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Lesson 16 电磁波的传播 III

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2026-07-01

Part 3 导体存在时电磁波的传播

在上面的讨论中，尽管没有明确声明，我们实际上仅考虑了两种介质都是绝缘体的情况。若其中一种介质是导体，所得到的结论应该做何修正，正是我们在此节中要考虑的问题。

首先，我们注意到，在导体中可以存在传导电流，故在两种介质的分界面处可能有非零的传导电流密度 α⃗f(r,t)\vec{\alpha}_f(\mathbf{r},t)。其次，传到电流会导致焦耳热的产生，即电磁波能量转化为热能。这两点是我们 在重新推导过程中需要注意的。

我们已知，在静电学的情况下，自由电荷只可分布在导体的表面。现在我们要论证，在存在交变电场的情况下，这一结论仍不失为一种好的近似。为此，让我们考虑导体内的一点 r\mathbf{r} 处的电荷密度函数 ρ(r,t)\rho(\mathbf{r},t) 随时间的改变。首先，我们有连续性方程

∂ρ(r,t)∂t+∇⋅j(r,t)=0.\frac{\partial\rho(\mathbf{r},t)}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{j}(\mathbf{r},t) = 0.

这里，j(r,t)\mathbf{j}(\mathbf{r},t) 为该处的传导电流密度。其次，我们有欧姆定律

j(r,t)=σE(r,t).\mathbf{j}(\mathbf{r},t) = \sigma\mathbf{E}(\mathbf{r},t).

这里，σ\sigma 为导体的电导率。它不依赖于时间和位置。利用麦克斯韦方程组的第一式

∇⋅E(r,t)=1ϵρ(r,t),\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \frac{1}{\epsilon}\rho(\mathbf{r},t),

我们有

∂ρ(r,t)∂t=−∇⋅j(r,t)=−σ∇⋅E(r,t)=−σϵρ(r,t).\frac{\partial\rho(\mathbf{r},t)}{\partial t} = -\nabla\cdot\mathbf{j}(\mathbf{r},t) = -\sigma\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = -\frac{\sigma}{\epsilon}\rho(\mathbf{r},t).

解此微分方程，我们有

ρ(r,t)=ρ0(r)exp⁡(−σϵt).\rho(\mathbf{r},t) = \rho_0(\mathbf{r})\exp\left(-\frac{\sigma}{\epsilon}t\right).

这里，ρ(r)\rho(\mathbf{r}) 为 t=0t=0 时刻，导体内 r\mathbf{r} 处的自由电荷密度。此式告诉我们，导体内一点的自由电荷密度是随时间的增长指数衰减的，而衰减时间为

τ=ϵσ.\tau = \frac{\epsilon}{\sigma}.

因此，若电磁波的频率 ν=1T≪1τ\nu = \frac{1}{T} \ll \frac{1}{\tau}，或是

σTϵ=2πσϵω≫1(w)\frac{\sigma T}{\epsilon} = \frac{2\pi\sigma}{\epsilon\omega} \gg 1 \tag{w}

时，那么在时间间隔 tt 远远小于电磁波的周期内，在导体内 r\mathbf{r} 处的自由电荷密度 ρ(r,t)\rho(\mathbf{r},t) 就已经变得可以忽略不计了。也就是说，在条件 (w) 满足的情况下，导体内部的自由电荷分布仍可视作零，即电荷只能分布在导体表面上。

满足条件 (w) 的导体被称为良导体。一般的金属的特征值为 τ≅10−17\tau \cong 10^{-17} 秒。在接下来的讨论中，我们将假设这一条件总是满足的，即导体内部的自由电荷的分布可忽略不计。

在良导体假设下，导体内部的麦克斯韦方程组可以写作

∇⋅D(r,t)=0,∇×E(r,t)=−∂B(r,t)∂t,∇⋅B(r,t)=0,∇×H(r,t)=jf(r,t)+∂D(r,t)∂t.\begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf{D}(\mathbf{r},t) &= 0, & \nabla\times\mathbf{E}(\mathbf{r},t) &= -\frac{\partial\mathbf{B}(\mathbf{r},t)}{\partial t}, \\ \nabla\cdot\mathbf{B}(\mathbf{r},t) &= 0, & \nabla\times\mathbf{H}(\mathbf{r},t) &= \mathbf{j}_f(\mathbf{r},t) + \frac{\partial\mathbf{D}(\mathbf{r},t)}{\partial t}. \end{aligned}

对于单色波 E(r,t)=Eω(r)exp⁡(−iωt),H(r,t)=Hω(r)exp⁡(−iωt)\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \mathbf{E}_\omega(\mathbf{r})\exp(-i\omega t), \mathbf{H}(\mathbf{r},t) = \mathbf{H}_\omega(\mathbf{r})\exp(-i\omega t) 而言，我们可以将这些方程简化为

∇⋅Eω(r)=0,∇×Eω(r)=iωμ(ω)Hω(r),∇⋅Hω(r)=0,∇×Hω(r)=σEω(r)−iωϵ(ω)Eω(r).\begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf{E}_\omega(\mathbf{r}) &= 0, & \nabla\times\mathbf{E}_\omega(\mathbf{r}) &= i\omega\mu(\omega)\mathbf{H}_\omega(\mathbf{r}), \\ \nabla\cdot\mathbf{H}_\omega(\mathbf{r}) &= 0, & \nabla\times\mathbf{H}_\omega(\mathbf{r}) &= \sigma\mathbf{E}_\omega(\mathbf{r}) - i\omega\epsilon(\omega)\mathbf{E}_\omega(\mathbf{r}). \end{aligned}

若我们将此方程组中的第四式改写为

∇×Hω(r)=−iω(ϵ(ω)+iσω)Eω(r)=−iωϵ′(ω)Eω(r),\nabla\times\mathbf{H}_\omega(\mathbf{r}) = -i\omega\left(\epsilon(\omega) + i\frac{\sigma}{\omega}\right)\mathbf{E}_\omega(\mathbf{r}) = -i\omega\epsilon'(\omega)\mathbf{E}_\omega(\mathbf{r}),

可以看到，此方程与方程 (h) 在形式上是完全一样的，只不过作为代价，我们需要引入所谓“复电容率”

ϵ′(ω)=ϵ(ω)+iσω.\epsilon'(\omega) = \epsilon(\omega) + i\frac{\sigma}{\omega}.

因此，重复同样的推导过程，我们立刻可得导体内电场强度矢量 Eω(r)\mathbf{E}_\omega(\mathbf{r}) 所满足的与 (i) 式类似的赫姆霍兹方程

∇2Eω(r)+k2Eω(r)=0.(x)\nabla^2\mathbf{E}_\omega(\mathbf{r}) + k^2\mathbf{E}_\omega(\mathbf{r}) = 0. \tag{x}

这里，k=ωμ(ω)ϵ′(ω)k = \omega\sqrt{\mu(\omega)\epsilon'(\omega)} 为一复数波矢。同时，我们仍需要求

∇⋅Eω(r)=0\nabla\cdot\mathbf{E}_\omega(\mathbf{r}) = 0

成立。在求解出 Eω(r)\mathbf{E}_\omega(\mathbf{r}) 后，可再一次利用

∇×Eω(r)=iωμ(ω)Hω(r)(y)\nabla\times\mathbf{E}_\omega(\mathbf{r}) = i\omega\mu(\omega)\mathbf{H}_\omega(\mathbf{r}) \tag{y}

得到磁场强度矢量 Hω(r)\mathbf{H}_\omega(\mathbf{r})。

我们知道，方程 (x) 的一个特殊解为

Eω(r)=E0exp⁡(ik⋅r).\mathbf{E}_\omega(\mathbf{r}) = \mathbf{E}_0\exp(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}).

只不过现在波矢 k\mathbf{k} 为一复数矢量，即

k=β⃗+iγ⃗.\mathbf{k} = \vec{\beta} + i\vec{\gamma}.

这里，β⃗\vec{\beta} 和 γ⃗\vec{\gamma} 为两个实矢量。将此式两边取平方后，我们得到

k2=ω2μ(ω)(ϵ(ω)+iσω)=(β⃗+iγ⃗)2.k^2 = \omega^2\mu(\omega)\left(\epsilon(\omega) + i\frac{\sigma}{\omega}\right) = (\vec{\beta} + i\vec{\gamma})^2.

展开后，我们有

ω2μ(ω)ϵ(ω)+iωμ(ω)σ=β2−γ2+2iβ⃗⋅γ⃗.\omega^2\mu(\omega)\epsilon(\omega) + i\omega\mu(\omega)\sigma = \beta^2 - \gamma^2 + 2i\vec{\beta}\cdot\vec{\gamma}.

比较上式两边的实部和虚部后，我们得到

ω2μ(ω)ϵ(ω)=β2−γ2,12ωμ(ω)σ=β⃗⋅γ⃗.(z)\omega^2\mu(\omega)\epsilon(\omega) = \beta^2 - \gamma^2,\quad \frac{1}{2}\omega\mu(\omega)\sigma = \vec{\beta}\cdot\vec{\gamma}. \tag{z}

波数 kk 中不为零的虚部代表耗散现象的存在。由于有耗散的缘故，电磁场能量只能渗入导体表面的一个薄层内。因此，有导体存在时的传播问题一般是作为边值问题加以考虑的。电磁波主要是在导体以外的空间或介质中传播的，而渗入导体内的电磁波能量最终会被耗散成为焦耳热释放掉。在下面的讨论中，我们仅考虑垂直入射的情况，即取入射角 θ=0\theta = 0。

将导体与绝缘体的分界面取作 XYXY 平面，而 zz 轴指向导体内部。由于入射波的波矢 k\mathbf{k} 仅有 zz 分量，我们立刻可得导体内透射波（折射）波的波矢也仅有 zz 分量，即

E′′(r,t)=E0′′exp⁡(ik′′⋅r−iωt)=E0′′exp⁡(ik′′⋅r−iωt)=E0′′exp⁡[i(βz+iγz)ez⋅r−iωt]=E0′′exp⁡(−γzz)exp⁡(iβzz−iωt).\begin{aligned} \mathbf{E}''(\mathbf{r},t) &= \mathbf{E}_0''\exp(i\mathbf{k}''\cdot\mathbf{r} - i\omega t) = \mathbf{E}_0''\exp(i\mathbf{k}''\cdot\mathbf{r} - i\omega t) \\ &= \mathbf{E}_0''\exp[i(\beta_z + i\gamma_z)\mathbf{e}_z\cdot\mathbf{r} - i\omega t] \\ &= \mathbf{E}_0''\exp(-\gamma_z z)\exp(i\beta_z z - i\omega t). \end{aligned}

代入 (z) 式后，我们有

ω2μ(ω)ϵ(ω)=βz2−γz2,12ωμ(ω)σ=βzγz.\omega^2\mu(\omega)\epsilon(\omega) = \beta_z^2 - \gamma_z^2,\quad \frac{1}{2}\omega\mu(\omega)\sigma = \beta_z\gamma_z.

由此，我们解得

βz=ωμ(ω)ϵ(ω)[12(1+σ2ω2ϵ2(ω)+1)]1/2,γz=ωμ(ω)ϵ(ω)[12(1+σ2ω2ϵ2(ω)−1)]1/2.\begin{aligned} \beta_z &= \omega\sqrt{\mu(\omega)\epsilon(\omega)}\left[\frac{1}{2}\left(\sqrt{1 + \frac{\sigma^2}{\omega^2\epsilon^2(\omega)} + 1}\right)\right]^{1/2}, \\ \gamma_z &= \omega\sqrt{\mu(\omega)\epsilon(\omega)}\left[\frac{1}{2}\left(\sqrt{1 + \frac{\sigma^2}{\omega^2\epsilon^2(\omega)} - 1}\right)\right]^{1/2}. \end{aligned}

当良导体条件

σωϵ(ω)≫1\frac{\sigma}{\omega\epsilon(\omega)} \gg 1

成立时，我们近似有

βz≅ωμ(ω)ϵ(ω)[12σ2ω2ϵ2(ω)]1/2=ωμ(ω)σ2,γz≅ωμ(ω)ϵ(ω)[12σ2ω2ϵ2(ω)]1/2=ωμ(ω)σ2.\begin{aligned} \beta_z &\cong \omega\sqrt{\mu(\omega)\epsilon(\omega)}\left[\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\sigma^2}{\omega^2\epsilon^2(\omega)}}\right]^{1/2} = \sqrt{\frac{\omega\mu(\omega)\sigma}{2}}, \\ \gamma_z &\cong \omega\sqrt{\mu(\omega)\epsilon(\omega)}\left[\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\sigma^2}{\omega^2\epsilon^2(\omega)}}\right]^{1/2} = \sqrt{\frac{\omega\mu(\omega)\sigma}{2}}. \end{aligned}

因此，在导体内部，电场强度矢量 E′′(r,t)\mathbf{E}''(\mathbf{r},t) 现在可以写作

E′′(r,t)≅E0′′exp⁡(−ωμ(ω)σ2z)exp⁡(iωμ(ω)σ2z−iωt).\mathbf{E}''(\mathbf{r},t) \cong \mathbf{E}_0''\exp\left(-\sqrt{\frac{\omega\mu(\omega)\sigma}{2}}z\right)\exp\left(i\sqrt{\frac{\omega\mu(\omega)\sigma}{2}}z - i\omega t\right).

我们将满足条件

ωμ(ω)σ2zc=1,\sqrt{\frac{\omega\mu(\omega)\sigma}{2}}z_c = 1,

或是

zc=2ωμ(ω)σz_c = \sqrt{\frac{2}{\omega\mu(\omega)\sigma}}

定义为穿透深度，视作电场能量可以进入导体的范围。当频率为 100MHz100\mathrm{MHz} 时，对于铜而言，zc=0.7×10−3z_c = 0.7\times10^{-3} 厘米。由此可见，对于高频电磁波，电磁能量集中仅存在于导体表面的一个薄层内。这种现象称为趋肤效应。

从磁场强度矢量 H(r,t)\mathbf{H}(\mathbf{r},t) 和电场强度矢量 E(r,t)\mathbf{E}(\mathbf{r},t) 的关系 (y)，我们得到

H0′′=1ωμ(ω)k×E0′′=1ωμ(ω)(βz+iγz)en×E0′′≅1ωμ(ω)ωμ(ω)σ2(1+i)en×E0′′=σωμ(ω)exp⁡(π4i)en×E0′′.\begin{aligned} \mathbf{H}_0'' &= \frac{1}{\omega\mu(\omega)}\mathbf{k}\times\mathbf{E}_0'' = \frac{1}{\omega\mu(\omega)}(\beta_z + i\gamma_z)\mathbf{e}_n\times\mathbf{E}_0'' \\ &\cong \frac{1}{\omega\mu(\omega)}\sqrt{\frac{\omega\mu(\omega)\sigma}{2}}(1+i)\mathbf{e}_n\times\mathbf{E}_0'' = \sqrt{\frac{\sigma}{\omega\mu(\omega)}}\exp\left(\frac{\pi}{4}i\right)\mathbf{e}_n\times\mathbf{E}_0''. \end{aligned}

又由于

WE(r,t)=12ϵ(ω)E2(r,t),WB(r,t)=12μ(ω)B2(r,t),W_E(\mathbf{r},t) = \frac{1}{2}\epsilon(\omega)E^2(\mathbf{r},t),\quad W_B(\mathbf{r},t) = \frac{1}{2\mu(\omega)}B^2(\mathbf{r},t),

我们看到

∣WB(r,t)WE(r,t)∣导体=∣12μ(ω)B0′′212ϵ(ω)E0′′2∣导体=σμ(ω)ω⋅1μ(ω)ϵ(ω)=σωϵ(ω)≫1.\left|\frac{W_B(\mathbf{r},t)}{W_E(\mathbf{r},t)}\right|_{\text{导体}} = \left|\frac{\frac{1}{2\mu(\omega)}B_0''^2}{\frac{1}{2}\epsilon(\omega)E_0''^2}\right|_{\text{导体}} = \frac{\sigma\mu(\omega)}{\omega}\cdot\frac{1}{\mu(\omega)\epsilon(\omega)} = \frac{\sigma}{\omega\epsilon(\omega)} \gg 1.

在推导的最后一步，我们利用了良导体条件

σωϵ(ω)≫1.\frac{\sigma}{\omega\epsilon(\omega)} \gg 1.

因此，在导体内部，

∣12μ(ϵ)B0′′2∣导体≫∣12ϵ(ω)E0′′2∣导体\left|\frac{1}{2\mu(\epsilon)}B_0''^2\right|_{\text{导体}} \gg \left|\frac{1}{2}\epsilon(\omega)E_0''^2\right|_{\text{导体}}

成立。也就是说，金属内电磁波的能量主要是磁场能量。

接下来，我们考虑金属表面处的反射波 E′(r,t)\mathbf{E}'(\mathbf{r},t) 和 H′(r,t)\mathbf{H}'(\mathbf{r},t)。若仅考虑电磁场的偏振方向垂直于入射面的情况，我们有

E0+E0′=E0′′,H0+H0′=H0′′.\mathbf{E}_0 + \mathbf{E}_0' = \mathbf{E}_0'',\quad \mathbf{H}_0 + \mathbf{H}_0' = \mathbf{H}_0''.

将

H=1ωμ(ω)k×E\mathbf{H} = \frac{1}{\omega\mu(\omega)}\mathbf{k}\times\mathbf{E}

代入第二式后，我们得到

1ωμ0k(E0−E0′)=1ωμ(ω)k′′E0′′\frac{1}{\omega\mu_0}k(E_0 - E_0') = \frac{1}{\omega\mu(\omega)}k''E_0''

近似地，我们仍可取 μ(ω)≅μ0\mu(\omega) \cong \mu_0，即真空中的磁化率。因此，边值关系现在化为

E0+E0′=E0′′,k(E0−E0′)=k′′E0′′.E_0 + E_0' = E_0'',\quad k(E_0 - E_0') = k''E_0''.

由此，我们解得

E0′=kk′′−1kk′′+1E0=k−k′′k+k′′E0.E_0' = \frac{\frac{k}{k''} - 1}{\frac{k}{k''} + 1}E_0 = \frac{k - k''}{k + k''}E_0.

将 k=ωμ0ϵ0k = \omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0} 以及

k′′=βz+iγz=ωμ(ω)σ2(1+i)k'' = \beta_z + i\gamma_z = \sqrt{\frac{\omega\mu(\omega)\sigma}{2}}(1+i)

代入后，我们得到

E0′=ωμ0ϵ0−ωμ(ω)σ2(1+i)ωμ0ϵ0+ωμ(ω)σ2(1+i)E0=−(1+i)−2ωϵ0σ(1+i)+2ωϵ0σE0.E_0' = \frac{\omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0} - \sqrt{\frac{\omega\mu(\omega)\sigma}{2}}(1+i)}{\omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0} + \sqrt{\frac{\omega\mu(\omega)\sigma}{2}}(1+i)}E_0 = -\frac{(1+i) - \sqrt{\frac{2\omega\epsilon_0}{\sigma}}}{(1+i) + \sqrt{\frac{2\omega\epsilon_0}{\sigma}}}E_0.

电磁波的反射系数定义为

R=∣E0′E0∣2=(1−2ωϵ0σ)2+1(1+2ωϵ0σ)2+1≅2−22ωϵ0σ2+22ωϵ0σ=1−2ωϵ0σ1+2ωϵ0σ≅(1−2ωϵ0σ)(1−2ωϵ0σ)≅1−22ωϵ0σ.\begin{aligned} \mathcal{R} &= \left|\frac{E_0'}{E_0}\right|^2 = \frac{\left(1 - \sqrt{\frac{2\omega\epsilon_0}{\sigma}}\right)^2 + 1}{\left(1 + \sqrt{\frac{2\omega\epsilon_0}{\sigma}}\right)^2 + 1} \cong \frac{2 - 2\sqrt{\frac{2\omega\epsilon_0}{\sigma}}}{2 + 2\sqrt{\frac{2\omega\epsilon_0}{\sigma}}} = \frac{1 - \sqrt{\frac{2\omega\epsilon_0}{\sigma}}}{1 + \sqrt{\frac{2\omega\epsilon_0}{\sigma}}} \\ &\cong \left(1 - \sqrt{\frac{2\omega\epsilon_0}{\sigma}}\right)\left(1 - \sqrt{\frac{2\omega\epsilon_0}{\sigma}}\right) \cong 1 - 2\sqrt{\frac{2\omega\epsilon_0}{\sigma}}. \end{aligned}

因此，电导率 σ\sigma 越大，则反射系数越接近于 11。

例 8.1: 计算高频电磁波照射下导体的表面电阻。

由于趋肤效应，在靠近导体表面的薄层内，电场强度为

E′′(r,t)=E0′′exp⁡(−γzz)exp⁡(iβzz−iωt),\mathbf{E}''(\mathbf{r},t) = \mathbf{E}_0''\exp(-\gamma_z z)\exp(i\beta_z z - i\omega t),

相应的电流密度为

jf(r,t)=σE′′(r,t)=σE0′′exp⁡(−γzz)exp⁡(iβzz−iωt).\mathbf{j}_f(\mathbf{r},t) = \sigma\mathbf{E}''(\mathbf{r},t) = \sigma\mathbf{E}_0''\exp(-\gamma_z z)\exp(i\beta_z z - i\omega t).

将之积分后，我们有

α⃗f(t)=∫0∞jf(r,t) dz=∫0∞σE0′′exp⁡(−γzz)exp⁡(iβzz−iωt) dz=σE0′′exp⁡((iβz−γz)z−iωt)iβz−γz∣0∞=σE0′′−exp⁡(−iωt)iβz−γz=σE0′′exp⁡(−iωt)1βz2+γz2exp⁡(iφ).\begin{aligned} \vec{\alpha}_f(t) &= \int_0^\infty \mathbf{j}_f(\mathbf{r},t)\,dz = \int_0^\infty \sigma\mathbf{E}_0''\exp(-\gamma_z z)\exp(i\beta_z z - i\omega t)\,dz \\ &= \sigma\mathbf{E}_0''\left.\frac{\exp((i\beta_z - \gamma_z)z - i\omega t)}{i\beta_z - \gamma_z}\right|_0^\infty = \sigma\mathbf{E}_0''\frac{-\exp(-i\omega t)}{i\beta_z - \gamma_z} \\ &= \sigma\mathbf{E}_0''\exp(-i\omega t)\frac{1}{\sqrt{\beta_z^2 + \gamma_z^2}}\exp(i\varphi). \end{aligned}

这里，tan⁡φ=βz/γz\tan\varphi = \beta_z/\gamma_z，而 E0′′\mathbf{E}_0'' 为 z=0z=0 处的电场强度矢量。α⃗f\vec{\alpha}_f 可以解释为通过单层横截线的面电流密度。取其实部后，我们得到

α⃗物理=σE0′′1βz2+γz2cos⁡(ωt−φ)=α0cos⁡(ωt−φ)eE0′′.\vec{\alpha}_{\text{物理}} = \sigma\mathbf{E}_0''\frac{1}{\sqrt{\beta_z^2 + \gamma_z^2}}\cos(\omega t - \varphi) = \alpha_0\cos(\omega t - \varphi)\mathbf{e}_{\mathbf{E}_0''}.

这里，α0=σE0′′βz2+γz2\alpha_0 = \frac{\sigma E_0''}{\sqrt{\beta_z^2 + \gamma_z^2}}。另一方面，按照定义，导体内单位时间的损耗功率密度为

w(r,t)=j物理(r,t)⋅E物理′′(r,t)=[σE0′′exp⁡(−γzz)cos⁡(ωt−βzz)]⋅[E0′′exp⁡(−γzz)cos⁡(ωt−βzz)]=σE0′′2exp⁡(−2γzz)cos⁡2(ωt−βzz).\begin{aligned} w(\mathbf{r},t) &= \mathbf{j}_{\text{物理}}(\mathbf{r},t)\cdot\mathbf{E}_{\text{物理}}''(\mathbf{r},t) \\ &= [\sigma\mathbf{E}_0''\exp(-\gamma_z z)\cos(\omega t - \beta_z z)]\cdot[\mathbf{E}_0''\exp(-\gamma_z z)\cos(\omega t - \beta_z z)] \\ &= \sigma E_0''^2\exp(-2\gamma_z z)\cos^2(\omega t - \beta_z z). \end{aligned}

因此，w(r,t)w(\mathbf{r},t) 对时间的平均值为

w‾(r)=1T∫0Tw(r,t) dt=1T∫0TσE0′′2exp⁡(−2γzz)cos⁡2(ωt−βzz) dt=12T∫0TσE0′′2exp⁡(−2γzz)[1+2cos⁡(2ωt−2βzz)] dt=12σE0′′2exp⁡(−2γzz).\begin{aligned} \overline{w}(\mathbf{r}) &= \frac{1}{T}\int_0^T w(\mathbf{r},t)\,dt = \frac{1}{T}\int_0^T \sigma E_0''^2\exp(-2\gamma_z z)\cos^2(\omega t - \beta_z z)\,dt \\ &= \frac{1}{2T}\int_0^T \sigma E_0''^2\exp(-2\gamma_z z)[1 + 2\cos(2\omega t - 2\beta_z z)]\,dt \\ &= \frac{1}{2}\sigma E_0''^2\exp(-2\gamma_z z). \end{aligned}

将之对 zz 积分后，我们有

PL=∫0∞w‾(r) dz=∫0∞12σE0′′2exp⁡(−2γzz) dz=12σE0′′2exp⁡(−2γzz)(−2γz)∣0∞=σ4γzE0′′2.P_L = \int_0^\infty \overline{w}(\mathbf{r})\,dz = \int_0^\infty \frac{1}{2}\sigma E_0''^2\exp(-2\gamma_z z)\,dz = \frac{1}{2}\sigma E_0''^2\left.\frac{\exp(-2\gamma_z z)}{(-2\gamma_z)}\right|_0^\infty = \frac{\sigma}{4\gamma_z}E_0''^2.

如上面所定义

α0=σE0′′βz2+γz2,\alpha_0 = \frac{\sigma E_0''}{\sqrt{\beta_z^2 + \gamma_z^2}},

或是

E0′′=α0σβz2+γz2,E_0'' = \frac{\alpha_0}{\sigma}\sqrt{\beta_z^2 + \gamma_z^2},

则我们看到，PLP_L 可以改写作

PL=σ4γzE0′′2=σ4γz(α0σβz2+γz2)2=βz2+γz24σγzα02,P_L = \frac{\sigma}{4\gamma_z}E_0''^2 = \frac{\sigma}{4\gamma_z}\left(\frac{\alpha_0}{\sigma}\sqrt{\beta_z^2 + \gamma_z^2}\right)^2 = \frac{\beta_z^2 + \gamma_z^2}{4\sigma\gamma_z}\alpha_0^2,

而将之解释作单位时间内单位横截线上的损耗功率。与直流电损耗功率公式

P=12RI2P = \frac{1}{2}RI^2

做比较后，我们可以将

R~=βz2+γz22σγz\tilde{R} = \frac{\beta_z^2 + \gamma_z^2}{2\sigma\gamma_z}

视作导体在高频情况下出现的厚度为 zcz_c 的薄层内的电阻。又利用关系式

βz≅γz≅ωμ(ω)σ2=1zc,\beta_z \cong \gamma_z \cong \sqrt{\frac{\omega\mu(\omega)\sigma}{2}} = \frac{1}{z_c},

我们最后有

R~≅(1zc)2+(1zc)22σ(1zc)≅1σzc,\tilde{R} \cong \frac{\left(\frac{1}{z_c}\right)^2 + \left(\frac{1}{z_c}\right)^2}{2\sigma\left(\frac{1}{z_c}\right)} \cong \frac{1}{\sigma z_c},

而

PL=121σzcα02.P_L = \frac{1}{2}\frac{1}{\sigma z_c}\alpha_0^2.

Part 4 谐振腔

谐振腔是中空的金属腔。与我们在上节中讨论的情况不同的是，它的尺寸是有限的。在这种腔内，单色电磁波的频率只可取某些分立的特定值，称为允许频率。相应的，其波矢也只能取一些分立的特定值。最为重要的一点是，这些允许电磁波模式是驻波，而不是行波。从技术的角度讲，谐振腔常被用来产生一定频率的电磁震荡，有着十分重要的应用。

为了简化问题，我们下面将谐振腔的金属壁视作理想导体，即 σ=∞\sigma = \infty（在解决实际问题时，可以先将金属壁取作理想导体。将问题解决后，再考虑有限的电导率引起的焦耳热损耗）。此时的边值关系为

en×(E2−E1)=0,en×(H2−H1)=α⃗f(r,t).\mathbf{e}_n \times (\mathbf{E}_2 - \mathbf{E}_1) = 0, \quad \mathbf{e}_n \times (\mathbf{H}_2 - \mathbf{H}_1) = \vec{\alpha}_f(\mathbf{r},t).

在下面的讨论中，我们将导体取为介质 1，而介质 2 则为真空或绝缘体。因此，en\mathbf{e}_n 当为由金属指向绝缘体的单位矢量。对于理想导体而言，我们有

E(r,t)=H(r,t)=0.\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \mathbf{H}(\mathbf{r},t) = 0.

因此，边值关系现在简化为

en×E2(r,t)=en×E(r,t)=0,en×H2(r,t)=en×H(r,t)=α⃗f(r,t).\mathbf{e}_n \times \mathbf{E}_2(\mathbf{r},t) = \mathbf{e}_n \times \mathbf{E}(\mathbf{r},t) = 0, \quad \mathbf{e}_n \times \mathbf{H}_2(\mathbf{r},t) = \mathbf{e}_n \times \mathbf{H}(\mathbf{r},t) = \vec{\alpha}_f(\mathbf{r},t).

自然，我们还需考虑横场条件

∇⋅E(r,t)=0.\nabla \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r},t) = 0.

若将谐振腔的一个边界面取作 XYXY 平面，则法线 en\mathbf{e}_n 是沿 zz 轴方向的。由于电场强度矢量的切向分量是连续的，我们有

Ex(r,t)=0,Ey(r,t)=0E_x(\mathbf{r},t) = 0, \quad E_y(\mathbf{r},t) = 0

在此边界面上成立，而横波条件相应地退化

∇⋅E(r,t)=∂Ez(x,y,z,t)∂z=0.\nabla \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \frac{\partial E_z(x,y,z,t)}{\partial z} = 0.

这一形式用起来更为方便一些。

例 8.2: 证明两平行无穷大导体平面之间只可以传播一种横向偏振的电磁波。

解: 今后，我们将把横向偏振的电磁波记作 TEM 波（transverse electro-magnetic wave）。如教科书 129 页上的图 4-6 所示，设两导体与 yy 轴垂直，那么在两导体面上，我们有

Ex(r,t)=Ez(r,t)=0,Hy(r,t)=0.E_x(\mathbf{r},t) = E_z(\mathbf{r},t) = 0, \quad H_y(\mathbf{r},t) = 0.

若沿 zz 轴传播的平面电磁波的电场强度矢量是沿 yy 轴方向偏振的，则此平面电磁波满足所有的边界条件，故可以在导体板之间传播。而另外一种偏振的平面电磁波（E\mathbf{E} 与导体表面相切）由于不满足边界条件，故不存在。也就是说，两块导体板之间只能传播一种偏振的 TEM 平面波。

下面，为了确定起见，让我们考虑一个矩形谐振腔。设它的边长分别为 L1L_1，L2L_2 和 L3L_3。由于谐振腔的内部为均匀的绝缘介质，其中的电磁波满足赫姆霍兹方程

∂2E(r)∂x2+∂2E(r)∂y2+∂2E(r)∂z2+k2E(r)=0.\frac{\partial^2 \mathbf{E}(\mathbf{r})}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \mathbf{E}(\mathbf{r})}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \mathbf{E}(\mathbf{r})}{\partial z^2} + k^2 \mathbf{E}(\mathbf{r}) = 0.

令 u=Ex(r)u = E_x(\mathbf{r})，Ey(r)E_y(\mathbf{r}) 或 Ez(r)E_z(\mathbf{r})，则我们可以只考虑如下的标量微分方程

∂2u(r)∂x2+∂2u(r)∂y2+∂2u(r)∂z2+k2u(r)=0.\frac{\partial^2 u(\mathbf{r})}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u(\mathbf{r})}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u(\mathbf{r})}{\partial z^2} + k^2 u(\mathbf{r}) = 0.

利用分离变量法，我们令

u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z),u(x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z),

而每一个因子分别满足方程

d2X(x)dx2+kx2X(x)=0,d2X(x)dx2+kx2X(x)=0,d2X(x)dx2+kx2X(x)=0,\begin{aligned} \frac{d^2 X(x)}{dx^2} + k_x^2 X(x) &= 0, \\\\ \frac{d^2 X(x)}{dx^2} + k_x^2 X(x) &= 0, \\\\ \frac{d^2 X(x)}{dx^2} + k_x^2 X(x) &= 0, \end{aligned}

且

kx2+ky2+kz2=k2=ω2μ0ϵ0.k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = k^2 = \omega^2 \mu_0 \epsilon_0.

因此，我们有

u(x,y,z)=(C1cos⁡kxx+D1sin⁡kxx)×(C2cos⁡kyy+D2sin⁡kyy)(C3cos⁡kzz+D3sin⁡kzz).\begin{aligned} u(x,y,z) &= (C_1 \cos k_x x + D_1 \sin k_x x) \\ &\times (C_2 \cos k_y y + D_2 \sin k_y y)(C_3 \cos k_z z + D_3 \sin k_z z). \end{aligned}

此式中的待定常数需要通过边值条件来决定。例如，若取 u(x,y,z)=Ex(x,y,z)u(x,y,z) = E_x(x,y,z)，则由于在 x=0x=0 的腔壁上，Ex(x,y,z)E_x(x,y,z) 是沿法线方向的，故应有

∂Ex(x,y,z)∂x∣x=0=0.\left. \frac{\partial E_x(x,y,z)}{\partial x} \right|_{x=0} = 0.

因此，此时的 D1D_1 应该取为零。又由于在 y=0y=0 和 z=0z=0 的腔壁上，Ex(x,y,z)E_x(x,y,z) 是沿切向方向的，应该为零，故必有 C2=0C_2 = 0 和 C3=0C_3 = 0。因此，我们得到

Ex(x,y,z)=A1cos⁡kxxsin⁡kyysin⁡kzz.E_x(x,y,z) = A_1 \cos k_x x \sin k_y y \sin k_z z.

同理，我们可得

Ey(x,y,z)=A2sin⁡kxxcos⁡kyysin⁡kzz,Ez(x,y,z)=A3sin⁡kxxsin⁡kyycos⁡kzz.E_y(x,y,z) = A_2 \sin k_x x \cos k_y y \sin k_z z, \quad E_z(x,y,z) = A_3 \sin k_x x \sin k_y y \cos k_z z.

另一方面，在 x=L1x = L_1 的腔壁上，Ey(x,y,z)E_y(x,y,z) 是沿切向的，我们有边值条件

Ey(x=L1,y,z)=0,E_y(x = L_1, y, z) = 0,

或是

A2sin⁡kxL1cos⁡kyysin⁡kzz=0.A_2 \sin k_x L_1 \cos k_y y \sin k_z z = 0.

这就要求

kxL1=n1π,n1=0,1,2,…,k_x L_1 = n_1 \pi, \quad n_1 = 0,1,2,\dots,

或是

kx=n1πL1,n1=0,1,2,… .k_x = \frac{n_1 \pi}{L_1}, \quad n_1 = 0,1,2,\dots.

同理，对于 kyk_y 和 kzk_z，我们也可论证，它们的取值分别为

ky=n2πL2,kz=n3πL3,n2,n3=0,1,2,… .k_y = \frac{n_2 \pi}{L_2}, \quad k_z = \frac{n_3 \pi}{L_3}, \quad n_2,n_3 = 0,1,2,\dots.

需要强调一点的是，如此定义的电磁波强度矢量

E(x,y,z,t)=[Ex(x,y,z)i+Ey(x,y,z)j+Ez(x,y,z)ez]exp⁡(−iωt)=(A1cos⁡(n1πL1x)sin⁡(n2πL2y)sin⁡(n3πL3z)i+A2sin⁡(n1πL1x)cos⁡(n2πL2y)sin⁡(n3πL3z)j+A3sin⁡(n1πL1x)sin⁡(n2πL2y)cos⁡(n3πL3z)ez)exp⁡(−iωt)(aa)\begin{aligned} \mathbf{E}(x,y,z,t) &= [E_x(x,y,z)\mathbf{i} + E_y(x,y,z)\mathbf{j} + E_z(x,y,z)\mathbf{e}_z] \exp(-i\omega t) \\ &= \left( A_1 \cos\left(\frac{n_1 \pi}{L_1}x\right) \sin\left(\frac{n_2 \pi}{L_2}y\right) \sin\left(\frac{n_3 \pi}{L_3}z\right) \mathbf{i} \right. \\ &+ A_2 \sin\left(\frac{n_1 \pi}{L_1}x\right) \cos\left(\frac{n_2 \pi}{L_2}y\right) \sin\left(\frac{n_3 \pi}{L_3}z\right) \mathbf{j} \\ &+ \left. A_3 \sin\left(\frac{n_1 \pi}{L_1}x\right) \sin\left(\frac{n_2 \pi}{L_2}y\right) \cos\left(\frac{n_3 \pi}{L_3}z\right) \mathbf{e}_z \right) \exp(-i\omega t) \end{aligned} \tag{aa}

是驻波，而非行波。又由于 E(x,y,z,t)\mathbf{E}(x,y,z,t) 需满足横波条件

∇⋅E(x,y,z,t)=0,\nabla \cdot \mathbf{E}(x,y,z,t) = 0,

我们有

kxA1+kyA2+kzA3=0,k_x A_1 + k_y A_2 + k_z A_3 = 0,

即 A1A_1，A2A_2 和 A3A_3 仅有两个是独立的。满足以上条件的单色波称为一个允许模式，或本征模式。它具有两个独立的偏振方向，其频率由下式

ωn1,n2,n3=πμ(ω)ϵ(ω)(n1L1)2+(n2L2)2+(n3L3)2\omega_{n_1,n_2,n_3} = \frac{\pi}{\sqrt{\mu(\omega)\epsilon(\omega)}} \sqrt{\left(\frac{n_1}{L_1}\right)^2 + \left(\frac{n_2}{L_2}\right)^2 + \left(\frac{n_3}{L_3}\right)^2}

给出，称为谐振腔的本征频率。若 n1n_1，n2n_2 和 n3n_3 中有两个为零，则由 (aa) 式可以推出 E(x,y,z,t)=0\mathbf{E}(x,y,z,t) = 0。因此，当 L1≥L2≥L3L_1 \geq L_2 \geq L_3 时，最低的本征频率为

ωmin⁡=πμ(ω)ϵ(ω)(1L1)2+(1L2)2,\omega_{\min} = \frac{\pi}{\sqrt{\mu(\omega)\epsilon(\omega)}} \sqrt{\left(\frac{1}{L_1}\right)^2 + \left(\frac{1}{L_2}\right)^2},

或

ν110=ωmin⁡2π=12μ(ω)ϵ(ω)(n1L1)2+(n2L2)2.\nu_{110} = \frac{\omega_{\min}}{2\pi} = \frac{1}{2\sqrt{\mu(\omega)\epsilon(\omega)}} \sqrt{\left(\frac{n_1}{L_1}\right)^2 + \left(\frac{n_2}{L_2}\right)^2}.

.

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