Part 1 数列极限

按顺序排列的一列数

$$a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots$$

称为一个数列，记为 $\{a_n\}$ . $a_n$ 称为该数列的第 $n$ 项，有时也称为一般项或通项. 作为集合，如果

$$\{a_n \mid n = 1, 2, \cdots\}$$

是有界的，则称数列 $\{a_n\}$ 是有界的，此时存在 $M$ ，使得

$$|a_n| \leqslant M, \quad \forall n \geqslant 1.$$

通过考察当 $n$ 变大时数列一般项 $a_n$ 的变化趋势，我们就得到了数列极限的概念.

· 定义

定义1：数列极限

设 $\{a_n\}$ 为数列， $A \in \mathbb{R}$ . 如果任给 $\varepsilon > 0$ ，都存在正整数 $N = N(\varepsilon)$ ，使得当 $n > N$ 时，有

$$|a_n - A| < \varepsilon,$$

则称 $\{a_n\}$ 以 $A$ 为极限，或称 $\{a_n\}$ 收敛于 $A$ ，记为

$$\lim_{n \to \infty} a_n = A \text{ or } a_n \to A (n \to \infty).$$

从直观上看，如果将数列看成实数轴上的一列点，则极限就是这样一个点，当 $n$ 越来越大时， $a_n$ 越来越靠近这个点.

为了用准确的数学语言来代替“越来越靠近”和“当 $n$ 越来越大”这样的描述性语言，我们要用到定义中的 $\varepsilon$ 和 $N$ ，这里的 $N$ 一般是依赖于给定的 $\varepsilon$ 的. 这种定义极限的方法也称为 $\varepsilon - N$ 语言法.

按照定义，我们也可以这样来描述极限： $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = A$ 当且仅当对于任意 $\varepsilon > 0$ ，数列 $\{a_n\}$ 只有至多有限项位于区间 $(A - \varepsilon, A + \varepsilon)$ 之外.

因此，如果存在 $\varepsilon_0 > 0$ ，使得 $\{a_n\}$ 中有无限项位于区间 $(A - \varepsilon_0, A + \varepsilon_0)$ 之外，则数列 $\{a_n\}$ 不以 $A$ 为极限（这时该数列的极限可能不存在，如果存在则极限也不等于 $A$ ）.

当然，我们也可以用 $\varepsilon - N$ 语言给出数列 $\{a_n\}$ 不以 $A$ 为极限的定义：如果存在 $\varepsilon_0 > 0$ ，使得任给正数 $N$ ，均存在 $n_0 > N$ 满足不等式 $|a_{n_0} - A| \geqslant \varepsilon_0$ ，则 $\{a_n\}$ 不以 $A$ 为极限.

定义理解：

(1). $\varepsilon$ 的任意性：

定义中 $\forall\varepsilon > 0$ ，指的是一切正数. 限制 $0 < \varepsilon < 1$ ，但是，不能限制 $\varepsilon$ 大于某个正数.

(2). $N$ 的相应性：

先有 $\varepsilon$ ，再确定 $N$ ，使 $n > N$ 时，都有 $|a_{n}-a|<\varepsilon$ 成立. 找到一个 $N$ ，就能找到无数个 $N$ ，$n > N$ 可以改成 $n \geq N$ . $\varepsilon$ 可以换成 $\varepsilon^{2}$ ，$\sqrt{\varepsilon}$ ，不能换成 $\varepsilon + 1$ ，$|a_{n}-a|<\varepsilon$ 可以改成 $|a_{n}-a|\leq\varepsilon$ .

(3). 几何意义：

$\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_{n}=a$ ，即 $\forall\varepsilon > 0$ ，$\exists N$ ，当 $n > N$ 时，都有 $|a_{n}-a|<\varepsilon$ .

$$\begin{align*} |a_{n}-a|<\varepsilon&\Leftrightarrow -\varepsilon < a_{n}-a < \varepsilon\\\\ &\Leftrightarrow a - \varepsilon < a_{n}< a + \varepsilon\\\\ &\Leftrightarrow a_{n}\in(a - \varepsilon,a + \varepsilon)\triangleq U(a,\varepsilon) \end{align*}$$

对于 $a$ 的任何 $\varepsilon$ 邻域 $U(a,\varepsilon)$ ，在外部仅有数列的有限项，其余项统统在邻域内.

命题1. 如果数列 $\{a_n\}$ 有极限，则其极限是惟一的.

/proof/

如果数列 $\{a_n\}$ 既以 $A$ 为极限，又以 $B$ 为极限，则任给 $\varepsilon > 0$ ，存在 $N_1, N_2$ ，使得当 $n > N_1$ 时

$$|a_n - A| < \varepsilon,$$

当 $n > N_2$ 时

$$|a_n - B| < \varepsilon.$$

因此，当 $n > \max\{N_1, N_2\}$ 时，有

$$2\varepsilon > |a_n - A| + |a_n - B| \geqslant |A - B|.$$

如果 $A \neq B$ ，则对于 $\varepsilon = \dfrac{|A - B|}{2}$ ，上式不可能成立，因此只能 $A = B$

如果数列没有极限，则称它是发散的. 讨论数列的收敛与发散的问题简称为数列的敛散性问题. 从定义不难看出，改变数列的有限项的值不改变其敛散性，如果收敛的话也不改变极限的值.

下面给出几个例题来论述如何证明极限存在性：

/example/ 设 $|q| < 1$，则

$$\lim_{n \to \infty} q^n = 0$$

/proof/

$q = 0$ 时结论显然成立. 设 $0 < |q| < 1$，任给定 $\varepsilon > 0$，取正整数 $N > \log_{|q|} \varepsilon$，则当 $n > N$ 时，

$$|q^n - 0| = |q|^n < |q|^N < \varepsilon,$$

因此 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} q^n = 0$.

上面的这个证明用到了对数函数的性质. 下面我们还可以用更初等的不等式估计的办法另给一个证明如下：当 $0 < |q| < 1$ 时，$\dfrac{1}{|q|} > 1$. 记 $\alpha = \dfrac{1}{|q|} - 1 > 0$. 任给 $\varepsilon > 0$，取正整数 $N > \dfrac{1}{\alpha \varepsilon}$，当 $n > N$ 时，

$$|q^n - 0| = |q|^n = \frac{1}{(1 + \alpha)^n} < \frac{1}{n\alpha} < \varepsilon,$$

其中，我们用到不等式

$$(1 + \alpha)^n = 1 + n\alpha + \frac{1}{2}n(n - 1)\alpha^2 + \cdots + \alpha^n > n\alpha.$$

这说明 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} q^n = 0$ .

/example/ 设 $\alpha > 0$，则 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^\alpha} = 0$.

/proof/

任给定 $\varepsilon > 0$，取 $N > \dfrac{1}{\varepsilon^\alpha}$，当 $n > N$ 时

$$\left|\frac{1}{n^\alpha} - 0\right| = \frac{1}{n^\alpha} < \frac{1}{N^\alpha} < \varepsilon,$$

由定义

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^\alpha} = 0$$

/example/. 设 $q > 0, \ q \neq 1$. 则

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\log_q n} = 0$$

/proof/

不妨设 $q > 1$. 任给定 $\varepsilon > 0$，取 $N > q^{\dfrac{1}{\varepsilon}}$，则当 $n > N$ 时

$$\left|\frac{1}{\log_q n} - 0\right| = \frac{1}{\log_q n} < \frac{1}{\log_q N} < \varepsilon,$$

因此 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{\log_q n} = 0$.

/example/ 设 $C$ 为常数，如果 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = 0$，则 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} C a_n = 0$.

/proof/

任给定 $\varepsilon > 0$，记 $\varepsilon_0 = \dfrac{\varepsilon}{|C| + 1}$. 因为 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = 0$，故存在 $N$，当 $n > N$ 时

$$|a_n| < \varepsilon_0,$$

从而当 $n > N$ 时，有

$$|Ca_n| = |C||a_n| \leqslant |C|\varepsilon_0 < \varepsilon,$$

因此 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} Ca_n = 0$.

· 夹逼定理

/Theorem/ 设 $\{a_n\} , \{b_n\}, \{c_n\}$ 均为数列，且

$$a_n \leqslant b_n \leqslant c_n, \quad \forall n \geqslant N_0,$$

其中 $N_0$ 为一正整数. 如果

$$\lim_{n \to \infty} a_n = A = \lim_{n \to \infty} c_n,$$

则 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_n = A$ .

/proof/

任给 $\varepsilon > 0$ ，因为 $\{a_n\}$ 和 $\{c_n\}$ 均收敛到 $A$ ，故存在 $N_1, N_2$ ，当 $n > N_1$ 时

$$A - \varepsilon < a_n < A + \varepsilon,$$

当 $n > N_2$ 时

$$A - \varepsilon < c_n < A + \varepsilon.$$

取 $N = \max\{N_0, N_1, N_2\}$ ，则当 $n > N$ 时，由于 $a_n \leqslant b_n \leqslant c_n$ ，我们就有

$$A - \varepsilon < a_n \leqslant b_n \leqslant c_n < A + \varepsilon,$$

这说明 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_n = A$ .

如果 $|a_n| \leqslant b_n$ ，则 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_n = 0$ 时 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ . 这只要注意到夹逼不等式 $-b_n \leqslant a_n \leqslant b_n$ 即可.

/example/ 考虑无限循环小数 $A = 0.999999$ ，问：$A$ 是否小于 1？

要比较大小，必须先说清楚 $A$ 是一个什么样的实数. 作为小数， $A$ 有无限位非零，一个合理的看法就是， $A$ 应被视为一列有限小数 $\{a_n\}$ 的极限，其中

$$a_n = 0.99\cdots 9$$

由于

$$|a_n - 1| = 10^{-n},$$

根据夹逼进原理， $\{a_n\}$ 收敛到 1. 因为极限具有惟一性，这说明 $A = 1$ .

直观上看，似乎 $A$ 总应该比 1 小才对.

然而，这种直观上得来的经验只对有限小数有效，对于无限的情形往往要用极限来处理才行.

/example/ 设 $0 < \alpha < 1$ ，证明 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} [(n + 1)^\alpha - n^\alpha] = 0$ .

当 $n \geq 1$ 时，有

$$0 < (n + 1)^\alpha - n^\alpha = n^\alpha [(1 + \frac{1}{n})^\alpha - 1] \leqslant n^\alpha [(1 + \frac{1}{n})^\alpha - 1] = \frac{1}{n^{1 - \alpha}}.$$

根据前面的例子和夹进原理即知

$$\lim_{n \to \infty} [(n + 1)^\alpha - n^\alpha] = 0$$

/example/. 设 $\alpha > 0, a > 1$ ，则 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{n^\alpha}{a^n} = 0$ .

/proof/

记 $a^{\frac{1}{\alpha}} = 1 + \beta, \beta > 0$ . 由于 $n > 1$ 时，有

$$(1 + \beta)^n = 1 + n\beta + \frac{1}{2}n(n - 1)\beta^2 + \cdots + \beta^n > \frac{1}{2}n(n - 1)\beta^2,$$

故

$$0 < \frac{n^\alpha}{a^n} = [(1 + \beta)^n]^\alpha < [(\frac{2}{(n - 1)\beta^2}]^\alpha,$$

由夹进原理和前面的例子即知

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n^\alpha}{a^n} = 0$$

/example/. 设 $a > 0$ ，则

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0$$

/proof/

取正整数 $N_0 > |a|$ ，则当 $n > N_0$ 时，有

$$\left|\frac{a^n}{n!}\right| = \frac{|a|^{N_0}}{N_0!} \frac{|a|}{N_0 + 1} \cdots \frac{|a|}{n} \leqslant \frac{|a|^{N_0}}{N_0!} \frac{|a|}{n},$$

由夹进原理即知

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0$$

/example/ 任何实数都是某个有理数列的极限.

设 $A$ 为实数. 如果 $A$ 为有理数，则令 $a_n = A (n \geqslant 1)$ 即可. 如果 $A$ 为无理数，令

$$a_n = \frac{[nA]}{n}, \quad \forall n \geqslant 1.$$

其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，因此 $a_n$ 都是有理数. 因为 $A$ 不是有理数，故

$$nA - 1 < [nA] < nA, \quad \forall n \geqslant 1.$$

即

$$A - \frac{1}{n} < a_n = \frac{[nA]}{n} < A, \quad \forall n \geqslant 1.$$

由夹进原理知

$$\lim_{n \to \infty} a_n = A$$

· 基本性质

为了更好地判断数列极限的存在性和计算数列极限, 我们来研究数列极限的基本性质

命题3 (有界性)：设数列 $\{a_n\}$ 收敛，则 $\{a_n\}$ 有界.

/proof/

设 $\{a_n\}$ 收敛到 $A$ . 取 $\varepsilon = 1$ ，则由极限定义，存在 $N$ ，当 $n > N$ 时

$$|a_n - A| \leqslant 1,$$

即

$$|a_n| \leqslant |A| + 1, \quad \forall n > N.$$

令

$$M = \max\{ |a_i| (1 \leqslant i \leqslant N), |A| + 1\},$$

则

$$|a_n| \leqslant M, \forall n \geqslant 1$$

由此命题立知，无界数列必定发散. 对于无界数列，我们有时也可以考察其变化趋势. 为此，设 $\{a_n\}$ 为数列，如果任给 $A > 0$ ，均存在 $N$ 使得当 $n > N$ 时， $a_n > A$ ，则称 $\{a_n\}$ 发散到 $+\infty$ ，或称 $\{a_n\}$ 的极限为 $+\infty$ ，记为

$$\lim_{n \to \infty} a_n = +\infty, \text{ or } a_n \to +\infty (n \to \infty).$$

类似地，如果任给 $A < 0$ ，均存在 $N$ 使得当 $n > N$ 时， $a_n < A$ ，则称 $\{a_n\}$ 发散到 $-\infty$ ，或称 $\{a_n\}$ 的极限为 $-\infty$ ，记为

$$\lim_{n \to \infty} a_n = -\infty, \text{ or } a_n \to -\infty (n \to \infty).$$

如果 $\{a_n\}$ 发散到 $+\infty$ ，则称 $\{a_n\}$ 发散到 $\infty$ ，记为

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \infty, \text{ or } a_n \to \infty (n \to \infty).$$

命题4：(绝对值性质) 设数列 $\{a_n\}$ 收敛到 $A$ ，则 $\{|a_n|\}$ 收敛到 $|A|$ .

/proof/

设 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = A$ ，则任给 $\varepsilon > 0$ ，存在 $N$ ，当 $n > N$ 时

$$|a_n - A| < \varepsilon,$$

从而

$$||a_n| - |A|| \leq |a_n - A| < \varepsilon, \quad \forall n > N.$$

即 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} |a_n| = |A|$ .

推论5. 数列 $\{a_n\}$ 收敛到 0 当且仅当 $|a_n|$ 收敛到 0；数列 $\{a_n\}$ 收敛到 $A$ 当且仅当 $|a_n - A|$ 收敛到 0.

命题6：(保序性质)

设数列 $\{a_n\}$ 收敛到 $A$ ，$\{b_n\}$ 收敛到 $B$ ，则有

(1) 如果存在 $N_0$ ，当 $n > N_0$ 时 $a_n \geqslant b_n$ ，则 $A \geqslant B$ ;

(2) 反之，如果 $A > B$ ，则存在 $N$ ，使得当 $n > N$ 时 $a_n > b_n$ .

/proof/

(1) 任给 $\varepsilon > 0$ ，存在 $N_1, N_2$ ，使得

$$|a_n - A| < \varepsilon, \forall n > N_1; \quad |b_n - B| < \varepsilon, \forall n > N_2.$$

令 $N = \max\{N_0, N_1, N_2\}$ ，则 $n > N$ 时，有

$$\begin{aligned} A - B &= (A - a_n) + (a_n - b_n) + (b_n - B)\\\\ &\geqslant (A - a_n) + (b_n - B) \\\\ &\geqslant (A - a_n) + (b_n - B) \\\\ &\geqslant -2\varepsilon, \end{aligned}$$

因为 $\varepsilon$ 是任意取的，上式表明 $A - B \geqslant 0$ ，即 $A \geqslant B$ .

(2) 如果 $A > B$ ，取 $\varepsilon = \dfrac{A - B}{2} > 0$ ，则存在 $N_1, N_2$ ，使得

$$|a_n - A| < \varepsilon, \forall n > N_1; \quad |b_n - B| < \varepsilon, \forall n > N_2.$$

令 $N = \max\{N_1, N_2\}$ ，则 $n > N$ 时，有

$$a_n - b_n = (a_n - A) + (A - B) + (B - b_n) > -\varepsilon + (A - B) - \varepsilon = 0,$$

即 $a_n > b_n, \forall n > N$

推论7. 设 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = A$ ，如果 $A \neq 0$ ，则存在 $N$ ，使得当 $n > N$ 时，有

$$\frac{1}{2}|A| < |a_n| < \frac{3}{2}|A|.$$

/proof/

由极限的绝对值性质，有

$$\frac{1}{2}|A| < \lim_{n \to \infty} |a_n| = |A| < \frac{3}{2}|A|,$$

再由极限的保序性质即得欲证结论.

命题8 (四则运算)：设数列 $\{a_n\}$ 收敛到 $A$ ， $\{b_n\}$ 收敛到 $B$ ，则有

(1). $\{ \alpha a_n + \beta b_n \}$ 收敛到 $\alpha A + \beta B$ ，其中 $\alpha, \beta$ 为常数；

(2). $\{ a_n b_n \}$ 收敛到 $AB$ ；

(3). 当 $B \neq 0$ 时， $\{ a_n / b_n \}$ 收敛到 $A / B$ .

/proof/

(1). 任给 $\varepsilon > 0$ ，存在 $N_1, N_2$ ，使得

$$|a_n - A| < \frac{\varepsilon}{2|\alpha| + 1}, \quad \forall n > N_1; \quad |b_n - B| < \frac{\varepsilon}{2|\beta| + 1}, \quad \forall n > N_2.$$

令 $N = \max\{N_1, N_2\}$ ，则 $n > N$ 时，有

$$|(\alpha a_n + \beta b_n) - (\alpha A + \beta B)| \leq |\alpha||a_n - A| + |\beta||b_n - B|$$

$$\leq |\alpha| \frac{\varepsilon}{2|\alpha| + 1} + |\beta| \frac{\varepsilon}{2|\beta| + 1}$$

$$< \frac{1}{2} \varepsilon + \frac{1}{2} \varepsilon = \varepsilon.$$

这说明 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} (\alpha a_n + \beta b_n) = \alpha A + \beta B$ .

(2). 利用极限的有界性质，存在 $M$ ，使得

$$|b_n| \leq M, \quad \forall n \geq 1.$$

因此有

$$0 \leq |a_n b_n - AB| = |(a_n - A)b_n + A(b_n - B)| \leq M|a_n - A| + |A||b_n - B|,$$

利用 (1) 和夹逼原理即知 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n b_n = AB$ .

(3). 根据 (2)，我们只要证明 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{b_n} = \dfrac{1}{B}$ 即可. 根据极限保序性质的推论，存在 $N$ ，当 $n > N$ 时， $|b_n| > \dfrac{|B|}{2}$ . 因此

$$0 \leq \left|\frac{1}{b_n} - \frac{1}{B}\right| = \frac{|b_n - B|}{|b_n||B|} \leq \frac{2}{|B|^2}|b_n - B|, \quad \forall n > N.$$

由夹逼原理即知 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{b_n} = \dfrac{1}{B}$ .

下面我们引入数列的子列的概念，并研究数列的极限和其子列的极限之间的关系. 设

$$a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots$$

是数列，如果

$$1 \leq n_1 < n_2 < \cdots < n_k < \cdots$$

是一列严格递增的正整数，则称数列

$$a_{n_1}, a_{n_2}, \cdots, a_{n_k}, \cdots$$

为原数列 $\{a_n\}$ 的子列，记为 $\{a_{n_k}\}$ . 两个特殊的子列 $\{a_{2k}\}$ 和 $\{a_{2k-1}\}$ 分别称为偶子列与奇子列.

命题9.

1. 设 $\{a_n\}$ 收敛到 $A$ ，则它的任何子列 $\{a_{n_k}\}$ 也收敛到 $A$ .
2. 如果 $\{a_n\}$ 的偶子列与奇子列均收敛到 $A$ ，则 $\{a_n\}$ 也收敛到 $A$ .

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