Lesson 0 绪论

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2025-09-16

Part 1 分析

· Archimedes

Archimedes，想要求一个不规则图形的面积. 当时他计算的是抛物线 $y=x^2$ 下方、 $x=a$ 左侧的面积. 他想到的办法是竖直剖分这个图形，每一个细长条近似为一个矩形，那么这个图形的不规则性就得到了缓解. 有

\begin{aligned} S&=\sum_{i=1}^n\frac{a}{n}(\frac{ia}{n})^2=\frac{a^3}{n^3}\sum_{i=1}^ni^2\\\\ &=\frac{a^3}{n^3}\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\\\ &=\frac{1}{6}a^3(2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2})\\ \end{aligned}

当 $n\to\infty$ 时，这个面积值越来越趋近于一个常数，有

\begin{aligned} S=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{6}a^3(2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2})=\frac{1}{3}a^3\\ \end{aligned}

由此，Archimedes认为，不同的表达式能得到相同的一个极限值，这说明开始虽然用了近似，但是最后我们得到的结果是一个确定的精确值.

我们也可以对 $k$ 次函数做同样的事：

\begin{aligned} S=\sum_{i=1}^n\frac{a}{n}(\frac{ia}{n})^k=\frac{a^{k+1}}{n^{k+1}}\sum_{i=1}^ni^k\\ \end{aligned}

$k$ 值越来越大，没有一般的表达式了，手算的难度也越来越大. Archimedes当年正是停在了这个地方.

· 分析

曲线围成的图形面积，本就不是人能直接解决的东西. 但是，“不能直接计算”并不等于“不能严格研究”. 我们可以先用容易计算的对象逼近它，再考察逼近过程是否趋近于唯一的结果. 这正是分析学最基本的思想：把一个复杂对象放进一列可控的对象中，用极限描述它.

· 极限

在上面的计算中， $rac{a}{n}$ 是每个小矩形的宽度. 当 $n$ 增大时，矩形越来越窄，矩形面积的和也越来越接近曲边图形的面积. 我们把这种“任意接近”的关系写成

S_n \longrightarrow S \quad (n\to\infty),

并称 $S$ 是数列 ${S_n}$ 的极限.

“接近”必须有精确的含义. 对任意 $arepsilon>0$ ，只要 $n$ 足够大，就能使

|S_n-S|<\varepsilon.

这里的 $\varepsilon$ 可以任意小，而 $n$ 的大小可以依赖于 $\varepsilon$ . 这句话把图形直观中的“越来越接近”变成了可以证明、可以使用的数学命题. 后面的数列极限和函数极限，都是在反复使用这一思想.

极限还解释了为什么近似计算能够给出确定的答案. 对固定的 $n$ ，矩形和通常只是近似值；当 $n\to\infty$ 时，如果所有合理的逼近都趋向同一个数，那么这个数就是对象本身应有的值. 因而，分析学并不是放弃精确性，而是通过极限重新获得精确性.

· 微分与积分

积分最初来自面积、体积和总量的计算. 微分则来自另一个问题：当自变量发生很小的变化时，函数值如何变化? 对函数 $y=f(x)$ ，在点 $x$ 附近有

f(x+h)-f(x)\approx f'(x)h,

其中 $f'(x)$ 描述函数在这一点的瞬时变化率. 微分把复杂的非线性变化在局部近似为线性变化.

积分和微分看起来分别研究“累积”和“变化”，但它们实际上由微积分基本定理联系起来. 如果 $f$ 连续，令

F(x)=\int_a^x f(t)\,dt,

则在适当条件下

F'(x)=f(x).

反过来，如果 $F'(x)=f(x)$ ，则

\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).

这说明面积的累积可以通过原函数的端点差计算，而变化率也可以通过积分重新累积出来. 第 11 课开始的微分学和第 15 课开始的积分学，最终都会回到这个统一关系.

· 从一元到多元

一元分析研究定义在实数轴上的函数. 但实际问题中的状态往往由多个量共同决定，例如位置由 $(x,y,z)$ 描述，温度由空间位置和时间共同决定. 这时需要把实数推广到空间，把区间推广到区域，把导数推广为梯度、Jacobian 矩阵和全微分，把积分推广为重积分.

多元函数的局部线性近似写成

f(a+h)=f(a)+Df(a)h+o(\|h\|),

其中 $Df(a)$ 是函数在 $a$ 处的微分， $o(\|h\|)$ 表示比 $\|h\|$ 更高阶的小量. 这条公式是多元微分学的核心. 逆映射定理、隐函数定理和极值理论，都是对这条局部近似的进一步应用.

多元积分则把区域分割成许多小块，并将函数值乘以小块的体积后求和. 在极限意义下得到

\int_D f(x)\,dx.

Fubini 定理说明，在合适的条件下，可以先对一个变量积分，再对另一个变量积分；变量替换公式说明，坐标改变时必须乘上 Jacobian 的绝对值.

· 课程路线

本课程按以下顺序展开：

第 1--10 课从集合、函数和实数系开始，建立极限、连续性以及确界原理等基础.
第 11--20 课讨论一元微分学、积分学、Riemann 积分以及积分的几何和物理应用.
第 21--26 课进入数项级数、函数项级数、幂级数和 Fourier 分析，研究无穷过程的收敛与交换.
第 27--37 课把函数放到度量空间和欧氏空间中，建立多元函数的连续性、微分学和重积分理论.
第 38--42 课研究曲线积分、曲面积分以及 Green、Gauss 和 Stokes 公式.
第 43--46 课用微分形式统一描述上述公式，说明它们都是同一个边界积分原理的不同表现.

因此，课程的重点不是记住若干孤立公式，而是看清楚这些公式之间的组织关系：局部的微分描述变化，整体的积分描述累积，边界公式则把两者联系起来.

· 记号与证明

全文默认变量取实数，除非另有说明. $\mathbb{N}$ 、 $\mathbb{Z}$ 、 $\mathbb{Q}$ 、 $\mathbb{R}$ 分别表示正整数、整数、有理数和实数； $\|x\|$ 表示向量的 Euclid 范数； $|A|$ 在区间语境中表示长度，在有限集合语境中表示元素个数.