soda-official

外观

Lesson 17 电磁波的传播 IV

复制页面

约 3320 字大约 11 分钟

2026-07-01

Part 5 电磁波导

在高频情况下，为了将电磁波能量从信号源传输到所需要的场地，人们往往利用所谓波导管。这是一种空心的金属管，其横截面即可以是矩形的，也可以是圆形的。在下面的讨论中，为了确定起见，我们仅考虑横截面为矩形的情况。

如图所示，

带坐标轴与尺寸标注的空心箱梁结构图.png

我们设波导的横截面位于坐标系的 XYXY 平面上。此时，管内的单色电磁波的电场强度矢量 E(x,y,z)\mathbf{E}(x,y,z) 满足赫姆霍兹方程

∇2E(x,y,z)+k2E(x,y,z)=0\nabla^2 \mathbf{E}(x,y,z) + k^2 \mathbf{E}(x,y,z) = 0

及横场条件 ∇⋅E(x,y,z)=0\nabla \cdot \mathbf{E}(x,y,z) = 0。由于电磁波是沿着 zz 轴传播的，我们可以将之写作

E(x,y,z)=E⃗(x,y)exp⁡(ikzz),\mathbf{E}(x,y,z) = \vec{\mathcal{E}}(x,y) \exp(ik_z z),

即在 zz 方向上传播的行波。将之代入赫姆霍兹方程后，我们得到关于 E⃗(x,y)\vec{\mathcal{E}}(x,y) 的微分方程

∂2E⃗(x,y)∂x2+∂2E⃗(x,y)∂y2+(k2−kz2)E⃗(x,y)=0.\frac{\partial^2 \vec{\mathcal{E}}(x,y)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \vec{\mathcal{E}}(x,y)}{\partial y^2} + (k^2 - k_z^2) \vec{\mathcal{E}}(x,y) = 0.

令 u(x,y)=Ex(x,y)u(x,y) = \mathcal{E}_x(x,y) 或 Ey(x,y)\mathcal{E}_y(x,y)，我们有

∂2u(x,y)∂x2+∂2u(x,y)∂y2+(k2−kz2)u(x,y)=0.\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial y^2} + (k^2 - k_z^2) u(x,y) = 0.

进一步，利用分离变量法，即令

u(x,y)=X(x)Y(y),u(x,y) = X(x)Y(y),

可得

d2X(x)dx2+kx2X(x)=0,d2Y(y)dy2+ky2Y(y)=0,\frac{d^2 X(x)}{dx^2} + k_x^2 X(x) = 0, \quad \frac{d^2 Y(y)}{dy^2} + k_y^2 Y(y) = 0,

且

kx2+ky2=k2−kz2k_x^2 + k_y^2 = k^2 - k_z^2

成立。如同解谐振腔问题一样，我们得到

u(x,y)=(C1cos⁡kxx+D1sin⁡kxx)(C2cos⁡kyy+D2sin⁡kyy).u(x,y) = (C_1 \cos k_x x + D_1 \sin k_x x)(C_2 \cos k_y y + D_2 \sin k_y y).

这里，C1C_1，D1D_1，C2C_2 和 D2D_2 需要通过边值条件

Ey(x,y,z)=Ez(x,y,z)=0,∂Ex(x,y,z)∂x=0, 当 x=0 或 a 时;Ex(x,y,z)=Ez(x,y,z)=0,∂Ey(x,y,z)∂y=0, 当 y=0 或 b 时\begin{aligned} &E_y(x,y,z) = E_z(x,y,z) = 0, \quad \frac{\partial E_x(x,y,z)}{\partial x} = 0, \text{ 当 } x = 0 \text{ 或 } a \text{ 时}; \\ &E_x(x,y,z) = E_z(x,y,z) = 0, \quad \frac{\partial E_y(x,y,z)}{\partial y} = 0, \text{ 当 } y = 0 \text{ 或 } b \text{ 时} \end{aligned}

来分别决定。仿照上面的推导，利用在 x=0x = 0 面和 y=0y = 0 面上的边值条件，我们可得

Ex(x,y,z)=A1cos⁡kxxsin⁡kyyexp⁡(ikzz),Ey(x,y,z)=A2sin⁡kxxcos⁡kyyexp⁡(ikzz),Ez(x,y,z)=A3sin⁡kxxsin⁡kyyexp⁡(ikzz).\begin{aligned} E_x(x,y,z) &= A_1 \cos k_x x \sin k_y y \exp(ik_z z), \\ E_y(x,y,z) &= A_2 \sin k_x x \cos k_y y \exp(ik_z z), \\ E_z(x,y,z) &= A_3 \sin k_x x \sin k_y y \exp(ik_z z). \end{aligned}

再利用在 x=ax = a 面和 y=by = b 面上的边值条件，又可推得

kx=mπa,ky=nπb,m,n=0,1,2,… .k_x = \frac{m\pi}{a}, \quad k_y = \frac{n\pi}{b}, \quad m,n = 0,1,2,\dots.

再考虑横波条件，我们有

kxA1+kyA2−ikzA3=0,k_x A_1 + k_y A_2 - ik_z A_3 = 0,

即 A1A_1，A2A_2 和 A3A_3 中仍然只有两个是独立的。在求出波导管内的电场强度矢量后，再利用方程

H(r,t)=−iωμ(ω)∇×E(r,t),\mathbf{H}(\mathbf{r},t) = -\frac{i}{\omega\mu(\omega)} \nabla \times \mathbf{E}(\mathbf{r},t),

即可求出相应的磁场强度矢量。任给一对整数 mm 和 nn，我们有确定的 kx=mπak_x = \frac{m\pi}{a} 和 ky=nπbk_y = \frac{n\pi}{b}，即一个允许模式对应。此时，电场强度矢量 E(r,t)\mathbf{E}(\mathbf{r},t) 有两个独立的偏振方向。若其中一个偏振方向具有 Ez(x,y,z)=0E_z(x,y,z) = 0，则 A3=0A_3 = 0 成立。

因此，kxA1+kyA2−ikzA3=0k_x A_1 + k_y A_2 - ik_z A_3 = 0 简化为

kxA1+kyA2=0,k_x A_1 + k_y A_2 = 0,

或是

A1A2=−kykx=−(nπb)/(mπa),\frac{A_1}{A_2} = -\frac{k_y}{k_x} = -\left(\frac{n\pi}{b}\right)/\left(\frac{m\pi}{a}\right),

即

A1=Cna,A2=−Cmb.A_1 = Cna, \quad A_2 = -Cmb.

这里，CC 为一个比例常数。也就是说，Ex(x,y,z)E_x(x,y,z)，Ey(x,y,z)E_y(x,y,z) 和 Ez(x,y,z)E_z(x,y,z) 是完全确定的。

同时，根据 H(r,t)=−iωμ(ω)∇×E(r,t)\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{r},t) = -\frac{i}{\omega\mu(\omega)} \nabla \times \mathbf{E}(\mathbf{r},t) ，此时 Hz(x,y,z)≠0H_z(x,y,z) \ne 0。

这意味着，在波导内，电场强度矢量 E(x,y,z)\mathbf{E}(x,y,z) 和磁场强度矢量 H(x,y,z)\mathbf{H}(x,y,z) 不能同时为横波。通常的做法是，选取一种具有 Ez(x,y,z)=0E_z(x,y,z) = 0 的电磁波，称为横电波，记作 TEmn\mathrm{TE}_{mn}，再选取一种具有 Hz(x,y,z)=0H_z(x,y,z) = 0 的波，称为横磁波，记作 TMmn\mathrm{TM}_{mn}。

一般情形下，波导管内传播的电磁波是这些波的线性叠加，即

E(x,y,z)=∑m=0∞∑n=0∞amnEmn(1)(x,y,z)+∑m=0∞∑n=0∞bmnEmn(2)(x,y,z).\mathbf{E}(x,y,z) = \sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty a_{mn} \mathbf{E}_{mn}^{(1)}(x,y,z) + \sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty b_{mn} \mathbf{E}_{mn}^{(2)}(x,y,z).

又由于在波导管内传播的电磁波的频率是受到限制的，需要满足条件

k2=(mπa)2+(nπb)2+kz2=ω2μ(ω)ϵ(ω),k^2 = \left(\frac{m\pi}{a}\right)^2 + \left(\frac{n\pi}{b}\right)^2 + k_z^2 = \omega^2 \mu(\omega)\epsilon(\omega),

或是

ω=1μ(ω)ϵ(ω)(mπa)2+(nπb)2+kz2≥1μ(ω)ϵ(ω)(mπa)2+(nπb)2.\omega = \frac{1}{\sqrt{\mu(\omega)\epsilon(\omega)}} \sqrt{\left(\frac{m\pi}{a}\right)^2 + \left(\frac{n\pi}{b}\right)^2 + k_z^2} \geq \frac{1}{\sqrt{\mu(\omega)\epsilon(\omega)}} \sqrt{\left(\frac{m\pi}{a}\right)^2 + \left(\frac{n\pi}{b}\right)^2}.

若 a>ba > b，则 TE10\mathrm{TE}_{10} 波具有最低截止频率

ν10=ω102π=12μ(ω)ϵ(ω) a=12aμ(ω)ϵ(ω).\nu_{10} = \frac{\omega_{10}}{2\pi} = \frac{1}{2\sqrt{\mu(\omega)\epsilon(\omega)}\,a} = \frac{1}{2a\sqrt{\mu(\omega)\epsilon(\omega)}}.

若波导管内的介质为真空，我们有

ν10=12aμ0ϵ0=c2a,\nu_{10} = \frac{1}{2a\sqrt{\mu_0\epsilon_0}} = \frac{c}{2a},

而相应的波长为

λ10=cT=cν10=2a.\lambda_{10} = cT = \frac{c}{\nu_{10}} = 2a.

因此，在波导管内能够通过电磁波的最大波长为 2a2a。这就是为什么在厘米波段，波导管的应用最广泛。

TE10\mathrm{TE}_{10} 波还有其它一些有趣的性质。首先，除了 Ez(x,y,z)=0E_z(x,y,z) = 0 之外，由于 ky=0k_y = 0，Ex(x,y,z)=A1cos⁡kxxsin⁡kyyeikzz=0E_x(x,y,z) = A_1 \cos k_x x \sin k_y y e^{ik_z z} = 0 也成立。因此，我们仅需考虑

Ey(x,y,z)=A2sin⁡πaxeikzz.E_y(x,y,z) = A_2 \sin \frac{\pi}{a} x e^{ik_z z}.

又由于

H(x,y,z)=Hx(x,y,z)ex+Hy(x,y,z)ey+Hz(x,y,z)ez\mathbf{H}(x,y,z) = H_x(x,y,z)\mathbf{e}_x + H_y(x,y,z)\mathbf{e}_y + H_z(x,y,z)\mathbf{e}_z

=−iωμ(ω)∇×E(x,y,z)=−iωμ(ω)∣exeyez∂∂x∂∂y∂∂z0A2sin⁡πaxeikzz0∣= -\frac{i}{\omega\mu(\omega)} \nabla \times \mathbf{E}(x,y,z) = -\frac{i}{\omega\mu(\omega)} \begin{vmatrix} \mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & A_2 \sin \frac{\pi}{a} x e^{ik_z z} & 0 \end{vmatrix}

=−iωμ(ω)∂∂x(A2sin⁡πaxeikzz)ez+iωμ(ω)∂∂z(A2sin⁡πaxeikzz)ex= -\frac{i}{\omega\mu(\omega)} \frac{\partial}{\partial x} \left(A_2 \sin \frac{\pi}{a} x e^{ik_z z}\right) \mathbf{e}_z + \frac{i}{\omega\mu(\omega)} \frac{\partial}{\partial z} \left(A_2 \sin \frac{\pi}{a} x e^{ik_z z}\right) \mathbf{e}_x

=−iωμ(ω)A2πacos⁡πaxeikzzez−kzωμ(ω)A2sin⁡πaxeikzzex,= -\frac{i}{\omega\mu(\omega)} A_2 \frac{\pi}{a} \cos \frac{\pi}{a} x e^{ik_z z} \mathbf{e}_z - \frac{k_z}{\omega\mu(\omega)} A_2 \sin \frac{\pi}{a} x e^{ik_z z} \mathbf{e}_x,

若我们将 A2A_2 写作

A2=iωμ(ω)aπH0,A_2 = \frac{i\omega\mu(\omega)a}{\pi} H_0,

则 TE10\mathrm{TE}_{10} 波的电磁场分量为

Ey(x,y,z)=iωμ(ω)aπH0sin⁡πaxeikzz,Hz(x,y,z)=H0cos⁡πaxeikzz,E_y(x,y,z) = \frac{i\omega\mu(\omega)a}{\pi} H_0 \sin \frac{\pi}{a} x e^{ik_z z}, \quad H_z(x,y,z) = H_0 \cos \frac{\pi}{a} x e^{ik_z z},

以及

Ex(x,y,z)=Ez(x,y,z)=Hy(x,y,z)=0,Hx(x,y,z)=−ikzaπH0sin⁡πax.E_x(x,y,z) = E_z(x,y,z) = H_y(x,y,z) = 0, \quad H_x(x,y,z) = -\frac{ik_z a}{\pi} H_0 \sin \frac{\pi}{a} x.

因此，根据边值关系

en×H(x,y,z,t)=α⃗f(x,y,z,t),\mathbf{e}_n \times \mathbf{H}(x,y,z,t) = \vec{\alpha}_f(x,y,z,t),

我们看到，在窄边上，面电流是横穿过窄边流动的，如教科书 135 页上图 4-10 所示。而在宽边的 x=a2x = \frac{a}{2} 处，面电流密度的横向分量 αy(x=a/2,y,z)=0\alpha_y(x = a/2, y, z) = 0 严格成立。因此，开在波导管宽边中部的纵向裂缝不会影响 TE10\mathrm{TE}_{10} 波的传播。这一点常被用在用探针测量波导内物理量的技术中。

Part 6 电磁波在等离子体中的传播

当温度升高或受到电离时，原子中的电子和正离子实会分开，形成所谓等离子体。例如，在大气层中就存在着由等离子体组成的薄层，称为电离层。它的存在对于地球表面的无线电波的传播影响很大。下面，我们对此做一个简要介绍。

在处于热平衡状态时，就整体而言，等离子体是电中性的。当其受到某种扰动，使得其中某一区域的净电荷密度不为零时，就会诱导出相应的静电场，力图恢复原来的电中性状态。由此导致的局部电荷密度发生的振荡现象，称为等离振荡。为了简单起见，我们下面忽略正离子实的运动，而仅考虑电子运动导致的电流的改变。令 n(r,t)n(\mathbf{r},t) 为时刻 tt 时，空间 r\mathbf{r} 处的电子密度函数，并令 v(r,t)\mathbf{v}(\mathbf{r},t) 为电子流的宏观速度。那么，利用连续性方程，我们得到

∂n(r,t)∂t+∇⋅(n(r,t)v(r,t))=0.\frac{\partial n(\mathbf{r},t)}{\partial t} + \nabla \cdot (n(\mathbf{r},t)\mathbf{v}(\mathbf{r},t)) = 0.

同时，牛顿方程

mdv(r,t)dt=m(∂v(r,t)∂t+(v(r,t)⋅∇)v(r,t))=(−e)E(r,t)m \frac{d\mathbf{v}(\mathbf{r},t)}{dt} = m \left( \frac{\partial \mathbf{v}(\mathbf{r},t)}{\partial t} + (\mathbf{v}(\mathbf{r},t) \cdot \nabla) \mathbf{v}(\mathbf{r},t) \right) = (-e)\mathbf{E}(\mathbf{r},t)

亦成立。这里，E(r,t)\mathbf{E}(\mathbf{r},t) 为时刻 tt 时，空间 r\mathbf{r} 处的电场强度矢量。假设处于热平衡状态时，电子的密度为 n0n_0，其电荷密度 (−e)n0(-e)n_0 正好被正离子实的电荷密度所抵消。因此，当偏离平衡状态时，电子电荷密度的改变可以记作

δρ(r,t)=(−e)(n(r,t)−n0).\delta\rho(\mathbf{r},t) = (-e)(n(\mathbf{r},t) - n_0).

根据高斯定理，我们有

∇⋅E(r,t)=1ϵ0δρ(r,t)=−eϵ0(n(r,t)−n0).\nabla \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \frac{1}{\epsilon_0} \delta\rho(\mathbf{r},t) = -\frac{e}{\epsilon_0} (n(\mathbf{r},t) - n_0).

若仅考虑微小扰动，即 δρ=(−e)(n(r,t)−n0)≅0\delta\rho = (-e)(n(\mathbf{r},t) - n_0) \cong 0 及 v(r,t)≅0\mathbf{v}(\mathbf{r},t) \cong 0 的情况，我们可以将上面的几个公式简化为

∂δρ(r,t)∂t+(−e)n0∇⋅v(r,t)≅0,∂v(r,t)∂t=−emE(r,t),∇⋅E(r,t)=1ϵ0δρ(r,t).(ab)\frac{\partial \delta\rho(\mathbf{r},t)}{\partial t} + (-e)n_0 \nabla \cdot \mathbf{v}(\mathbf{r},t) \cong 0, \quad \frac{\partial \mathbf{v}(\mathbf{r},t)}{\partial t} = -\frac{e}{m} \mathbf{E}(\mathbf{r},t), \quad \nabla \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \frac{1}{\epsilon_0} \delta\rho(\mathbf{r},t). \tag{ab}

将第二式的两边取散度后，我们有

∂∂t∇⋅v(r,t)=−em∇⋅E(r,t).\frac{\partial}{\partial t} \nabla \cdot \mathbf{v}(\mathbf{r},t) = -\frac{e}{m} \nabla \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r},t).

再将方程组 (ab) 中的第一式代入上式左边，将第三式代入右边后，我们又有

1n0e∂2δρ(r,t)∂t2=−em(1ϵ0δρ(r,t)),\frac{1}{n_0 e} \frac{\partial^2 \delta\rho(\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = -\frac{e}{m} \left( \frac{1}{\epsilon_0} \delta\rho(\mathbf{r},t) \right),

或是

∂2δρ(r,t)∂t2+n0e2mϵ0δρ(r,t)=0.\frac{\partial^2 \delta\rho(\mathbf{r},t)}{\partial t^2} + \frac{n_0 e^2}{m \epsilon_0} \delta\rho(\mathbf{r},t) = 0.

若我们令

δρ(r,t)=δρ(r)est,\delta\rho(\mathbf{r},t) = \delta\rho(\mathbf{r}) e^{st},

则上面的微分方程可以退化为一个代数方程

s2+n0e2mϵ0=0.s^2 + \frac{n_0 e^2}{m \epsilon_0} = 0.

由此我们解得

s=−−n0e2mϵ0=−in0e2mϵ0≡−iωp.s = -\sqrt{-\frac{n_0 e^2}{m \epsilon_0}} = -i \sqrt{\frac{n_0 e^2}{m \epsilon_0}} \equiv -i \omega_p.

这里，ωp\omega_p 称为等离子体的振荡频率。大气层中电离层的等离子振荡频率大约为 1∼10MHz1 \sim 10 \mathrm{MHz}。因此，在受到扰动后，其中电子电荷密度的改变可以写作

δρ(r,t)=δρ(r)e−iωpt.\delta\rho(\mathbf{r},t) = \delta\rho(\mathbf{r}) e^{-i\omega_p t}.

现在考虑有外加电场辐射到等离子体上的情况。此时，(ab) 式中的三个方程应该改写为

∂δρ(r,t)∂t+(−e)n0∇⋅v(r,t)≅0,∂v(r,t)∂t=−emEi(r,t)−emEe(r,t),∇⋅(Ei(r,t)+Ee(r,t))=1ϵ0δρ(r,t).\begin{aligned} &\frac{\partial \delta\rho(\mathbf{r},t)}{\partial t} + (-e)n_0 \nabla \cdot \mathbf{v}(\mathbf{r},t) \cong 0, \quad \frac{\partial \mathbf{v}(\mathbf{r},t)}{\partial t} = -\frac{e}{m} \mathbf{E}_i(\mathbf{r},t) - \frac{e}{m} \mathbf{E}_e(\mathbf{r},t), \\ &\nabla \cdot (\mathbf{E}_i(\mathbf{r},t) + \mathbf{E}_e(\mathbf{r},t)) = \frac{1}{\epsilon_0} \delta\rho(\mathbf{r},t). \end{aligned}

这里，Ei(r,t)\mathbf{E}_i(\mathbf{r},t) 为电离层中电子密度涨落引起的电场强度矢量，而 Ee(r,t)\mathbf{E}_e(\mathbf{r},t) 则为外电场。由于 ∇⋅Ee(r,t)=0\nabla \cdot \mathbf{E}_e(\mathbf{r},t) = 0，故最后一个方程可以简化为

∇⋅Ei(r,t)=1ϵ0δρ(r,t).\nabla \cdot \mathbf{E}_i(\mathbf{r},t) = \frac{1}{\epsilon_0} \delta\rho(\mathbf{r},t).

从这些方程可以看出，除了原来的等离子体振荡之外，外场 Ee(r,t)\mathbf{E}_e(\mathbf{r},t) 的主要影响是使得电子有了一个附加速度 v~(r,t)\tilde{\mathbf{v}}(\mathbf{r},t)，它随时间的改变由下式

∂v~(r,t)∂t=−emEe(r,t)\frac{\partial \tilde{\mathbf{v}}(\mathbf{r},t)}{\partial t} = -\frac{e}{m} \mathbf{E}_e(\mathbf{r},t)

决定。注意到 j~=−n0ev~(r,t)\tilde{\mathbf{j}} = -n_0 e \tilde{\mathbf{v}}(\mathbf{r},t)，上式又可被写作

∂j~(r,t)∂t=n0e2mEe(r,t).\frac{\partial \tilde{\mathbf{j}}(\mathbf{r},t)}{\partial t} = \frac{n_0 e^2}{m} \mathbf{E}_e(\mathbf{r},t).

若 Ee(r,t)=Ee(r)e−iωt\mathbf{E}_e(\mathbf{r},t) = \mathbf{E}_e(\mathbf{r}) e^{-i\omega t}，则我们可以取

j~(r,t)=j~(r)e−iωt.\tilde{\mathbf{j}}(\mathbf{r},t) = \tilde{\mathbf{j}}(\mathbf{r}) e^{-i\omega t}.

代入上式后，我们得到

j~(r)=in0e2mωEe(r)=σEe(r).\tilde{\mathbf{j}}(\mathbf{r}) = i \frac{n_0 e^2}{m \omega} \mathbf{E}_e(\mathbf{r}) = \sigma \mathbf{E}_e(\mathbf{r}).

换句话说，j~(r)\tilde{\mathbf{j}}(\mathbf{r}) 被视为外电场 Ee(r,t)\mathbf{E}_e(\mathbf{r},t) 在等离子体内引起的电流密度。仿照 8.3 节中的讨论，我们可以引入复电容率

ϵ′(ω)=ϵ(ω)+iσ(ω)ω=ϵ(ω)−n0e2mω2≅ϵ0−n0e2mω2,\epsilon'(\omega) = \epsilon(\omega) + i \frac{\sigma(\omega)}{\omega} = \epsilon(\omega) - \frac{n_0 e^2}{m \omega^2} \cong \epsilon_0 - \frac{n_0 e^2}{m \omega^2},

那么，等离子体内的电磁波的波数为

k=ωμ(ω)ϵ′(ω)≅ωμ0ϵ0(1−n0e2mω2ϵ0).k = \omega \sqrt{\mu(\omega)\epsilon'(\omega)} \cong \omega \sqrt{\mu_0 \epsilon_0 \left(1 - \frac{n_0 e^2}{m \omega^2 \epsilon_0}\right)}.

因此，对于频率 ω>ωp\omega > \omega_p 的电磁波，等离子体的折射率

n=1−n0e2mω2ϵ0=1−ωp2ω2<1,n = \sqrt{1 - \frac{n_0 e^2}{m \omega^2 \epsilon_0}} = \sqrt{1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2}} < 1,

即真空为“光密”媒介质。因此，存在着一个临界角度 θc\theta_c，当从地球表面入射到电离层的电磁波的入射角 θ>θc\theta > \theta_c 时，将会发生全反射现象，即电磁波会被反射回地面。这就是为什么短波信号可以被传送到很远的地方的原因。

当 ω<ωp\omega < \omega_p 时，波数 kk 为纯虚数。此时，电磁波不能在等离子体中传播。因此，等离子体频率 ωp\omega_p 也是电磁波在等离子体中传播的截止频率。

更新日志

2026/10/7 03:54
查看所有更新日志
  • 98079-修正于
  • 24143-electrodynamics+于
  • e34ec-mark-4于
  • a891a-travel-1于

版权归属：nicostore-mathematica

许可证：署名-非商业性-相同方式共享 4.0 国际 (CC-BY-NC-SA-4.0)