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Lesson 17 Riemann 积分 I

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2026-08-17

Riemann 研究了有界函数的积分，他把可积函数类从连续函数类做了很大的扩充.

Lebesgue 进一步发现可积函数就是 “几乎处处” 连续的函数.

Part 1 Riemann 可积

设 f(x)f(x) 是定义在闭区间 [a,b][a,b] 上的函数（不一定连续），考虑由直线 x=ax = a，y=by = b，y=0y = 0 及曲线 y=f(x)y = f(x) 围成的曲边梯形.受连续函数积分定义的启发，为了计算它的面积，我们用若干小矩形面积之和去逼近：将 [a,b][a,b] 分割为

a=x0<x1<⋯<xn=b,a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b,

第 ii 个小梯形的面积可用 f(ξi)Δxif(\xi_i)\Delta x_i 近似逼近，其中 ξi∈[xi−1,xi]\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]，Δxi=xi−xi−1\Delta x_i = x_i - x_{i-1}.于是和 ∑i=1nf(ξi)Δxi\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i 表示曲边梯形 ABCDABCD 的面积的近似值.我们期望，当 [a,b][a,b] 的分割越来越细时，这个近似值越来越接近所求面积，用极限表示出来就是

SABCD=lim⁡∥π∥→0∑i=1nf(ξi)Δxi,S_{ABCD} = \lim_{\|\pi\| \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i,

这里 ∥π∥=max⁡1≤i≤n{Δxi}\|\pi\| = \max\limits_{1 \le i \le n} \{\Delta x_i\}.如果上述极限存在，则记为 ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx.

详细说来，设函数 f(x)f(x) 定义于区间 [a,b][a,b]，[a,b][a,b] 中有 n+1n+1 个点依次为 a=x0<x1<⋯<xn=ba = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b，它们将 [a,b][a,b] 分成 nn 个小区间 Δi=[xi−1,xi]\Delta_i = [x_{i-1}, x_i] (1≤i≤n1 \le i \le n)，这些分点及闭子区间构成了 [a,b][a,b] 的一个分割，记为

π:a=x0<x1<⋯<xn=b.\pi: \quad a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b.

小区间 Δi\Delta_i 的长度为 Δxi=xi−xi−1\Delta x_i = x_i - x_{i-1}，并记

∥π∥=max⁡1≤i≤n{Δxi},\|\pi\| = \max_{1 \le i \le n} \{\Delta x_i\},

称为分割 π\pi 的模.

对于分割 π\pi，任取点 ξi∈Δi=[xi−1,xi]\xi_i \in \Delta_i = [x_{i-1}, x_i] (1≤i≤n1 \le i \le n).称

∑i=1nf(ξi)Δxi\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i

为 ff 在 [a,b][a,b] 上的一个 Riemann 和或积分和.

· Riemann 积分

定义1 (Riemann 积分). 设 ff 如上，如果存在实数 II，使得任给 ε>0\varepsilon > 0，均存在 δ>0\delta > 0，对任何分割 π\pi，只要 ∥π∥<δ\|\pi\| < \delta，就有

∣∑i=1nf(ξi)Δxi−I∣<ε,∀ ξi∈[xi−1,xi],  i=1,⋯ ,n,\left| \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i - I \right| < \varepsilon, \quad \forall\, \xi_i \in [x_{i-1}, x_i], \; i = 1,\cdots,n,

则称 ff 在 [a,b][a,b] 上 Riemann 可积或可积，II 为 ff 在 [a,b][a,b] 上的（定）积分，记为

I=∫abf(x) dx=lim⁡∥π∥→0∑i=1nf(ξi)Δxi.I = \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\|\pi\| \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i.

其中 ff 称为被积函数，[a,b][a,b] 称为积分区间，a,ba,b 分别称为积分下限与积分上限.

(1) 积分与变量 xx 的选择无关，即

∫abf(x) dx=∫abf(t) dt.\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt.

(2) 如果 ff 在 [a,b][a,b] 上可积，则积分 ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx 是唯一确定的；可知连续函数总是可积的.

定理1 (可积的必要条件). 若 ff 在 [a,b][a,b] 上可积，则 ff 在 [a,b][a,b] 上有界，反之不然.

假设 ff 在 [a,b][a,b] 上可积，沿用上面的记号，记 II 为其积分.取 ε=1\varepsilon = 1，由定义，存在 δ>0\delta > 0，对 [a,b][a,b] 的任意分割

π:a=x0<x1<⋯<xn=b,\pi: \quad a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b,

当 ∥π∥<δ\|\pi\| < \delta 时，任取 ξi∈[xi−1,xi]\xi_i \in [x_{i-1}, x_i] (1≤i≤n1 \le i \le n)，均有

∣∑i=1nf(ξi)Δxi−I∣<1.\left| \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i - I \right| < 1.

特别地，取自然数 n>b−aδn > \dfrac{b-a}{\delta}，对区间 [a,b][a,b] 做 nn 等分，即

xi=a+in(b−a),i=0,⋯ ,n,x_i = a + \frac{i}{n}(b-a), \quad i = 0,\cdots,n,

此时 ∥π∥=b−an<δ\|\pi\| = \dfrac{b-a}{n} < \delta.我们有

∣b−an∑i=1nf(ξi)−I∣<1,∀ ξi∈[a+i−1n(b−a), a+in(b−a)],\left| \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) - I \right| < 1, \quad \forall\, \xi_i \in \left[a + \frac{i-1}{n}(b-a),\, a + \frac{i}{n}(b-a)\right],

从而

∣∑i=1nf(ξi)∣≤nb−a(1+∣I∣).\left| \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \right| \le \frac{n}{b-a}(1 + |I|).

对于固定的 j∈{1,2,⋯ ,n}j \in \{1,2,\cdots,n\}，当 i≠ji \ne j 时，我们取 ξi=a+in(b−a)\xi_i = a + \dfrac{i}{n}(b-a)，令

M=max⁡0≤i≤n{∣f(a+in(b−a))∣},M = \max_{0 \le i \le n} \left\{ \left| f\left(a + \frac{i}{n}(b-a)\right) \right| \right\},

则有如下估计：

∣f(ξj)∣≤∣∑i≠jf(a+in(b−a))∣+nb−a(1+∣I∣)≤(n−1)M+nb−a(1+∣I∣),\begin{aligned} |f(\xi_j)| &\le \left| \sum_{i \ne j} f\left(a + \frac{i}{n}(b-a)\right) \right| + \frac{n}{b-a}(1 + |I|)\\\\ &\le (n-1)M + \frac{n}{b-a}(1 + |I|), \end{aligned}

这个估计对任意 ξj∈[a+j−1n(b−a), a+jn(b−a)]\xi_j \in \left[a + \dfrac{j-1}{n}(b-a),\, a + \dfrac{j}{n}(b-a)\right] 均成立，因此有

∣f(x)∣≤(n−1)M+nb−a(1+∣I∣),∀ x∈[a,b],|f(x)| \le (n-1)M + \frac{n}{b-a}(1 + |I|), \quad \forall\, x \in [a,b],

这就说明 ff 有界.

有界函数未必可积，Dirichlet 函数 D(x)D(x) 即为例证：任给一个分割，当 ξi\xi_i 取 [xi−1,xi][x_{i-1}, x_i] 中的无理数时，积分和为 00；当 ξi\xi_i 取 [xi−1,xi][x_{i-1}, x_i] 中有理数时，积分和为 11.因此 D(x)D(x) 的积分和没有极限.

除了连续函数之外，还有哪些有界函数是可积的呢？如同研究有界数列的收敛性要考虑上极限和下极限一样，我们考虑有界函数 Riemann 和的“最大”值和“最小”值.对于分割

π:a=x0<x1<⋯<xn=b,\pi: \quad a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b,

记 Mi=sup⁡x∈[xi−1,xi]f(x)M_i = \sup\limits_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)，mi=inf⁡x∈[xi−1,xi]f(x)m_i = \inf\limits_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)，令

S=∑i=1nMi⋅Δxi,s=∑i=1nmi⋅Δxi,S = \sum_{i=1}^n M_i \cdot \Delta x_i, \quad s = \sum_{i=1}^n m_i \cdot \Delta x_i,

我们称 SS 为 ff 关于 π\pi 的 Darboux 上和，简称上和，也记为 S(π)S(\pi) 或 S(π,f)S(\pi,f)；而 ss 称为 Darboux 下和，简称下和，也记为 s(π)s(\pi) 或 s(π,f)s(\pi,f).

显然，任何 Riemann 和总是介于下和与上和之间.我们称

ωi=Mi−mi=sup⁡x∈[xi−1,xi]f(x)−inf⁡x∈[xi−1,xi]f(x)\omega_i = M_i - m_i = \sup_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x) - \inf_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)

为 ff 在 [xi−1,xi][x_{i-1}, x_i] 上的振幅.由定义，上和与下和之差可以表示为

S−s=∑i=1nωi⋅Δxi.S - s = \sum_{i=1}^n \omega_i \cdot \Delta x_i.

Riemann 对于积分的贡献之一就是证明了 ff 可积当且仅当 S−sS - s 的极限为零（当分割的模趋于零时）.Darboux 进一步研究了任意有界函数的上和与下和的极限.

以下总是假定 ff 为有界函数，并记 M=sup⁡x∈[a,b]f(x)M = \sup\limits_{x \in [a,b]} f(x)，m=inf⁡x∈[a,b]f(x)m = \inf\limits_{x \in [a,b]} f(x).

下面的引理给出了上和与下和的重要性质，这种单调性质与数列的情形类似.

引理2. 设分割 π′\pi' 是从 π\pi 添加 kk 个分点得到的，则有

S(π)≥S(π′)≥S(π)−(M−m)k∥π∥,s(π)≤s(π′)≤s(π)+(M−m)k∥π∥.\begin{aligned} S(\pi) &\ge S(\pi') \ge S(\pi) - (M - m)k\|\pi\|, \\\\ s(\pi) &\le s(\pi') \le s(\pi) + (M - m)k\|\pi\|. \end{aligned}

特别地，对于给定的分割增加新的分点时，下和不减，上和不增.

为了简单起见，我们证明 k=1k=1 的情形.此时，设新添加的分点为 xˉ\bar{x}，则 xˉ\bar{x} 必落在某个区间 (xj−1,xj)(x_{j-1}, x_j) 内.由上和的定义，

S(π)=∑i=1nMi⋅Δxi=Mj⋅Δxj+∑i≠jMi⋅Δxi,S(π′)=Mj′⋅(xˉ−xj−1)+Mj′′(xj−xˉ)+∑i≠jMi⋅Δxi,\begin{aligned} S(\pi) &= \sum_{i=1}^n M_i \cdot \Delta x_i = M_j \cdot \Delta x_j + \sum_{i \ne j} M_i \cdot \Delta x_i, \\\\ S(\pi') &= M'_j \cdot (\bar{x} - x_{j-1}) + M''_j (x_j - \bar{x}) + \sum_{i \ne j} M_i \cdot \Delta x_i, \end{aligned}

这里 Mj′M'_j 及 Mj′′M''_j 分别是 ff 在区间 [xj−1,xˉ][x_{j-1}, \bar{x}] 及 [xˉ,xj][\bar{x}, x_j] 中的上确界.因为 Mj′≤MjM'_j \le M_j，Mj′′≤MjM''_j \le M_j，从而有

0≤S(π)−S(π′)=(Mj−Mj′)(xˉ−xj−1)+(Mj−Mj′′)(xj−xˉ)≤(M−m)(xˉ−xj−1)+(M−m)(xj−xˉ)=(M−m)Δxj≤(M−m)∥π∥.\begin{aligned} 0 \le S(\pi) - S(\pi') &= (M_j - M'_j)(\bar{x} - x_{j-1}) + (M_j - M''_j)(x_j - \bar{x}) \\\\ &\le (M - m)(\bar{x} - x_{j-1}) + (M - m)(x_j - \bar{x}) \\\\ &= (M - m)\Delta x_j \le (M - m)\|\pi\|. \end{aligned}

即 S(π)≥S(π′)≥S(π)−(M−m)∥π∥S(\pi) \ge S(\pi') \ge S(\pi) - (M - m)\|\pi\|.下和的情形同理可证.

推论3. 对于任意两个分割 π1\pi_1 及 π2\pi_2，有

s(π1)≤S(π2).s(\pi_1) \le S(\pi_2).

用 π1∪π2\pi_1 \cup \pi_2 表示将 π1\pi_1 和 π2\pi_2 的所有分点合并后得到的分割（重复的分点只取一次），则 π1∪π2\pi_1 \cup \pi_2 既可以看成由 π1\pi_1 添加分点而来，又可以看作从 π2\pi_2 添加分点而来.由引理2，有

s(π1)≤s(π1∪π2)≤S(π1∪π2)≤S(π2).s(\pi_1) \le s(\pi_1 \cup \pi_2) \le S(\pi_1 \cup \pi_2) \le S(\pi_2).

这也就是说任意下和总是不超过任意上和.

下面的定理和有界数列的上极限和下极限都存在是类似的.

· Darboux 定理

定理 6 (Darboux).

lim⁡∥π∥→0S(π)=inf⁡πS(π),lim⁡∥π∥→0s(π)=sup⁡πs(π).\lim_{\|\pi\| \to 0} S(\pi) = \inf_\pi S(\pi), \quad \lim_{\|\pi\| \to 0} s(\pi) = \sup_\pi s(\pi).

根据定义，总有下面的估计：

m(b−a)≤s(π)≤S(π)≤M(b−a),m(b-a) \le s(\pi) \le S(\pi) \le M(b-a),

因此 inf⁡πS(π)\inf\limits_\pi S(\pi) 和 sup⁡πs(π)\sup\limits_\pi s(\pi) 都存在.

任给 ε>0\varepsilon > 0，由下确界的定义知，存在分割 π′\pi'，使得

S(π′)<inf⁡πS(π)+ε2.S(\pi') < \inf_\pi S(\pi) + \frac{\varepsilon}{2}.

设 π′\pi' 由 kk 个分点构成.对于任意另一分割 π\pi，π∪π′\pi \cup \pi' 至多比 π\pi 多 kk 个分点.由引理 6.1.2，有

S(π)−(M−m)k∥π∥≤S(π∪π′)≤S(π′)<inf⁡πS(π)+ε2.S(\pi) - (M - m)k\|\pi\| \le S(\pi \cup \pi') \le S(\pi') < \inf_\pi S(\pi) + \frac{\varepsilon}{2}.

于是，当 ∥π∥<δ=ε2(M−m+1)k\|\pi\| < \delta = \dfrac{\varepsilon}{2(M - m + 1)k} 时，

inf⁡πS(π)≤S(π)≤(M−m)k⋅ε2(M−m+1)k+inf⁡πS(π)+ε2<inf⁡πS(π)+ε,\begin{aligned} \inf_\pi S(\pi) &\le S(\pi) \le (M - m)k \cdot \frac{\varepsilon}{2(M - m + 1)k} + \inf_\pi S(\pi) + \frac{\varepsilon}{2} \\\\ &< \inf_\pi S(\pi) + \varepsilon, \end{aligned}

这就证明了

lim⁡∥π∥→0S(π)=inf⁡πS(π).\lim_{\|\pi\| \to 0} S(\pi) = \inf_\pi S(\pi).

下和的极限同理可证.

我们称 inf⁡πS(π)\inf\limits_\pi S(\pi) 为 ff 在 [a,b][a,b] 上的上积分，sup⁡πs(π)\sup\limits_\pi s(\pi) 为 ff 在 [a,b][a,b] 上的下积分.Riemann 和 Darboux 关于函数可积性的结果反映在下面的重要定理中

定理5 (可积的充要条件). 设 ff 为 [a,b][a,b] 上的有界函数，则以下命题等价：

(1) ff 在 [a,b][a,b] 上 Riemann 可积.

(2) ff 在 [a,b][a,b] 上的上积分和下积分相等.

(3) lim⁡∥π∥→0∑i=1nωi⋅Δxi=0\displaystyle \lim_{\|\pi\| \to 0} \sum_{i=1}^n \omega_i \cdot \Delta x_i = 0.

(4) 任给 ε>0\varepsilon > 0，存在 [a,b][a,b] 的某个分割 π\pi，使得

S(π)−s(π)=∑i=1nωi⋅Δxi<ε.S(\pi) - s(\pi) = \sum_{i=1}^n \omega_i \cdot \Delta x_i < \varepsilon.

(1) ⇒\Rightarrow (2): 设 ff 在 [a,b][a,b] 上可积，其积分为 II.于是任给 ε>0\varepsilon > 0，存在 δ>0\delta > 0，当 ∥π∥<δ\|\pi\| < \delta 时，有

I−ε<∑i=1nf(ξi)⋅Δxi<I+ε.I - \varepsilon < \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \cdot \Delta x_i < I + \varepsilon.

特别地，我们得到

I−ε≤∑i=1ninf⁡x∈[xi−1,xi]f(x)⋅Δxi=s(π)≤∑i=1nsup⁡x∈[xi−1,xi]f(x)⋅Δxi=S(π)≤I+ε,\begin{aligned} I - \varepsilon &\le \sum_{i=1}^n \inf_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x) \cdot \Delta x_i = s(\pi) \\\\ &\le \sum_{i=1}^n \sup_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x) \cdot \Delta x_i = S(\pi) \\\\ &\le I + \varepsilon, \end{aligned}

这说明 lim⁡∥π∥→0s(π)=lim⁡∥π∥→0S(π)=I\displaystyle \lim_{\|\pi\| \to 0} s(\pi) = \lim_{\|\pi\| \to 0} S(\pi) = I.由 Darboux 定理即知 ff 的上下积分相等.

(2) ⇒\Rightarrow (1): 设 inf⁡πs(π)=inf⁡πS(π)=I\inf\limits_\pi s(\pi) = \inf\limits_\pi S(\pi) = I.由 Darboux 定理，任给 ε>0\varepsilon > 0，存在 δ>0\delta > 0，当 ∥π∥<δ\|\pi\| < \delta 时，有

I−ε<s(π)≤∑i=1nf(ξi)⋅Δxi≤S(π)<I+ε,I - \varepsilon < s(\pi) \le \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \cdot \Delta x_i \le S(\pi) < I + \varepsilon,

这说明

lim⁡∥π∥→0∑i=1nf(ξi)⋅Δxi=I,\lim_{\|\pi\| \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \cdot \Delta x_i = I,

也就是说 ff 在 [a,b][a,b] 上可积，积分为 II.

(2)   ⟺  \iff (3): 这可由 Darboux 定理及下式得到

lim⁡∥π∥→0∑i=1nωi⋅Δxi=lim⁡∥π∥→0(S(π)−s(π))=inf⁡πS(π)−sup⁡πs(π).\lim_{\|\pi\| \to 0} \sum_{i=1}^n \omega_i \cdot \Delta x_i = \lim_{\|\pi\| \to 0} (S(\pi) - s(\pi)) = \inf_\pi S(\pi) - \sup_\pi s(\pi).

(3) ⇒\Rightarrow (4): 这是显然的.

(4) ⇒\Rightarrow (2): 如果存在分割 π\pi，使得 S(π)−s(π)<εS(\pi) - s(\pi) < \varepsilon，则由

s(π)≤sup⁡π′s(π′)≤inf⁡π′S(π′)≤S(π)s(\pi) \le \sup_{\pi'} s(\pi') \le \inf_{\pi'} S(\pi') \le S(\pi)

知

0≤inf⁡π′S(π′)−sup⁡π′s(π′)≤S(π)−s(π)<ε.0 \le \inf_{\pi'} S(\pi') - \sup_{\pi'} s(\pi') \le S(\pi) - s(\pi) < \varepsilon.

由 ε\varepsilon 的任意性即知 ff 的上和与下和相等.

这就证明了 (1)(2)(3)(4) 的等价性.

推论6.

(1) 设 [α,β]⊂[a,b][\alpha, \beta] \subset [a,b]，如果 ff 在 [a,b][a,b] 上可积，则 ff 在 [α,β][\alpha,\beta] 上也可积.

(2) 设 c∈(a,b)c \in (a,b)，如果 ff 在 [a,c][a,c] 及 [c,b][c,b] 上都可积，则 ff 在 [a,b][a,b] 上可积.

/example/ 设 f,gf,g 均为 [a,b][a,b] 上的可积函数，则 fgfg 也是 [a,b][a,b] 上的可积函数.

因为可积函数是有界的，故存在 K>0K > 0，使得

∣f(x)∣≤K,∣g(x)∣≤K,∀ x∈[a,b].|f(x)| \le K, \quad |g(x)| \le K, \quad \forall\, x \in [a,b].

任给 ε>0\varepsilon > 0，由定理 6.1.5 (3)，存在 δ>0\delta > 0，当 ∥π∥<δ\|\pi\| < \delta 时，

∑πωi(f)⋅Δxi<ε2K+1,∑πωi(g)⋅Δxi<ε2K+1.\sum_\pi \omega_i(f) \cdot \Delta x_i < \frac{\varepsilon}{2K+1}, \quad \sum_\pi \omega_i(g) \cdot \Delta x_i < \frac{\varepsilon}{2K+1}.

如果 [xi−1,xi][x_{i-1}, x_i] 为 π\pi 中的一个小区间，则

ωi(fg)=sup⁡x′,x′′∈[xi−1,xi]∣f(x′)g(x′)−f(x′′)g(x′′)∣=sup⁡x′,x′′∈[xi−1,xi]∣f(x′)g(x′)−f(x′)g(x′′)+f(x′)g(x′′)−f(x′′)g(x′′)∣≤sup⁡x′,x′′∈[xi−1,xi][∣f(x′)∣∣g(x′)−g(x′′)∣+∣g(x′′)∣∣f(x′)−f(x′′)∣]≤K(ωi(g)+ωi(f)),\begin{aligned} \omega_i(fg) &= \sup_{x',x'' \in [x_{i-1}, x_i]} |f(x')g(x') - f(x'')g(x'')| \\\\ &= \sup_{x',x'' \in [x_{i-1}, x_i]} |f(x')g(x') - f(x')g(x'') + f(x')g(x'') - f(x'')g(x'')| \\\\ &\le \sup_{x',x'' \in [x_{i-1}, x_i]} \left[ |f(x')||g(x') - g(x'')| + |g(x'')||f(x') - f(x'')| \right] \\\\ &\le K(\omega_i(g) + \omega_i(f)), \end{aligned}

从而有

∑πωi(fg)⋅Δxi≤K∑π(ωi(f)+ωi(g))⋅Δxi=K∑πωi(f)⋅Δxi+K∑πωi(g)⋅Δxi<K⋅ε2K+1+K⋅ε2K+1<ε.\begin{aligned} \sum_\pi \omega_i(fg) \cdot \Delta x_i &\le K \sum_\pi (\omega_i(f) + \omega_i(g)) \cdot \Delta x_i \\\\ &= K \sum_\pi \omega_i(f) \cdot \Delta x_i + K \sum_\pi \omega_i(g) \cdot \Delta x_i \\\\ &< K \cdot \frac{\varepsilon}{2K+1} + K \cdot \frac{\varepsilon}{2K+1} < \varepsilon. \end{aligned}

由定理5 知 fgfg 可积.

根据 定理5 可以得到几类可积函数，它们不一定总是连续的.

定理7 (可积函数类).

(1) 若 ff 在 [a,b][a,b] 上连续，则 ff 在 [a,b][a,b] 上可积；

(2) 若有界函数 ff 只在 [a,b][a,b] 中有限个点处不连续，则 ff 可积；

(3) 若 ff 为 [a,b][a,b] 上的单调函数，则 ff 可积.

设 ff 为 [a,b][a,b] 上定义的函数，如果存在 [a,b][a,b] 的分割

π:a=x0<x1<x2<⋯<xn=b,\pi: \quad a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b,

使得 ff 在每一个小区间 (xi−1,xi)(x_{i-1}, x_i) 上均为常数，则称 ff 为阶梯函数.

推论8. 阶梯函数均为可积函数.

定理9 (Riemann). 设 ff 为 [a,b][a,b] 上的有界函数，则 ff 可积的充分必要条件是任给 ε,η>0\varepsilon, \eta > 0，存在 [a,b][a,b] 的某个分割 π\pi，使得

∑ωi≥ηΔxi<ε.\sum_{\omega_i \ge \eta} \Delta x_i < \varepsilon.

(Necessity) 设 ff 可积，则由定理 6.1.5 (4)，任给 ε,η>0\varepsilon, \eta > 0，存在分割 π\pi，使得

∑i=1nωi⋅Δxi<ε⋅η,\sum_{i=1}^n \omega_i \cdot \Delta x_i < \varepsilon \cdot \eta,

从而

η⋅∑ωi≥ηΔxi≤∑i=1nωi⋅Δxi<ε⋅η,\eta \cdot \sum_{\omega_i \ge \eta} \Delta x_i \le \sum_{i=1}^n \omega_i \cdot \Delta x_i < \varepsilon \cdot \eta,

即

∑ωi≥ηΔxi<ε.\sum_{\omega_i \ge \eta} \Delta x_i < \varepsilon.

(Sufficiency) 由已知条件，任给 ε>0\varepsilon > 0，存在 [a,b][a,b] 的分割 π\pi，使得

∑ωi≥ε2(b−a)Δxi<ε2(M−m+1).\sum_{\omega_i \ge \frac{\varepsilon}{2(b-a)}} \Delta x_i < \frac{\varepsilon}{2(M - m + 1)}.

对于这个分割，有

∑i=1nωi⋅Δxi=∑ωi<ε2(b−a)ωi⋅Δxi+∑ωi≥ε2(b−a)ωi⋅Δxi≤ε2(b−a)∑ωi<ε2(b−a)Δxi+(M−m)∑ωi≥ε2(b−a)Δxi≤ε2(b−a)(b−a)+(M−m)ε2(M−m+1)<ε.\begin{aligned} \sum_{i=1}^n \omega_i \cdot \Delta x_i &= \sum_{\omega_i < \frac{\varepsilon}{2(b-a)}} \omega_i \cdot \Delta x_i + \sum_{\omega_i \ge \frac{\varepsilon}{2(b-a)}} \omega_i \cdot \Delta x_i \\\\ &\le \frac{\varepsilon}{2(b-a)} \sum_{\omega_i < \frac{\varepsilon}{2(b-a)}} \Delta x_i + (M - m) \sum_{\omega_i \ge \frac{\varepsilon}{2(b-a)}} \Delta x_i \\\\ &\le \frac{\varepsilon}{2(b-a)} (b-a) + (M - m)\frac{\varepsilon}{2(M - m + 1)} < \varepsilon. \end{aligned}

由定理5 (4) 知 ff 可积.

· Lebesgue 定理

定义2 (零测集). 设 A⊂RA \subset \mathbb{R}, 如果任给 ε>0\varepsilon > 0, 均存在覆盖 AA 的至多可数个开区间 {Ii}\{I_i\}, 使得

∑i=1n∣Ii∣≤ε,∀ n≥1,\sum_{i=1}^{n} |I_i| \leq \varepsilon, \quad \forall\, n \geq 1,

则称 AA 为零测集.

(1) 有限集是零测集; (2) 可数集是零测集; (3) 零测集的子集仍为零测集; (4) 可数个零测集之并仍为零测集.

定理10 (Lebesgue). 有界函数 ff 在 [a,b][a,b] 上 Riemann 可积的充分必要条件是它的不连续点集 DfD_f 为零测集.

设 ff 在 [a,b][a,b] 上 Riemann 可积. 固定 δ>0\delta > 0, 任给 ε>0\varepsilon > 0, 存在 [a,b][a,b] 的分割

π: a=x0<x1<⋯<xn=b,\pi: \, a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b,

使得

∑i=1nωi⋅Δxi<ε⋅δ2.\sum_{i=1}^{n} \omega_i \cdot \Delta x_i < \varepsilon \cdot \frac{\delta}{2}.

如果 x∈Dδ∩(xi−1,xi)x \in D_\delta \cap (x_{i-1},x_i), 则显然 ωi≥ω(f,x)≥δ\omega_i \geq \omega(f,x) \geq \delta. 因此从上式可得

∑Dδ∩(xi−1,xi)≠∅Δxi<ε2.\sum_{D_\delta \cap (x_{i-1},x_i) \neq \varnothing} \Delta x_i < \frac{\varepsilon}{2}.

显然

Dδ⊂⋃Dδ∩(xi−1,xi)≠∅(xi−1,xi)⋃i=0n(xi−ε4(n+1), xi+ε4(n+1)),D_\delta \subset \bigcup_{D_\delta \cap (x_{i-1},x_i) \neq \varnothing} (x_{i-1},x_i) \bigcup_{i=0}^{n} \left(x_i - \frac{\varepsilon}{4(n+1)},\, x_i + \frac{\varepsilon}{4(n+1)}\right),

且

∑Dδ∩(xi−1,xi)≠∅Δxi+2ε4(n+1)⋅(n+1)<ε2+ε2=ε,\sum_{D_\delta \cap (x_{i-1},x_i) \neq \varnothing} \Delta x_i + \frac{2\varepsilon}{4(n+1)} \cdot (n+1) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon,

由定义即知 DδD_\delta 为零测集. 这说明 Df=⋃n≥1D1nD_f = \bigcup_{n \geq 1} D_{\frac{1}{n}} 为零测集.

(充分性) 设 ∣f(x)∣≤K|f(x)| \leq K, ∀ x∈[a,b]\forall\, x \in [a,b]. 由假设, DfD_f 为零测集, 故任给 ε>0\varepsilon > 0, 存在开区间 {(αj,βj)}j=1,2,⋯\{(\alpha_j,\beta_j)\}_{j=1,2,\cdots}, 使得 Df⊂⋃j(αj,βj)D_f \subset \bigcup_j (\alpha_j,\beta_j), 且

∑j(βj−αj)≤ε4K+1.\sum_j (\beta_j - \alpha_j) \leq \frac{\varepsilon}{4K+1}.

对于 x∈[a,b]−⋃j(αj,βj)x \in [a,b] - \bigcup_j (\alpha_j,\beta_j), 因为 ff 在 xx 处连续, 故存在包含 xx 的开区间 IxI_x, 使得 ff 在 IxI_x 上的振幅小于 ε2(b−a)\frac{\varepsilon}{2(b-a)}. 由于 {(αj,βj),Ix}\{(\alpha_j,\beta_j), I_x\} 为紧致集 [a,b][a,b] 的一个开覆盖, 它有有限子覆盖, 且由下面的 Lebesgue 数引理, 可取 [a,b][a,b] 的分割

π: a=x0<x1<⋯<xn=b,\pi: \, a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b,

使得每一个小区间 [xi−1,xi][x_{i-1},x_i] 必含于某个 (αj,βj)(\alpha_j,\beta_j) 或 IxI_x 中. 此时

∑i=1nωi⋅Δxi≤∑[xi−1,xi]⊂(αj,βj)ωi⋅Δxi+∑[xi−1,xi]⊂Ixωi⋅Δxi≤2K∑[xi−1,xi]⊂(αj,βj)Δxi+ε2(b−a)∑[xi−1,xi]⊂IxΔxi≤2K∑j(βj−αj)+ε2(b−a)(b−a)≤2Kε4K+1+ε2<ε.\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} \omega_i \cdot \Delta x_i &\leq \sum_{[x_{i-1},x_i] \subset (\alpha_j,\beta_j)} \omega_i \cdot \Delta x_i + \sum_{[x_{i-1},x_i] \subset I_x} \omega_i \cdot \Delta x_i \\\\ &\leq 2K \sum_{[x_{i-1},x_i] \subset (\alpha_j,\beta_j)} \Delta x_i + \frac{\varepsilon}{2(b-a)} \sum_{[x_{i-1},x_i] \subset I_x} \Delta x_i \\\\ &\leq 2K \sum_j (\beta_j - \alpha_j) + \frac{\varepsilon}{2(b-a)} (b-a) \\\\ &\leq 2K \frac{\varepsilon}{4K+1} + \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon. \end{aligned}

因此 ff 在 [a,b][a,b] 上 Riemann 可积.

引理11 (Lebesgue 数). 设 {Uα}α∈Γ\{U_\alpha\}_{\alpha \in \Gamma} 为闭区间 [a,b][a,b] 的一个开覆盖, 则存在正数 λ>0\lambda > 0, 使得任何长度不超过 λ\lambda 的闭区间 I⊂[a,b]I \subset [a,b] 必定完全包含于某个开集 UαU_\alpha 中.

利用 Lebesgue 定理重新判断定理就显得较简单了（真的吗）

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2026/8/17 07:22
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