Lesson 7 最小作用量原理 I

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2026-03-14

Part 1 力学原理

作为牛顿力学的继承和超越，分析力学首先要回答两个问题。第一，为什么我们要舍弃牛顿力学、特别是牛顿第二定律？或者说，为什么需要一个新的力学原理？第二，这个新的力学原理应该是什么样子？

· Question1

为了回答第一个问题，我们来重新思考，所谓“力学规律”到底是什么？牛顿第二定律 $m\ddot{x} = \mathbf{F}$ ，或者

\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F},

将系统运动状态的改变归结为“力”。我们真正关心的是系统的“状态”，及决定状态演化的规律。“力”只是我们为了解释系统运动状态的改变而引入的概念。

例如，对于重力场中的粒子，牛顿第二定律说 $m\ddot{z} = F$ ，但是力 $F$ 是什么牛顿第二定律本身却没有告诉我们，而是由物体在重力场中的受力 $F = -mg$ 给出。换句话说，牛顿第二定律最多只算是半个物理定律。其和“重力规律”的结合 $m\ddot{z} = F = -mg$ ，才是完整的描述粒子自由落体的运动规律。又比如，粒子连接在弹簧上的振动，牛顿第二定律加上“胡克定律” $m\ddot{x} = F = -kx$ ，才是一条完整的决定粒子运动的规律。

从这里可以看出，“力”在完整的物理规律中起了什么作用呢？其实只是一个媒介概念。真正的、完整的物理规律是

m\ddot{z} = -mg, \quad \text{and} \quad m\ddot{x} = -kx,

这其中完全没有“力”的位置。所谓牛顿第二定律只是把方程右边的东西称为“力”而已。在这个意义上，牛顿第二定律与其说是一条物理规律，不如说只是“力”这个概念的定义。

对于一般的物理系统，其运动方程无法简单地写成牛顿第二定律的形式。这时候有两种选择，一种是固守牛顿第二定律的形式，把所有非加速度的项一股脑放到方程右边，称为“某某力”。另一种更明智的选择，就是放弃牛顿第二定律的形式，承认牛顿第二定律的局限性，转而寻找新的、更一般的原理。沿着这个思路，如果我们从某些新的原理出发，直接得到力学规律，那么“力”的媒介地位也完全不必要了。幸运的是，确实存在更加基本的原理，使得我们以一种更为统一的方式得到力学规律，而不引入任何“力”的概念。

· Question2

现在来看第二个问题：如果放弃了牛顿力学，那么新的力学原理可能是什么样子？

考虑一个简单的例子，从某个固定高度、每次以不同的速度竖直向上或向下抛小球。我们的问题是确定小球的运动，即小球高度 $z$ 随时间 $t$ 的关系。在牛顿力学的框架下，由牛顿第二定律及重力场中粒子的受力，设坐标 $z$ 向下，写出微分方程 $m\ddot{z} = F = mg$ ，给定初始条件 $z(0) = 0$ 和 $z'(0) = v_0$ ，求解微分方程得到 $z(t) = \dfrac{1}{2}gt^2 + v_0t$ 。

给定某一时刻的位置和速度，微分方程就决定了下一时刻、下下时刻的位置和速度，等等。因此，牛顿力学的思维方式是局域、微分的。

假设有一个叫哈密顿的人，对牛顿力学一无所知。但是哈密顿做了很多次竖直抛小球的实验，并将小球的高度 $z$ 与时间 $t$ 的关系画在如图(a) 所示的图上。哈密顿发现了一个基本事实：若 $t_1$ 时刻从高度 $z = 0$ 抛出，在 $t_2$ 时刻小球到达某个高度（图中 $z_1, z_2$ 等），则小球的运动轨迹是“唯一”确定的。换句话说，只要小球是在 $t_2$ 时刻到达某个高度，那么它一定是沿着图(a)中的实线轨迹运动。而虚线轨迹，虽然也满足同样的端点条件，却从来没被观测到，即并没有真实发生。

虽然哈密顿还不知道这些真实轨迹是什么曲线，但是关键在于——其是唯一的。这个事实意味着什么呢？如果哈密顿继续做足够多的抛小球实验，最终将得到如图(b)所示的图，从 $\{z,t\}$ -平面的某点（例如图中 $O$ 点）出发，其与周围任一点（例如图中 $A$ 点、 $B$ 点和 $C$ 点）之间有且仅有“唯一”的一条真实轨迹相连。这些轨迹充满了 $\{z,t\}$ -平面（至少在 $O$ 点附近），且除了共同的起始点 $O$ 点外，永不相交。因为起始点 $O$ 点是任意选取的，这意味着 $\{z,t\}$ -平面上任意两点之间有一条“唯一”的真实轨迹连接。

物理上，这意味着给定初、末时刻小球的位置，小球的时空轨迹——世界线——就唯一确定了。于是哈密顿就奇怪，为什么满足同样的端点条件，只有唯一一条真实的世界线？这条世界线为何如此特殊？哈密顿就猜测，或许存在一个原理，给每条世界线一个“指标”（一个数），用以比较不同的世界线，从而判断众多的“世界线”中，哪一条是被自然所选择的。

从另外一个角度，这种观念的转变还涉及对“什么是物理规律”的理解。如果我们认为物理规律是牛顿第二定律式的微分方程，那么一个问题就是，小球真的会去解微分方程吗？很难想象小球如同随身携带一个计算器，根据此时此刻的位置和速度计算出下一时刻的位置和速度，然后按照计算的结果准时出现在那里。所以看上去更正确的观念是：大自然并不会做计算。小球选择某个轨迹，并不是小球解微分方程的结果，而是这个轨迹相比其他轨迹更“特殊”。

Part 2 最小作用量原理

· 最小作用量原理

现在我们沿着哈密顿的思路，以全新的观点看待系统的运动。给定一个完整力学系统，自由度为 $s$ ，广义坐标为

\left\{ q^a \right\}, \quad a = 1, \cdots, s.

我们的问题是确定系统的演化轨迹 $\mathbf{q}(t)$ 。我们给每条轨迹都赋予一个“数”，用以比较不同的轨迹，进而判断哪条轨迹是真实发生的演化过程。这种“输入轨迹、输出数”的操作，正是“泛函”的概念。

如果物理系统在给定时刻 $t_1$ 和 $t_2$ 的位形 $\mathbf{q}(t_1)$ 和 $\mathbf{q}(t_2)$ 确定，则联结这两个时刻位形之间的每条“可能”的轨迹 $\mathbf{q}(t)$ 都对应一个数，通常记作 $S$ ，被称为该系统的作用量（action）。数学上，这意味着作用量 $S$ 是轨迹 $\mathbf{q}(t)$ 的泛函

S[\mathbf{q}] = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t\, L(t, \mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}),

在经典力学中，这里的被积函数 $L(t, \mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})$ 称为系统的拉格朗日量（Lagrangian）。我们关心的是所有这些可能的轨迹中，哪一条是真实发生的？答案是使得作用量 $S$ 取极值的那一条轨迹。这一结论就是著名的最小作用量原理（principle of least action）：经典力学体系在两个时刻之间的真实运动轨迹使得该体系的作用量取极值，即 $\delta S = 0$ 。因为实际往往只要求作用量取驻值，而不一定是极值，因此最小作用量原理也称作“稳恒作用量原理”（principle of stationary action）。

关于最小作用量原理，需要注意以下几点。

最小作用量原理中的“轨迹”，指的是位形空间和时间参数共同构成的 $s+1$ 维空间中随时间演化所形成的轨迹，而不是 $s$ 维位形空间中的轨迹。例如，对于点粒子系统，就是世界线，而不是空间轨迹。对于空间延展的对象，则是世界面、世界体等。
最小作用量原理在所有“可能”的轨迹之间进行比较。这里“可能”指的是运动学上满足约束，并满足端点条件的所有连续轨迹。
对于方程 $S[\mathbf{q}] = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t\, L(t, \mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}),$ 我们假设拉格朗日量 $L$ 只依赖于广义坐标和广义速度，不依赖于广义坐标的更高阶的时间微商。这一点仅仅是为了和最简单的牛顿力学系统自洽：即给定物理体系的初始坐标、初始速度就足以唯一确定力学体系的状态。一般来说，拉格朗日量中也可以包含广义坐标更高阶的时间导数，相应的理论被称作所谓“高阶导数理论”。
关于最小作用量原理的讨论只适用于“完整”系统。除了某些特殊情形，非完整系统一般不能直接纳入最小作用量原理的框架内。

对于

S[\mathbf{q}] = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t\, L(t, \mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}))

形式的泛函极值问题，我们已经很熟悉。对作用量 $S$ 做变分，得到

\delta S \simeq -\int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t\, \left[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^a} \right) - \frac{\partial L}{\partial q^a} \right] \delta q^a,

因此作用量 $S$ 取极值要求广义坐标 $\mathbf{q}(t)$ 满足欧拉-拉格朗日方程

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^a} \right) - \frac{\partial L}{\partial q^a} = 0, \quad a = 1, \cdots, s,

物理上也称作运动方程（equations of motion）。体系的真实运动必须满足运动方程。任何一个完整力学系统都可以写出其作用量。最小作用量原理和变分法告诉我们，一旦给定了一个力学系统的作用量，其可以得到其经典运动方程，而且是唯一确定的⁵。正是在此意义下，我们说经典力学系统的作用量包含了该体系的所有时间演化信息，或者说经典力学系统的运动规律由其作用量完全描述。

对于经典力学体系，真实的运动是唯一的——即所谓决定论（determinism）。这种真实性和唯一性是先于观测者的。一个观测者看到的真实运动轨迹，在另一个观测者看来也必须是真实的。而广义坐标、以及时间参数的选取则依赖于观测者，是人为的。不同的观测者可能会选择不同的广义坐标和不同的时间参数。这意味着，在一套广义坐标和时间参数下得到的真实运动轨迹（使得作用量取极值），在另一套广义坐标和时间参数下必须仍然是真实的（同样使得作用量取极值）。体现在数学上，作用量必须是不依赖于具体的广义坐标和时间参数选取的，即作用量必须是广义坐标和时间参数变换下的不变量⁶。作用量的这个性质有时也被称作是在广义坐标和时间参数变换下的标量（scalar）。

最小作用量原理改变了经典力学系统的研究“范式”，即不再如牛顿力学中那样做受力分析，而是第一步就是写出、或者构造系统的作用量。其不仅重新表述了机械运动的规律，而且对非机械运动的物理系统同样适用。可以说，在现代理论物理的研究中，作用量是几乎所有分析的出发点。从这个意义上，最小作用量原理甚至可视为整个物理学的第一原理（first principle）。自然总是倾向于让某些基本的物理量（往往是标量）取得极值。例如：重力场中平衡位置重力势能最小，热平衡态对应的热力学势取极值，静电平衡时带点体系静电能最小，水滴的形状保证重力势能和表面张力势能总和最小，等等。

· 广义动量

牛顿力学中，点粒子的动量定义为 $\mathbf{p} = m\mathbf{v}$ 。我们将看到，这一定义其实只是在非相对论极限下的近似表达式。动量的一般定义是在拉格朗日力学框架下得到的。物理系统某个广义坐标 $q^a$ 对应的广义动量（generalized momentum）定义为

p_a := \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^a} = \frac{\partial L}{\partial v^a}, \quad a = 1, \cdots, s,

这里 $v^a \equiv \dot{q}^a$ 是广义速度。我们约定将广义速度 $\dot{q}^a$ 的指标摆在上方，而广义动量 $p_a$ 的指标摆在下方。只要给定了拉格朗日量，则每个广义坐标总是有对应的广义动量。这种“如影随形”的伴随关系在数学上被称为共轭（conjugate）。广义坐标 $q^a$ 及其对应的广义动量 $p_a$ 构成一对共轭变量 $\{q^a, p_a\}$ 。因此上式定义的广义动量又被称为共轭动量（conjugate momentum）或正则动量（canonical momentum）。

利用广义动量，运动方程

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^a} \right) - \frac{\partial L}{\partial q^a} = 0, \quad a = 1, \cdots, s,

可以写为

\frac{\mathrm{d}p_a}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial L}{\partial q^a}, \quad a = 1, \cdots, s.

这个式子可以与牛顿第二定律对照。方程左边即动量的时间变化率，右边 $\dfrac{\partial L}{\partial q^a}$ 则可以称为“广义力”。

广义坐标未必是长度的量纲，因此广义动量也未必是牛顿力学中动量的量纲（质量乘以速度）。但是由定义，用 $[Q]$ 表示物理量 $Q$ 的量纲，则必有 $[q^a] \cdot [p_a] = [L]$ ，因此 $[q^a] \cdot [p_a] = [t][L] = [S]$ ，即一对共轭变量量纲的乘积，一定是系统作用量的量纲。