Part 2 高阶导数

· 定义

要考察质点的运动, 除了考虑速度, 还要考虑加速度. 速度是位移函数的导数, 加速度则是速度的导数.

定义1 (高阶导数).

设 $f$ 在 $x_0$ 附近可导, 如果导函数 $f'$ 在 $x_0$ 处仍可导, 则称 $f$ 在 $x_0$ 处 2 阶可导. 记

$$f''(x_0) = (f')'(x_0),$$

称为 $f$ 在 $x_0$ 处的 2 阶导数. 一般地, 如果 $f$ 在 $x_0$ 附近 $n$ ($n \ge 1$) 阶可导, 且 $n$ 阶导函数 $f^{(n)}$ 在 $x_0$ 处可导, 则称 $f$ 在 $x_0$ 处 $n+1$ 阶可导, 记

$$f^{(n+1)}(x_0) = (f^{(n)})'(x_0),$$

称为 $f$ 的 $n+1$ 阶导数.

按照我们的记号, $f^{(1)} = f'$, $f^{(2)} = f''$, $f^{(3)} = f'''$ 等等. 我们约定 $f^{(0)} = f$. 有时也用下面的记号表示高阶导数:

$$f'' = \frac{d^2 f}{dx^2},\quad f^{(3)} = f''' = \frac{d^3 f}{dx^3},\cdots$$

定义2.

如果 $f$ 在区间 $I$ 的每一点处均 $n$ 阶可导, 则称 $f$ 在 $I$ 中 $n$ 阶可导; 如果 $f$ 可导, 且导函数 $f'$ 连续, 则称 $f$ (1 阶) 连续可导, 记为 $f \in C^1(I)$;

一般地, 如果 $f$ 在 $I$ 中 $n$ 阶可导, 且 $n$ 阶导函数 $f^{(n)}$ 连续, 则称 $f$ $n$ 阶连续可导, 记为 $f \in C^n(I)$. 如果 $f$ 在 $I$ 中存在任意阶导数, 则称 $f$ 是光滑的, 记为 $f \in C^\infty(I)$.

/example/

可微函数的导函数不一定连续.

考虑下面的函数

$$f(x) = \begin{cases} x^{\frac{3}{2}} \sin \frac{1}{x}, & x \in (0,1], \\ 0, & x = 0. \end{cases}$$

我们先计算 $f$ 在 $x = 0$ 处的导数:

$$f'(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^{\frac{3}{2}} \sin \frac{1}{x}}{x} = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} \sin \frac{1}{x} = 0,$$

这里我们用到了估计

$$\left|\sqrt{x} \sin \frac{1}{x}\right| \le \sqrt{x} \to 0\quad (x \to 0^+).$$

当 $x > 0$ 时, 由复合求导, 有

$$f'(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \sin \frac{1}{x} - x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x^2} \cos \frac{1}{x} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \sin \frac{1}{x} - x^{-\frac{1}{2}} \cos \frac{1}{x}.$$

考察 $f'$ 在 $x_n = \dfrac{1}{2n\pi}$ ($n = 1,2,\cdots$) 处的取值知 $f'(x_n) \to -\infty$, 因此 $f'$ 不连续.

设 $k = 1,2,\cdots$, 则函数

$$f(x) = \begin{cases} x^{2k+1} \sin \frac{1}{x}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$$

是 $C^k$ 函数, 但不是 $C^{k+1}$ 的.

可以计算出 $f'(0) = 0$, 且

$$f'(x) = \begin{cases} (2k+1)x^{2k} \sin \dfrac{1}{x} - x^{2k-1} \cos \dfrac{1}{x}, & x \ne 0, \\\\ 0, & x = 0. \end{cases}$$

同理,

$$f''(x) = \begin{cases} 2k(2k+1)x^{2k-1} \sin \dfrac{1}{x} - 4k x^{2k-2} \cos \dfrac{1}{x} - x^{2k-3} \sin \dfrac{1}{x}, & x \ne 0, \\\\ 0, & x = 0. \end{cases}$$

继续求导可得 $f^{(k)}(0) = 0$, 且当 $x \ne 0$ 时,

$$f^{(k)}(x) = x^2 \phi(x) \pm x \sin \frac{1}{x} \quad \text{or} \quad x^2 \phi(x) \pm x \cos \frac{1}{x},$$

其中 $\phi(x)$ 在 $x = 0$ 附近有界. 因此 $f^{(k)}$ 连续但在 $x = 0$ 处不可导.

· 计算

/Theorem/

设 $f,g$ 均为 $n$ 阶可导函数, 则

(1) $(\alpha f + \beta g)^{(n)} = \alpha f^{(n)} + \beta g^{(n)}$, $\forall\ \alpha,\beta \in \mathbb{R}$;

(2) (Leibniz)

$$(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k f^{(n-k)}g^{(k)}$$

其中 $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ 为组合数.

/proof/

(1) 这可由求导运算的线性及归纳法直接得到.

(2) 对 $n$ 用数学归纳法. $n = 1$ 的情形就是求导运算的导性. 设公式对 $n = k$ 成立, 则 $n = k+1$ 时

$$\begin{aligned} (fg)^{(k+1)} &= [(fg)^{(k)}]' = \sum_{l=0}^{k} C_k^l [f^{(k-l+1)}g^{(l)} + f^{(k-l)}g^{(l+1)}]\\\\ &= \sum_{l=0}^{k} C_k^l f^{(k-l+1)}g^{(l)} + \sum_{l=0}^{k-1} C_k^l f^{(k-l)}g^{(l+1)} + C_k^k f g^{(k+1)}\\\\ &= f^{(k+1)}g + \sum_{l=1}^{k} [C_k^l + C_k^{l-1}]f^{(k-l+1)}g^{(l)} + f g^{(k+1)}\\\\ &= \sum_{l=0}^{k+1} C_{k+1}^l f^{(k+1-l)}g^{(l)}, \end{aligned}$$

其中我们用到组合恒等式 $C_k^l + C_k^{l-1} = C_{k+1}^l$.

现在我们再看几个高阶导数计算和应用的例子.

/example/

设多项式 $p_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ 次数为 $n$, 则

(1) $p_n^{(n)}(x) = n! a_n$, 从而 $p_n^{(k)} = 0$, $\forall\ k > n$;

(2) $a_k = \dfrac{1}{k!} p_n^{(k)}(0)$, $k = 0,1,\cdots,n$.

直接逐项求导, 利用归纳法可得

$$p_n^{(k)}(x) = n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n x^{n-k} + (n-1)\cdots(n-k)a_{n-1}x^{n-1-k} + \cdots + k! a_k,$$

其中 $1 \le k \le n$. 特别地, 取 $k = n$ 就得到 (1), 而令 $x = 0$ 就得到 (2).

求函数 $f(x) = \sin x$, $\cos x$ 的各阶导数.

我们已知

$$(\sin x)' = \cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2}),\quad (\sin x)'' = -\sin x = \sin(x + \pi).$$

一般地, 如果

$$(\sin x)^{(k)} = \sin(x + \frac{k\pi}{2})$$

则

$$(\sin x)^{(k+1)} = \cos\left(x + \frac{k\pi}{2}\right) = \sin\left(x + \frac{(k+1)\pi}{2}\right),$$

这说明

$$(\sin x)^{(n)} = \sin(x + \frac{n\pi}{2})$$

同理可得

$$(\cos x)^{(n)} = \cos(x + \frac{n\pi}{2})$$

Part 3 微分中值定理

要研究一个变化量, 可以考察其“最大”值和“最小”值.

· 极值

定义1 (极值点).

设 $f$ 是定义在区间 $I$ 中的函数, $x_0 \in I$. 如果存在 $\delta > 0$, 使得

$$f(x) \ge f(x_0)\ (f(x) \le f(x_0)),\quad \forall\ x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \cap I,$$

则称 $x_0$ 为 $f$ 在 $I$ 中的一个极小(大)值点, $f(x_0)$ 称为极小(大)值.

如果 $x_0 \in I$, 且

$$f(x) \ge f(x_0)\ (f(x) \le f(x_0)),\quad \forall\ x \in I,$$

则称 $x_0$ 为 $f$ 在 $I$ 中的一个最小(大)值点, $f(x_0)$ 称为最小(大)值.

显然, 最小(大)值点是极小(大)值点. 我们把极小值点和极大值点统称为极值点, 极小值和极大值统称为极值, 最大值和最小值统称最值. 当定义中的不等号在 $x_0$ 的空心邻域中严格成立时, 相应的极值点称为严格极值点, 相应的极值称为严格极值.

定理1 (Fermat). 设 $x_0$ 是函数 $f$ 在 $I$ 中的极值点, 且 $x_0$ 为 $I$ 的内点. 如果 $f$ 在 $x_0$ 处可导, 则 $f'(x_0) = 0$.

/proof/

不妨设 $x_0$ 为 $f$ 的极小值点 (不然可考虑 $-f$). 由于 $x_0$ 为 $I$ 的内点, 故存在 $\delta > 0$, 使得 $(x_0 - \delta, x_0 + \delta) \subset I$. 当 $x_0$ 为 $f$ 的极小值点时, 我们假设 $\delta$ 充分小, 使得

$$f(x) \ge f(x_0),\quad \forall\ x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta).$$

特别地, 当 $x \in (x_0 - \delta, x_0)$ 时,

$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \le 0,$$

而当 $x \in (x_0, x_0 + \delta)$ 时,

$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \ge 0,$$

这说明 $f'(x_0) = 0$.

(1) 如果 $x_0$ 不是 $I$ 的内点, 则即使 $f$ 在 $x_0$ 处可导 (存在左导数或右导数), 导数也不必为零. 如定义在 $[0,1]$ 上的函数 $f(x) = x$ 就是例子. 如果 $x_0$ 为 $f$ 在 $I$ 中的极值点, 但不是 $I$ 的内点, 则根据定理的证明可以得到下面的结论:

设 $x_0$ 是 $I$ 的左端点, 如果 $x_0$ 为 $f$ 的极小(大)值点, 则 $f'_+(x_0) \ge 0 (\le 0)$; 设 $x_0$ 是 $I$ 的右端点, 如果 $x_0$ 为 $f$ 的极小(大)值点, 则 $f'_-(x_0) \le 0 (\ge 0)$;

(2) 函数可能在不可导点处取极值, 例如 $f(x) = |x|$, $x \in [-1,1]$ 在 $x_0 = 0$ 处取到最小值, 但 $f$ 在 $x_0 = 0$ 处不可导, 当然就谈不上导数为零了.

(3) 我们把满足条件 $f'(x_0) = 0$ 的点称为 $f$ 的驻点或临界点. 需要注意的是, 驻点不必为极值点, 例如 $f(x) = x^3$, $x_0 = 0$ 为 $f$ 的驻点, 但不是极值点.

定理2 (Darboux). (*) 设 $f$ 为 $[a,b]$ 上的可导函数, 则 $f'$ 可以取到 $f'_+(a)$ 与 $f'_-(b)$ 之间的任意值.

设 $k$ 是介于 $f'_+(a)$ 和 $f'_-(b)$ 之间的数. 考虑函数 $g(x) = f(x) - kx$, 则

$$g'_+(a) \cdot g'_-(b) = (f'_+(a) - k)(f'_-(b) - k) \le 0,$$

如果上式为零, 则 $k$ 等于 $f$ 在 $a$ 或 $b$ 处的导数; 如果上式小于零, 不妨设 $g'_+(a) > 0$, $g'_-(b) < 0$, 则 $g$ 在 $a$ 或 $b$ 处均取不到最大值, 从而 $g$ 在 $[a,b]$ 的内部某一点 $\xi$ 处取到最大值. 由 Fermat 定理, $g'(\xi) = 0$, 即 $f'(\xi) = k$.

这个定理说明, 如果 $f$ 是区间 $I$ 中的可导函数, 则其导函数 $f'$ 的值域仍为区间. 特别地, Dirichlet 函数没有任何原函数.

命题3. 设 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 为连续函数, 且

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty (-\infty),$$

则 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上达到最小(大)值.

我们不妨设 $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. 由极限的定义, 存在 $M > 0$ 使得当 $|x| \ge M$ 时 $f(x) > f(0) + 1$. 因为 $f$ 为连续函数, 故在闭区间 $[-M,M]$ 上取到最小值. 设 $f$ 在 $x_0$ 处取到此最小值, 则 $f(x_0) \le f(0)$ (因为 $0 \in [-M,M]$). 另一方面,

$$f(x_0) \le f(0) < f(0) + 1 < f(x),\quad \forall\ x \in (-\infty, M) \cup (M, +\infty),$$

这说明 $x_0$ 也是 $f$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上的最小值点.

显然, 上述命题可以推广到其它非闭区间的情形, 以 $(a, +\infty)$ 为例, 我们有如下结论: 如果连续函数 $f$ 满足

$$\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty (-\infty)$$

则 $f$ 在 $(a, +\infty)$ 上达到最小(大)值.

/example/

设 $a_i$, $i = 1,2,\cdots,n$ 为 $\mathbb{R}$ 上的 $n$ 个点. 在 $\mathbb{R}$ 上求一点, 使得它到 $a_i$ ($1 \le i \le n$) 的距离的平方和最小.

设 $x \in \mathbb{R}$, 考虑连续函数

$$f(x) = \sum_{i=1}^{n} (x - a_i)^2,\quad x \in \mathbb{R}.$$

我们的问题就是求 $f$ 的最小值点. 容易看出, 当 $|x| \to +\infty$ 时, $f(x) \to +\infty$, 因此由上面的命题, $f$ 的最小值点的确存在. 又因为 $f$ 可微, 故最小值点必为驻点. 方程

$$f'(x) = 2 \sum_{i=1}^{n} (x - a_i) = 0$$

的惟一解为

$$x = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_i,$$

因此它就是我们要求的点.设 $x \in \mathbb{R}$, 考虑连续函数

$$f(x) = \sum_{i=1}^{n} (x - a_i)^2,\quad x \in \mathbb{R}.$$

我们的问题就是求 $f$ 的最小值点. 容易看出, 当 $|x| \to +\infty$ 时, $f(x) \to +\infty$, 因此由上面的命题, $f$ 的最小值点的确存在. 又因为 $f$ 可微, 故最小值点必为驻点. 方程

$$f'(x) = 2 \sum_{i=1}^{n} (x - a_i) = 0$$

的惟一解为

$$x = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_i,$$

因此它就是我们要求的点.

· 中值定理

定理1 (Rolle). 设函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 中可微, 且 $f(a) = f(b)$. 则存在 $\xi \in (a,b)$, 使得 $f'(\xi) = 0$.

连续函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上可以取到最大值 $M$ 和最小值 $m$. 如果 $M = m$, 则 $f$ 恒为常数, 从而 $f' = 0$; 如果 $M > m$, 则由 $f(a) = f(b)$ 知 $m$ 与 $M$ 中至少有一个是被 $f$ 在内点 $\xi \in (a,b)$ 处所取得, 由 Fermat 定理, $f'(\xi) = 0$.

定理2 (Lagrange). 设函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 中可微, 则存在 $\xi \in (a,b)$, 使得

$$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a},\quad \text{or}\quad f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a).$$

/proof/

令

$$F(x) = f(x) - \left[f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)\right],$$

则 $F(a) = F(b) = 0$, $F$ 满足 Rolle 定理的条件. 从而存在 $\xi \in (a,b)$, 使得 $F'(\xi) = 0$. 此 $\xi$ 即为满足定理要求的 $\xi$.

Lagrange 定理的物理含义: 质点的平均速度等于某一点的瞬时速度. 令

$$l(x) = f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a),$$

则 $l(x)$ 是满足条件 $l(a) = f(a)$, $l(b) = f(b)$ 的唯一线性函数, 其图像是连接 $(a,f(a))$ 和 $(b,f(b))$ 的直线. Lagrange 定理的证明思想就是将这条直线看成是 $X$ 轴, 从而将问题转化为已知情形.

定理3 (Cauchy). 设函数 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 中可微, 且 $g'(x) \ne 0$, $\forall\ x \in (a,b)$. 则存在 $\xi \in (a,b)$, 使得

$$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.$$

由 Rolle 定理和 $g' \ne 0$ 知 $g(b) \ne g(a)$. 令

$$F(x) = f(x) - \left[f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}(g(x) - g(a))\right],$$

则 $F(a) = F(b) = 0$, $F$ 满足 Rolle 定理的条件, 从而存在 $\xi \in (a,b)$, 使得 $F'(\xi) = 0$. $\xi$ 即为满足要求的点.

下面给出两个例子：

/example/ 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 中二阶可导. 如果 $f(a) = f(b) = 0$, 则对任意 $c \in [a,b]$, 存在 $\xi \in (a,b)$, 使得

$$f(c) = \frac{f''(\xi)}{2}(c - a)(c - b).$$

不妨设 $c \in (a,b)$, 令

$$F(x) = f(x) - \frac{f(c)}{(c - a)(c - b)}(x - a)(x - b),\quad x \in [a,b].$$

则 $F(a) = F(c) = F(b) = 0$, 由 Rolle 定理, 存在 $\xi_1 \in (a,c)$, $\xi_2 \in (c,b)$, 使得

$$F'(\xi_1) = 0,\quad F'(\xi_2) = 0.$$

因为 $F'(x)$ 在 $[\xi_1,\xi_2]$ 上可微, 再一次由 Rolle 定理知, 存在 $\xi \in (\xi_1,\xi_2)$, 使得

$$F''(\xi) = 0.$$

简单的计算表明

$$F''(x) = f''(x) - \frac{2f(c)}{(c - a)(c - b)},$$

在上式中代入 $x = \xi$ 即得欲证结论.

---

这个例子可以推广到一般情形. 例如, 设 $f$ 是 $n$ 阶可导函数, 且 $f(x) = 0$ 有 $n$ 个不同的解 $\{x_i\}_{i=1}^{n}$, 则对任意 $c \in [a,b]$, 存在 $\xi \in (a,b)$, 使得

$$f(c) = \frac{1}{n!}f^{(n)}(\xi)\prod_{i=1}^{n}(c - x_i).\tag{1}$$

证明的方法仍是构造适当的辅助函数并利用微分中值定理. 例如, 无妨设 $c \ne x_i$ ($1 \le i \le n$), 令

$$F(x) = f(x) - \frac{f(c)}{\prod_{i=1}^{n}(c - x_i)}\prod_{i=1}^{n}(x - x_i),\quad x \in [a,b].$$

则 $F(x)$ 有 $n+1$ 个不同的零点 $c,x_i$ ($1 \le i \le n$), 对 $F$ 反复使用 Rolle 定理可知, 存在 $\xi \in (a,b)$, 使得 $F^{(n)}(\xi) = 0$. 再利用 $n$ 次多项式 $\prod_{i=1}^{n}(x - x_i)$ 的 $n$ 阶导数为 $n!$ 即可得到欲证等式.

如果 $f$ 是任给的 $n$ 阶可导函数, 设 $\{x_i\}_{i=1}^{n}$ 为 $[a,b]$ 中 $n$ 个不同的点, 令

$$p_{n-1}(x) = \sum_{i=1}^{n}\left[\prod_{j \ne i}\frac{(x - x_j)}{(x_i - x_j)}\right]f(x_i),$$

则 $p_{n-1}$ 为次数不超过 $n-1$ 的多项式, 它与函数 $f$ 在 $\{x_i\}_{i=1}^{n}$ 处取相同的值, 称为 $f$ 的 Lagrange 插值多项式. 由于 $f - p_{n-1}$ 有 $n$ 个不同的零点, 由 (1) 可得 (注意 $p_{n-1}$ 的 $n$ 阶导数为零)

$$f(x) - p_{n-1}(x) = \frac{1}{n!}f^{(n)}(\xi)\prod_{i=1}^{n}(x - x_i),\quad \xi \in (a,b).\tag{2}$$

这个等式称为插值多项式的余项公式, 我们将利用它来估计近似积分的误差.

证明勒让德 (Legendre) 多项式 $\dfrac{d^n}{dx^n}(x^2 - 1)^n$ 在 $(-1,1)$ 中有 $n$ 个不同的实根, 其中 $n \ge 1$.

首先, 多项式 $(x^2 - 1)^n$ 有实根 $-1$ 和 $1$, 根据 Rolle 定理, $\dfrac{d}{dx}(x^2 - 1)^n$ 在 $(-1,1)$ 内有实根, 记为 $\xi_{11}$.

当 $n > 1$ 时, $-1$ 和 $1$ 仍为 $\dfrac{d}{dx}(x^2 - 1)^n$ 的实根, 再次由 Rolle 定理即知 $\dfrac{d^2}{dx^2}(x^2 - 1)^n$ 在 $(-1,\xi_{11})$ 和 $(\xi_{11},1)$ 中分别有实根 $\xi_{21}$ 和 $\xi_{22}$.

如果 $n > 2$, 则 $-1$ 和 $1$ 仍为 $\dfrac{d^2}{dx^2}(x^2 - 1)^n$ 的实根, 即它有四个实根 $-1,\xi_{21},\xi_{22}$ 和 $1$.

继续使用 Rolle 定理, $\dfrac{d^3}{dx^3}(x^2 - 1)^n$ 在 $(-1,1)$ 中就有三个不同的实根. 如此重复证明就知道欲证结论对任意正整数 $n$ 都成立.

非常重要的一点就是微分中值定理中的 $\xi$ 可以取在区间内部.

结束.

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