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Lesson 8 函数极限 II

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2026-08-17

Part 2 性质

我们来讨论函数极限存在与否的判别方法和计算方法，主要以有限极限为例.

· Heine 定理

定理5 (Heine 定理)：设函数 ff 在 x0x_0 的一个空心开邻域内有定义，则 ff 在 x0x_0 处的极限为 AA 当且仅当对任何收敛点列 xn→x0x_n \to x_0（n→∞n \to \infty）且 xn≠x0x_n \ne x_0（∀ n\forall\, n），均有

lim⁡n→∞f(xn)=A.\lim_{n \to \infty} f(x_n) = A.

先证必要性. 由定义，任给 ε>0\varepsilon > 0，存在 δ>0\delta > 0，使得当 0<∣x−x0∣<δ0 < |x - x_0| < \delta 时，有

∣f(x)−A∣<ε.|f(x) - A| < \varepsilon.

现在设 xn→x0, xn≠x0x_n \to x_0,\ x_n \ne x_0. 仍由极限定义，对于上述 δ\delta，存在 NN，使得当 n>Nn > N 时，

0<∣xn−x0∣<δ.0 < |x_n - x_0| < \delta.

因此当 n>Nn > N 时，有

∣f(xn)−A∣<ε,|f(x_n) - A| < \varepsilon,

这说明

lim⁡n→∞f(xn)=A.\lim_{n \to \infty} f(x_n) = A.

我们用反证法来证明充分性. 如果 ff 在 x0x_0 处极限不为 AA（极限可能不存在），则存在 ε0>0\varepsilon_0 > 0，使得对任何 δ>0\delta > 0，都存在 xδx_\delta，使得

0<∣xδ−x0∣<δ,∣f(xδ)−A∣⩾ε0.0 < |x_\delta - x_0| < \delta,\quad |f(x_\delta) - A| \geqslant \varepsilon_0.

特别地，对 ∀ n⩾1\forall\, n \geqslant 1，均存在 xnx_n，使得

0<∣xn−x0∣<1n,∣f(xn)−A∣⩾ε0.0 < |x_n - x_0| < \frac{1}{n},\quad |f(x_n) - A| \geqslant \varepsilon_0.

这说明 xn→x0x_n \to x_0，xn≠x0x_n \ne x_0，但 f(xn)f(x_n) 不收敛到 AA.

(1) Heine 定理可以改述成下面应用起来较为方便的形式：

lim⁡x→x0f(x)=A  ⟺  ∀ xn→x0 (xn≠x0), lim⁡n→∞f(xn) 存在.\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \forall\, x_n \to x_0\ (x_n \ne x_0),\ \lim_{n \to \infty} f(x_n)\ \text{存在}.

这时充分性的证明是这样的：只要说明如果 f(xn)f(x_n) 均收敛，则它们的极限必定都相同.

（反证法）如果存在 xn′→x0, xn′≠x0, f(xn′)→Ax'_n \to x_0,\ x'_n \ne x_0,\ f(x'_n) \to A 以及 xn′′→x0x''_n \to x_0，xn′′≠x0x''_n \ne x_0，f(xn′′)→Bf(x''_n) \to B.

当 B≠AB \ne A 时，考虑新的点列 xnx_n，使得 x2k=x2k′x_{2k} = x'_{2k}，x2k−1=x2k−1′′x_{2k-1} = x''_{2k-1}（k⩾1k\geqslant 1），则 xn→x0x_n \to x_0，xn≠x0x_n \ne x_0 但 f(xn)f(x_n) 不收敛，这就得到矛盾.

(2) 对于单侧极限、无穷远处的极限以及极限为无穷大的情形，有完全类似的 Heine 定理.

/example/ 研究函数 f(x)=sin⁡1xf(x) = \sin \dfrac{1}{x} 在 x0=0x_0 = 0 处的极限.

我们选取点列 xn=1nπx_n = \dfrac{1}{n\pi} 以及 yn=12nπ+π2y_n = \dfrac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}}，则 xn,yn→0x_n, y_n \to 0，xn,yn≠0x_n, y_n \ne 0，且

f(xn)=sin⁡(nπ)=0,f(yn)=sin⁡(2nπ+π2)=1.f(x_n) = \sin(n\pi) = 0,\quad f(y_n) = \sin\left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 1.

根据刚才的注记就知道 ff 在 x0=0x_0 = 0 的极限不存在.

· Cauchy 准则

定理6 (Cauchy 准则)：设 ff 在 x0x_0 的一个空心开邻域中有定义，则 ff 在 x0x_0 处存在有限极限当且仅当任给 ε>0\varepsilon > 0，存在 δ>0\delta > 0，使得当 0<∣x′−x0∣<δ0 < |x' - x_0| < \delta，0<∣x′′−x0∣<δ0 < |x'' - x_0| < \delta 时，有

∣f(x′)−f(x′′)∣<ε.|f(x') - f(x'')| < \varepsilon.

必要性：设 ff 在 x0x_0 处的极限为 AA，则任给 ε>0\varepsilon > 0，存在 δ>0\delta > 0，使得当 0<∣x−x0∣<δ0 < |x - x_0| < \delta 时，∣f(x)−A∣<ε2|f(x) - A| < \dfrac{\varepsilon}{2}. 因此，当 0<∣x′−x0∣<δ0 < |x' - x_0| < \delta，0<∣x′′−x0∣<δ0 < |x'' - x_0| < \delta 时，有

∣f(x′)−f(x′′)∣⩽∣f(x′)−A∣+∣f(x′′)−A∣<ε2+ε2=ε.|f(x') - f(x'')| \leqslant |f(x') - A| + |f(x'') - A| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.

充分性：我们用 Heine 定理来证. 设 xn→x0x_n \to x_0，xn≠x0x_n \ne x_0，则已知条件告诉我们 {f(xn)}\{f(x_n)\} 是一个 Cauchy 列，根据数列极限的 Cauchy 准则，{f(xn)}\{f(x_n)\} 收敛. 于是由 Heine 定理知 ff 在 x0x_0 处的极限存在（且有限）.

(1) 对于无穷远处极限为有限的情形，Cauchy 准则仍然成立.

(2) 从证明过程可以看出，ff 在 x0x_0 处不存在有限极限当且仅当存在 ε0>0\varepsilon_0 > 0，使得对任意 δ>0\delta > 0，总有 x′,x′′x', x''，使得

0<∣x′−x0∣<δ, 0<∣x′′−x0∣<δ,∣f(x′)−f(x′′)∣⩾ε0.0 < |x' - x_0| < \delta,\ 0 < |x'' - x_0| < \delta,\quad |f(x') - f(x'')| \geqslant \varepsilon_0.

/example/研究 Dirichlet 函数的极限.

D(x)={1,x∈Q,0,x∈R∖Q,D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q}, \\\\ 0, & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}, \end{cases}

在任何一点 x0x_0 附近都有点取值为 0 或 1，取 ε=1\varepsilon = 1，由刚才的注记 (2) 即知 DD 在 x0x_0 处极限不存在.

· 单调有界原理

定理7 (单调有界原理)：设函数在 (x0−δ,x0)(x_0 - \delta, x_0) 中有定义，如果 ff 单调递增且有上界，或单调递减且有下界，则 ff 在 x0x_0 的左极限存在（且有限）.

利用数列的单调性原理以及 Heine 定理即可.

如果ff单调递增又无上界，则 ff 在 x0x_0 处的左极限为 +∞+\infty；如果 ff 单调递减又无下界，则 ff 在 x0x_0 处的左极限为 −∞-\infty；对于函数的右极限有完全类似的结论.

· 基本性质

下面我们叙述函数极限的一些基本性质，它们和数列极限相应的性质十分类似，因此我们省略其证明

定理8

(1) （局部有界性）如果ff在x0x_0处有有限极限，则ff在x0x_0的一个空心开邻域内有界.

(2) （保序性）设f,gf, g在x0x_0处的极限分别为A,BA, B. 如果f(x)⩾g(x)f(x) \geqslant g(x)在x0x_0的一个空心开邻域内成立，则A⩾BA \geqslant B；反之，如果A>BA > B，则在x0x_0内一个空心开邻域内f(x)>g(x)f(x) > g(x)；特别地，如果A>0A > 0，则在x0x_0的一个空心开邻域内f(x)>0f(x) > 0.

(3) （四则运算）设f,gf, g在x0x_0处有有限极限，则

  • lim⁡x→x0[αf(x)+βg(x)]=αlim⁡x→x0f(x)+βlim⁡x→x0g(x)\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to x_0} [\alpha f(x) + \beta g(x)] = \alpha \displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) + \beta \displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x)，其中α,β\alpha, \beta为常数；

  • lim⁡x→x0f(x)g(x)=lim⁡x→x0f(x)⋅lim⁡x→x0g(x)\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)g(x) = \displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) \cdot \displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x)；

  • lim⁡x→x0f(x)g(x)=lim⁡x→x0f(x)lim⁡x→x0g(x)\displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)}{\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x)}，其中lim⁡x→x0g(x)≠0\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) \ne 0.

注：对于无穷远处的极限有完全类似的结论成立.

下面关于复合函数的极限也很有用

定理9 (复合函数的极限)：设f(y)f(y)在y0y_0处的极限为AA，g(x)g(x)在x0x_0处的极限为y0y_0，且存在x0x_0的一个空心开邻域，在此开邻域内g(x)≠y0g(x) \ne y_0，则复合函数f(g(x))f(g(x))在x0x_0处的极限为AA.

任给 ε>0\varepsilon > 0，由 lim⁡y→y0f(y)=A\displaystyle \displaystyle\lim_{y \to y_0} f(y) = A 知，存在 δ>0\delta > 0，当 0<∣y−y0∣<δ0 < |y - y_0| < \delta 时，有

∣f(y)−A∣<ε.|f(y) - A| < \varepsilon.

又因为 g(x)→y0g(x) \to y_0（x→x0x \to x_0），对于这个 δ\delta，存在 η>0\eta > 0，使得当 0<∣x−x0∣<η0 < |x - x_0| < \eta时，有

0<∣g(x)−y0∣<δ,0 < |g(x) - y_0| < \delta,

此时有

∣f(g(x))−A∣<ε,|f(g(x)) - A| < \varepsilon,

这说明 f(g(x))f(g(x)) 在 x0x_0 处的极限为 AA.

(1) 定理中的条件 g(x)≠y0g(x) \ne y_0 一般不能去掉，下面的函数就是例子：令

f(y)={1,y≠0,0,y=0,f(y) = \begin{cases} 1, & y \ne 0, \\\\ 0, & y = 0, \end{cases}

以及 g(x)≡0g(x) \equiv 0，则 lim⁡y→0f(y)=1\displaystyle \displaystyle\lim_{y \to 0} f(y) = 1，但 f(g(x))=0f(g(x)) = 0. 不过，当 f(y0)=Af(y_0) = A 时这个条件是可以去掉的

(2) 对于无穷远处的极限以及极限为无穷大的情形也有完全类似的结果.

· 例题

我们再来计算一些函数极限的例子，有些例子在后面可能会用到

/example/ 研究函数 (1+x)1x(1 + x)^{\frac{1}{x}} 在 x0=0x_0 = 0 处的极限.

作变量替换 y=1xy = \dfrac{1}{x}，则

(1+x)1x=(1+1y)y.(1 + x)^{\frac{1}{x}} = \left(1 + \frac{1}{y}\right)^y.

当 x→0x \to 0 时 y→∞y \to \infty，由复合函数的极限有

lim⁡x→0(1+x)1x=lim⁡y→∞(1+1y)y=e.\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{y \to \infty} \left(1 + \frac{1}{y}\right)^y = e.

/example/ 设 P(x),Q(x)P(x), Q(x) 是次数相同的多项式，求极限 lim⁡x→∞P(x)Q(x)\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{P(x)}{Q(x)}.

设 P(x),Q(x)P(x), Q(x) 次数为 nn. 记

P(x)=a0xn+a1xn−1+⋯+an,Q(x)=b0xn+b1xn−1+⋯+bn,P(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n,\quad Q(x) = b_0 x^n + b_1 x^{n-1} + \cdots + b_n,

其中a0,b0≠0a_0, b_0 \ne 0. 由

P(x)Q(x)=a0+a1x−1+⋯+anx−nb0+b1x−1+⋯+bnx−n,\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a_0 + a_1 x^{-1} + \cdots + a_n x^{-n}}{b_0 + b_1 x^{-1} + \cdots + b_n x^{-n}},

以及极限的四则运算性质可得

lim⁡x→∞P(x)Q(x)=a0b0.\lim_{x \to \infty} \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a_0}{b_0}.

Part 3 量级关系

在对两个变量进行比较时，我们有时不需要知道它们的确切大小，而只需了解它们之间的量级关系. 我们现在可以用极限来刻画这些量级关系.

定义1（无穷小量与无穷大量）：如果函数 ff 在 x0x_0 处的极限为 00，则称 ff 在 x→x0x \to x_0 时为无穷小量，记为 f(x)=o(1)f(x) = o(1) (x→x0)(x \to x_0)；如果 x→x0x \to x_0 时 ∣f∣→+∞|f| \to +\infty，则称 ff 在 x→x0x \to x_0 时为无穷大量.

（1）无穷小（大）量不是一个数，而是在某点邻域内有特定性质的函数. 在无穷远处也可以类似定义无穷小量与无穷大量；

（2）对于数列也可以定义无穷小量与无穷大量：设 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 为两个数列，如果 an/bn→0a_n / b_n \to 0 (n→∞)(n \to \infty)，则称 {an}\{a_n\} 关于 {bn}\{b_n\} 是无穷小量，记为 an=o(bn)a_n = o(b_n)；无穷大量可类似定义.

/example/ 说明 x+1−1=o(1)\sqrt{x+1} - 1 = o(1) (x→0)(x \to 0).

因为

x+1−1=xx+1+1→0(x→0),\sqrt{x+1} - 1 = \frac{x}{\sqrt{x+1} + 1} \to 0 \quad (x \to 0),

故由定义知 x+1−1\sqrt{x+1} - 1 在 x→0x \to 0 时为无穷小量

我们可以利用无穷小量和无穷大量来比较函数. 例如，设 f,gf, g 在 x→x0x \to x_0 时均为无穷小（大）量，则

(1). 如果 f/gf/g 在 x→x0x \to x_0 时是无穷小量，则称当 x→x0x \to x_0 时 ff 是 gg 的高（低）阶无穷小（大）量，记为

f(x)=o(g(x))(x→x0);f(x) = o(g(x)) \quad (x \to x_0);

(2). 如果 f/gf/g 在 x0x_0 的一个空心邻域中有界，则记

f(x)=O(g(x))(x→x0);f(x) = O(g(x)) \quad (x \to x_0);

(3). 如果 f/gf/g 在 x0x_0 处的极限为 A≠0A \ne 0，则称当 x→x0x \to x_0 时 ff 和 gg 是同阶无穷小（大）量，记为

f(x)=O∗(g(x))(x→x0);f(x) = O^*(g(x)) \quad (x \to x_0);

特别地，如果 A=1A = 1，则称当 x→x0x \to x_0 时 ff 和 gg 是等价无穷小（大）量，记为

f∼g(x→x0).f \sim g \quad (x \to x_0).

(4). 设 k>0k > 0. 如果

∣f(x)∣=O∗(∣x−x0∣k)(x→x0),|f(x)| = O^*(|x - x_0|^k) \quad (x \to x_0),

则称当 x→x0x \to x_0 时 ff 是 kk 阶无穷小量；如果

∣f(x)∣=O∗(∣x−x0∣−k)(x→x0),|f(x)| = O^*(|x - x_0|^{-k}) \quad (x \to x_0),

则称当 x→x0x \to x_0 时 ff 是 kk 阶无穷大量. kk 为正整数时也可将定义中的绝对值去掉.

这些量级的比较也可在无穷远处进行.

/example/ 证明 1−cos⁡x∼12x21 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2 (x→0)(x \to 0)

根据前面的结果，有

lim⁡x→01−cos⁡xx2=lim⁡x→02sin⁡212xx2=2(12)2=12.\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 \frac{1}{2}x}{x^2} = 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}.

下面的定理在计算极限的时候十分有用.

定理（等价代换）. 设 x→x0x \to x_0 时，f∼f1f \sim f_1，g∼g1g \sim g_1. 如果 f1/g1f_1/g_1 在 x0x_0 处有极限，则 f/gf/g 在 x0x_0 处有极限，且极限相等；反之亦然.

只要注意到

f/g=(f/f1)(f1/g1)(g1/g),f/g = (f/f_1)(f_1/g_1)(g_1/g),

以及当 x→x0x \to x_0 时 f/f1→1f/f_1 \to 1，g/g1→1g/g_1 \to 1 即可

等价代换在无穷远处也可进行

/example/ 求极限 lim⁡x→0sin⁡αxsin⁡βx\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin \alpha x}{\sin \beta x}

因为当 x→0x \to 0 时 sin⁡αx∼αx\sin \alpha x \sim \alpha x，sin⁡βx∼βx\sin \beta x \sim \beta x，故

lim⁡x→0sin⁡αxsin⁡βx=lim⁡x→0αxβx=αβ.\lim_{x \to 0} \frac{\sin \alpha x}{\sin \beta x} = \lim_{x \to 0} \frac{\alpha x}{\beta x} = \frac{\alpha}{\beta}.

/example/ 求极限 lim⁡x→0tan⁡x−sin⁡xx3\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}.

当 x→0x \to 0 时，

tan⁡x−sin⁡x=sin⁡xcos⁡x(1−cos⁡x)∼x(12x2)=12x3,\tan x - \sin x = \frac{\sin x}{\cos x}(1 - \cos x) \sim x\left(\frac{1}{2}x^2\right) = \frac{1}{2}x^3,

故

lim⁡x→0tan⁡x−sin⁡xx3=12.\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{2}.

需要注意的是，等价代换不能用于加法和减法运算. 例如在上面的例子中，当 x→0x \to 0 时，有

tan⁡x∼sin⁡x∼x,\tan x \sim \sin x \sim x,

但 tan⁡x−sin⁡x\tan x - \sin x 不能替换为零

/example/ 求极限 lim⁡x→0ln⁡cos⁡xtan⁡2x\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln \cos x}{\tan^2 x}

先来说明

ln⁡(1+x)∼x(x→0).\ln(1 + x) \sim x \quad (x \to 0).

事实上有

ln⁡(1+x)x=ln⁡[(1+x)1/x]→ln⁡e=1(x→0).\frac{\ln(1 + x)}{x} = \ln[(1 + x)^{1/x}] \to \ln e = 1 \quad (x \to 0).

于是，当 x→0x \to 0 时，有

ln⁡cos⁡x=ln⁡[1−(1−cos⁡x)]∼−(1−cos⁡x)∼−12x2.\ln \cos x = \ln[1 - (1 - \cos x)] \sim -(1 - \cos x) \sim -\frac{1}{2}x^2.

另一方面

tan⁡2x=sin⁡2xcos⁡2x∼x2(x→0),\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \sim x^2 \quad (x \to 0),

利用等价代换得

lim⁡x→0ln⁡cos⁡xtan⁡2x=−12.\lim_{x \to 0} \frac{\ln \cos x}{\tan^2 x} = -\frac{1}{2}.

结束.

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