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Lesson 15 电磁波的传播 II

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2026-07-01

1

Part 2 反射 折射

光入射到两种不同的连续媒介质的分界面上时会发生反射和折射。这些现象可以用电磁波在该界面处所满足的边值关系加以解释，从而再次揭示了光本质是电磁波。

在第五章中，我们已经知道，电磁场在两种连续介质分界面处所满足的边值关系为

en×(E2−E1)=0,en⋅(D2−D1)=σf,en×(H2−H1)=α⃗f,en⋅(B2−B1)=0.\begin{aligned} \mathbf{e}_n \times (\mathbf{E}_2 - \mathbf{E}_1) &= 0, \quad \mathbf{e}_n \cdot (\mathbf{D}_2 - \mathbf{D}_1) = \sigma_f, \\ \mathbf{e}_n \times (\mathbf{H}_2 - \mathbf{H}_1) &= \vec{\alpha}_f, \quad \mathbf{e}_n \cdot (\mathbf{B}_2 - \mathbf{B}_1) = 0. \end{aligned}

实际上，这四个方程中仅有两个是独立的，一般取为

en×(E2−E1)=0,en×(H2−H1)=α⃗f.(j)\mathbf{e}_n \times (\mathbf{E}_2 - \mathbf{E}_1) = 0, \quad \mathbf{e}_n \times (\mathbf{H}_2 - \mathbf{H}_1) = \vec{\alpha}_f. \tag{j}

让我们考虑最简单的情况，即两种介质的分界面为一无穷大平面，将之取作 XYXY 平面。如教科书 118 页上图 4-3 所示，若有一单色电磁波从介质 1 射，其波矢 k\mathbf{k} 与 zz 轴的夹角取作 θ\theta（入射角）。又假设反射波和折射电磁波亦为单色平面波，波矢分别为 k′\mathbf{k}' 和 k′′\mathbf{k}''，即我们有

E入射(r,t)=E0exp⁡(ik⋅r−iωt),E反射(r,t)=E0′exp⁡(ik′⋅r−iωt),E折射(r,t)=E0′′exp⁡(ik′′⋅r−iωt).\begin{aligned} \mathbf{E}_{\text{入射}}(\mathbf{r},t) &= \mathbf{E}_0 \exp(i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - i\omega t), \quad \mathbf{E}_{\text{反射}}(\mathbf{r},t) = \mathbf{E}'_0 \exp(i\mathbf{k}' \cdot \mathbf{r} - i\omega t), \\ \mathbf{E}_{\text{折射}}(\mathbf{r},t) &= \mathbf{E}''_0 \exp(i\mathbf{k}'' \cdot \mathbf{r} - i\omega t). \end{aligned}

那么，在介质 1 中，总的电场强度矢量应为

E1(r,t)=E入射(r,t)+E反射(r,t)=E0exp⁡(ik⋅r−iωt)+E0′exp⁡(ik′⋅r−iωt).\mathbf{E}_1(\mathbf{r},t) = \mathbf{E}_{\text{入射}}(\mathbf{r},t) + \mathbf{E}_{\text{反射}}(\mathbf{r},t) = \mathbf{E}_0 \exp(i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - i\omega t) + \mathbf{E}'_0 \exp(i\mathbf{k}' \cdot \mathbf{r} - i\omega t).

而在介质 2 中，电场强度矢量为

E2(r,t)=E折射(r,t)=E0′′exp⁡(ik′′⋅r−iωt).\mathbf{E}_2(\mathbf{r},t) = \mathbf{E}_{\text{折射}}(\mathbf{r},t) = \mathbf{E}''_0 \exp(i\mathbf{k}'' \cdot \mathbf{r} - i\omega t).

将它们代入 (j) 式后，我们得到

en×(E0exp⁡(ik⋅r−iωt)+E0′exp⁡(ik′⋅r−iωt))=en×E0′′exp⁡(ik′′⋅r−iωt),\mathbf{e}_n \times (\mathbf{E}_0 \exp(i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - i\omega t) + \mathbf{E}'_0 \exp(i\mathbf{k}' \cdot \mathbf{r} - i\omega t)) = \mathbf{e}_n \times \mathbf{E}''_0 \exp(i\mathbf{k}'' \cdot \mathbf{r} - i\omega t),

或是

(en×E0)exp⁡(ikxx+ikyy)+(en×E0′)exp⁡(ikx′x+iky′y)=(en×E0′′)exp⁡(ikx′′x+iky′′y).(k)\begin{aligned} &(\mathbf{e}_n \times \mathbf{E}_0) \exp(ik_x x + ik_y y) + (\mathbf{e}_n \times \mathbf{E}'_0) \exp(ik'_x x + ik'_y y) \\ &= (\mathbf{e}_n \times \mathbf{E}''_0) \exp(ik''_x x + ik''_y y). \end{aligned} \tag{k}

考虑到 xx 和 yy 坐标的任意性，我们要求

kx=kx′=kx′′,ky=ky′=ky′′(l)k_x = k'_x = k''_x, \quad k_y = k'_y = k''_y \tag{l}

必须成立。又若我们将入射波矢取在 XZXZ 平面内，即令 ky=0k_y = 0，则 ky′k'_y 和 ky′′k''_y 亦必须为零，即反射波矢和折射波矢亦必须在同一 XZXZ 平面内。

又根据入射角的定义，我们有 kx=ksin⁡θk_x = k \sin\theta，并可同理定义反射角和折射角，即

kx′=k′sin⁡θ′,kx′′=k′′sin⁡θ′′.k'_x = k' \sin\theta', \quad k''_x = k'' \sin\theta''.

代入 (l) 式后，我们有

ksin⁡θ=k′sin⁡θ′=k′′sin⁡θ′′.(m)k \sin\theta = k' \sin\theta' = k'' \sin\theta''. \tag{m}

先看第一个等式。我们有

sin⁡θsin⁡θ′=k′k.\frac{\sin\theta}{\sin\theta'} = \frac{k'}{k}.

又对于单色波而言，波数 kk 与频率 ω\omega 的关系为

k(ω)=ωμ(ω)ϵ(ω),k(\omega) = \omega \sqrt{\mu(\omega)\epsilon(\omega)},

故我们有

k(ω)=k′(ω)=ωμ1(ω)ϵ1(ω).k(\omega) = k'(\omega) = \omega \sqrt{\mu_1(\omega)\epsilon_1(\omega)}.

由此我们得到

sin⁡θsin⁡θ′=ωμ1(ω)ϵ1(ω)ωμ1(ω)ϵ1(ω)=1,\frac{\sin\theta}{\sin\theta'} = \frac{\omega \sqrt{\mu_1(\omega)\epsilon_1(\omega)}}{\omega \sqrt{\mu_1(\omega)\epsilon_1(\omega)}} = 1,

或是

sin⁡θ=sin⁡θ′,\sin\theta = \sin\theta',

即入射角等于反射角。

接下来，我们再考虑 (m) 式中的第二个等式

sin⁡θ′′sin⁡θ′=k′k′′.\frac{\sin\theta''}{\sin\theta'} = \frac{k'}{k''}.

将

k′(ω)=ωμ1(ω)ϵ1(ω),k′′(ω)=ωμ2(ω)ϵ2(ω),k'(\omega) = \omega \sqrt{\mu_1(\omega)\epsilon_1(\omega)}, \quad k''(\omega) = \omega \sqrt{\mu_2(\omega)\epsilon_2(\omega)},

代入后，我们有

sin⁡θ′′sin⁡θ′=ωμ1(ω)ϵ1(ω)ωμ2(ω)ϵ2(ω)=μ1(ω)ϵ1(ω)μ2(ω)ϵ2(ω)=n1n2,\frac{\sin\theta''}{\sin\theta'} = \frac{\omega \sqrt{\mu_1(\omega)\epsilon_1(\omega)}}{\omega \sqrt{\mu_2(\omega)\epsilon_2(\omega)}} = \frac{\sqrt{\mu_1(\omega)\epsilon_1(\omega)}}{\sqrt{\mu_2(\omega)\epsilon_2(\omega)}} = \frac{n_1}{n_2},

即

n1sin⁡θ′=n2sin⁡θ′′.n_1 \sin\theta' = n_2 \sin\theta''.

这与众所周知的光在两种介质分界面处满足的折射定律是一致的。

现在，我们将边值关系 (k) 重新写作

en×E0+en×E0′=en×E0′′.(n)\mathbf{e}_n \times \mathbf{E}_0 + \mathbf{e}_n \times \mathbf{E}'_0 = \mathbf{e}_n \times \mathbf{E}''_0. \tag{n}

为了求解 E0′\mathbf{E}'_0 和 E0′′\mathbf{E}''_0，我们还需要利用 (j) 中的第二个边值条件。首先，利用麦克斯韦方程

∇×E(r,t)=−∂B(r,t)∂t,\nabla \times \mathbf{E}(\mathbf{r},t) = -\frac{\partial \mathbf{B}(\mathbf{r},t)}{\partial t},

我们写出单色电磁波的振幅关系

∇×(E0exp⁡(ik⋅r−iωt))=ik×(E0exp⁡(ik⋅r−iωt))=iωB0exp⁡(ik⋅r−iωt),\nabla \times (\mathbf{E}_0 \exp(i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - i\omega t)) = i\mathbf{k} \times (\mathbf{E}_0 \exp(i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - i\omega t)) = i\omega \mathbf{B}_0 \exp(i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - i\omega t),

或是

B0=1ωk×E0.\mathbf{B}_0 = \frac{1}{\omega} \mathbf{k} \times \mathbf{E}_0.

又由于

B0=μ(ω)H0,\mathbf{B}_0 = \mu(\omega) \mathbf{H}_0,

我们进一步得到

H0=1ωμ(ω)k×E0.\mathbf{H}_0 = \frac{1}{\omega\mu(\omega)} \mathbf{k} \times \mathbf{E}_0.

因此，在介质 1 中的总磁场强度矢量为

H1(r,t)=H入射(r,t)+H反射(r,t)=H0exp⁡(ik⋅r−iωt)+H0′exp⁡(ik′⋅r−iωt)=1ωμ1(ω)k×E0exp⁡(ik⋅r−iωt)+1ωμ1(ω)k′×E0′exp⁡(ik′⋅r−iωt).\begin{aligned} \mathbf{H}_1(\mathbf{r},t) &= \mathbf{H}_{\text{入射}}(\mathbf{r},t) + \mathbf{H}_{\text{反射}}(\mathbf{r},t) \\ &= \mathbf{H}_0 \exp(i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - i\omega t) + \mathbf{H}'_0 \exp(i\mathbf{k}' \cdot \mathbf{r} - i\omega t) \\ &= \frac{1}{\omega\mu_1(\omega)} \mathbf{k} \times \mathbf{E}_0 \exp(i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - i\omega t) + \frac{1}{\omega\mu_1(\omega)} \mathbf{k}' \times \mathbf{E}'_0 \exp(i\mathbf{k}' \cdot \mathbf{r} - i\omega t). \end{aligned}

而在介质 2 中的总磁场强度矢量则为

H2(r,t)=H折射(r,t)=1ωμ2(ω)k′′×E0′′exp⁡(ik′′⋅r−iωt).\mathbf{H}_2(\mathbf{r},t) = \mathbf{H}_{\text{折射}}(\mathbf{r},t) = \frac{1}{\omega\mu_2(\omega)} \mathbf{k}'' \times \mathbf{E}''_0 \exp(i\mathbf{k}'' \cdot \mathbf{r} - i\omega t).

由于在两种连续介质的分界面处的自由电流密度 α⃗f=0\vec{\alpha}_f = 0，我们从 (j) 的第二个边值条件得到

en×(1ωμ1(ω)k×E0)exp⁡(ik⋅r−iωt)∣z=0+en×(1ωμ1(ω)k′×E0′)exp⁡(ik′⋅r−iωt)∣z=0=en×(1ωμ2(ω)k′′×E0′′)exp⁡(ik′′⋅r−iωt)∣z=0.\begin{aligned} &\left. \mathbf{e}_n \times \left( \frac{1}{\omega\mu_1(\omega)} \mathbf{k} \times \mathbf{E}_0 \right) \exp(i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - i\omega t) \right|_{z=0} \\ + &\left. \mathbf{e}_n \times \left( \frac{1}{\omega\mu_1(\omega)} \mathbf{k}' \times \mathbf{E}'_0 \right) \exp(i\mathbf{k}' \cdot \mathbf{r} - i\omega t) \right|_{z=0} \\ = &\left. \mathbf{e}_n \times \left( \frac{1}{\omega\mu_2(\omega)} \mathbf{k}'' \times \mathbf{E}''_0 \right) \exp(i\mathbf{k}'' \cdot \mathbf{r} - i\omega t) \right|_{z=0}. \end{aligned}

由于在 z=0z = 0 的分界面上，我们有 kx=kx′=kx′′k_x = k'_x = k''_x 以及 ky=ky′=ky′′k_y = k'_y = k''_y，故可消去上式两边的指数因子并得到

en×(1μ1(ω)k×E0)+en×(1μ1(ω)k′×E0′)=en×(1μ2(ω)k′′×E0′′).(o)\mathbf{e}_n \times \left( \frac{1}{\mu_1(\omega)} \mathbf{k} \times \mathbf{E}_0 \right) + \mathbf{e}_n \times \left( \frac{1}{\mu_1(\omega)} \mathbf{k}' \times \mathbf{E}'_0 \right) = \mathbf{e}_n \times \left( \frac{1}{\mu_2(\omega)} \mathbf{k}'' \times \mathbf{E}''_0 \right). \tag{o}

将此式与 (n) 式联立，我们现在可以求解 E0′\mathbf{E}'_0 和 E0′′\mathbf{E}''_0 了。

我们知道，对于一个给定的波矢 k\mathbf{k}，存在电场强度矢量 E(r,t)\mathbf{E}(\mathbf{r},t) 的两个独立偏振方向，故需分别讨论 E0\mathbf{E}_0 垂直于入射面和平行于入射面的情况。

(i) 当 E0\mathbf{E}_0 垂直于入射面时，如教科书 119 页上图 4-4(a) 所示，我们有

E0+E0′=E0′′.(p)\mathbf{E}_0 + \mathbf{E}'_0 = \mathbf{E}''_0. \tag{p}

而

en×(1μ1(ω)k×E0)+en×(1μ1(ω)k′×E0′)=1μ1(ω)((en⋅E0)k−(en⋅k)E0)+1μ1(ω)((en⋅E0′)k′−(en⋅k′)E0′)=1μ1(ω)(−(en⋅k)E0)+1μ1(ω)(−(en⋅k′)E0′)=1μ1(ω)(−kcos⁡θE0+k′cos⁡θE0′)=en×(1μ2(ω)k′′×E0′′)=1μ2(ω)en×(k′′×E0′′)=1μ2(ω)((en⋅E0′′)k′′−(en⋅k′′)E0′′)=−1μ2(ω)(en⋅k′′)E0′′=−1μ2(ω)k′′cos⁡θ′′E0′′.\begin{aligned} &\mathbf{e}_n \times \left( \frac{1}{\mu_1(\omega)} \mathbf{k} \times \mathbf{E}_0 \right) + \mathbf{e}_n \times \left( \frac{1}{\mu_1(\omega)} \mathbf{k}' \times \mathbf{E}'_0 \right) \\ &= \frac{1}{\mu_1(\omega)} ((\mathbf{e}_n \cdot \mathbf{E}_0)\mathbf{k} - (\mathbf{e}_n \cdot \mathbf{k})\mathbf{E}_0) + \frac{1}{\mu_1(\omega)} ((\mathbf{e}_n \cdot \mathbf{E}'_0)\mathbf{k}' - (\mathbf{e}_n \cdot \mathbf{k}')\mathbf{E}'_0) \\ &= \frac{1}{\mu_1(\omega)} (-(\mathbf{e}_n \cdot \mathbf{k})\mathbf{E}_0) + \frac{1}{\mu_1(\omega)} (-(\mathbf{e}_n \cdot \mathbf{k}')\mathbf{E}'_0) \\ &= \frac{1}{\mu_1(\omega)} (-k \cos\theta \mathbf{E}_0 + k' \cos\theta \mathbf{E}'_0) = \mathbf{e}_n \times \left( \frac{1}{\mu_2(\omega)} \mathbf{k}'' \times \mathbf{E}''_0 \right) \\ &= \frac{1}{\mu_2(\omega)} \mathbf{e}_n \times (\mathbf{k}'' \times \mathbf{E}''_0) = \frac{1}{\mu_2(\omega)} ((\mathbf{e}_n \cdot \mathbf{E}''_0)\mathbf{k}'' - (\mathbf{e}_n \cdot \mathbf{k}'')\mathbf{E}''_0) \\ &= -\frac{1}{\mu_2(\omega)} (\mathbf{e}_n \cdot \mathbf{k}'')\mathbf{E}''_0 = -\frac{1}{\mu_2(\omega)} k'' \cos\theta'' \mathbf{E}''_0. \end{aligned}

再将 (p) 代入后，我们得到

1μ1(ω)(kcos⁡θE0−k′cos⁡θE0′)=1μ2(ω)k′′cos⁡θ′′E0′′.\frac{1}{\mu_1(\omega)} (k \cos\theta E_0 - k' \cos\theta E'_0) = \frac{1}{\mu_2(\omega)} k'' \cos\theta'' E''_0.

由于

k=k′=ωμ1(ω)ϵ1(ω),k′′=ωμ2(ω)ϵ2(ω),k = k' = \omega \sqrt{\mu_1(\omega)\epsilon_1(\omega)}, \quad k'' = \omega \sqrt{\mu_2(\omega)\epsilon_2(\omega)},

故上式又可被写作

ϵ1(ω)μ1(ω)(E0−E0′)cos⁡θ=ϵ2(ω)μ2(ω)E0′′cos⁡θ′′.\sqrt{\frac{\epsilon_1(\omega)}{\mu_1(\omega)}} (E_0 - E'_0) \cos\theta = \sqrt{\frac{\epsilon_2(\omega)}{\mu_2(\omega)}} E''_0 \cos\theta''.

考虑到在一般非铁磁性（顺磁）物质中，μ(ω)≅μ0\mu(\omega) \cong \mu_0，我们又可将上式简化为

ϵ1(ω)(E0−E0′)cos⁡θ=ϵ2(ω)E0′′cos⁡θ′′.\sqrt{\epsilon_1(\omega)} (E_0 - E'_0) \cos\theta = \sqrt{\epsilon_2(\omega)} E''_0 \cos\theta''.

因此，我们解得

E0′=ϵ1(ω)cos⁡θ−ϵ2(ω)cos⁡θ′′ϵ1(ω)cos⁡θ+ϵ2(ω)cos⁡θ′′E0,E0′′=2ϵ1(ω)cos⁡θϵ1(ω)cos⁡θ+ϵ2(ω)cos⁡θ′′E0.E'_0 = \frac{\sqrt{\epsilon_1(\omega)} \cos\theta - \sqrt{\epsilon_2(\omega)} \cos\theta''}{\sqrt{\epsilon_1(\omega)} \cos\theta + \sqrt{\epsilon_2(\omega)} \cos\theta''} E_0, \quad E''_0 = \frac{2 \sqrt{\epsilon_1(\omega)} \cos\theta}{\sqrt{\epsilon_1(\omega)} \cos\theta + \sqrt{\epsilon_2(\omega)} \cos\theta''} E_0.

又考虑到折射定律

sin⁡θ′′sin⁡θ=μ1(ω)ϵ1(ω)μ2(ω)ϵ2(ω)≅ϵ1(ω)ϵ2(ω),(q)\frac{\sin\theta''}{\sin\theta} = \frac{\sqrt{\mu_1(\omega)\epsilon_1(\omega)}}{\sqrt{\mu_2(\omega)\epsilon_2(\omega)}} \cong \frac{\sqrt{\epsilon_1(\omega)}}{\sqrt{\epsilon_2(\omega)}}, \tag{q}

我们可进一步将上式改写为

E0′=ϵ1(ω)cos⁡θ−ϵ1(ω)sin⁡θsin⁡θ′′cos⁡θ′′ϵ1(ω)cos⁡θ+ϵ1(ω)sin⁡θsin⁡θ′′cos⁡θ′′E0=cos⁡θsin⁡θ′′−sin⁡θcos⁡θ′′cos⁡θsin⁡θ′′+sin⁡θcos⁡θ′′E0=sin⁡(θ′′−θ)sin⁡(θ′′+θ)E0,(r)\begin{aligned} E'_0 &= \frac{\sqrt{\epsilon_1(\omega)} \cos\theta - \frac{\sqrt{\epsilon_1(\omega)} \sin\theta}{\sin\theta''} \cos\theta''}{\sqrt{\epsilon_1(\omega)} \cos\theta + \frac{\sqrt{\epsilon_1(\omega)} \sin\theta}{\sin\theta''} \cos\theta''} E_0 \\ &= \frac{\cos\theta \sin\theta'' - \sin\theta \cos\theta''}{\cos\theta \sin\theta'' + \sin\theta \cos\theta''} E_0 = \frac{\sin(\theta'' - \theta)}{\sin(\theta'' + \theta)} E_0, \end{aligned} \tag{r}

以及

E0′′=2ϵ1(ω)cos⁡θϵ1(ω)cos⁡θ+ϵ1(ω)sin⁡θsin⁡θ′′cos⁡θ′′E0=2cos⁡θsin⁡θ′′cos⁡θsin⁡θ′′+sin⁡θcos⁡θ′′E0=2cos⁡θsin⁡θ′′sin⁡(θ′′+θ)E0.(s)\begin{aligned} E''_0 &= \frac{2 \sqrt{\epsilon_1(\omega)} \cos\theta}{\sqrt{\epsilon_1(\omega)} \cos\theta + \frac{\sqrt{\epsilon_1(\omega)} \sin\theta}{\sin\theta''} \cos\theta''} E_0 \\ &= \frac{2 \cos\theta \sin\theta''}{\cos\theta \sin\theta'' + \sin\theta \cos\theta''} E_0 = \frac{2 \cos\theta \sin\theta''}{\sin(\theta'' + \theta)} E_0. \end{aligned} \tag{s}

(ii) 接下来，我们讨论 E0\mathbf{E}_0 平行于入射面，即如教科书 119 页上图 4-4(b) 所示的情况。此时，边值条件 (n) 化为

E0cos⁡θ−E0′cos⁡θ=E0′′cos⁡θ′′,(t)E_0 \cos\theta - E'_0 \cos\theta = E''_0 \cos\theta'', \tag{t}

而边值条件 (o) 则为

en×(1μ1(ω)k×E0)+en×(1μ1(ω)k′×E0′)=1μ1(ω)en×(kE0⊙)+1μ1(ω)en×(k′E0′⊙)=en×(1μ2(ω)k′′×E0′′)=1μ2(ω)en×(k′′E0′′⊙),\begin{aligned} &\mathbf{e}_n \times \left( \frac{1}{\mu_1(\omega)} \mathbf{k} \times \mathbf{E}_0 \right) + \mathbf{e}_n \times \left( \frac{1}{\mu_1(\omega)} \mathbf{k}' \times \mathbf{E}'_0 \right) \\ &= \frac{1}{\mu_1(\omega)} \mathbf{e}_n \times (k E_0 \odot) + \frac{1}{\mu_1(\omega)} \mathbf{e}_n \times (k' E'_0 \odot) \\ &= \mathbf{e}_n \times \left( \frac{1}{\mu_2(\omega)} \mathbf{k}'' \times \mathbf{E}''_0 \right) = \frac{1}{\mu_2(\omega)} \mathbf{e}_n \times (k'' E''_0 \odot), \end{aligned}

故我们有

1μ1(ω)(kE0+k′E0′)=1μ2(ω)k′′E0′′.\frac{1}{\mu_1(\omega)} (k E_0 + k' E'_0) = \frac{1}{\mu_2(\omega)} k'' E''_0.

将 k=k′=ωμ1(ω)ϵ1(ω)k = k' = \omega \sqrt{\mu_1(\omega)\epsilon_1(\omega)} 及 k′′=ωμ2(ω)ϵ2(ω)k'' = \omega \sqrt{\mu_2(\omega)\epsilon_2(\omega)} 代入并取 μ1(ω)≅μ2(ω)≅μ0\mu_1(\omega) \cong \mu_2(\omega) \cong \mu_0 后，我们得到

ϵ1(ω)(E0+E0′)=ϵ2(ω)E0′′.\sqrt{\epsilon_1(\omega)} (E_0 + E'_0) = \sqrt{\epsilon_2(\omega)} E''_0.

将此式与 (t) 式联立求解，并再次利用折射定律后，我们有

E0′=tan⁡(θ−θ′′)tan⁡(θ+θ′′)E0,E0′′=2cos⁡θsin⁡θ′′sin⁡(θ+θ′′)cos⁡(θ−θ′′)E0,(u)E'_0 = \frac{\tan(\theta - \theta'')}{\tan(\theta + \theta'')} E_0, \quad E''_0 = \frac{2 \cos\theta \sin\theta''}{\sin(\theta + \theta'') \cos(\theta - \theta'')} E_0, \tag{u}

此式与 (r) 和 (s) 式一起被称为菲涅尔公式 (Fresnel formulae)，给出了反射波和折射波对于入射波的电场强度的比值，由法国学者 Augustin Fresnel 于 1823 年提出。

特别值得一提的是，当 θ+θ′′=π2\theta + \theta'' = \frac{\pi}{2} 时，由 (u) 式我们得出结论 E0′=0E'_0 = 0，即入射电场中振幅平行于入射面的分量没有反射波。因此，此时入射的自然光（为两种偏振光的等量混合）的反射光将变为垂直于入射面偏振的完全偏振光。此即光学中的布儒斯特定律 (Brewster's law)，相应的入射角称为布儒斯特角。

菲涅尔公式同时也给出了入射波、反射波和折射波之间的相位关系。例如，当 ϵ2(ω)>ϵ1(ω)\epsilon_2(\omega) > \epsilon_1(\omega) 时，根据折射定律 (q) 式，我们有 θ>θ′′\theta > \theta''。此时，sin⁡(θ′′−θ)\sin(\theta'' - \theta) 为负数。因此，当 E0E_0 与入射面垂直时，E0′E'_0 和 E0E_0 的符号相反。这种现象在光学中称为半波损失。反之，若 ϵ2(ω)<ϵ1(ω)\epsilon_2(\omega) < \epsilon_1(\omega)，则根据折射定律，我们有 θ<θ′′\theta < \theta''，而此时 E0′E'_0 和 E0E_0 是同号的。特别是当 sin⁡θc≡ϵ2(ω)/ϵ1(ω)\sin\theta_c \equiv \sqrt{\epsilon_2(\omega)/\epsilon_1(\omega)} 时，θ′′=π/2\theta'' = \pi/2。这时的折射波将从两种介质的分界面上掠过。若再进一步增大入射角度 θ\theta，就不可能定义折射角 θ′′\theta'' 了。此时，我们期待将会有新的物理现象发生。此时，我们仍有

kx′′=kx=ksin⁡θ,k=ωμ1(ω)ϵ1(ω),k′′=ωμ2(ω)ϵ2(ω)k''_x = k_x = k \sin\theta, \quad k = \omega \sqrt{\mu_1(\omega)\epsilon_1(\omega)}, \quad k'' = \omega \sqrt{\mu_2(\omega)\epsilon_2(\omega)}

成立。因此，k′′\mathbf{k}'' 的 zz 分量为

k′′z=k′′2−k′′x2=k′′2−(ksin⁡θ)2=k′′2−k2sin⁡2θ=k2(μ2(ω)ϵ2(ω)μ1(ω)ϵ1(ω))2−k2sin⁡2θ=k(n2n1)2−sin⁡2θ=kn212−sin⁡2θ.\begin{aligned} {k''}_z &= \sqrt{{k''}^2 - {k''}_x^2} = \sqrt{{k''}^2 - (k \sin\theta)^2} = \sqrt{{k''}^2 - k^2 \sin^2\theta} \\\\ &= \sqrt{k^2 \left( \frac{\sqrt{\mu_2(\omega)\epsilon_2(\omega)}}{\sqrt{\mu_1(\omega)\epsilon_1(\omega)}} \right)^2 - k^2 \sin^2\theta} = k \sqrt{\left( \frac{n_2}{n_1} \right)^2 - \sin^2\theta} \\\\ &= k \sqrt{n_{21}^2 - \sin^2\theta}. \end{aligned}

当 θ>θc\theta > \theta_c 时，sin⁡θ>sin⁡θc=n21\sin\theta > \sin\theta_c = n_{21}。这样，kz′′k''_z 就成了一个纯虚数，即

kz′′=iκ=iksin⁡2θ−n212.k''_z = i\kappa = i k \sqrt{\sin^2\theta - n_{21}^2}.

而在介质 2 中的电场强度矢量为

E′′(r,t)=E0′′exp⁡(ik′′⋅r−iωt)=E0′′exp⁡(−κz)exp⁡(ikx′′x−iωt).\mathbf{E}''(\mathbf{r},t) = \mathbf{E}''_0 \exp(i\mathbf{k}'' \cdot \mathbf{r} - i\omega t) = \mathbf{E}''_0 \exp(-\kappa z) \exp(ik''_x x - i\omega t).

我们看到，折射波的电场强度矢量随着 zz 趋向于无穷而指数衰减。这就是所谓全反射现象。因此，

κ−1=1ksin⁡2θ−n212=λ2πsin⁡2θ−n212\kappa^{-1} = \frac{1}{k \sqrt{\sin^2\theta - n_{21}^2}} = \frac{\lambda}{2\pi \sqrt{\sin^2\theta - n_{21}^2}}

也被视作电磁波可以“渗入”介质 2 的薄层的厚度。

为了更为清楚地理解这一物理图像，让我们再来计算折射波的能流密度矢量。为此，我们需要计算磁场强度矢量 H′′(r,t)\mathbf{H}''(\mathbf{r},t)。当电场强度矢量 E′′(r,t)\mathbf{E}''(\mathbf{r},t) 垂直于入射面时，我们有

E′′(r,t)=E0′′exp⁡(−κz)exp⁡(ikx′′−iωt)ey.\mathbf{E}''(\mathbf{r},t) = E''_0 \exp(-\kappa z) \exp(ik''_x - i\omega t) \mathbf{e}_y.

又因为

H′′(r,t)=1ωμ2(ω)k′′×E′′(r,t)=1ωμ2(ω)((kx′′ex+iκez)×(E0′′exp⁡(−κz)exp⁡(ikx′′x−iωt)ey))=1ωμ2(ω)kx′′E0′′exp⁡(−κz)exp⁡(ikx′′x−iωt)ez−1ωμ2(ω)iκE0′′exp⁡(−κz)exp⁡(ikx′′x−iωt)ex.\begin{aligned} \mathbf{H}''(\mathbf{r},t) &= \frac{1}{\omega\mu_2(\omega)} \mathbf{k}'' \times \mathbf{E}''(\mathbf{r},t) \\ &= \frac{1}{\omega\mu_2(\omega)} ((k''_x \mathbf{e}_x + i\kappa \mathbf{e}_z) \times (E''_0 \exp(-\kappa z) \exp(ik''_x x - i\omega t) \mathbf{e}_y)) \\ &= \frac{1}{\omega\mu_2(\omega)} k''_x E''_0 \exp(-\kappa z) \exp(ik''_x x - i\omega t) \mathbf{e}_z \\ &- \frac{1}{\omega\mu_2(\omega)} i\kappa E''_0 \exp(-\kappa z) \exp(ik''_x x - i\omega t) \mathbf{e}_x. \end{aligned}

取实部后，我们有

E′′(r,t)=E0′′exp⁡(−κz)cos⁡(ωt−kx′′x)ey,H′′(r,t)=1ωμ2(ω)kx′′E0′′exp⁡(−κz)cos⁡(ωt−kx′′x)ez−1ωμ2(ω)κE0′′exp⁡(−κz)sin⁡(ωt−kx′′x)ex.\begin{aligned} \mathbf{E}''(\mathbf{r},t) &= E''_0 \exp(-\kappa z) \cos(\omega t - k''_x x) \mathbf{e}_y, \\ \mathbf{H}''(\mathbf{r},t) &= \frac{1}{\omega\mu_2(\omega)} k''_x E''_0 \exp(-\kappa z) \cos(\omega t - k''_x x) \mathbf{e}_z \\ &- \frac{1}{\omega\mu_2(\omega)} \kappa E''_0 \exp(-\kappa z) \sin(\omega t - k''_x x) \mathbf{e}_x. \end{aligned}

因此，在介质 2 中的折射波能量流密度为

S′′(r,t)=E′′(r,t)×H′′(r,t)=(E0′′exp⁡(−κz)cos⁡(ωt−kx′′x)ey)×(1ωμ2(ω)kx′′E0′′exp⁡(−κz)cos⁡(ωt−kx′′x)ez)−(E0′′exp⁡(−κz)cos⁡(ωt−kx′′x)ey)×(1ωμ2(ω)κE0′′exp⁡(−κz)sin⁡(ωt−kx′′x)ex)=1ωμ2(ω)k′′xE′′02exp⁡(−2κz)cos⁡2(ωt−k′′xx)ex+1ωμ2(ω)k′′xκE′′02exp⁡(−2κz)cos⁡(ωt−kx′′x)sin⁡(ωt−kx′′x)ez.\begin{aligned} \mathbf{S}''(\mathbf{r},t) &= \mathbf{E}''(\mathbf{r},t) \times \mathbf{H}''(\mathbf{r},t) \\ &= (E''_0 \exp(-\kappa z) \cos(\omega t - k''_x x) \mathbf{e}_y) \times \left( \frac{1}{\omega\mu_2(\omega)} k''_x E''_0 \exp(-\kappa z) \cos(\omega t - k''_x x) \mathbf{e}_z \right) \\ &- (E''_0 \exp(-\kappa z) \cos(\omega t - k''_x x) \mathbf{e}_y) \times \left( \frac{1}{\omega\mu_2(\omega)} \kappa E''_0 \exp(-\kappa z) \sin(\omega t - k''_x x) \mathbf{e}_x \right) \\ &= \frac{1}{\omega\mu_2(\omega)} {k''}_x {E''}_0^2 \exp(-2\kappa z) \cos^2(\omega t - {k''}_x x) \mathbf{e}_x \\ &+ \frac{1}{\omega\mu_2(\omega)} {k''}_x \kappa {E''}_0^2 \exp(-2\kappa z) \cos(\omega t - k''_x x) \sin(\omega t - k''_x x) \mathbf{e}_z. \end{aligned}

将之对时间取平均值后，我们有

S′′‾(r)=1T∫0TS′′(r,t) dt=1T∫0TE′′(r,t)×H′′(r,t) dt=12ωμ2(ω)k′′xE′′02exp⁡(−2κz)ex=12ωμ2(ω)k′′sin⁡θ′′E′′02exp⁡(−2κz)ex=12ωμ2(ω)ωμ2(ω)ϵ2(ω)sin⁡θn21E′′02exp⁡(−2κz)ex=12ϵ2(ω)μ2(ω)E′′02exp⁡(−2κz)sin⁡θn21ex.\begin{aligned} \overline{\mathbf{S}''}(\mathbf{r}) &= \frac{1}{T} \int_0^T \mathbf{S}''(\mathbf{r},t) \, dt = \frac{1}{T} \int_0^T \mathbf{E}''(\mathbf{r},t) \times \mathbf{H}''(\mathbf{r},t) \, dt \\\\ &= \frac{1}{2\omega\mu_2(\omega)} {k''}_x {E''}_0^2 \exp(-2\kappa z) \mathbf{e}_x = \frac{1}{2\omega\mu_2(\omega)} {k''} \sin\theta'' {E''}_0^2 \exp(-2\kappa z) \mathbf{e}_x \\\\ &= \frac{1}{2\omega\mu_2(\omega)} \omega \sqrt{\mu_2(\omega)\epsilon_2(\omega)} \frac{\sin\theta}{n_{21}} {E''}_0^2 \exp(-2\kappa z) \mathbf{e}_x \\\\ &= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\epsilon_2(\omega)}{\mu_2(\omega)}} {E''}_0^2 \exp(-2\kappa z) \frac{\sin\theta}{n_{21}} \mathbf{e}_x. \end{aligned}

因此，折射平均能量流密度只有 xx 分量，而沿 zz 轴方向透入介质 2 的平均能量流密度为零。

若在全反射的情况下允许三角函数取复数值，则本节中推导出的有关反射波和折射波的公式仍然有效。例如，当电场强度矢量 E0E_0 垂直于入射面时，我们有

E0′=μ1(ω)ϵ1(ω)cos⁡θ−μ2(ω)ϵ2(ω)cos⁡θ′′μ1(ω)ϵ1(ω)cos⁡θ+μ2(ω)ϵ2(ω)cos⁡θ′′E0=cos⁡θ−μ2(ω)ϵ2(ω)μ1(ω)ϵ1(ω)cos⁡θ′′cos⁡θ+μ2(ω)ϵ2(ω)μ1(ω)ϵ1(ω)cos⁡θ′′E0=cos⁡θ−n21cos⁡θ′′cos⁡θ+n21cos⁡θ′′E0.(v)\begin{aligned} E'_0 &= \frac{\sqrt{\mu_1(\omega)\epsilon_1(\omega)} \cos\theta - \sqrt{\mu_2(\omega)\epsilon_2(\omega)} \cos\theta''}{\sqrt{\mu_1(\omega)\epsilon_1(\omega)} \cos\theta + \sqrt{\mu_2(\omega)\epsilon_2(\omega)} \cos\theta''} E_0 \\ &= \frac{\cos\theta - \sqrt{\frac{\mu_2(\omega)\epsilon_2(\omega)}{\mu_1(\omega)\epsilon_1(\omega)}} \cos\theta''}{\cos\theta + \sqrt{\frac{\mu_2(\omega)\epsilon_2(\omega)}{\mu_1(\omega)\epsilon_1(\omega)}} \cos\theta''} E_0 = \frac{\cos\theta - n_{21} \cos\theta''}{\cos\theta + n_{21} \cos\theta''} E_0. \end{aligned} \tag{v}

另一方面，在发生全反射的情况下，我们有

sin⁡θ′′=kx′′k′′=kxk′′=ksin⁡θkx2+kz2=ksin⁡θ(ksin⁡θ)2+(iκ)2=ksin⁡θk2sin⁡2θ−κ2=ksin⁡θk2sin⁡2θ−k2(sin⁡2θ−n212)=ksin⁡θk2sin⁡2θ−k2sin⁡2θ+k2n212=sin⁡θn21,\begin{aligned} \sin\theta'' &= \frac{k''_x}{k''} = \frac{k_x}{k''} = \frac{k \sin\theta}{\sqrt{k_x^2 + k_z^2}} = \frac{k \sin\theta}{\sqrt{(k \sin\theta)^2 + (i\kappa)^2}} = \frac{k \sin\theta}{\sqrt{k^2 \sin^2\theta - \kappa^2}} \\ &= \frac{k \sin\theta}{\sqrt{k^2 \sin^2\theta - k^2(\sin^2\theta - n_{21}^2)}} = \frac{k \sin\theta}{\sqrt{k^2 \sin^2\theta - k^2 \sin^2\theta + k^2 n_{21}^2}} = \frac{\sin\theta}{n_{21}}, \end{aligned}

而

cos⁡θ′′=1−sin⁡2θ′′=1−sin⁡2θn212=isin⁡2θn212−1.\cos\theta'' = \sqrt{1 - \sin^2\theta''} = \sqrt{1 - \frac{\sin^2\theta}{n_{21}^2}} = i \sqrt{\frac{\sin^2\theta}{n_{21}^2} - 1}.

代入 (v) 式后，我们有

E0′=cos⁡θ−isin⁡2θ−n212cos⁡θ+isin⁡2θ−n212E0.E'_0 = \frac{\cos\theta - i \sqrt{\sin^2\theta - n_{21}^2}}{\cos\theta + i \sqrt{\sin^2\theta - n_{21}^2}} E_0.

又由于

∣cos⁡θ−isin⁡2θ−n212cos⁡θ+isin⁡2θ−n212∣=cos⁡2θ+(sin⁡2θ−n212)cos⁡2θ+(sin⁡2θ−n212)=1,\left| \frac{\cos\theta - i \sqrt{\sin^2\theta - n_{21}^2}}{\cos\theta + i \sqrt{\sin^2\theta - n_{21}^2}} \right| = \frac{\sqrt{\cos^2\theta + (\sin^2\theta - n_{21}^2)}}{\sqrt{\cos^2\theta + (\sin^2\theta - n_{21}^2)}} = 1,

故我们有

E0′=e−2iϕE0.E'_0 = e^{-2i\phi} E_0.

这里，

tan⁡ϕ=sin⁡2θ−n212cos⁡θ.\tan\phi = \frac{\sqrt{\sin^2\theta - n_{21}^2}}{\cos\theta}.

此式表明，反射波与入射波具有相同的振幅，尽管二者之间有一定的相位差。因此，反射波平均能量密度流在数值上与入射波平均能量密度流相等，即电磁波能量被全部反射回去。光波在光纤中的传播，即利用了全反射现象。

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2026/9/22 12:31
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