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Lesson 5 实数 I

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2026-08-17

Part 1 实数系构造

在本节中给出实数集 R\mathbb{R} 的一种构造方法. 构造出来的对象除了是一个集合外还具有很多基本性质，所以通常又将它称为实数系. 我们从有理数 Q\mathbb{Q} 出发来构造实数.

需要注意的是，自然数、整数以及有理数的建立也是需要严格的数学基础的，不过这对于学习微积分不是至关重要的，因此我们还是从有理数开始，毕竟有理数比较直观.

下面构造实数的方法是 Dedekind 在 1872 年发明的，这种方法以 Dedekind 分割 而著称.

定义1：设 α\alpha 为 Q\mathbb{Q} 的子集，如果满足以下三个条件：

(1). α≠∅\alpha \neq \varnothing，α≠Q\alpha \neq \mathbb{Q}；

(2). 当 p∈αp \in \alpha，q∈αcq \in \alpha^c 时，p<qp < q；

(3). 任给 p∈αp \in \alpha，存在 q∈αq \in \alpha，使得 p<qp < q；

则称 α\alpha 为 Q\mathbb{Q} 的一个分割，分割的全体组成的集合记为 R\mathbb{R}.

定义中的条件 (1) 是说 α\alpha 为 Q\mathbb{Q} 的非空真子集，而 (3) 是说 α\alpha 中无最大数. 这一条不是本质的：如果 α\alpha 满足条件 (1) 和 (2)，且有最大数，将此最大数去掉后 α\alpha 就是满足所有三个条件的分割了.

命题1：设 α\alpha 为 Q\mathbb{Q} 的一个分割，则：

  1. 如果 p<qp < q，q∈αq \in \alpha，则 p∈αp \in \alpha；
  2. 设 w>0w > 0，则存在整数 nn，使得 nw∈αnw \in \alpha，(n+1)w∈αc(n+1)w \in \alpha^c.

/proof/

(1)（反证法） 如果 p∈αcp \in \alpha^c，则由分割定义的第二条即知 q<pq < p，这和假设矛盾.

(2) 取 r∈αr \in \alpha，则当 m<r/wm < r/w，即 mw<rmw < r 时，由 (1) 即知 mw∈αmw \in \alpha. 再取 s∈αcs \in \alpha^c，当 m>s/wm > s/w 时 mw∈αcmw \in \alpha^c. 这说明，下面的整数子集：

{m∈Z∣mw∈α}\{ m \in \mathbb{Z} \mid mw \in \alpha \}

是非空且有上界的集合，因此有最大数 nn，nn 就是满足要求的整数.

设 r∈Qr \in \mathbb{Q} 为一个有理数，记

r∗={s∈Q∣s<r},r^* = \{ s \in \mathbb{Q} \mid s < r \},

则容易验证 r∗r^* 是一个分割，称为由有理数 rr 决定的分割.

考虑 Q\mathbb{Q} 的子集

α={r∈Q∣r2<2}∪{r∈Q∣r≤0},\alpha = \{ r \in \mathbb{Q} \mid r^2 < 2 \} \cup \{ r \in \mathbb{Q} \mid r \leq 0 \},

则 α\alpha 是一个分割.

事实上，容易看出 α\alpha 为非空子集. 分割定义的第二条也是容易验证的. 我们来看分割定义的第三条，即 α\alpha 中没有最大数：

  • 如果 r≤0r \leq 0，则 r<1r < 1，而 1∈α1 \in \alpha；

  • 如果 r>0r > 0，r2<2r^2 < 2，则取

    s=r−r2−2r+2=2r+2r+2,s = r - \frac{r^2 - 2}{r + 2} = \frac{2r + 2}{r + 2},

    且

    s2−2=2(r2−2)(r+2)2<0,s^2 - 2 = \frac{2(r^2 - 2)}{(r + 2)^2} < 0,

    即 s∈αs \in \alpha，且 r<sr < s.

如果递归地定义有理数列 {xn}\{x_n\} 如下：

x0=1,xn+1=2xn+2xn+2,n≥0,x_0 = 1, \quad x_{n+1} = \frac{2x_n + 2}{x_n + 2}, \quad n \geq 0,

则根据刚才的讨论，{xn}\{x_n\} 为严格单调递增数列（即 xn<xn+1x_n < x_{n+1}），且

0<2−xn+12=2(2−xn2)(xn+2)2<14(2−xn2),0 < 2 - x_{n+1}^2 = \frac{2(2 - x_n^2)}{(x_n + 2)^2} < \frac{1}{4}(2 - x_n^2),

由此得到下面的估计：

0<2−xn2<14n,n≥1.0 < 2 - x_n^2 < \frac{1}{4^n}, \quad n \geq 1.

下面我们把有理数 Q\mathbb{Q} 所满足的基本性质都推广到 R\mathbb{R} 上. 首先看次序如何定义.

次序关系：

设 α,β∈R\alpha, \beta \in \mathbb{R}，如果 α\alpha 为 β\beta 的真子集，则称 α\alpha 小于 β\beta，记为 α<β\alpha < \beta. 我们也用记号 α≤β\alpha \leq \beta 表示 α\alpha 为 β\beta 的子集. 此时 α=β\alpha = \beta 或 α<β\alpha < \beta.

次序关系的性质有：

  • 如果 α<β\alpha < \beta，β<γ\beta < \gamma，则 α<γ\alpha < \gamma. 这是因为真子集的真子集还是真子集.

  • 任给 α,β∈R\alpha, \beta \in \mathbb{R}，下面的三种关系有且仅有一个成立：

    α<β,α=β,β<α.\alpha < \beta,\quad \alpha = \beta,\quad \beta < \alpha.

事实上，设前两个关系不成立，则 α\alpha 不是 β\beta 的子集，因此存在 r∈αr \in \alpha，但 r∉βr \notin \beta. 如果 s∈βs \in \beta，则 s<rs < r，从而 s∈αs \in \alpha，这就说明 β\beta 为 α\alpha 的子集. 由于 α≠β\alpha \neq \beta，故 β\beta 为 α\alpha 的真子集.

如果 r,s∈Qr, s \in \mathbb{Q}，则当 r=sr = s 时 r∗=s∗r^* = s^*，当 r<sr < s 时 r∗<s∗r^* < s^*. 因此我们定义的次序关系是自然的. 有了次序就可以定义上界.

上界和上确界：

设 A⊂RA \subset \mathbb{R} 为 R\mathbb{R} 的非空子集，β∈R\beta \in \mathbb{R}. 如果任给 α∈A\alpha \in A，均有 α≤β\alpha \leq \beta，则称 β\beta 为 AA 的一个上界. 设 γ\gamma 为 AA 的一个上界，如果任给 AA 的另一个上界 γ′\gamma'，均有 γ≤γ′\gamma \leq \gamma'，则称 γ\gamma 为 AA 的最小上界或上确界，记为 sup⁡A\sup A. 易见，上确界如果存在则必定是惟一的.

定理2（确界原理）：R\mathbb{R} 的非空子集如果有上界，则必有上确界.

设 AA 为 R\mathbb{R} 的非空子集，β\beta 为 AA 的一个上界，记

γ=⋃α∈Aα⊂Q.\gamma = \bigcup_{\alpha \in A} \alpha \subset \mathbb{Q}.

下面先说明 γ\gamma 为一个分割. γ\gamma 显然是非空子集，由于 β\beta 为 AA 的一个上界，故 γ⊂β\gamma \subset \beta，这说明 γ≠Q\gamma \neq \mathbb{Q}. 这验证了分割定义的第一条.

设 r∈γr \in \gamma，s∉γs \notin \gamma. 于是存在 α∈A\alpha \in A，使得 r∈αr \in \alpha，此时 s∉αs \notin \alpha，因此 r<sr < s. 这验证了分割定义的第二条.

第三条：设 r∈γr \in \gamma，于是存在 α∈A\alpha \in A，使得 r∈αr \in \alpha，此时存在 s∈αs \in \alpha，使得 r<sr < s，由 γ\gamma 的定义即知 s∈γs \in \gamma.

其次我们说明 γ\gamma 为 AA 的最小上界. 根据 γ\gamma 的构造，显然 γ\gamma 为 AA 的一个上界. 如果 γ′\gamma' 为另一个上界，则 α⊂γ′\alpha \subset \gamma'，∀ α∈A\forall\, \alpha \in A. 这说明 γ⊂γ′\gamma \subset \gamma'.

实数表示为某个非空子集的上确界：

如果 r∈Qr \in \mathbb{Q} 为有理数，令

A={s∗∈R∣s<r, s∈Q}={s∗∣s∈r∗},A = \{ s^* \in \mathbb{R} \mid s < r,\ s \in \mathbb{Q} \} = \{ s^* \mid s \in r^* \},

则 r∗=sup⁡Ar^* = \sup A. 事实上，由定义有

sup⁡A=⋃s<rs∗=⋃s<r{t∈Q∣t<s}={t∈Q∣t<r}=r∗.\sup A = \bigcup_{s < r} s^* = \bigcup_{s < r} \{ t \in \mathbb{Q} \mid t < s \} = \{ t \in \mathbb{Q} \mid t < r \} = r^*.

一般地，如果 α∈R\alpha \in \mathbb{R} 为一个分割，则

α=sup⁡{r∗∣r∈α}.\alpha = \sup \{ r^* \mid r \in \alpha \}.

下面我们把 Q\mathbb{Q} 中的四则运算推广到 R\mathbb{R} 中.

加法运算：

设 α,β∈R\alpha, \beta \in \mathbb{R}，定义

α+β={r+s∣r∈α, s∈β},\alpha + \beta = \{ r + s \mid r \in \alpha,\ s \in \beta \},

显然，α+β\alpha + \beta 是 Q\mathbb{Q} 的非空子集. 取 r′∈αcr' \in \alpha^c, s′∈βcs' \in \beta^c，则任给 r∈αr \in \alpha, s∈βs \in \beta，均有 r<r′r < r', s<s′s < s'，从而有 r+s<r′+s′r + s < r' + s'，这说明 r′+s′∉α+βr' + s' \notin \alpha + \beta，即 α+β≠Q\alpha + \beta \neq \mathbb{Q}.

设 p=r+s∈α+βp = r + s \in \alpha + \beta，其中 r∈αr \in \alpha, s∈βs \in \beta. 如果 q∈(α+β)cq \in (\alpha + \beta)^c，我们要说明 p<qp < q. 事实上，如果 q≤pq \leq p，则 q−s≤rq - s \leq r，从而 q−s∈αq - s \in \alpha，q=(q−s)+s∈α+βq = (q - s) + s \in \alpha + \beta，这就得到矛盾，因此只能有 p<qp < q.

α+β\alpha + \beta 中无最大数：设 p=r+s∈α+βp = r + s \in \alpha + \beta，取 t∈αt \in \alpha，使得 r<tr < t，则 q=t+s∈α+βq = t + s \in \alpha + \beta，且 p<qp < q. 总之，α+β\alpha + \beta 是一个分割，称为 α\alpha 与 β\beta 的和.

求和运算具有以下性质：

  • 如果 r,s∈Qr, s \in \mathbb{Q}，则 r∗+s∗=(r+s)∗r^* + s^* = (r + s)^*. 这由定义不难得到.

  • (交换律) α+β=β+α\alpha + \beta = \beta + \alpha. 这可从 Q\mathbb{Q} 中加法具有交换律以及 α+β\alpha + \beta 和 β+α\beta + \alpha 的定义推出.

  • (结合律) (α+β)+γ=α+(β+γ)(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma). 这可从 Q\mathbb{Q} 中加法具有结合律推出.

  • (零元) α+0∗=α\alpha + 0^* = \alpha. 如果 r∈αr \in \alpha, s∈0∗s \in 0^*，则 s<0s < 0, r+s<rr + s < r，因此 r+s∈αr + s \in \alpha，这说明 α+0∗⊂α\alpha + 0^* \subset \alpha.

    反之，设 r∈αr \in \alpha，取 r′∈αr' \in \alpha，使得 r<r′r < r'，此时 r−r′∈0∗r - r' \in 0^*，从而 r=r′+(r−r′)∈α+0∗r = r' + (r - r') \in \alpha + 0^*，这又说明 α⊂α+0∗\alpha \subset \alpha + 0^*，因此 α+0∗=α\alpha + 0^* = \alpha. 0∗0^* 称为零元.

  • (负元) 设 α∈R\alpha \in \mathbb{R}，令

    β={r∈Q∣存在 s>0, 使得 −r−s∈αc}.\beta = \{ r \in \mathbb{Q} \mid \text{存在 } s > 0,\ \text{使得 } -r - s \in \alpha^c \}.

    我们先来说明 β\beta 为一个分割. 取 q∈αcq \in \alpha^c, r=−q−1r = -q - 1，则 −r−1=q∈αc-r - 1 = q \in \alpha^c，因此 r∈βr \in \beta，这说明 β\beta 是非空子集.

    如果 p∈αp \in \alpha, r∈βr \in \beta，则存在 s>0s > 0，使得 −r−s∈αc-r - s \in \alpha^c，因此 p<−r−sp < -r - s, r<−p−s<−pr < -p - s < -p，特别地，−p∈βc-p \in \beta^c，即 β≠Q\beta \neq \mathbb{Q}. 分割定义的其它两条可类似验证.

    我们来说明 α+β=0∗\alpha + \beta = 0^*. 如果 p∈αp \in \alpha, r∈βr \in \beta，则同上所述，存在 s>0s > 0，使得 −r−s∈αc-r - s \in \alpha^c，因此 p<−r−sp < -r - s, p+r<−s<0p + r < -s < 0，于是 p+r∈0∗p + r \in 0^*，α+β⊂0∗\alpha + \beta \subset 0^*.

    反之，取 t∈0∗t \in 0^*，则 −t/2>0-t/2 > 0，取整数 nn，使得 −nt/2∈α-nt/2 \in \alpha, −(n+1)t/2∈αc-(n+1)t/2 \in \alpha^c. 令 r=(n+2)t/2r = (n+2)t/2，则 −r−(−t/2)∈αc-r - (-t/2) \in \alpha^c，因此 r∈βr \in \beta，且

    t−nt/2+r∈α+β,t - nt/2 + r \in \alpha + \beta,

    这说明 0∗⊂α+β0^* \subset \alpha + \beta.

    我们称 β\beta 为 α\alpha 的负元，记为 β=−α\beta = -\alpha.

乘法运算：

令 R+={α∈R∣0∗<α}\mathbb{R}^+ = \{ \alpha \in \mathbb{R} \mid 0^* < \alpha \}，如果 α,β∈R+\alpha, \beta \in \mathbb{R}^+，令

αβ={p∈Q∣exist 0<r∈α, 0<s∈β, s.t. p<rs},\alpha\beta = \{ p \in \mathbb{Q} \mid \text{exist } 0 < r \in \alpha,\ 0 < s \in \beta,\ \text{s.t. } p < rs \},

可以验证这是一个分割，且 αβ∈R+\alpha\beta \in \mathbb{R}^+.

这样我们对所有的情形都定义了乘法运算. 乘法运算具有以下性质：

  • 如果 r,s∈Qr, s \in \mathbb{Q}，则 (rs)∗=r∗s∗(rs)^* = r^*s^*. 以 r,s>0r, s > 0 为例：根据定义可以看出，

    r∗s∗={p∈Q∣exist r′,s′∈Q, 0<r′<r, 0<s′<s, s.t. p<r′s′}={p∈Q∣p<rs}=(rs)∗.\begin{aligned} r^*s^* &= \{ p \in \mathbb{Q} \mid \text{exist } r', s' \in \mathbb{Q},\ 0 < r' < r,\ 0 < s' < s,\ \text{s.t. } p < r's' \} \\\\ &= \{ p \in \mathbb{Q} \mid p < rs \} = (rs)^*. \end{aligned}

  • (交换律) αβ=βα\alpha\beta = \beta\alpha. 这可从有理数乘法的交换律得到，下面的结合律也一样.

  • (结合律) (αβ)γ=α(βγ)(\alpha\beta)\gamma = \alpha(\beta\gamma).

  • (单位元) α1∗=α\alpha 1^* = \alpha. 以 0∗<α0^* < \alpha 为例：根据定义可以看出，

    α1∗={p∈Q∣p<rs, exist 0<r∈α, 0<s<1}={p∈Q∣exist 0<r∈α, s.t. p<r}=α.\begin{aligned} \alpha 1^* &= \{ p \in \mathbb{Q} \mid p < rs,\ \text{exist } 0 < r \in \alpha,\ 0 < s < 1 \} \\\\ &= \{ p \in \mathbb{Q} \mid \text{exist } 0 < r \in \alpha,\ \text{s.t. } p < r \} = \alpha. \end{aligned}

  • (逆元) 如果 α≠0∗\alpha \neq 0^*，则存在 β∈R\beta \in \mathbb{R}，使得 αβ=1∗\alpha\beta = 1^*. 事实上，不妨设 0∗<α0^* < \alpha，定义 β\beta 为

    β={s∈Q∣exist r∈αc, s.t. s<r−1}.\beta = \{ s \in \mathbb{Q} \mid \text{exist } r \in \alpha^c,\ \text{s.t. } s < r^{-1} \}.

    不难验证这是一个分割，且 αβ=1∗\alpha\beta = 1^*. 我们称 β\beta 为 α\alpha 的逆元，记为 β=α−1\beta = \alpha^{-1}. 如果 rr 为非零有理数，则 (r∗)−1=(r−1)∗(r^*)^{-1} = (r^{-1})^*.

  • (分配律) α(β+γ)=αβ+αγ\alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma.

用高等代数的语言来说，我们迄今为止所做的工作表明，配备了加法运算和乘法运算的集合 R\mathbb{R} 是一个域，称为实数域. 当然，有理数集合 Q\mathbb{Q} 也是一个域，并且通过映射

f:Q→R,r↦r∗f: \mathbb{Q} \to \mathbb{R},\quad r \mapsto r^*

我们知道 Q\mathbb{Q} 可以看成 R\mathbb{R} 的子域，或实数域 R\mathbb{R} 是有理数域 Q\mathbb{Q} 的一个扩张. 扩张以后的域除了具有有理数域的基本性质以外，还具备了重要的确界原理，它使得实数填满了有理数在数轴上所留下的空隙，因此实数集合 R\mathbb{R} 也称为实数连续统或实数系.

为了强调实数系的连续性质，我们再看两个结论.

定理3 (Archimedes 原理)：设 0<x∈R0 < x \in \mathbb{R}，则任给 y∈Ry \in \mathbb{R}，存在正整数 nn，使得 y<nxy < nx.

我们不再区分有理数 rr 与分割 r∗r^*. 考虑 R\mathbb{R} 的子集

A={nx∣n∈N}.A = \{ nx \mid n \in \mathbb{N} \}.

我们说明 AA 没有上界. （反证法）如果有上界，则由确界原理知 AA 有上确界，记为 α\alpha. 因为 0<x0 < x，故 α−x<α\alpha - x < \alpha，从而存在正整数 mm，使得 α−x<mx\alpha - x < mx，此时 α<(m+1)x∈A\alpha < (m+1)x \in A，这和 α\alpha 为 AA 的上界相矛盾.

既然 AA 没有上界，yy 就不是 AA 的上界，从而存在正整数 nn，使得 y<nxy < nx.

推论4 (有理数的稠密性)：任给 a<b∈Ra < b \in \mathbb{R}，存在 c∈Qc \in \mathbb{Q}，使得 a<c<ba < c < b.

由 a<ba < b 知 0<b−a0 < b - a，由 Archimedes 原理，存在正整数 nn，使得 1<n(b−a)1 < n(b - a). 再由 Archimedes 原理，存在正整数 m1,m2m_1, m_2，使得 na<m1na < m_1, −na<m2-na < m_2. 这说明，集合

A={m′∈Z∣na<m′}⊂ZA = \{ m' \in \mathbb{Z} \mid na < m' \} \subset \mathbb{Z}

非空且有下界，因而存在最小整数 m∈Am \in A，mm 满足条件

m−1≤na<m.m - 1 \leq na < m.

此时就有

na<m≤1+na<n(b−a)+na=nb,na < m \leq 1 + na < n(b - a) + na = nb,

即 c=m/n∈Qc = m/n \in \mathbb{Q} 满足条件 a<c<ba < c < b.

以上关于实数系的构造方法源于 Dedekind. 实数系还有其它的构造方法，例如 Cantor 用小数表示以及利用 Cauchy 序列也完成了实数系的构造.

如果用抽象的语言来描述，则这些构造出来的对象是所谓的具有确界原理的有序域，这样的域都是互相同构的.

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