega_d)^2 e^{i\omega_d t} + b(-i\omega_d)^2 e^{-i\omega_d t} + 2\beta a(i\omega_d)e^{i\omega_d t} + 2\beta b(-i\omega_d)e^{-i\omega_d t}$$

$$+ ae^{i\omega_d t}\omega_0^2 + be^{-i\omega_d t}\omega_0^2 = \frac{\alpha}{2} e^{i\omega_d t} + \frac{\alpha}{2} e^{-i\omega_d t}.$$

比较方程两边 $e^{i\omega_d t}$ 和 $e^{-i\omega_d t}$ 项的系数，我们得到

$$-a\omega_d^2 + 2\beta i\omega_d a + a\omega_0^2 = \frac{\alpha}{2},$$

$$-b\omega_d^2 - 2\beta i\omega_d b + b\omega_0^2 = \frac{\alpha}{2}.$$

解此方程后，我们得到

$$a = \frac{\alpha}{2} \frac{1}{(\omega_0^2 - \omega_d^2) + 2\beta i\omega_d}, \quad b = \frac{\alpha}{2} \frac{1}{(\omega_0^2 - \omega_d^2) - 2\beta i\omega_d}.$$

将之代入 $x(t)$ 的表达式后，我们得到方程的一个特解

$$x^{\text{*}}(t) = \frac{\alpha}{2} \left(\frac{e^{i\omega_d t}}{(\omega_0^2 - \omega_d^2) + 2\beta i\omega_d} + \frac{e^{-i\omega_d t}}{(\omega_0^2 - \omega_d^2) - 2\beta i\omega_d}\right)$$

$$= \frac{\alpha}{2} \frac{2(\omega_0^2 - \omega_d^2)\cos \omega_d t + 4\beta \omega_d \sin \omega_d t}{(\omega_0^2 - \omega_d^2)^2 + 4\beta^2 \omega_d^2}$$

$$= A \cos(\omega_d t + \varphi_d).$$

这里，

$$A = \frac{\alpha}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega_d^2)^2 + 4\beta^2 \omega_d^2}}, \quad \varphi_d = \arctan \left(-\frac{2\beta \omega_d}{\omega_0^2 - \omega_d^2}\right).$$

另一方面，我们知道，一个非齐次线性微分方程的解可以写成一个特解和相应的齐次线性微分方程的通解之和。即我们有

$$x(t) = A \cos(\omega_d t + \varphi_d) + Be^{-\beta t} \cos(\omega t + \varphi_0).$$

由于第二项是随着时间的增长而衰减的，故当时刻 $t$ 很大时，可以将其忽略不计。因此，我们得到

$$x(t) \approx A \cos(\omega_d t + \varphi_d).$$

这是一个以 $A$ 为振幅，但以 $\omega_d$ 为角频率的简谐振动。

当 $\omega_d \ll \omega_0$ 时，我们有

$$A = \frac{\alpha}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega_d^2)^2 + 4\beta^2 \omega_d^2}} \approx \frac{\alpha}{\omega_0^2} \left(\frac{F_d}{k}\right) = \frac{F_d}{k},$$

即振幅与 $\omega_d$ 的数值无关。另一方面，当 $\omega_d \gg \omega_0$ 时，我们有

$$A \approx \frac{\alpha}{\omega_d^2 + 4\beta^2 \omega_d^2}.$$

当 $\omega_d$ 趋向于无穷时，它趋向于零。因此， $A$ 有一个极大值，而极值点的位置由方程

$$\frac{dA}{d\omega_d} = -\frac{\alpha}{2[(\omega_0^2 - \omega_d^2)^2 + 4\beta^2 \omega_d^2]^{3/2}} [2(\omega_0^2 - \omega_d^2)(-2\omega_d) + 4\beta^2(2\omega_d)] = 0$$

的解来决定。解此方程，我们得到

$$\omega_{\text{max}} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2}.$$

而相应的振幅极大值则为

$$A_{\text{max}} = \frac{\alpha}{2\beta \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}}.$$

当 $\beta \to 0$ 时，我们看到 $\omega_{\text{max}} \to \omega_0$ 。同时， $A_{\text{max}} \to \infty$ 。这种在受迫振动中，振幅趋向于无穷大的现象称为共振。当共振发生时，相位 $\varphi_d$ 为

$$\varphi_d = \arctan \frac{-2\beta \omega_d}{\omega_0^2 - \omega_d^2} = \arctan \frac{-2\beta \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2}}{\omega_0^2 - \omega_0^2 + 2\beta^2}$$

$$= -\arctan \frac{\sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2}}{\beta} \approx -\arctan \infty = -\frac{\pi}{2}.$$

也就是说，此时受迫振动的相位比驱动力的相位落后了 $\frac{\pi}{2}$ 。换句话说，驱动力与振子的运动速度

$$\dot{x} = A\omega_d(-1)\sin\left(\omega_d t - \frac{\pi}{2}\right) = A\omega_d \cos \omega_d t$$

是同相位的。因此，驱动力可以随时随刻对于振子作正功。这正是共振时振幅急剧增大的原因。当然，随着振幅的增大，阻力也会逐步增大，从而振幅最后被稳定在一个较大的值上。

· 保守系的振动

弹簧振子以及复摆所受的力都是保守力。因此，机械能守恒定律在这些运动中是成立的。它们可能做简谐振动，也可能做更为复杂的运动。但是这些运动必是往复运动。

为了更好地说明这一点，让我们考虑这样一个势能函数的质点的运动。根据定义，质点在每一点处的受力为

$$F = -\frac{dU}{d\xi} = -\frac{\partial E_P}{\partial \xi}.$$

因此，在势能曲线的极值点 $P_1, P_2, P_3, P_4$ 和 $P_5$ 处，质点的受力皆为零。但只有极小点 $P_2$ 和 $P_4$ 为稳定平衡点。当质点的总机械能较小时，它会在 $P_2$ 或 $P_4$ 的两侧做往返运动。但若它的总机械能较大时，这个质点有可能跑到别的区域去。

下面，我们仅讨论质点的总机械能较小的情况。此时，它将在 $P_2$ 或 $P_4$ 的附近做微小振动。为了确定起见，我们假设质点在 $P_2$ 附近运动。也就是说，质点的坐标满足条件

$$\xi_0 - A_{\text{left}} \leq \xi \leq \xi_0 + A_{\text{right}}.$$

这里， $\xi_0$ 为 $P_2$ 点的坐标。并且一般而言， $A_{\text{左}} \neq A_{\text{右}}$ 。由于质点的动能为

$$E_k = \frac{1}{2} m \left(\frac{d\xi}{dt}\right)^2 = \frac{1}{2} m v_\xi^2,$$

其总机械能应为

$$E = E_k + E_P = \frac{1}{2} m v_\xi^2 + E_P(\xi).$$

由此，我们得到

$$\frac{d\xi}{dt} = \sqrt{\frac{2(E - E_P(\xi))}{m}},$$

而振动的周期则为

$$T = 2 \int_{\xi_0 - A_{\text{左}}}^{\xi_0 + A_{\text{右}}} \frac{d\xi}{\sqrt{\frac{2(E - E_P(\xi))}{m}}}.$$

根据以上所述，我们可以总结出，一个保守系在 $\xi_0$ 点附近形成振荡的条件是

$$F(\xi) = -\frac{dE_P(\xi)}{d\xi} \begin{cases} < 0, & \text{ } \xi > \xi_0 \\ = 0, & \text{ } \xi = \xi_0 \\ > 0, & \text{ } \xi < \xi_0 \end{cases}$$

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2026/10/7 03:54

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