Chapter 14 度量空间

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2025-12-16

从这一章开始我们要研究多个变量的函数. 实数集的基本性质对于一元实函数的各种性质都有决定性的影响. 因此，为了研究多个变量的函数，我们要首先研究它们的定义域的基本性质.

Part 1 基本概念

· 内积与度量

定义1 (内积)：

设 $X$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上的向量空间，如果映射
$\begin{aligned} &g = \langle,\rangle\colon X \times X \to \mathbb{R} \\\\ &(x,y) \mapsto g(x,y) = \langle x,y\rangle \end{aligned}$
满足以下条件：
(1) $\langle x,x\rangle \geqslant 0$ ，且 $\langle x,x\rangle = 0 \Longleftrightarrow x = 0$ （正定性）；
(2) $\langle x,y\rangle = \langle y,x\rangle$ ， $\forall\,x,y \in X$ （对称性）；
(3) $\langle \lambda x + \mu y,z\rangle = \lambda\langle x,z\rangle + \mu\langle y,z\rangle$ ， $\forall\,\lambda,\mu \in \mathbb{R}$ ， $x,y,z \in X$ （线性性）.
则称 $g = \langle,\rangle$ 为 $X$ 上的一个内积， $(X,\langle,\rangle)$ 称为内积空间， $\langle x,y\rangle$ 称为 $x$ 与 $y$ 的内积， $\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle}$ 称为 $x$ 的范数.

/example/

$\mathbb{R}$ 上的内积
对任意 $x,y \in \mathbb{R}$ ，定义 $\langle x,y\rangle = xy$ ，则显然 $\langle,\rangle$ 为 $\mathbb{R}$ 上的内积. 此时， $x$ 的范数就是其绝对值 $|x|$ .
$\mathbb{R}^n$ 上的内积
记 $\mathbb{R}^n = \{(x_1,\cdots,x_n)\mid x_i \in \mathbb{R}\}$ 为全体 $n$ 元有序实数组，以显然的方式， $\mathbb{R}^n$ 成为 $\mathbb{R}$ 上的向量空间，称为 $n$ 维欧氏空间. $\mathbb{R}^n$ 上有标准的内积 $\langle,\rangle$ ：
$\langle x,y\rangle = \sum_{i=1}^n x_iy_i,\quad \forall\,x = (x_1,\cdots,x_n),\,y = (y_1,\cdots,y_n) \in \mathbb{R}^n.$
如果 $x = (x_1,\cdots,x_n) \in \mathbb{R}^n$ ，则其范数为
$\|x\| = (x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2)^{1/2}.$
闭区间上连续函数空间的内积
记 $C^0[a,b]$ 为闭区间 $[a,b]$ 上连续函数的全体形成的向量空间. 定义内积 $\langle,\rangle$ 如下：
$\langle f,g\rangle = \int_a^b f(x)g(x)\,dx.$
其中，内积的正定性需要用到连续性的条件：
非负连续函数的积分一定是非负实数，且积分为零当且仅当被积函数为零.

定理1 (Schwarz 不等式)：设 $(X,\langle,\rangle)$ 为内积空间，则

|\langle x,y\rangle| \leqslant \|x\| \cdot \|y\|,

且等号成立当且仅当 $x$ 与 $y$ 线性相关.

当 $x = 0$ （或 $y = 0$ ）时，由内积的线性知
$\langle 0,y\rangle = \langle 0\cdot 0,y\rangle = 0\langle 0,y\rangle = 0,$
此时 Schwarz 不等式自然成立. 下设 $x \ne 0$ ， $y \ne 0$ ，则对任意 $t \in \mathbb{R}$ ，有
$\langle x,x\rangle - 2t\langle x,y\rangle + t^2\langle y,y\rangle = \langle x - ty,x - ty\rangle \geqslant 0,$
上式是关于 $t$ 的一元二次函数，因此其判别式非正：
$\Delta = 4\langle x,y\rangle^2 - 4\langle x,x\rangle\langle y,y\rangle \leqslant 0,$
等号成立的条件略.
注意. 如果不考虑等式成立条件，只要 $\langle,\rangle$ 具有非负性，则 Schwarz 不等式仍然成立.

根据 Schwarz 不等式，当 $x,y$ 为非零向量时，可以取 $\theta(x,y) \in [0,\pi]$ ，使得

\cos\theta(x,y) = \frac{\langle x,y\rangle}{\|x\| \cdot \|y\|},

$\theta(x,y)$ 称为 $x,y$ 的夹角，也记为 $\angle(x,y)$ .

推论2：设 $(X,\langle,\rangle)$ 为内积空间， $x,y \in X$ ，则

\|x + y\| \leqslant \|x\| + \|y\|.

根据 Schwarz 不等式，有
$\begin{aligned} \|x + y\|^2 &= \langle x + y,x + y\rangle = \langle x,x\rangle + 2\langle x,y\rangle + \langle y,y\rangle \\\\ &\leqslant \|x\|^2 + 2\|x\|\cdot\|y\| + \|y\|^2 \\\\ &= (\|x\| + \|y\|)^2, \end{aligned}$
因此欲证不等式成立.

定义2 (度量):

设 $X$ 为非空集合，如果映射 $\rho\colon X \times X \to \mathbb{R}$ 满足以下条件：
(1) $\rho(x,y) \geqslant 0$ 且 $\rho(x,y) = 0 \Longleftrightarrow x = y$ ；
(2) $\rho(x,y) = \rho(y,x)$ ；
(3) $\rho(x,z) \leqslant \rho(x,y) + \rho(y,z)$ . （三角不等式）
则称 $\rho$ 为 $X$ 上的一个度量（或距离）， $(X,\rho)$ 称为度量空间（或距离空间）， $\rho(x,y)$ 称为 $x,y$ 之间的距离.

/example/

$\mathbb{R}$ 上的度量
任给 $x,y \in \mathbb{R}$ ，令 $\rho(x,y) = |x - y|$ ，则 $\rho$ 为 $\mathbb{R}$ 上的度量.
内积诱导距离
设 $(X,\langle,\rangle)$ 为内积空间，则令
$\rho(x,y) = \|x - y\|,\quad \forall\,x,y \in X.$
显然 $\rho$ 满足度量定义中的 (1)，(2)，而三角不等式也成立：
$\begin{aligned} \rho(x,z) &= \|x - z\| = \|(x - y) + (y - z)\| \\\\ &\leqslant \|x - y\| + \|y - z\| \\\\ &= \rho(x,y) + \rho(y,z).\\ \end{aligned}$
因此 $\rho$ 为 $X$ 上的度量，称为由内积诱导的度量.
离散度量空间
度量空间比内积空间要广泛得多，它们不一定为向量空间. 例如，设 $X$ 为任意非空集合，定义映射 $d\colon X \times X \to \mathbb{R}$ 如下：
$d(x,y) = \begin{cases} 1,& x \ne y,\\ 0,& x = y. \end{cases}$
不难验证 $d$ 为 $X$ 上的一个度量，称为离散度量.

· 度量空间的拓扑

这部分假设 $(X,\rho)$ 为度量空间. 设 $x \in X$ ， $r > 0$ ，记

B_r(x) = \{y \in X \mid \rho(y,x) < r\},

称为以 $x$ 为中心， $r$ 为半径的开球.

欧氏空间中的开球：

在 $\mathbb{R}$ 中，以 $x_0$ 为中心， $r$ 为半径的开球就是开区间 $(x_0 - r,x_0 + r)$ . 在 $\mathbb{R}^2$ 中，以 $(x_0,y_0)$ 为中心，以 $r$ 为半径的开球实际上是圆盘
$\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 < r^2\}.$
在一般的欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 中，以 $(x_0^1,\cdots,x_0^n)$ 为中心， $r$ 为半径的开球是
$\{(x^1,\cdots,x^n) \in \mathbb{R}^n \mid (x^1 - x_0^1)^2 + \cdots + (x^n - x_0^n)^2 < r^2\}.$

离散度量空间中的开球：

设 $X$ 是离散度量空间. 由于 $X$ 中的距离只取 $0$ 或 $1$ ，因此
$B_r(x) = \{x\},\quad \forall\,r \leqslant 1;\quad B_r(x) = X,\quad \forall\,r > 1.$
我们注意到离散度量空间中的开球看上去和欧氏空间中的很不一样.

定义1 (开集和闭集)：

设 $U$ 为 $X$ 的子集，如果任给 $x \in U$ ，均存在 $\varepsilon > 0$ ，使得 $B_\varepsilon(x) \displaystyle\subset U$ ，则称 $U$ 为开集；约定空集也是开集. 如果一个集合的补集（余集）是开集，则称该集合为闭集.
显然， $X$ 为开集，从而空集也是闭集. 含有 $x$ 的开集称为 $x$ 的开邻域.

/example/

欧氏空间中的一些开集和闭集
开区间 $(a,b)$ ， $(a,+\infty)$ 和 $(-\infty,b)$ 都是 $\mathbb{R}$ 中的开集；闭区间 $[a,b]$ 以及区间 $[a,+\infty)$ 和 $(-\infty,b]$ 都是 $\mathbb{R}$ 中的闭集.
上半平面 $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y > 0\}$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的开集，闭的圆盘 $\{x^2 + y^2 \leqslant r^2\}$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的闭集.
一般地，一个子集可能既不是开集，也不是闭集，比如 $\mathbb{R}$ 中的半开半闭区间 $[a,b)$ .
不过，离散度量空间的情形却很特殊.
离散度量空间中的开集和闭集
因为以 $x$ 为中心，以 $1/2$ 为半径的开球就是 $\{x\}$ ，因此离散度量空间的任何子集都是开集，从而任何子集也都是闭集.
度量空间中的开球为开集
设 $x \in B_r(x_0)$ ，则 $\rho(x,x_0) < r$ . 令 $\varepsilon = r - \rho(x,x_0)$ ，则当 $y \in B_\varepsilon(x)$ 时，由三角不等式，有
$\rho(y,x_0) \leqslant \rho(y,x) + \rho(x,x_0) < \varepsilon + \rho(x,x_0) = r,$
这说明 $y \in B_r(x_0)$ ，即 $B_\varepsilon(x) \displaystyle\subset B_r(x_0)$ ，因此 $B_r(x_0)$ 是开集.
类似可证 $\{y \in X \mid \rho(y,x_0) > r\}$ 为开集，其补集称为闭球，是闭集.

下面的命题反映了开集和闭集的基本性质.

命题1：

(1) 有限多个开集之交仍为开集；任意多个开集之并仍为开集；

(2) 有限多个闭集之并仍为闭集；任意多个闭集之交仍为闭集.

(1) 设 $U_1,\cdots,U_k$ 为开集，任给 $x \in \displaystyle\bigcap_{i=1}^k U_i$ ，由定义，存在 $\varepsilon_i > 0$ ，使得 $B_{\varepsilon_i}(x) \displaystyle\subset U_i$ ， $i = 1,\cdots,k$ . 令 $\varepsilon = \min\{\varepsilon_i\mid i = 1,\cdots,k\}$ ，则 $B_\varepsilon(x) \displaystyle\subset \displaystyle\bigcap_{i=1}^k U_i$ ，故 $\displaystyle\bigcap_{i=1}^k U_i$ 为开集，从而开集的定义立即可以推出任意多个开集之并仍为开集.
(2) 利用集合的运算
$\begin{aligned} (A_1 \cup \cdots \cup A_k)^c &= A_1^c \cap \cdots \cap A_k^c \\\\ (\bigcap_\alpha A_\alpha)^c &= \bigcup_\alpha A_\alpha^c \end{aligned}$
及 (1) 即可.

为了刻画闭集，我们引入极限的概念，它是实数的数列极限概念的推广.

定义2 (极限)：

设 $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ 为 $X$ 中的点列，如果存在 $x_0 \in X$ ，使得任给 $\varepsilon > 0$ ，均存在 $N = N(\varepsilon)$ ，当 $n > N$ 时， $x_n \in B_\varepsilon(x_0)$ ，则称 $\{x_n\}$ 收敛到极限 $x_0$ ，记为
$\lim_{n \to \infty} x_n = x_0 \quad \text{or} \quad x_n \to x_0\,(n \to \infty).$

注意：

(1) $x_n \in B_\varepsilon(x_0)$ 可改写为 $\rho(x_n,x_0) < \varepsilon$ ，因此有

\lim_{n \to \infty} x_n = x_0 \Longleftrightarrow \lim_{n \to \infty} \rho(x_n,x_0) = 0.

(2) 由三角不等式和 (1) 易见，极限如果存在，则必唯一.

极限也可以用开集来描述，它的好处是可以不涉及度量，从而便于推广到更一般的空间中.

命题2：设 $\{x_n\}$ 为度量空间 $(X,\rho)$ 中的点列，则 $\{x_n\}$ 收敛于 $x_0$ 当且仅当任给 $x_0$ 的开邻域 $U$ ，存在 $N$ ，当 $n > N$ 时 $x_n \in U$ .

(必要性) 设 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$ ， $U$ 是 $x_0$ 的一个开邻域. 于是存在 $\varepsilon > 0$ ，使得 $B_\varepsilon(x_0) \displaystyle\subset U$ . 根据极限的定义，存在 $N = N(\varepsilon)$ ，当 $n > N$ 时
$x_n \in B_\varepsilon(x_0) \subset U.$
(充分性) 取 $U$ 为开球即可.

命题3：集合 $A$ 为闭集当且仅当 $A$ 中任何收敛点列的极限仍在 $A$ 中.

设 $A$ 为闭集， $\{x_n\} \displaystyle\subset A$ ，且 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$ .
\如果 $x_0 \notin A$ ，则存在 $\varepsilon_0 > 0$ ，使得 $B_{\varepsilon_0}(x_0) \displaystyle\subset A^c$ ，但 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$ 意味着，存在 $N = N(\varepsilon_0)$ 使得 $n > N$ 时 $x_n \in B_{\varepsilon_0}(x_0)$ ，这与 $x_n \in A$ 相矛盾！因此 $x_0 \in A$ .
反之，如果 $A$ 中任何收敛点列的极限仍在 $A$ 中，则任取 $x_0 \notin A$ ，我们说明存在 $n_0 > 0$ 使得 $B_{1/n_0}(x_0) \displaystyle\subset A^c$ ，即 $A^c$ 为开集.
（反证法）如果不然，则对任意 $n \geqslant 1$ ，均有 $B_{1/n}(x_0) \cap A \ne \varnothing$ . 取 $x_n \in B_{1/n}(x_0) \cap A$ ，则 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$ ，这导出了矛盾.

PS. 这个命题可以用来解释闭集的属性：闭集关于求极限运算是封闭的.

定义3 (内点，外点，边界点)：

设 $A$ 为度量空间 $X$ 的子集， $x_0 \in X$ . 如果存在 $x_0$ 的开邻域 $U$ ，使得 $U \displaystyle\subset A$ ，则称 $x_0$ 为 $A$ 的内点，内点的全体记为 $\operatorname{int}A$ 或 $\mathring{A}$ ，称为 $A$ 的内部；
如果存在 $x_0$ 的开邻域 $U$ ，使得 $U \displaystyle\subset A^c$ ，则称 $x_0$ 为 $A$ 的外点；
如果 $x_0$ 的任意开邻域中都既有 $A$ 中的点，也有不属于 $A$ 中的点，则称 $x_0$ 为 $A$ 的边界点，边界点的全体记为 $\partial A$ ，称为 $A$ 的边界.

从定义不难看出，内点集 $\mathring{A}$ 是包含于 $A$ 的“最大”开集， $A$ 的外点就是 $A^c$ 的内点，空间 $X$ 可分解为

X = \operatorname{int}A \cup \partial A \cup \operatorname{int}(A^c),

这个分解中的三个子集互不相交. 由此可得如下性质：

(1). $\partial A$ 为闭集，这是因为 $\partial A = (\operatorname{int}A \cup \operatorname{int}(A^c))^c$ .
(2). $\operatorname{int}A \cup \partial A$ 也是闭集，记为 $\bar{A}$ ，称为 $A$ 的闭包. 闭包是闭集是因为 $\bar{A} = (\operatorname{int}(A^c))^c$ . 此外， $\bar{A} = A \cup \partial A$ 也成立. 这是因为，按定义显然有 $A \displaystyle\subset A \cup \partial A$ . 其次，如果 $a \in A \cup \partial A$ ，则 $a \in A$ 或 $a \in \partial A$ ，总之 $a$ 不是 $A$ 的外点，因此 $a \in \bar{A}$ ，即 $A \cup \partial A \displaystyle\subset \bar{A}$ 也成立.
(3). $A$ 为闭集当且仅当 $\partial A \displaystyle\subset A$ ，即 $A = \bar{A}$ . 根据前一条性质，只要证明必要性就可以了. 事实上，如果 $A$ 是闭集，则 $A^c$ 为开集，从而 $A^c$ 就是 $A$ 的全体外点，于是
$\bar{A} = (\operatorname{int}(A^c))^c = (A^c)^c = A.$
(4). 当 $A \displaystyle\subset B$ 时， $\bar{A} \displaystyle\subset \bar{B}$ . 这是因为，此时 $A^c \supset B^c$ ， $\operatorname{int}(A^c) \supset \operatorname{int}(B^c)$ ，从而 $\bar{A} \displaystyle\subset \bar{B}$ 成立.

考虑多元积分时，我们将要用到闭包和边界的上述性质.

作为 $\mathbb{R}$ 的子集，有理数全体 $\mathbb{Q}$ 既无内点，也无外点. 因此 $\mathbb{Q}$ 的边界点为整个空间 $\mathbb{R}$ .

欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 中开球的边界：

设 $x_0 \in \mathbb{R}^n$ ， $r > 0$ . 由于 $\{\|x - x_0\| < r\}$ 和 $\{\|x - x_0\| > r\}$ 均为开集，故
$\partial B_r(x_0) = \{\|x - x_0\| = r\},$
这个边界称为 $n - 1$ 维球面（以 $x_0$ 为中心， $r$ 为半径）.

Part 2 度量空间性质

· 度量空间的完备性

设 $(X,\rho)$ 为度量空间. 设 $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ 为 $X$ 中点列. 如果任给 $\varepsilon > 0$ ，均存在 $N = N(\varepsilon)$ ，当 $m,n \geqslant N$ 时

\rho(x_m,x_n) < \varepsilon,

则称点列 $\{x_n\}$ 为 Cauchy 列（或基本列）.

定义1 (完备性)：如果 $X$ 中 Cauchy 列均为收敛点列，则称 $(X,\rho)$ 为完备度量空间.

注意.
(1) 收敛点列必为 Cauchy 列；
(2) Cauchy 列如果有收敛子列，则其本身也一定收敛.

实数 $\mathbb{R}$ 在通常的度量下是完备的度量空间：

$\mathbb{R}$ 的完备性是实数系的基本性质之一. 我们注意到，有理数 $\mathbb{Q}$ 作为子度量空间不是完备的，因为数列
$a_n = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!}$
组成了 $\mathbb{Q}$ 中的基本列，但它在 $\mathbb{Q}$ 中不收敛. 从 $\mathbb{Q}$ 到 $\mathbb{R}$ 的扩充可以看成是将 $\mathbb{Q}$ 进行某种“完备化”，分析学就建立在这种完备化的基础之上. 下面的命题表明，我们可以在 $\mathbb{R}^n$ 中做微积分.

命题1： $(\mathbb{R}^n,\|\cdot\|)$ 为完备度量空间.

设 $\{x_m\}_{m=1}^\infty$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中点列，把它写成分量形式
$x_m = (x_m^1,x_m^2,\cdots,x_m^n),$
则对任意 $i = 1,2,\cdots,n$ ，有
$|x_k^i - x_l^i| \leqslant \left[\sum_{j=1}^n (x_k^j - x_l^j)^2\right]^{1/2} = \|x_k - x_l\|,$
因此，如果 $\{x_m\}$ 为 Cauchy 列，则 $\{x_m^i\}_{m=1}^\infty$ 对每个 $i = 1,2,\cdots,n$ 均为 Cauchy 列，从而收敛. 设 $\displaystyle\lim_{m \to \infty} x_m^i = x_0^i$ ，记 $x_0 = (x_0^1,x_0^2,\cdots,x_0^n)$ ，则由
$\|x_m - x_0\| \leqslant \sum_{i=1}^n \|x_m^i - x_0^i\|$
得
$\lim_{m \to \infty} x_m = x_0.$
这就证明了命题.

设 $A$ 为 $X$ 中子集，称 $\sup\{\rho(x,y)\mid x,y \in A\}$ 为 $A$ 的直径，记为 $\operatorname{diam}A$ 或 $d(A)$ . 直径有限的集合称为有界集合.

开球和闭球的直径：

$\mathbb{R}$ 中区间 $[a,b]$ 的直径为 $b - a$ ，即直径就是区间长度；一般地， $\mathbb{R}^n$ 中半径为 $r$ 的开球（闭球）直径为 $2r$ . 对于一般的度量空间来说，根据三角不等式易见，半径为 $r$ 的开球（闭球），其直径不超过 $2r$ .
和 $\mathbb{R}^n$ 不同的是，这时等号可能不成立. 例如，在离散度量空间中，半径为 $1/2$ 的开球，其直径为 $0$ .
下面的定理是 $\mathbb{R}$ 中闭区间套原理的一般形式.

定理2：设 $(X,\rho)$ 为度量空间，则下列几条等价：

(1) $(X,\rho)$ 为完备度量空间；

(2) (Cantor) 闭集套原理成立：若 $F_1 \supset F_2 \supset \cdots \supset F_n \supset \cdots$ 为一列非空闭集，且 $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \operatorname{diam}F_n = 0$ ，则存在唯一的点 $a \in \displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty F_n$ ；

(3) 闭球套原理成立：(2) 中 $F_n$ 换成直径或半径趋于 $0$ 的闭球时结论不变.

(1) $\Longrightarrow$ (2)：取 $a_n \in F_n$ ，由 $F_n \supset F_{n+1} \supset \cdots$ 知 $\{a_n,a_{n+1},\cdots\} \displaystyle\subset F_n$ . 因此， $m > n$ 时
$\rho(a_m,a_n) \leqslant \operatorname{diam}F_n \to 0\quad(n \to \infty),$
从而 $\{a_n\}$ 为 Cauchy 列，设其极限为 $a$ ，由 $F_n$ 为闭集得
$a = \lim_{m \to \infty} a_m \in F_n,\quad \forall\,n \geqslant 1,$
即 $a \in \displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty F_n$ . 如果另有 $b \in \displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty F_n$ ，则
$\rho(a,b) \leqslant \operatorname{diam}F_n \to 0\quad(n \to \infty),$
从而 $a = b$ .
(2) $\Longrightarrow$ (3)：这是显然的.
(3) $\Longrightarrow$ (1)：(*) 设 $\{a_n\}$ 为 $X$ 中 Cauchy 列，为了证明这是一个收敛点列，只须证明它包含一个收敛子列即可. 由 Cauchy 列的定义，存在 $n_1 < n_2 < \cdots$ ，使得 $m,n \geqslant n_k$ 时
$\rho(a_m,a_n) < \frac{1}{2^{k+1}}.$
考虑 $X$ 中的闭球 $F_k = \bar{B}_{2^{-k}}(a_{n_k})$ ， $k = 1,2,\cdots$ . 当 $x \in F_{k+1}$ 时，
$\begin{aligned} \rho(x,a_{n_k}) &\leqslant \rho(x,a_{n_{k+1}}) + \rho(a_{n_{k+1}},a_{n_k}) \\\\ &\leqslant \frac{1}{2^{k+1}} + \frac{1}{2^{k+1}} = \frac{1}{2^k}, \end{aligned}$
这说明 $x \in F_k$ ，即 $F_1 \supset F_2 \supset \cdots \supset F_k \supset F_{k+1} \supset \cdots$ . 另一方面，
$\operatorname{diam}F_k \leqslant 2 \cdot 2^{-k} \to 0\quad(k \to +\infty),$
由闭球套原理，存在 $a \in \displaystyle\bigcap_{k=1}^\infty F_k$ . 此时
$0 \leqslant \rho(a,a_{n_k}) \leqslant 2^{-k} \to 0\quad(k \to +\infty),$
即子列 $\{a_{n_k}\}$ 收敛于 $a$ .

由于 $\mathbb{R}^n$ 是完备度量空间，因此闭集套原理在 $\mathbb{R}^n$ 中成立. 完备度量空间还有如下有用的压缩映像原理.

定义2 (压缩映射)

设 $A$ 为 $X$ 的子集，映射 $f\colon A \to A$ 如果满足以下条件：(*) 存在常数 $0 \leqslant q < 1$ ，使得 $\rho(f(a_1),f(a_2)) \leqslant q \cdot \rho(a_1,a_2)$ ， $\forall\,a_1,a_2 \in A$ . 则称之为压缩映射.

定理3 (压缩映像原理)：设 $A$ 为完备度量空间 $X$ 中的闭集， $f\colon A \to A$ 为压缩映射，则存在唯一的点 $a \in A$ ，使得 $f(a) = a$ （不动点）.

任取 $a_0 \in A$ ，递归地定义 $A$ 中点列 $\{a_n\}$ 如下：
$a_n = f(a_{n-1}),\quad n = 1,2,\cdots.$
则
$\rho(a_{n+1},a_n) = \rho(f(a_n),f(a_{n-1})) \leqslant q \cdot \rho(a_n,a_{n-1}),\quad \forall\,n \geqslant 1.$
从而有
$\rho(a_{n+1},a_n) \leqslant q \cdot \rho(a_n,a_{n-1}) \leqslant q^2 \cdot \rho(a_{n-1},a_{n-2}) \leqslant \cdots \leqslant q^n \cdot \rho(a_1,a_0),$ $\begin{aligned} \rho(a_m,a_n) &\leqslant \rho(a_m,a_{m-1}) + \rho(a_{m-1},a_{m-2}) + \cdots + \rho(a_{n+1},a_n) \\\\ &\leqslant (q^{m-1} + q^{m-2} + \cdots + q^n) \cdot \rho(a_1,a_0) \\\\ &\leqslant \frac{q^n}{1 - q} \cdot \rho(a_1,a_0) \to 0,\quad(m > n,\,n \to \infty). \end{aligned}$
这说明 $\{a_n\}$ 为 Cauchy 列. 设其极限为 $a$ ，则 $a \in A$ . 由三角不等式得
$\begin{aligned} \rho(f(a),a) &\leqslant \rho(f(a),f(a_n)) + \rho(f(a_n),f(a_{n-1})) + \rho(a_n,a) \\\\ &\leqslant q \cdot \rho(a,a_n) + q^{n-1} \cdot \rho(a_1,a_0) + \rho(a_n,a) \to 0\quad(n \to \infty), \end{aligned}$
这说明 $f(a) = a$ .
唯一性：若 $f(b) = b$ ，则
$\rho(a,b) = \rho(f(a),f(b)) \leqslant q \cdot \rho(a,b),$
这说明 $\rho(a,b) = 0$ ，从而 $a = b$ .

压缩映像原理的一个应用：

考虑连续函数的空间 $C^0[0,1]$ ，这个空间上有最大模度量：
$\rho(f,g) = \max_{[0,1]} |f(x) - g(x)|,$
则 $(C^0[0,1],\rho)$ 是完备度量空间. 令
$A = \{f \in C^0[0,1] \mid f(0) = 0,\,f(1) = 1\},$
则 $A$ 为 $(C^0[0,1],\rho)$ 中的闭集. 考虑映射
$\phi\colon A \to A, \\ f \mapsto \phi(f),$
其中 $\phi(f)$ 是如下定义的连续函数：
$\phi(f)(x) = \begin{cases} \dfrac{3}{4}f(3x), & x \in \left[0,\dfrac{1}{3}\right], \\\\ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}f(2 - 3x), & x \in \left[\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}\right], \\\\ \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}f(3x - 2), & x \in \left[\dfrac{2}{3},1\right]. \end{cases}$
不难看出 $\phi$ 为压缩映射，因此存在唯一的不动点 $h$ ，即 $h$ 为连续函数，满足条件 $h(0) = 0$ ， $h(1) = 1$ ，且 $\phi(h) = h$ . $h$ 具有一种自相似性，可以证明，这是一个无处可微的函数.

下面的 Baire 纲定理也是 $\mathbb{R}$ 上的 Baire 定理的一般形式.

定理4 (Baire)：设 $A_n$ ( $n \geqslant 1$ ) 为完备度量空间 $X$ 中的一列闭集. 如果每个 $A_n$ 都没有内点，则它们的并集 $\bigcup_{n=1}^\infty A_n$ 也没有内点.

· 度量空间与紧致性

设 $S$ 为度量空间 $(X,\rho)$ 的子集，如果 $S \displaystyle\subset \bigcup_\alpha G_\alpha$ ，则称 $\{G_\alpha\}$ 为 $S$ 的一个覆盖. 当 $G_\alpha$ 均为开集时，称 $\{G_\alpha\}$ 为开覆盖；

只有有限个 $G_\alpha$ 的覆盖称为有限覆盖，由 $\{G_\alpha\}$ 中的一部分所组成的覆盖称为子覆盖.

/example/

设 $x_0 \in X$ . 任取 $y \ne x_0$ ，因为 $\rho(y,x_0) > 0$ ，故存在 $n \geqslant 1$ ，使得 $\rho(y,x_0) > \dfrac{1}{n}$ . 即 $y \in \{x \in X \mid \rho(x,x_0) > \dfrac{1}{n}\}$ . 这说明
$X - \{x_0\} = \bigcup_{n=1}^\infty \left\{x \in X \mid \rho(x,x_0) > \frac{1}{n}\right\},$
这就得到了 $X - \{x_0\}$ 的一个开覆盖.

定义1 (紧致性)

如果集合 $S$ 的任何开覆盖都有有限子覆盖，则称 $S$ 为紧致集合.
根据实数系的基本性质，闭区间 $[a,b]$ 是 $\mathbb{R}$ 中的紧致集合. 紧致性是一个较难理解的概念，我们将它和有界性以及闭集的概念联系起来看.

命题1：紧致集合必为有界闭集.

设 $A$ 为紧致集合. 先证 $A$ 有界. 任取 $a \in A$ ，因为
$A \subset X = \bigcup_{n=1}^\infty B_n(a),$
由 $A$ 的紧致性知，存在 $n_1,\cdots,n_k$ ，使得
$A \subset \bigcup_{i=1}^k B_{n_i}(a) = B_N(a),$
其中 $N = \max\{n_1,\cdots,n_k\}$ . 这说明 $A$ 有界.
再证 $A$ 是闭集. 任取 $b \in A^c$ ，因为
$A \subset X - \{b\} = \bigcup_{n=1}^\infty \left\{x \in X \mid \rho(x,b) > \frac{1}{n}\right\},$
利用 $A$ 的紧致性，同理可得 $N$ ，使得
$A \subset \left\{x \in X \mid \rho(x,b) > \frac{1}{N}\right\},$
这说明 $B_{1/N}(b) \displaystyle\subset A^c$ ，因此 $A^c$ 为开集，即 $A$ 为闭集.

命题2：

设 $A$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中子集，则以下几条等价：

(1) $A$ 为紧致集合；

(2) $A$ 为序列紧致集合，即 $A$ 中任何无限点列均有收敛子列，且该子列极限仍在 $A$ 中；

(3) $A$ 为有界闭集.

(1) $\Longrightarrow$ (2). （反证法）. 设 $\{b_n\}$ 为 $A$ 中点列，且它无收敛于 $A$ 中点的子列. 根据命题 "集合 $A$ 为闭集当且仅当 $A$ 中任何收敛点列的极限仍在 $A$ 中" 的证明，对任意 $a \in A$ ，存在开球 $B_{r(a)}(a)$ ，使得 $B_{r(a)}(a)$ 最多只含有 $\{b_n\}$ 中有限项.
显然， $A \displaystyle\subset \bigcup_{a \in A} B_{r(a)}(a)$ ，由紧致性，存在 $a_1,\cdots,a_k$ 使得 $A \displaystyle\subset \bigcup_{i=1}^k B_{r(a_i)}(a_i)$ ，特别地， $\{b_n\}$ 中只有有限项能出现在 $A$ 中，这就导出了矛盾！
(2) $\Longrightarrow$ (3). 先证 $A$ 有界，（反证法）. 如果存在 $a_n \in A$ ，使得 $\rho(a_0,a_n) \to \infty$ ( $n \to \infty$ )，则显然 $\{a_n\}$ 中无收敛子列，这与假设相矛盾. 再证 $A$ 为闭集，仍用反证法.
根据命题 "集合 $A$ 为闭集当且仅当 $A$ 中任何收敛点列的极限仍在 $A$ 中"，此时存在 $a_n \in A$ ， $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = a \notin A$ . $\{a_n\}$ 的一切子列均收敛于 $a \notin A$ ，这与 $A$ 序列紧相矛盾！
(3) $\Longrightarrow$ (1)（反证法）. 设 $A$ 为有界闭集，且存在 $A$ 的开覆盖 $\{U_\alpha\}$ ，使得任何有限个 $U_\alpha$ 均无法覆盖 $A$ . 取闭正方体 $I_1 \supset A$ ，将 $I_1$ 做 $2^n$ 等分，必有一等分 $I_2 \displaystyle\subset I_1$ ，使得 $I_2 \cap A$ 不能被有限个 $U_\alpha$ 覆盖.
依此类推，得一串闭立方体 $I_1 \supset I_2 \supset \cdots$ ， $\operatorname{diam}I_m \to 0$ ( $m \to \infty$ ). 由闭集套原理，存在唯一的点 $a \in I_m \cap A$ ， $\forall\,m \geqslant 1$ . 又因为 $\{U_\alpha\}$ 为 $A$ 的开覆盖，故存在 $\alpha_0$ 使得 $a \in U_{\alpha_0}$ .
于是 $m$ 充分大时必有 $I_m \displaystyle\subset U_{\alpha_0}$ . 这与 $I_m \cap A$ 不能被有限个 $U_\alpha$ 覆盖相矛盾！
注意. 只有在证明的第三步才用到 $\mathbb{R}^n$ 的性质，特别地，度量空间中的紧致集合一定是序列紧致的；反之，可以证明，在度量空间中，序列紧致的集合必定是紧致的.

推论3： $\mathbb{R}^n$ 中有界点列必有收敛子列.

这是因为有界点列必然包含在某个闭球中，而根据上述定理，闭球是紧致集合，因而也是序列紧致的，特别地，该点列存在收敛子列.

下面的 Lebesgue 数引理是 $\mathbb{R}$ 上 Lebesgue 数引理的推广.

引理4 (Lebesgue)：设 $A$ 为度量空间 $X$ 中的紧致集合， $\{U_\alpha\}$ 为 $A$ 的开覆盖. 则存在 $\lambda > 0$ ，使得只要 $A$ 的子集 $B$ 满足 $\operatorname{diam}(B) < \lambda$ ，则 $B$ 必定包含在某个 $U_\alpha$ 中.

(反证法) 设满足要求的 $\lambda$ 不存在，则对任意 $n > 1$ ，存在 $A$ 的子集 $B_n$ ，使得 $B_n$ 的直径小于 $1/n$ ，且 $B_n$ 不包含于任何 $U_\alpha$ 内. 取 $b_n \in B_n$ ，则得到 $A$ 中的点列 $\{b_n\}$ .
不论 $\{b_n\}$ 是不是有限子集，由 $A$ 的紧致性以及前一命题可知 $\{b_n\}$ 存在收敛子列，不妨设 $\{b_n\}$ 本身收敛于 $b_0 \in A$ . 因为 $\{U_\alpha\}$ 是 $A$ 的开覆盖，故存在 $\alpha_0$ ，使得 $b_0 \in U_{\alpha_0}$ . 因为 $U_{\alpha_0}$ 为开集，故存在 $\delta > 0$ ，使得
$B_\delta(b_0) \subset U_{\alpha_0},$
因为 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_n = b_0$ ，故可取 $n > 2/\delta$ ，使得 $\rho(b_n,b_0) < \delta/2$ ，此时
$\rho(b,b_0) \leqslant \rho(b,b_n) + \rho(b_n,b_0) \leqslant \operatorname{diam}(B_n) + \frac{\delta}{2} < \frac{1}{n} + \frac{\delta}{2} < \delta,\quad \forall\,b \in B_n.$
这说明 $B_n \displaystyle\subset B_\delta(b_0) \displaystyle\subset U_{\alpha_0}$ ，这与 $B_n$ 的选取相矛盾.
注意. 引理中的 $\lambda$ 称为关于覆盖 $\{U_\alpha\}$ 的 Lebesgue 数. 从证明可以看出 Lebesgue 数引理对序列紧致的集合也成立.