外观
Chapter 14 度量空间
约 6517 字大约 22 分钟
2025-12-16
从这一章开始我们要研究多个变量的函数. 实数集的基本性质对于一元实函数的各种性质都有决定性的影响. 因此,为了研究多个变量的函数,我们要首先研究它们的定义域的基本性质.
Part 1 基本概念
· 内积与度量
定义1 (内积):
设 X 是实数域 R 上的向量空间,如果映射
g=⟨,⟩:X×X→R(x,y)↦g(x,y)=⟨x,y⟩
满足以下条件:
(1) ⟨x,x⟩⩾0,且 ⟨x,x⟩=0⟺x=0(正定性);
(2) ⟨x,y⟩=⟨y,x⟩,∀x,y∈X(对称性);
(3) ⟨λx+μy,z⟩=λ⟨x,z⟩+μ⟨y,z⟩,∀λ,μ∈R,x,y,z∈X(线性性).
则称 g=⟨,⟩ 为 X 上的一个内积,(X,⟨,⟩) 称为内积空间,⟨x,y⟩ 称为 x 与 y 的内积,∥x∥=⟨x,x⟩ 称为 x 的范数.
/example/
R 上的内积
对任意 x,y∈R,定义 ⟨x,y⟩=xy,则显然 ⟨,⟩ 为 R 上的内积. 此时,x 的范数就是其绝对值 ∣x∣.
Rn 上的内积
记 Rn={(x1,⋯,xn)∣xi∈R} 为全体 n 元有序实数组,以显然的方式,Rn 成为 R 上的向量空间,称为 n 维欧氏空间. Rn 上有标准的内积 ⟨,⟩:
⟨x,y⟩=i=1∑nxiyi,∀x=(x1,⋯,xn),y=(y1,⋯,yn)∈Rn.
如果 x=(x1,⋯,xn)∈Rn,则其范数为
∥x∥=(x12+x22+⋯+xn2)1/2.
闭区间上连续函数空间的内积
记 C0[a,b] 为闭区间 [a,b] 上连续函数的全体形成的向量空间. 定义内积 ⟨,⟩ 如下:
⟨f,g⟩=∫abf(x)g(x)dx.
其中,内积的正定性需要用到连续性的条件:
非负连续函数的积分一定是非负实数,且积分为零当且仅当被积函数为零.
定理1 (Schwarz 不等式):设 (X,⟨,⟩) 为内积空间,则
∣⟨x,y⟩∣⩽∥x∥⋅∥y∥,
且等号成立当且仅当 x 与 y 线性相关.
当 x=0(或 y=0)时,由内积的线性知
⟨0,y⟩=⟨0⋅0,y⟩=0⟨0,y⟩=0,
此时 Schwarz 不等式自然成立. 下设 x=0,y=0,则对任意 t∈R,有
⟨x,x⟩−2t⟨x,y⟩+t2⟨y,y⟩=⟨x−ty,x−ty⟩⩾0,
上式是关于 t 的一元二次函数,因此其判别式非正:
Δ=4⟨x,y⟩2−4⟨x,x⟩⟨y,y⟩⩽0,
等号成立的条件略.
注意. 如果不考虑等式成立条件,只要 ⟨,⟩ 具有非负性,则 Schwarz 不等式仍然成立.
根据 Schwarz 不等式,当 x,y 为非零向量时,可以取 θ(x,y)∈[0,π],使得
cosθ(x,y)=∥x∥⋅∥y∥⟨x,y⟩,
θ(x,y) 称为 x,y 的夹角,也记为 ∠(x,y).
推论2:设 (X,⟨,⟩) 为内积空间,x,y∈X,则
∥x+y∥⩽∥x∥+∥y∥.
根据 Schwarz 不等式,有
∥x+y∥2=⟨x+y,x+y⟩=⟨x,x⟩+2⟨x,y⟩+⟨y,y⟩⩽∥x∥2+2∥x∥⋅∥y∥+∥y∥2=(∥x∥+∥y∥)2,
因此欲证不等式成立.
定义2 (度量):
设 X 为非空集合,如果映射 ρ:X×X→R 满足以下条件:
(1) ρ(x,y)⩾0 且 ρ(x,y)=0⟺x=y;
(2) ρ(x,y)=ρ(y,x);
(3) ρ(x,z)⩽ρ(x,y)+ρ(y,z). (三角不等式)
则称 ρ 为 X 上的一个度量(或距离),(X,ρ) 称为度量空间(或距离空间),ρ(x,y) 称为 x,y 之间的距离.
/example/
R 上的度量
任给 x,y∈R,令 ρ(x,y)=∣x−y∣,则 ρ 为 R 上的度量.
内积诱导距离
设 (X,⟨,⟩) 为内积空间,则令
ρ(x,y)=∥x−y∥,∀x,y∈X.
显然 ρ 满足度量定义中的 (1),(2),而三角不等式也成立:
ρ(x,z)=∥x−z∥=∥(x−y)+(y−z)∥⩽∥x−y∥+∥y−z∥=ρ(x,y)+ρ(y,z).
因此 ρ 为 X 上的度量,称为由内积诱导的度量.
离散度量空间
度量空间比内积空间要广泛得多,它们不一定为向量空间. 例如,设 X 为任意非空集合,定义映射 d:X×X→R 如下:
d(x,y)={1,0,x=y,x=y.
不难验证 d 为 X 上的一个度量,称为离散度量.
· 度量空间的拓扑
这部分假设 (X,ρ) 为度量空间. 设 x∈X,r>0,记
Br(x)={y∈X∣ρ(y,x)<r},
称为以 x 为中心,r 为半径的开球.
欧氏空间中的开球:
在 R 中,以 x0 为中心,r 为半径的开球就是开区间 (x0−r,x0+r). 在 R2 中,以 (x0,y0) 为中心,以 r 为半径的开球实际上是圆盘
{(x,y)∈R2∣(x−x0)2+(y−y0)2<r2}.
在一般的欧氏空间 Rn 中,以 (x01,⋯,x0n) 为中心,r 为半径的开球是
{(x1,⋯,xn)∈Rn∣(x1−x01)2+⋯+(xn−x0n)2<r2}.
离散度量空间中的开球:
设 X 是离散度量空间. 由于 X 中的距离只取 0 或 1,因此
Br(x)={x},∀r⩽1;Br(x)=X,∀r>1.
我们注意到离散度量空间中的开球看上去和欧氏空间中的很不一样.
定义1 (开集和闭集):
设 U 为 X 的子集,如果任给 x∈U,均存在 ε>0,使得 Bε(x)⊂U,则称 U 为开集;约定空集也是开集. 如果一个集合的补集(余集)是开集,则称该集合为闭集.
显然,X 为开集,从而空集也是闭集. 含有 x 的开集称为 x 的开邻域.
/example/
欧氏空间中的一些开集和闭集
开区间 (a,b),(a,+∞) 和 (−∞,b) 都是 R 中的开集;闭区间 [a,b] 以及区间 [a,+∞) 和 (−∞,b] 都是 R 中的闭集.
上半平面 {(x,y)∈R2∣y>0} 是 R2 中的开集,闭的圆盘 {x2+y2⩽r2} 是 R2 中的闭集.
一般地,一个子集可能既不是开集,也不是闭集,比如 R 中的半开半闭区间 [a,b).
不过,离散度量空间的情形却很特殊.
离散度量空间中的开集和闭集
因为以 x 为中心,以 1/2 为半径的开球就是 {x},因此离散度量空间的任何子集都是开集,从而任何子集也都是闭集.
度量空间中的开球为开集
设 x∈Br(x0),则 ρ(x,x0)<r. 令 ε=r−ρ(x,x0),则当 y∈Bε(x) 时,由三角不等式,有
ρ(y,x0)⩽ρ(y,x)+ρ(x,x0)<ε+ρ(x,x0)=r,
这说明 y∈Br(x0),即 Bε(x)⊂Br(x0),因此 Br(x0) 是开集.
类似可证 {y∈X∣ρ(y,x0)>r} 为开集,其补集称为闭球,是闭集.
下面的命题反映了开集和闭集的基本性质.
命题1:
(1) 有限多个开集之交仍为开集;任意多个开集之并仍为开集;
(2) 有限多个闭集之并仍为闭集;任意多个闭集之交仍为闭集.
(1) 设 U1,⋯,Uk 为开集,任给 x∈i=1⋂kUi,由定义,存在 εi>0,使得 Bεi(x)⊂Ui,i=1,⋯,k. 令 ε=min{εi∣i=1,⋯,k},则 Bε(x)⊂i=1⋂kUi,故 i=1⋂kUi 为开集,从而开集的定义立即可以推出任意多个开集之并仍为开集.
(2) 利用集合的运算
(A1∪⋯∪Ak)c(α⋂Aα)c=A1c∩⋯∩Akc=α⋃Aαc
及 (1) 即可.
为了刻画闭集,我们引入极限的概念,它是实数的数列极限概念的推广.
定义2 (极限):
设 {xn}n=1∞ 为 X 中的点列,如果存在 x0∈X,使得任给 ε>0,均存在 N=N(ε),当 n>N 时,xn∈Bε(x0),则称 {xn} 收敛到极限 x0,记为
n→∞limxn=x0orxn→x0(n→∞).
注意:
(1) xn∈Bε(x0) 可改写为 ρ(xn,x0)<ε,因此有
n→∞limxn=x0⟺n→∞limρ(xn,x0)=0.
(2) 由三角不等式和 (1) 易见,极限如果存在,则必唯一.
极限也可以用开集来描述,它的好处是可以不涉及度量,从而便于推广到更一般的空间中.
命题2:设 {xn} 为度量空间 (X,ρ) 中的点列,则 {xn} 收敛于 x0 当且仅当任给 x0 的开邻域 U,存在 N,当 n>N 时 xn∈U.
(必要性) 设 n→∞limxn=x0,U 是 x0 的一个开邻域. 于是存在 ε>0,使得 Bε(x0)⊂U. 根据极限的定义,存在 N=N(ε),当 n>N 时
xn∈Bε(x0)⊂U.
(充分性) 取 U 为开球即可.
命题3:集合 A 为闭集当且仅当 A 中任何收敛点列的极限仍在 A 中.
设 A 为闭集,{xn}⊂A,且 n→∞limxn=x0.
\如果 x0∈/A,则存在 ε0>0,使得 Bε0(x0)⊂Ac,但 n→∞limxn=x0 意味着,存在 N=N(ε0) 使得 n>N 时 xn∈Bε0(x0),这与 xn∈A 相矛盾!因此 x0∈A.
反之,如果 A 中任何收敛点列的极限仍在 A 中,则任取 x0∈/A,我们说明存在 n0>0 使得 B1/n0(x0)⊂Ac,即 Ac 为开集.
(反证法)如果不然,则对任意 n⩾1,均有 B1/n(x0)∩A=∅. 取 xn∈B1/n(x0)∩A,则 n→∞limxn=x0,这导出了矛盾.
PS. 这个命题可以用来解释闭集的属性:闭集关于求极限运算是封闭的.
定义3 (内点,外点,边界点):
设 A 为度量空间 X 的子集,x0∈X. 如果存在 x0 的开邻域 U,使得 U⊂A,则称 x0 为 A 的内点,内点的全体记为 intA 或 A˚,称为 A 的内部;
如果存在 x0 的开邻域 U,使得 U⊂Ac,则称 x0 为 A 的外点;
如果 x0 的任意开邻域中都既有 A 中的点,也有不属于 A 中的点,则称 x0 为 A 的边界点,边界点的全体记为 ∂A,称为 A 的边界.
从定义不难看出,内点集 A˚ 是包含于 A 的“最大”开集,A 的外点就是 Ac 的内点,空间 X 可分解为
X=intA∪∂A∪int(Ac),
这个分解中的三个子集互不相交. 由此可得如下性质:
(1). ∂A 为闭集,这是因为 ∂A=(intA∪int(Ac))c.
(2). intA∪∂A 也是闭集,记为 Aˉ,称为 A 的闭包. 闭包是闭集是因为 Aˉ=(int(Ac))c. 此外,Aˉ=A∪∂A 也成立. 这是因为,按定义显然有 A⊂A∪∂A. 其次,如果 a∈A∪∂A,则 a∈A 或 a∈∂A,总之 a 不是 A 的外点,因此 a∈Aˉ,即 A∪∂A⊂Aˉ 也成立.
(3). A 为闭集当且仅当 ∂A⊂A,即 A=Aˉ. 根据前一条性质,只要证明必要性就可以了. 事实上,如果 A 是闭集,则 Ac 为开集,从而 Ac 就是 A 的全体外点,于是
Aˉ=(int(Ac))c=(Ac)c=A.
(4). 当 A⊂B 时,Aˉ⊂Bˉ. 这是因为,此时 Ac⊃Bc,int(Ac)⊃int(Bc),从而 Aˉ⊂Bˉ 成立.
考虑多元积分时,我们将要用到闭包和边界的上述性质.
作为 R 的子集,有理数全体 Q 既无内点,也无外点. 因此 Q 的边界点为整个空间 R.
欧氏空间 Rn 中开球的边界:
设 x0∈Rn,r>0. 由于 {∥x−x0∥<r} 和 {∥x−x0∥>r} 均为开集,故
∂Br(x0)={∥x−x0∥=r},
这个边界称为 n−1 维球面(以 x0 为中心,r 为半径).
Part 2 度量空间性质
· 度量空间的完备性
设 (X,ρ) 为度量空间. 设 {xn}n=1∞ 为 X 中点列. 如果任给 ε>0,均存在 N=N(ε),当 m,n⩾N 时
ρ(xm,xn)<ε,
则称点列 {xn} 为 Cauchy 列(或基本列).
定义1 (完备性):如果 X 中 Cauchy 列均为收敛点列,则称 (X,ρ) 为完备度量空间.
注意.
(1) 收敛点列必为 Cauchy 列;
(2) Cauchy 列如果有收敛子列,则其本身也一定收敛.
实数 R 在通常的度量下是完备的度量空间:
R 的完备性是实数系的基本性质之一. 我们注意到,有理数 Q 作为子度量空间不是完备的,因为数列
an=1+1!1+2!1+⋯+n!1
组成了 Q 中的基本列,但它在 Q 中不收敛. 从 Q 到 R 的扩充可以看成是将 Q 进行某种“完备化”,分析学就建立在这种完备化的基础之上. 下面的命题表明,我们可以在 Rn 中做微积分.
命题1:(Rn,∥⋅∥) 为完备度量空间.
设 {xm}m=1∞ 为 Rn 中点列,把它写成分量形式
xm=(xm1,xm2,⋯,xmn),
则对任意 i=1,2,⋯,n,有
∣xki−xli∣⩽[j=1∑n(xkj−xlj)2]1/2=∥xk−xl∥,
因此,如果 {xm} 为 Cauchy 列,则 {xmi}m=1∞ 对每个 i=1,2,⋯,n 均为 Cauchy 列,从而收敛. 设 m→∞limxmi=x0i,记 x0=(x01,x02,⋯,x0n),则由
∥xm−x0∥⩽i=1∑n∥xmi−x0i∥
得
m→∞limxm=x0.
这就证明了命题.
设 A 为 X 中子集,称 sup{ρ(x,y)∣x,y∈A} 为 A 的直径,记为 diamA 或 d(A). 直径有限的集合称为有界集合.
开球和闭球的直径:
R 中区间 [a,b] 的直径为 b−a,即直径就是区间长度;一般地,Rn 中半径为 r 的开球(闭球)直径为 2r. 对于一般的度量空间来说,根据三角不等式易见,半径为 r 的开球(闭球),其直径不超过 2r.
和 Rn 不同的是,这时等号可能不成立. 例如,在离散度量空间中,半径为 1/2 的开球,其直径为 0.
下面的定理是 R 中闭区间套原理的一般形式.
定理2:设 (X,ρ) 为度量空间,则下列几条等价:
(1) (X,ρ) 为完备度量空间;
(2) (Cantor) 闭集套原理成立:若 F1⊃F2⊃⋯⊃Fn⊃⋯ 为一列非空闭集,且 n→+∞limdiamFn=0,则存在唯一的点 a∈n=1⋂∞Fn;
(3) 闭球套原理成立:(2) 中 Fn 换成直径或半径趋于 0 的闭球时结论不变.
(1) ⟹ (2):取 an∈Fn,由 Fn⊃Fn+1⊃⋯ 知 {an,an+1,⋯}⊂Fn. 因此,m>n 时
ρ(am,an)⩽diamFn→0(n→∞),
从而 {an} 为 Cauchy 列,设其极限为 a,由 Fn 为闭集得
a=m→∞limam∈Fn,∀n⩾1,
即 a∈n=1⋂∞Fn. 如果另有 b∈n=1⋂∞Fn,则
ρ(a,b)⩽diamFn→0(n→∞),
从而 a=b.
(2) ⟹ (3):这是显然的.
(3) ⟹ (1):(*) 设 {an} 为 X 中 Cauchy 列,为了证明这是一个收敛点列,只须证明它包含一个收敛子列即可. 由 Cauchy 列的定义,存在 n1<n2<⋯,使得 m,n⩾nk 时
ρ(am,an)<2k+11.
考虑 X 中的闭球 Fk=Bˉ2−k(ank),k=1,2,⋯. 当 x∈Fk+1 时,
ρ(x,ank)⩽ρ(x,ank+1)+ρ(ank+1,ank)⩽2k+11+2k+11=2k1,
这说明 x∈Fk,即 F1⊃F2⊃⋯⊃Fk⊃Fk+1⊃⋯. 另一方面,
diamFk⩽2⋅2−k→0(k→+∞),
由闭球套原理,存在 a∈k=1⋂∞Fk. 此时
0⩽ρ(a,ank)⩽2−k→0(k→+∞),
即子列 {ank} 收敛于 a.
由于 Rn 是完备度量空间,因此闭集套原理在 Rn 中成立. 完备度量空间还有如下有用的压缩映像原理.
定义2 (压缩映射)
设 A 为 X 的子集,映射 f:A→A 如果满足以下条件:(*) 存在常数 0⩽q<1,使得 ρ(f(a1),f(a2))⩽q⋅ρ(a1,a2),∀a1,a2∈A. 则称之为压缩映射.
定理3 (压缩映像原理):设 A 为完备度量空间 X 中的闭集,f:A→A 为压缩映射,则存在唯一的点 a∈A,使得 f(a)=a(不动点).
任取 a0∈A,递归地定义 A 中点列 {an} 如下:
an=f(an−1),n=1,2,⋯.
则
ρ(an+1,an)=ρ(f(an),f(an−1))⩽q⋅ρ(an,an−1),∀n⩾1.
从而有
ρ(an+1,an)⩽q⋅ρ(an,an−1)⩽q2⋅ρ(an−1,an−2)⩽⋯⩽qn⋅ρ(a1,a0),
ρ(am,an)⩽ρ(am,am−1)+ρ(am−1,am−2)+⋯+ρ(an+1,an)⩽(qm−1+qm−2+⋯+qn)⋅ρ(a1,a0)⩽1−qqn⋅ρ(a1,a0)→0,(m>n,n→∞).
这说明 {an} 为 Cauchy 列. 设其极限为 a,则 a∈A. 由三角不等式得
ρ(f(a),a)⩽ρ(f(a),f(an))+ρ(f(an),f(an−1))+ρ(an,a)⩽q⋅ρ(a,an)+qn−1⋅ρ(a1,a0)+ρ(an,a)→0(n→∞),
这说明 f(a)=a.
唯一性:若 f(b)=b,则
ρ(a,b)=ρ(f(a),f(b))⩽q⋅ρ(a,b),
这说明 ρ(a,b)=0,从而 a=b.
压缩映像原理的一个应用:
考虑连续函数的空间 C0[0,1],这个空间上有最大模度量:
ρ(f,g)=[0,1]max∣f(x)−g(x)∣,
则 (C0[0,1],ρ) 是完备度量空间. 令
A={f∈C0[0,1]∣f(0)=0,f(1)=1},
则 A 为 (C0[0,1],ρ) 中的闭集. 考虑映射
ϕ:A→A,f↦ϕ(f),
其中 ϕ(f) 是如下定义的连续函数:
ϕ(f)(x)=⎩⎨⎧43f(3x),41+21f(2−3x),41+43f(3x−2),x∈[0,31],x∈[31,32],x∈[32,1].
不难看出 ϕ 为压缩映射,因此存在唯一的不动点 h,即 h 为连续函数,满足条件 h(0)=0,h(1)=1,且 ϕ(h)=h. h 具有一种自相似性,可以证明,这是一个无处可微的函数.
下面的 Baire 纲定理也是 R 上的 Baire 定理的一般形式.
定理4 (Baire):设 An (n⩾1) 为完备度量空间 X 中的一列闭集. 如果每个 An 都没有内点,则它们的并集 ⋃n=1∞An 也没有内点.
· 度量空间与紧致性
设 S 为度量空间 (X,ρ) 的子集,如果 S⊂α⋃Gα,则称 {Gα} 为 S 的一个覆盖. 当 Gα 均为开集时,称 {Gα} 为开覆盖;
只有有限个 Gα 的覆盖称为有限覆盖,由 {Gα} 中的一部分所组成的覆盖称为子覆盖.
/example/
设 x0∈X. 任取 y=x0,因为 ρ(y,x0)>0,故存在 n⩾1,使得 ρ(y,x0)>n1. 即 y∈{x∈X∣ρ(x,x0)>n1}. 这说明
X−{x0}=n=1⋃∞{x∈X∣ρ(x,x0)>n1},
这就得到了 X−{x0} 的一个开覆盖.
定义1 (紧致性)
如果集合 S 的任何开覆盖都有有限子覆盖,则称 S 为紧致集合.
根据实数系的基本性质,闭区间 [a,b] 是 R 中的紧致集合. 紧致性是一个较难理解的概念,我们将它和有界性以及闭集的概念联系起来看.
命题1:紧致集合必为有界闭集.
设 A 为紧致集合. 先证 A 有界. 任取 a∈A,因为
A⊂X=n=1⋃∞Bn(a),
由 A 的紧致性知,存在 n1,⋯,nk,使得
A⊂i=1⋃kBni(a)=BN(a),
其中 N=max{n1,⋯,nk}. 这说明 A 有界.
再证 A 是闭集. 任取 b∈Ac,因为
A⊂X−{b}=n=1⋃∞{x∈X∣ρ(x,b)>n1},
利用 A 的紧致性,同理可得 N,使得
A⊂{x∈X∣ρ(x,b)>N1},
这说明 B1/N(b)⊂Ac,因此 Ac 为开集,即 A 为闭集.
命题2:
设 A 为 Rn 中子集,则以下几条等价:
(1) A 为紧致集合;
(2) A 为序列紧致集合,即 A 中任何无限点列均有收敛子列,且该子列极限仍在 A 中;
(3) A 为有界闭集.
(1) ⟹ (2). (反证法). 设 {bn} 为 A 中点列,且它无收敛于 A 中点的子列. 根据命题 "集合 A 为闭集当且仅当 A 中任何收敛点列的极限仍在 A 中" 的证明,对任意 a∈A,存在开球 Br(a)(a),使得 Br(a)(a) 最多只含有 {bn} 中有限项.
显然,A⊂a∈A⋃Br(a)(a),由紧致性,存在 a1,⋯,ak 使得 A⊂i=1⋃kBr(ai)(ai),特别地,{bn} 中只有有限项能出现在 A 中,这就导出了矛盾!
(2) ⟹ (3). 先证 A 有界,(反证法). 如果存在 an∈A,使得 ρ(a0,an)→∞ (n→∞),则显然 {an} 中无收敛子列,这与假设相矛盾. 再证 A 为闭集,仍用反证法.
根据命题 "集合 A 为闭集当且仅当 A 中任何收敛点列的极限仍在 A 中",此时存在 an∈A,n→∞liman=a∈/A. {an} 的一切子列均收敛于 a∈/A,这与 A 序列紧相矛盾!
(3) ⟹ (1)(反证法). 设 A 为有界闭集,且存在 A 的开覆盖 {Uα},使得任何有限个 Uα 均无法覆盖 A. 取闭正方体 I1⊃A,将 I1 做 2n 等分,必有一等分 I2⊂I1,使得 I2∩A 不能被有限个 Uα 覆盖.
依此类推,得一串闭立方体 I1⊃I2⊃⋯,diamIm→0 (m→∞). 由闭集套原理,存在唯一的点 a∈Im∩A,∀m⩾1. 又因为 {Uα} 为 A 的开覆盖,故存在 α0 使得 a∈Uα0.
于是 m 充分大时必有 Im⊂Uα0. 这与 Im∩A 不能被有限个 Uα 覆盖相矛盾!
注意. 只有在证明的第三步才用到 Rn 的性质,特别地,度量空间中的紧致集合一定是序列紧致的;反之,可以证明,在度量空间中,序列紧致的集合必定是紧致的.
推论3:Rn 中有界点列必有收敛子列.
这是因为有界点列必然包含在某个闭球中,而根据上述定理,闭球是紧致集合,因而也是序列紧致的,特别地,该点列存在收敛子列.
下面的 Lebesgue 数引理是 R 上 Lebesgue 数引理的推广.
引理4 (Lebesgue):设 A 为度量空间 X 中的紧致集合,{Uα} 为 A 的开覆盖. 则存在 λ>0,使得只要 A 的子集 B 满足 diam(B)<λ,则 B 必定包含在某个 Uα 中.
(反证法) 设满足要求的 λ 不存在,则对任意 n>1,存在 A 的子集 Bn,使得 Bn 的直径小于 1/n,且 Bn 不包含于任何 Uα 内. 取 bn∈Bn,则得到 A 中的点列 {bn}.
不论 {bn} 是不是有限子集,由 A 的紧致性以及前一命题可知 {bn} 存在收敛子列,不妨设 {bn} 本身收敛于 b0∈A. 因为 {Uα} 是 A 的开覆盖,故存在 α0,使得 b0∈Uα0. 因为 Uα0 为开集,故存在 δ>0,使得
Bδ(b0)⊂Uα0,
因为 n→∞limbn=b0,故可取 n>2/δ,使得 ρ(bn,b0)<δ/2,此时
ρ(b,b0)⩽ρ(b,bn)+ρ(bn,b0)⩽diam(Bn)+2δ<n1+2δ<δ,∀b∈Bn.
这说明 Bn⊂Bδ(b0)⊂Uα0,这与 Bn 的选取相矛盾.
注意. 引理中的 λ 称为关于覆盖 {Uα} 的 Lebesgue 数. 从证明可以看出 Lebesgue 数引理对序列紧致的集合也成立.
结束.
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2025/12/17 03:52
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