Lesson 3 位形空间 I

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2025-12-14

Part 1 位形空间

· 位形

力学研究的基本问题是物理系统的时间演化. 具体而言，即是要研究物理系统的“位形”随时间的演化. 位形是粒子在空间中的位置这一概念的推广. 简言之，位形（configuration）即力学系统各个粒子的空间位置，粒子系或者更一般的物理体系在空间中的形状、分布.

例如，考虑 $N$ 个粒子构成的粒子系，给出 $N$ 个粒子的空间坐标 $\{x_1, x_2, \cdots, x_N\}$ 即给出粒子系的一个位形. 又例如，琴弦振动的形状，即是琴弦的位形；鼓面弯曲的形状，即是鼓面的位形.

位形的概念可以推广至连续系统和非机械系统.

例如描述气体扩散，给出空间中每一点气体分子数密度 $\rho(x)$ ，即给出气体的位形.

例如描述热传递，给出空间中每一点的局域温度 $T(x)$ 即给出温度的位形.

例如描述电磁场，给出空间中每一点的矢量 $E(x)$ ，即给出了电场的位形.

· 位形空间

系统所有可能位形的集合，就构成位形空间（configuration space）. 位形空间中的一点，即代表系统的一种可能的位形.

例如，在水平面上运动的粒子，其位形即水平面上的点，其位形空间即水平面. 限制在圆环上运动的粒子，其位形即圆环上的点，其位形空间即整个圆环；限制在球面上运动的粒子，其位形即球面上的点，其位形空间就是整个球面.

一般来说，力学体系的位形空间一般都不是平直的线性空间（矢量空间）. 例如，球面是一个二维空间，但显然不是平坦的. 但是，球面局部的一小块，看上去又和二维平面很像.

数学上对于这种一般的空间的描述，即所谓流形（manifold）理论. 简言之，流形即局部看起来像是平直的欧氏空间的东西，但是一般是弯曲的，往往还具有很复杂的结构.

数学上“空间”一词经常特指线性空间，因此位形流形（configuration manifold）是更确切的称呼.

· 世界线

现在考虑时间演化. 随着时间参数 $t$ 的变化，系统在位形空间中连续地由一点（某个位形）移动到另一点，所“扫出”的曲线即位形空间中的轨迹. 把“时间”这一维加进来，可以认为“位形空间”和“时间轴”合在一起构成更大的空间.

随着时间的演化，位形空间中的点在这个空间中也扫出一条连续的曲线，有时被称作世界线（worldline）. 因为某一时刻的位形本身不能唯一决定此前或此后的位形，所以世界线是可以相交的.

Part 2 广义坐标

坐标无非是某种空间的参数化，即只要给定一组数，能够唯一确定空间中的一点，就可以称这组数为“坐标”.

例如，通常的 3 维欧氏空间中的点粒子，我们可以采用直角坐标 $\{x, y, z\}$ 、柱坐标 $\{r, \phi, z\}$ 、球坐标 $\{r, \theta, \phi\}$ 等来参数化其位置.

点粒子在空间中位置的参数化是普通坐标，而位形是点粒子位置概念的推广，自然而然，对位形空间的参数化即广义坐标（generalized coordinates），其是任何一组能够唯一确定系统某个位形的独立参量. 这些概念的推广可以总结如下：

(1). 位置 $\to$ 位形；(2). 普通空间 $\to$ 位形空间；(3). 普通坐标 $\to$ 广义坐标

物理系统 $s$ 个独立的广义坐标

\left\{q^1, \cdots, q^s\right\} \equiv \left\{q^a\right\}, \quad a = 1, 2, \cdots, s,

代表位形空间中的一点，即代表系统一个唯一确定的位形. 因此，

位形空间的维数 = 独立广义坐标的个数

广义坐标只是位形空间的参数化，所以选择非常任意. 原则上，广义坐标的选取有无限多种.

广义坐标的量纲不一定是长度量纲，一般也不能三个（或者多个）一组合成一个矢量，这也正是位形空间一般不是线性空间的反映. 例如，球面不是平坦的线性空间，球面坐标 $\{\theta, \phi\}$ 也不是任何矢量的分量.

/example/

如图(a)所示的单摆，上端固定，假定单摆只在竖直平面内运动. 单摆的摆角 $\theta$ 唯一决定了系统的位形，所以系统具有一个独立的广义坐标即 $\theta$ . 这个系统的位形空间即一维圆周 $\mathbf{S}^1$ .
如果单摆的顶端不固定，而是在一个光滑水平杆上运动，如图(b) 所示. 则可以用顶端（ $A$ 点）的水平坐标 $x$ 和单摆摆角 $\theta$ 来唯一决定系统的位形. 此时系统的位形空间即二维柱面，记作 $\mathbf{R}^1 \times \mathbf{S}^1$ .
如果单摆不限制在竖直平面内运动，成为如图(c) 所示的球面摆. 则可以用球面角坐标 $\{\theta, \phi\}$ 来唯一决定系统的位形. 球面摆的位形空间即二维球面，记作 $\mathbf{S}^2$ .

· 广义坐标的变换

从概念上来说，广义坐标是对位形空间的参数化，我们当然有选取不同参数化的自由. 从技术上来说，在一组广义坐标下复杂的运动方程，换成另一组广义坐标经常就变得容易求解. 例如球对称引力场中粒子的运动，运动方程在球坐标下就比直角坐标下要简单得多.

现在假设两组广义坐标 $\{q^a\}$ 和 $\{\bar{q}^a\}$ ，描述同一个位形空间. 考虑此位形空间中的任意某点 $P$ （给定的位形），对应 $\{q^a\}$ 坐标的数值记作 $q^a|_P$ ， $\{\bar{q}^a\}$ 坐标的数值记作 $\bar{q}^a|_P$ . 两组坐标的数值满足函数关系

\bar{q}^a|_P = f^a(\boldsymbol{q}|_P), \quad a = 1, \cdots, s.

因为 $P$ 是任意一点，所以即有坐标之间的关系 $\bar{q}^a = f^a(t, \boldsymbol{q})$ . 一般来说变换可以显含时间参数 $t$ ，即在不同时刻有不同的变换关系. 习惯上用 $\bar{q}^a$ 本身作为变换的函数名，即写成

\boxed{q^a \to \bar{q}^a = \bar{q}^a(t, \boldsymbol{q})}, \quad a = 1, \cdots, s.

这种广义坐标之间的变换也被称作点变换（point transformation），因为其将 $\{q^a\}$ 坐标描述的点，变换到用 $\{\bar{q}^a\}$ 描述的点. 我们要求上面变换是可逆的，换句话说存在

\bar{q}^a \to q^a = q^a(t, \bar{\boldsymbol{q}}), \quad a = 1, \cdots, s.

也就是说 $\{q^a\}$ 和 $\{\bar{q}^a\}$ 是一一对应的. 可逆性要求坐标变换的雅可比行列式非零，即

\det \left( \frac{\partial \bar{q}^a}{\partial q^b} \right) \ne 0.

注意 $\dfrac{\partial \bar{q}^a}{\partial q^b}$ 的逆即 $\dfrac{\partial q^a}{\partial \bar{q}^b}$ ，满足

\frac{\partial q^a}{\partial \bar{q}^b} \frac{\partial \bar{q}^b}{\partial q^c} = \frac{\partial q^a}{\partial q^c} \equiv \delta^a_c,

这里 $\delta^a_c$ 当指标 $a = b$ 时为 1， $a \ne b$ 时为零.

坐标变换有两种等价的观点，或者说对 $\{q^a\} \to \{\bar{q}^a\}$ 有两种等价的解释. 一种是认为用不同的坐标描述同一点，如图(a) 所示. 这种观点被称作所谓被动观点（passive point of view），即“对象不变，坐标在变”.

上面我们即采用这种观点，这时 $\{q^a\}$ 和 $\{\bar{q}^a\}$ 是同一位形空间的不同参数化. 但是换一个角度，我们总可以将变换后 $\bar{q}^a|_P$ 的坐标数值对应到同一空间上的另外一点 $P'$ ，使得 $\boldsymbol{q}|_{P'} \equiv \bar{\boldsymbol{q}}|_P$ .