Part 1 连续函数

· 定义

连续变化的量用数学的语言来刻画就是连续函数。

定义1（连续性）：如果 $f$ 在 $x_0$ 的一个邻域中有定义且 $f$ 在 $x_0$ 处的极限等于 $f(x_0)$，则称 $f$ 在 $x_0$ 处连续，$x_0$ 称为 $f$ 的一个连续点；如果 $f$ 在 $x_0$ 处的左极限等于 $f(x_0)$，则称 $f$ 在 $x_0$ 处左连续；如果 $f$ 在 $x_0$ 处的右极限等于 $f(x_0)$，则称 $f$ 在 $x_0$ 处右连续；在定义域内每一点都连续的函数称为连续函数。

(1) 如果 $x_0$ 不是 $f$ 的连续点，则称 $x_0$ 是 $f$ 的一个间断点。显然，$f$ 在 $x_0$ 处连续当且仅当 $f$ 在 $x_0$ 处左连续和右连续。我们还可以用 Heine 定理来描述连续性：$f$ 在 $x_0$ 处连续当且仅当对任意收敛到 $x_0$ 的点列 $x_n$，均有 $f(x_n) \to f(x_0)$ ($n \to \infty$)。

(2) 用 $\varepsilon - \delta$ 的语言来描述 $f$ 在 $x_0$ 处连续就是：任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $|x - x_0| < \delta$ 时，有

$$|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon.$$

(3)* 上半连续和下半连续：如果任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $|x - x_0| < \delta$ 时，有

$$f(x) > f(x_0) - \varepsilon,$$

则称 $f$ 在 $x_0$ 处下半连续；如果任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $|x - x_0| < \delta$ 时，有

$$f(x) < f(x_0) + \varepsilon,$$

则称 $f$ 在 $x_0$ 处上半连续。

(4) 连续点和连续性的概念可以推广到在 $\mathbb{R}$ 的子集 $X$ 上定义的函数 $f: X \to \mathbb{R}$ 上：$x_0 \in X$ 为 $f$ 的连续点是指当 $x \in X$，$x \to x_0$ 时 $f(x) \to f(x_0)$。因此，当 $X = [a,b]$ 时，$f$ 为 $[a,b]$ 上的连续函数是指 $f$ 在 $(a,b)$ 中每一点都连续，且在 $a$ 处右连续，在 $b$ 处左连续。

下面给出几个例子：

根据前面两节的计算，我们已经知道下面的初等函数都是连续的：

$$C ,\ x,\ \sin x,\ \cos x,\ \sqrt{x},\ \log_a x\ (a > 0, a \ne 1).$$

如果 $f$ 为连续函数，则 $|f|$ 也是连续函数

设 $f$ 在 $x_0$ 处连续，则由

$$0 \le ||f(x)| - |f(x_0)|| \le |f(x) - f(x_0)|$$

以及夹逼原理知 $|f(x)|$ 在 $x_0$ 处连续

研究函数 $f(x) = \frac{1}{x}\ (x \ne 0)$ 的连续性

设 $x_0 > 0$。任给 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \min\left\{\frac{1}{2}x_0, \frac{1}{2}x_0^2\varepsilon\right\}$，当 $|x - x_0| < \delta$ 时

$$\left|\frac{1}{x} - \frac{1}{x_0}\right| = \frac{|x - x_0|}{|x x_0|} \le \frac{2|x - x_0|}{x_0^2} < \varepsilon,$$

因此 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。完全类似地可证明，当 $x_0 < 0$ 时，$f$ 在 $x_0$ 处也连续。因此 $\frac{1}{x}$ 为连续函数

研究函数 $f(x) = a^x\ (a > 0)$ 的连续性

$a = 1$ 时 $f(x) = 1$ 为常值函数，因此是连续函数。设 $a \ne 1$，$x_0 \in \mathbb{R}$，则

$$\lim_{x \to x_0} a^x = \lim_{x \to x_0} a^{x_0} a^{x - x_0} = a^{x_0} \lim_{y \to 0} a^y = a^{x_0}.$$

因此 $f(x)$ 为连续函数

利用下面的两个定理可以得到连续函数的更多例子

定理1（连续函数的四则运算）．设 $f(x), g(x)$ 都在 $x_0$ 处连续，则

(1) $\alpha f(x) + \beta g(x)$ 在 $x_0$ 处连续，其中 $\alpha, \beta$ 为常数；

(2) $f(x)g(x)$ 在 $x_0$ 处连续；

(3) 当 $g(x_0) \ne 0$ 时，$f(x)/g(x)$ 在 $x_0$ 处连续。

由函数极限的四则运算性质即可得到

定理2（复合函数的连续性）．设函数 $f(y)$ 在 $y_0$ 处连续，函数 $g(x)$ 在 $x_0$ 处的极限为 $y_0$，则有

$$\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = f\left(\lim_{x \to x_0} g(x)\right) = f(y_0),$$

特别地，当 $g$ 在 $x_0$ 处连续时，复合函数 $f(g(x))$ 在 $x_0$ 处也连续。

/proof/

因为函数 $f(y)$ 在 $y_0$ 处连续，故任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $|y - y_0| < \delta$ 时，

$$|f(y) - f(y_0)| < \varepsilon.$$

对于这个 $\delta$，因为 $g(x) \to y_0\ (x \to x_0)$，故存在 $\eta > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \eta$ 时，

$$|g(x) - y_0| < \delta,$$

从而

$$|f(g(x)) - f(y_0)| < \varepsilon,$$

即

$$f(g(x)) \to f(y_0) = f\left(\lim_{x \to x_0} g(x)\right).$$

下面再给出一些例子：

如果 $f, g$ 为连续函数，则 $\max\{f,g\}$ 和 $\min\{f,g\}$ 均为连续函数

当 $f, g$ 连续时，$f + g$, $f - g$ 均连续。并且可以直接验证

$$\begin{aligned} \max\{f,g\} &= \frac{1}{2}\{(f + g) + |f - g|\},\\\\ \min\{f,g\} &= \frac{1}{2}\{(f + g) - |f - g|\}. \end{aligned}$$

于是 $\max\{f,g\}$ 和 $\min\{f,g\}$ 均为连续函数

有理函数的连续性

因为 $f(x) = x$ 为连续函数，因此 $x^2 = x \cdot x$, $x^3 = x \cdot x \cdot x, \cdots, x^n\ (n \ge 1)$ 都是连续函数；同理，因为 $f(x) = x^{-1}$ 连续，因此 $x^n\ (n \le -1)$ 也是连续函数。

进一步，有理函数（即两个多项式之商）在定义域内均为连续函数

三角函数的连续性

因为 $\sin x, \cos x$ 为连续函数，故三角函数

$$\csc x = \frac{1}{\sin x},\ \sec x = \frac{1}{\cos x},\ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x},\ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$$

在定义域内均为连续函数

设 $\alpha \ne 0$，研究幂函数 $f(x) = x^\alpha$ 的连续性

设 $\alpha > 0$。先来说明 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处是连续的。事实上，任给 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \varepsilon^{1/\alpha}$，当 $|x| < \delta$ 时

$$|x^\alpha - 0| = (|x|)^\alpha \le (\varepsilon^{1/\alpha})^\alpha = \varepsilon.$$

因此 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续。

如果 $x > 0$，则 $x^\alpha = e^{\alpha \ln x}$，根据复合函数的连续性，我们知道 $f(x)$ 连续；如果 $x < 0$，则 $x^\alpha = (-1)^\alpha e^{\alpha \ln |x|}$，仍由复合函数的连续性知 $f(x)$ 连续。

如果 $\alpha < 0$，则

$$x^\alpha = \left(\frac{1}{x}\right)^{-\alpha},$$

因此当 $x \ne 0$ 时函数是连续的。总之，在定义域内，幂函数是连续的

· 间断点

单调函数和可逆函数之间有很密切的联系，我们先来研究单调函数的连续性

定义2：设 $x_0$ 为 $f(x)$ 的一个间断点。如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左极限 $f(x_0 - 0)$ 和右极限 $f(x_0 + 0)$ 都存在且有限，则称 $x_0$ 为第一类间断点；其它的间断点都称为第二类间断点。左极限和右极限不相等的第一类间断点称为跳跃间断点；左极限和右极限相等的第一类间断点称为可去间断点。

/example/

研究单调函数 $f(x) = [x]$ 的连续性，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数

当 $k \le x < k + 1$ ($k$ 为整数) 时，$[x] = k$。因此，当 $x$ 不是整数时，$f(x)$ 在 $x$ 处连续。当 $x = k$ 为整数时，$f(x)$ 在 $k$ 处的左极限为 $k - 1$，右极限为 $k$。这说明 $f(x)$ 的间断点恰为所有的整数点。$\square$

根据定义，函数 $f(x) = [x]$ 的间断点都是跳跃间断点。

下面的结果说明单调函数在定义域内部的间断点都是跳跃间断点。

命题3．设 $f(x)$ 是区间 $(a,b)$ 中的单调函数，$x_0 \in (a,b)$。如果 $x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点，则 $x_0$ 是跳跃间断点。

/proof/

由单调性知 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左极限和右极限都存在且有限，当 $f$ 单调递增时，有

$$f(x_0 - 0) \le f(x_0) \le f(x_0 + 0),$$

当 $f$ 单调递减时，有

$$f(x_0 - 0) \ge f(x_0) \ge f(x_0 + 0).$$

因此，如果 $x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点，则 $x_0$ 必为跳跃间断点

命题4：设 $f(x)$ 是定义在区间 $I$ 中的单调函数，则 $f(x)$ 的间断点为至多可数多个

/proof/

不妨设 $f(x)$ 单调递增，且 $I$ 为开区间。假设 $x_1 < x_2$ 为间断点，则

$$f(x_1 - 0) \le f(x_1) \le f(x_1 + 0) \le f(x_2 - 0) \le f(x_2) \le f(x_2 + 0).$$

因此，区间 $(f(x_1 - 0), f(x_1 + 0))$ 和 $(f(x_2 - 0), f(x_2 + 0))$ 不相交。如果我们把每一个间断点 $x$ 均对应到开区间 $(f(x - 0), f(x + 0))$，则这些开区间互不相交。这样的开区间只有至多可数多个，因此 $f(x)$ 的间断点也至多可数

命题5：设 $f(x)$ 是定义在区间 $I$ 中的严格单调函数，则 $f(x)$ 连续当且仅当 $f(I)$ 也是区间

不妨设 $f(x)$ 严格单调递增。如果 $f(I)$ 为区间，则 $f(x)$ 没有间断点，这是因为间断点 $x_0$ 对应的区间 $(f(x_0 - 0), f(x_0 + 0))$ 不在值域内，从而会分割值域。即值域为区间时 $f$ 是连续的。

如果 $f$ 连续，则由介值定理知 $f(I)$ 为区间

推论6．定义在区间 $I$ 中的严格单调连续函数 $f(x)$ 一定是可逆的，且其逆也是严格单调连续的

不妨设 $f(x)$ 严格单调递增。由上一命题知 $f(I) = J$ 是区间。因为映射 $f: I \to J$ 是一一映射，故它是可逆的。设 $y_1 < y_2 \in J$，记 $x_1 = f^{-1}(y_1)$, $x_2 = f^{-1}(y_2)$。如果 $x_1 \ge x_2$，则因为 $f$ 单调递增，故 $y_1 = f(x_1) \ge f(x_2) = y_2$，这就得到矛盾。这说明

$$x_1 = f^{-1}(y_1) < x_2 = f^{-1}(y_2),$$

因此 $f^{-1}$ 是 $J$ 上的严格单调递增函数。因为 $f^{-1}(J) = I$ 为区间，由上一命题即知 $f^{-1}$ 连续。

注意．利用介值定理可以证明，区间上的连续函数可逆当且仅当它是严格单调的。

定理7．初等函数在其定义域内均为连续函数

我们已经证明了常值函数、三角函数、幂函数、指数函数与对数函数在其定义域内是连续的。根据上面的推论，反三角函数在其定义域内也是连续的。这些基本初等函数在四则运算以及复合之下也都是连续函数

利用初等函数的连续性，求函数极限的时候通常就可以直接代入定义域内的变量值来计算

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