外观
Chapter 16 多元函数微分
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2025-12-17
我们将研究多变量函数或映射的微分性质. 微分学的基本方法就是对函数或向量值的函数作线性化,用线性映射去作逼近. 大部分的内容和一元函数相应的内容平行,但有一些地方也有本质不同.
Part 1 映射的微分
回忆一下,对于一元函数而言,可微是指该函数可以被线性函数一阶逼近. 我们也可以利用线性化的思想来研究多元函数.
设 D⊂Rn 为开集,向量值函数 f:D→Rm 写成分量形式为
f(x1,⋯,xn)=(f1(x1,⋯,xn),⋯,fm(x1,⋯,xn)),
为方便起见,在下面的内容中欧氏空间里的向量有时以列向量来表示.
· 微分
定义1 (微分).
设 f 如上,x0=(x10,⋯,xn0)∈D. 如果存在 m×n 阶的矩阵 A=(aij)m×n,使得对于 x0 附近的点 x,有
∥f(x)−[f(x0)+A⋅(x−x0)]∥=o(∥x−x0∥),(x→x0)
则称 f 在 x0 处可微,线性映射
df(x0):Rn→Rmv↦A⋅v
称为 f 在 x0 处的微分.
命题1 (可微 ⇒ 可导). 如果 f:D→Rm 在 x0 处可微,则其分量 fi (1≤i≤m) 在 x0 处存在方向导数,并且
A=(∂xj∂fi(x0))m×n.
从微分的定义可以看出,如果 f 在 x0 处可微,则 f 在 x0 处连续. 下面以 m=1 为例说明方向导数的存在性.
为此,取单位向量 u,由定义,我们有
f(x0+tu)−f(x0)=A⋅(x0+tu−x0)+o(∥x0+tu−x0∥)=tA⋅u+o(∣t∣),
这说明 ∂u∂f(x0)=A⋅u,即方向导数存在. 特别地,
∂xi∂f(x0)=A⋅ei,A=(∂x1∂f(x0),⋯,∂xn∂f(x0)).
这就证明了命题.
如果 fi (1≤i≤m) 的偏导数均存在,则记 Jf=(∂xj∂fi)m×n,称为 f 的 Jacobian 矩阵.
当 m=1 时,又记 Jf 为 ∇f,称为 f 的梯度.
Jf 在每一点的值构成一个映射 Jf:D→Rmn,这里我们将 m×n 阶矩阵视为 Rmn 中的点.
定理2 (可微的充分条件). 如果 Jf 在 D 中存在,且它作为映射在 x0 处连续,则 f 在 x0 处可微.
仍以 m=1 为例来证明. 由条件,fxi′ 在 x0 处连续,i=1,2,⋯,n. 根据微分中值定理,有
f(x)−f(x0)=i=1∑n[f(x10,⋯,xi−10,xi,xi+1,⋯,xn)−f(x10,⋯,xi0,xi+1,⋯,xn)]=i=1∑nfxi′(x10,⋯,xi−10,xi0+θi(xi−xi0),xi+1,⋯,xn)⋅(xi−xi0)=i=1∑nfxi′(x0)⋅(xi−xi0)+i=1∑nαi⋅(xi−xi0),
其中,当 xi→xi0 时
αi=fxi′(x10,⋯,xi−10,xi0+θi(xi−xi0),xi+1,⋯,xn)−fxi′(x10,⋯,xn0)→0,
从而
f(x)−[f(x0)+i=1∑nfxi′(x0)⋅(xi−xi0)]≤(i=1∑nαi2)21⋅∥x−x0∥=o(∥x−x0∥),
即 f 在 x0 处可微.
如果我们把 m×n 的矩阵视为 Rmn 中的点,则矩阵也可定义自然的范数. 即,如果 A=(aij)m×n,则其范数定义为
∥A∥=[j=1∑ni=1∑maij2]21.
由 Schwarz 不等式可得
∥A⋅v∥≤∥A∥⋅∥v∥,∀v∈Rn.
· 链式法则
定理3 (复合求导). 设 Δ⊂Rl 为开集,D⊂Rm 为开集,g:Δ→D 及 f:D→Rn 为映射. 如果 g 在 u0∈Δ 处可微,f 在 x0=g(u0) 处可微,则复合映射 h=f∘g:Δ→Rn 在 u0 处可微,且
Jh(u0)=Jf(x0)⋅Jg(u0).
因为 g 在 u0 处可微,故
g(u)−g(u0)=Jg(u0)⋅(u−u0)+Rg(u,u0),(1)
其中 Rg(u,u0)=o(∥u−u0∥). 同理,因为 f 在 x0=g(u0) 处可微,故
f(x)−f(x0)=Jf(x0)⋅(x−x0)+Rf(x,x0),(2)
其中 Rf(x,x0)=o(∥x−x0∥).
由 (1) 知,当 u→u0 时,g(u)→g(u0)=x0. 以 x=g(u) 代入 (2),得
f∘g(u)−f∘g(u0)=Jf(x0)(g(u)−g(u0))+Rf(g(u),g(u0))=Jf(x0)⋅Jg(u0)⋅(u−u0)+Rf∘g(u,u0),(3)
其中
Rf∘g(u,u0)=Jf(x0)⋅Rg(u,u0)+Rf(g(u),g(u0)),
我们有如下估计
∥Rf∘g(u,u0)∥≤∥Jf(x0)⋅Rg(u,u0)∥+∥Rf(g(u),g(u0)∥≤∥Jf(x0)∥⋅∥Rg(u,u0)∥+o(∥g(u)−g(u0)∥)=o(∥u−u0∥)+o(O(∥u−u0∥))=o(∥u−u0∥).
由 (3) 及微分的定义知 f∘g 在 u0 处可微,且 J(f∘g)(u0)=Jf(x0)⋅Jg(u0).
如果将 f, g 分别表示成分量形式
yi=fi(x1,⋯,xm),i=1,⋯,n,xj=gj(u1,⋯,ul),j=1,⋯,m.
则 J(f∘g)(u0)=Jf(x0)⋅Jg(u0) 写成矩阵的形式为
∂u1∂y1(u0)⋮∂u1∂yn(u0)⋯⋱⋯∂ul∂y1(u0)⋮∂ul∂yn(u0)n×l=∂x1∂y1(x0)⋮∂x1∂yn(x0)⋯⋱⋯∂xm∂y1(x0)⋮∂xm∂yn(x0)n×m⋅∂u1∂x1(u0)⋮∂u1∂xm(u0)⋯⋱⋯∂ul∂x1(u0)⋮∂ul∂xm(u0)m×l,
即
∂uj∂yi(u0)=s=1∑m∂xs∂yi(g(u0))⋅∂uj∂xs(u0).
这也就是所谓的链规则.
设 u=f(x,y) 可微,x=rcosθ, y=rsinθ,证明
(∂x∂u)2+(∂y∂u)2=(∂r∂u)2+r21(∂θ∂u)2.
由链规则,
∂r∂u∂θ∂u=∂x∂u⋅∂r∂x+∂y∂u⋅∂r∂y=∂x∂ucosθ+∂y∂usinθ=∂x∂u⋅∂θ∂x+∂y∂u⋅∂θ∂y=−r∂x∂usinθ+r∂y∂ucosθ
这说明
(∂r∂u)2+r21(∂θ∂u)2=(∂x∂ucosθ+∂y∂usinθ)2+(−∂x∂usinθ+∂y∂ucosθ)2=(∂x∂u)2+(∂y∂u)2.
设 z=f(u,v,w), v=φ(u,s), s=ψ(u,w),求 ∂u∂z, ∂w∂z.
按照定义,
z=f(u,v,w)=f(u,φ(u,s),w)=f(u,φ(u,ψ(u,w)),w).
由链规则,
∂u∂z∂w∂z=∂u∂f+∂v∂f⋅∂u∂v=∂u∂f+∂v∂f⋅(∂u∂φ+∂s∂φ⋅∂u∂s)=∂u∂f+∂v∂f⋅∂u∂φ+∂v∂f⋅∂s∂φ⋅∂u∂ψ=∂w∂f+∂v∂f⋅∂w∂v=∂w∂f+∂v∂f(∂s∂φ⋅∂w∂s)=∂w∂f+∂v∂f⋅∂s∂φ⋅∂w∂ψ.
· 形式微分
最后,我们简单地介绍全微分(形式微分)的概念. 设 f:D→R 为可微的多元函数,由定义,f 在 x 处的微分 df(x) 是一个线性映射
df(x):Rm→Rv↦i=1∑m∂xi∂f⋅vi.
我们将映射 x↦df(x) 称为 f 的全微分,记为 df. 由于
d(λf+μg)(x)=λdf(x)+μdg(x),∀λ,μ∈R,
因此,全微分之间也可以定义加法和数乘运算,在这个意义下,有
df=i=1∑n∂xi∂f⋅dxi(∗)
d(λf+μg)=λdf+μdg,d(f⋅g)=fdg+gdf,d(gf)=g2gdf−fdg(g=0).
如果将 (*) 写成矩阵形式:
df=Jf⋅(dx1,⋯,dxn)T,
则复合映射的链规则可写为
d(f∘g)=J(f∘g)⋅(du1,⋯,dum)T=Jf(x)⋅Jg(u)(du1,⋯,dum)T(x=g(u))=Jf(g(u))⋅(dg1,⋯,dgn)T.
这个等式称为全微分的形式不变性.
Part 2 中值定理
设 p,q∈Rn,令
σ(t)=(1−t)⋅p+t⋅q,∀t∈[0,1].
我们称 σ:[0,1]→Rn 为 Rn 中连接 p, q 的直线段. 设 A 为 Rn 中的子集,如果任给 a1,a2∈A,连接 a1,a2 的直线段仍包含于 A,则称 A 为凸集. 特别地,凸集都是道路连通的. 我们将开的凸集称为凸域.
/example/ Rn 中的开球 Br(x) 都是凸集.
· 中值定理
我们知道,包括 Lagrange 定理、Cauchy 定理等在内的微分中值定理是研究一元函数的重要工具. 对于多元函数,也有部分类似结果. 例如,对于多元函数,我们有
定理1 (微分中值定理). 设 D 为 Rn 中凸域,f:D→R 可微,则任给 a,b∈D,存在 ξ∈D,使得
f(b)−f(a)=Jf(ξ)⋅(b−a),
其中 ξ=a+θ(b−a),θ∈(0,1),即 ξ 位于连接 a,b 的直线段上.
设 σ:[0,1]→D 为连接 a,b 的直线段,则复合函数 φ(t)=f∘σ(t) 是可微的一元函数. 由一元函数的微分中值定理,存在 θ∈(0,1) 使得
φ(1)−φ(0)=φ′(θ)⋅(1−0).
上式即 f(b)−f(a)=Jf(ξ)⋅(b−a),其中 ξ=σ(θ)=a+θ(b−a).
推论2. 设 D 为 Rn 中区域(道路连通开集),f:D→R 可微. 如果 Jf≡0,则 f 为常数.
如果 D 为凸域,则欲证结论从定理1立即得到. 一般地,任取 D 中两点 p,q,设 τ:[0,1]→D 是连接 p,q 的连续曲线. 令
T=sup{t∣当 0≤s≤t 时,f∘τ(s)=f(p)}.
因为 D 为开集,故存在 ε>0 使得 Bε(p)⊂D. 由 τ 的连续性知,存在 δ>0,使得 τ([0,δ))⊂Bε(p). 由于 Bε(p) 为凸域,f 在 Bε(p) 中为常值函数,故 T≥δ>0.
下面证明 T=1(反证法). 如果不然,则在 τ(T)∈D 处作和上面在 τ(0)=p 处一样的讨论知,存在 δ′>0 使得
[0,T+δ′)⊂{s∈[0,1]∣f∘τ(s)=f(p)}.
这和 T 的定义相矛盾!从而 T=1. 由连续性立知 f(q)=f(τ(1))=f(τ(T))=f(p). 因为 p,q 是任取的,故 f 为常数.
考虑向量值函数 f:R→R2,f(t)=(t2,t3),则
Jf(t)=(2t3t2).
如果存在 θ∈(0,1) 使得
f(1)−f(0)=Jf(θ)⋅(1−0),
则
(11)=(2θ3θ2).
但这个等式无解. 这就说明定理1对向量值函数不再成立.
根据这个例子,微分中值定理不能直接推广到向量值函数. 但我们仍有下面的有用结果.
定理3 (拟微分中值定理). 设 D 为 Rn 中凸域,f:D→Rm 可微,则任给 a,b∈D,存在 ξ∈D 使得
∥f(b)−f(a)∥≤∥Jf(ξ)∥⋅∥b−a∥,
其中 ξ=a+θ(b−a),θ∈(0,1).
记 σ:[0,1]→D 为连接 a,b 的直线段. 考虑复合函数
φ:[0,1]→R,φ(t)=⟨f(b)−f(a),f∘σ(t)⟩,
则 φ 为一元可微函数,且 φ′(t)=⟨f(b)−f(a),Jf(σ(t))⋅(b−a)⟩. 由一元函数的微分中值定理,存在 θ∈(0,1) 使得
∣φ(1)−φ(0)∣=∣φ(θ)∣≤∥f(b)−f(a)∥⋅∥Jf(σ(θ))⋅(b−a)∥≤∥f(b)−f(a)∥⋅∥Jf(ξ)∥⋅∥b−a∥.
因为
∣φ(1)−φ(0)∣=∣⟨f(b)−f(a),f(b)−f(a)⟩−⟨f(b)−f(a),f(a)⟩∣=∥f(b)−f(a)∥2,
代入不等式就得到了定理的证明.
推论4. 设 D 为 Rn 中区域,f:D→Rm 可微. 如果 Jf≡0,则 f 为常值映射.
· 泰勒公式
根据定义,如果一个多元函数可微,则它可以用线性函数逼近,利用这一点我们可以做近似计算.
利用微分作近似计算只考虑了函数的线性部分而已,为了更好地求近似值,我们要考虑高阶逼近.
跟一元函数一样,可以用多元多项式来逼近多元函数. 为此先引进一些记号. 设 αi∈Z+ (1≤i≤n),记 α=(α1,⋯,αn),称为多重指标. 记
∣α∣=i=1∑nαi,α!=α1!⋅α2!⋯αn!.
如果 x=(x1,⋯,xn)∈Rn,则记
xα=x1α1⋅x2α2⋯xnαn.
对于多元函数 f,还用下面的记号表示 ∣α∣ 阶偏导数:
Dαf(x0)=∂x1α1⋯∂xnαn∂∣α∣f(x0).
定理5 (Taylor 公式). 设 D 为 Rn 中凸域,f∈Cm+1(D)(即 f 具有 m+1 阶连续偏导数),a=(a1,⋯,an)∈D. 则任给 x∈D,存在 θ∈(0,1) 使得
f(x)=k=0∑m∣α∣=k∑α!Dαf(a)⋅(x−a)α+∣α∣=m+1∑α!Dαf(a+θ(x−a))⋅(x−a)α.
考虑一元函数 φ(t)=f(a+t⋅(x−a)),t∈[0,1]. φ 具有 m+1 阶连续导数,故由一元函数的 Taylor 公式,存在 θ∈(0,1),使得
(∗)φ(1)=φ(0)+φ′(0)+2!1φ′′(0)+⋯+m!1φ(m)(0)+(m+1)!1φ(m+1)(θ),
利用归纳法不难证明
φ(k)(t)=∣α∣=k∑α!k!Dαf(a+t(x−a))⋅(x−a)α.
特别地,t=0 时,有
φ(k)(0)=∣α∣=k∑α!k!Dαf(a)⋅(x−a)α,
上式代入 (∗) 即得欲证公式.
记
Rm=f(x)−k=0∑m∣α∣=k∑α!Dαf(a)⋅(x−a)α.
由 Taylor 公式,当 f∈Cm+1(D) 时
Rm=∣α∣=m+1∑α!Dαf(a+θ(x−a))⋅(x−a)α.(Lagrange remainder term)
推论6. 在定理的条件下,当 ∥x−a∥ 充分小时,Rm=O(∥x−a∥m+1).
取 δ>0,使得 Bˉδ(a)⊂D. 由于 f∈Cm+1(D),Bˉδ(a) 紧致,故存在 M>0 使得
∣Dαf(x)∣≤M,∀x∈Bˉδ(a),∣α∣≤m+1.
因此
∣Rm∣≤M∣α∣=m+1∑α!1∣x−a∣α≤M∣α∣=m+1∑α!1∥x−a∥∣α∣=C⋅∥x−a∥m+1.
推论得证.
重要
注意. (1) 如果 f∈Cm(D),则 Taylor 公式可写为
f(x)=k=0∑m−1∣α∣=k∑α!Dαf(a)⋅(x−a)α+∣α∣=m∑α!Dαf(a+θ(x−a))⋅(x−a)α=k=0∑m∣α∣=k∑α!Dαf(a)(x−a)α+Rm,
其中
Rm=∣α∣=m∑α!1[Dαf(a+θ(x−a))−Dαf(a)]⋅(x−a)α.
用推论的证明方法可得如下估计:
Rm=o(∥x−a∥m)(x→a).(Peano remainder term)
(2) 多元函数 Taylor 展开的前三项为
f(x)=f(a)+Jf(a)⋅(x−a)+21i,j=1∑n∂xi∂xj∂2f(a)⋅(xi−ai)⋅(xj−aj)+⋯
记
Hess(f)=[∂xi∂xj∂2f(a)]n×n,
称为 f 在 a 处的 Hessian.
(3) Taylor 展开式的系数由 f 惟一确定.
· 凸函数
定义 (凸函数).
设 D 为 Rn 中的凸域,f:D→R 为多元函数. 如果任给 x=y∈D,均有
f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y),∀t∈(0,1),
则称 f 为 D 上的凸函数. 上式中 “≤” 换成 “<” 时,称为严格凸函数.
定理7.
(1) 如果 f 在凸域 D 上有连续一阶偏导数,则 f 为凸函数 ⟺
f(y)≥f(x)+Jf(x)⋅(y−x),∀x,y∈D.
(2) 如果 f 有连续二阶偏导数,则 f 为凸函数 ⟺Hess(f)≥0(半正定).
(1) “⇒” 任给 x,y∈D,t∈(0,1),有
t(f(y)−f(x))≥f(x+t(y−x))−f(x)=Jf(x)⋅t(y−x)+o(t∥y−x∥),
上式两边除以 t,然后令 t→0+ 即得
f(y)≥f(x)+Jf(x)⋅(y−x).
“⇐” 任给 x,y∈D,t∈[0,1],记 z=tx+(1−t)⋅y,则
f(x)f(y)≥f(z)+Jf(z)⋅(x−z),≥f(z)+Jf(z)⋅(y−z),
这说明
tf(x)+(1−t)f(y)≥f(z)+Jf(z)⋅[t(x−z)+(1−t)(y−z)]=f(z).
(2) “⇐” 设 f 有连续的二阶偏导数,且 Hess(f) 半正定,则由 Taylor 公式,任给 x,y∈D,存在 ξ=x+θ(y−x),θ∈(0,1) 使得
f(y)=f(x)+Jf(x)⋅(y−x)+21(y−x)T⋅Hess(f)(ξ)⋅(y−x)≥f(x)+Jf(x)⋅(y−x).
由 (1) 知 f 为凸函数.
“⇒”(反证法). 如果 Hess(f) 不是半正定的,则存在 x∈D,以及 Rn 中的非零向量 h,使得
hT⋅Hess(f)(x)⋅h<0.
由 Taylor 公式及其注记,当 ε→0 时,有
f(x+ε⋅h)=f(x)+ε⋅Jf(x)⋅h+21ε2⋅hT⋅Hess(f)⋅h+o(∥εh∥2)=f(x)+ε⋅Jf(x)⋅h+ε2[21hT⋅Hess(f)(x)⋅h+o(1)].
当 ε=0 充分小时,上式第三项 <0. 此时
f(x+εh)<f(x)+Jf(x)⋅εh.
这与 f 为凸函数相矛盾(用到 (1)).
/example/ 设 f:Rn→R 为二阶连续可微函数,如果
Hess(f)(x)≥In,∀x∈Rn,
其中 In 为 n 阶单位方阵,则 f 有惟一最小值.
根据 Taylor 公式,f(x) 可在原点处展开为
f(x)=f(0)+Jf(0)⋅x+21xT⋅Hess(f)(ξ)⋅x.
由已知条件得
f(x)≥f(0)+Jf(0)⋅x+21∥x∥2,∀x∈Rn.
特别地,当 x→∞ 时,f(x)→+∞,这说明 f 的最小值存在. 最小值的唯一性由 f 的严格凸性给出,留给读者思考(对照一元凸函数的情形).
Part 3 逆映射
对于一元函数,如果它可微且导数处处非零,则该函数可逆且其逆仍可微. 这里,可微性和导数非零保证了函数在局部上与可逆线性函数有好的逼近,因而也是(局部)可逆的. 下面我们考虑多元向量值函数类似的问题.
可逆线性映射:
由线性代数,线性映射 A:Rn→Rn 可逆当且仅当 detA=0,即 A 为单射. 我们有如下观察:如果 B:Rn→Rn 为线性映射,∥B∥<1,则 In−B 可逆.
事实上,设 (In−B)v=0,则
∥v∥=∥Inv∥=∥Bv∥≤∥B∥⋅∥v∥,
这说明 v=0.
这个例子意味着,恒同映射这样一个可逆映射作一个小的扰动以后仍然为可逆映射. 一般地,任何可逆线性映射在微扰下仍为可逆映射. 因为可微映射在局部上可以看成是其微分的小扰动,当微分可逆时,该映射在局部上也应该是可逆的.
· 逆映射定理
定理1 (逆映射定理). 设 W 为 Rn 中开集,f:W→Rn 为 Ck(k≥1) 映射,x0∈W. 如果 detJf(x0)=0,则存在 x0 的开邻域 U⊂W 以及 y0=f(x0) 的开邻域 V⊂Rn,使得 f∣U:U→V 是可逆映射,且其逆仍为 Ck 映射.
不失一般性,可设 x0=0,y0=f(x0)=0. 以 A 记 f 在 x0=0 处的微分,则 A 可逆,且 f∘A−1 在 0 处微分为恒同映射. 如果欲证的结论对 f∘A−1 成立,则对 f 也成立. 因此,不妨从一开始就假设 Jf(x0)=In.
在 x0 附近,f 是恒同映射的扰动,扰动项可定义为映射
g:W→Rnx↦f(x)−x,
则 g 为 Ck 映射,且 Jg(0)=0. 因此,存在 ε0>0 使得
∥Jg(x)∥≤21,∀x∈Bˉε0(0)⊂W.
由拟微分中值定理,
∥g(x1)−g(x2)∥≤∥Jg(ξ)∥⋅∥x1−x2∥≤21∥x1−x2∥,∀x1,x2∈Bˉε0(0).
设 y∈B2ε0(0),我们来解方程
f(x)=y,x∈Bε0(0).
这等价于在 Bε0(0) 中寻找 gy(x)=x+y−f(x)=y−g(x) 的不动点. 我们利用压缩映像原理来找这样的不动点. 首先,
∥gy(x)∥=∥y−g(x)∥≤∥y∥+∥g(x)∥<2ε0+21∥x∥≤2ε0+2ε0=ε0,∀x∈Bˉε0(0).
其次,gy:Bˉε0(0)→Bε0(0)⊂Bˉε0(0) 是压缩映射:
∥gy(x1)−gy(x2)∥=∥g(x2)−g(x1)∥≤21∥x1−x2∥,∀x1,x2∈Bˉε0(0).
从而方程在 Bˉε0(0) 中有唯一解,记为 xy.
已经推出 xy∈Bε0(0). 记
U=f−1(B2ε0(0))∩Bε0(0),V=B2ε0(0),
则我们已经证明了 f∣U:U→V 是一一映射,其逆映射 h(y)=xy 满足
y−g(h(y))=h(y).
(1) h:V→U 是连续映射:当 y1,y2∈V 时
∥h(y1)−h(y2)∥≤∥y1−y2∥+∥g(h(y1))−g(h(y2))∥≤∥y1−y2∥+21∥h(y1)−h(y2)∥,
这说明 ∥h(y1)−h(y2)∥≤2∥y1−y2∥,∀y1,y2∈V.
(2) h:V→U 是可微映射:设 y0∈V,则对 y∈V,有
h(y)−h(y0)=(y−y0)−[g(h(y))−g(h(y0))]=(y−y0)−Jg(h(y0))⋅(h(y)−h(y0))+o(∥h(y)−h(y0)∥),
上式可改写为
[In+Jg(h(y0))]⋅(h(y)−h(y0))=(y−y0)+o(∥y−y0∥).
因而
h(y)−h(y0)=[In+Jg(h(y0))]−1⋅(y−y0)+o(∥y−y0∥).
即 h 在 y0 处可微.
(3) h:V→U 为 Ck 映射.
由 (2) 的证明知
Jh(y)=[In+Jg(h(y))]−1=[Jf(h(y))]−1,∀y∈V.
由 f∈Ck 知 Jf∈Ck−1. 由 (2) 及上式可推出 Jh∈C0,即 h∈C1. 再由 Jf∈Ck−1,h∈C1 及上式可推出 Jh∈C1 即 h∈C2. 依次类推,最后我们就得到 h∈Ck.
注意. 从证明可以看出,如果 f:W→Rn 的 Jacobian 非退化,则 f(W) 为开集.
考虑 f:R2→R2,f(x,y)=(excosy,exsiny). 显然,f 不是单射,但
detJf(x,y)=det(excosyexsiny−exsinyexcosy)=e2x=0.
这说明定理1的结论只能局部地成立,这跟一元函数的情形不同
考虑 f:R2→R2,f(x,y)=(x3,y3),则 f 为光滑单射,也是满射,但 Jf(0,0)=0,f 的逆映射不可微. 这说明 Jacobian 非退化的条件不能去掉.
· 隐函数定理
/example/设 f:R2→R 为 Ck(k≥1) 映射,f(x0,y0)=0,∂y∂f(x0,y0)=0,在 (x0,y0) 附近解方程
f(x,y)=0.
令 F:R2→R2,F(x,y)=(x,f(x,y)),则 F(x0,y0)=(x0,0),且
detJF(x0,y0)=det1∂x∂f(x0,y0)0∂y∂f(x0,y0)=∂y∂f(x0,y0)=0.
由逆映射定理,在 (x0,y0) 附近,F 为可逆映射. 于是当 x 在 x0 附近时,y0 附近存在 g(x),使得 F(x,g(x))=(x,0),即 f(x,g(x))=0. 对 x 求导得
∂x∂f(x,g(x))+∂y∂f(x,g(x))⋅g′(x)=0,
从而
g′(x)=−∂y∂f(x,g(x))∂x∂f(x,g(x)).
y=g(x) 称为由 f(x,y)=0 决定的隐函数.
上例可推广到一般维数,所得结果称为隐映射(隐函数)定理.
定理2 (隐映射定理). 设 W 为 Rn+m 中开集,W 中的点用 (x,y) 表示,其中 x=(x1,⋯,xn),y=(y1,⋯,ym). f:W→Rm 为 Ck 映射,
f(x,y)=(f1(x,y),f2(x,y),⋯,fm(x,y)).
设 (x0,y0)∈W,f(x0,y0)=0 且 detJfy(x0,y0)=0,其中
Jfy(x,y)=(∂yj∂fi(x,y))m×m.
则存在 x0 的开邻域 V⊂Rn 以及唯一的 Ck 映射 g:V→Rm,使得
(1).
y0=g(x0),f(x,g(x))=0,∀x∈V
(2).
Jg(x)=−[Jfy(x,g(x))]−1Jfx(x,g(x))
其中
Jfx(x,y)=(∂xj∂fi(x,y))1≤i≤m1≤j≤n.
/proof/
令 F:W→Rn+m 为
F(x,y)=(x,f(x,y)),
在 (x0,y0) 处利用逆映射定理即可.
注意. g(x) 称为由 f(x,y)=0 决定的隐映射.
/example/ 设 x2+2y2+3z2+xy−z−9=0,求 x=1,y=−2,z=1 时 ∂x∂z,∂y∂z,∂x∂y∂2z 的值.
令 F(x,y,z)=x2+2y2+3z2+xy−z−9,则
F(1,−2,1)=0,Fz(1,−2,1)=(6z−1)∣z=1=5=0,
故 z 可局部地表示为 x,y 的函数,记为 z=z(x,y). 在 (1,−2,1) 处,有
(zx,zy)=−Fz−1⋅(Fx,Fy)=−51(2x+y,4y+x)∣(x,y,z)=(1,−2,1)=(0,57).
又因为
zy=−Fz−1⋅Fy=−6z−11(4y+x),
故
∂x∂y∂2z=(6z−1)26⋅zx(4y+x)−6z−11,
从而
∂x∂y∂2z(1,−2,1)=−51.
平面上直角坐标 (x,y) 和极坐标 (r,θ) 之间的转换公式为
x=rcosθ,y=rsinθ.
求 r 和 θ 关于 x,y 的偏导数.
由逆映射定理
∂x∂r∂x∂θ∂y∂r∂y∂θ=∂r∂x∂r∂y∂θ∂x∂θ∂y−1=(cosθsinθ−rsinθrcosθ)−1=r1(rcosθ−sinθrsinθcosθ),
从而有
∂x∂r=cosθ,∂y∂r=sinθ,∂x∂θ=−rsinθ,∂y∂θ=rcosθ.
隐式曲面:
设 F:R3→R 为 Ck(k≥1) 的多元函数. 令
S={(x,y,z)∈R3∣F(x,y,z)=0}.
如果对于任意 (x,y,z)∈S,Fx′,Fy′,Fz′ 均不全为 0,则称 S 为由 F 决定的隐式曲面.
设 m0=(x0,y0,z0)∈S,不妨设 Fz′(x0,y0,z0)=0. 则由定理2,在 (x0,y0,z0) 附近,S 可用参数曲面 z=z(x,y) 表示:
F(x,y,z(x,y))=0.
在 (x0,y0,z0) 处曲面的法向量为
n=(1,0,zx(x0,y0))×(0,1,zy(x0,y0))=(−zx(x0,y0),−zy(x0,y0),1)=Fz′1(Fx′(x0,y0,z0),Fy′(x0,y0,z0),Fz′(x0,y0,z0)).
S 在 (x0,y0,z0) 处的切平面方程为
Fx′⋅(x−x0)+Fy′⋅(y−y0)+Fz′(z−z0)=0.
在 (x0,y0,z0) 处的法线方程为
Fx′(x0,y0,z0)x−x0=Fy′(x0,y0,z0)y−y0=Fz′(x0,y0,z0)z−z0.
隐式曲线:
设 F:R3→R,G:R3→R 为 Ck(k≥1) 的映射,令
l={(x,y,z)∈R3∣F(x,y,z)=G(x,y,z)=0},
如果对任意的 (x,y,z)∈l,
∂(y,z)∂(F,G)(x,y,z)=det(Fy′Gy′Fz′Gz′)=0,
则称 l 为由 F, G 决定的隐式曲线.
设 m0=(x0,y0,z0)∈l,由隐映射定理,在 m0 附近 l 可由参数曲线
y=y(x),z=z(x)
表示,其中
F(x,y(x),z(x))=G(x,y(x),z(x))=0,
且
(y′(x)z′(x))=−(Fy′Gy′Fz′Gz′)−1⋅(Fx′Gx′),
或写为
{Fx′+Fy′⋅y′+Fz′⋅z′=0,Gx′+Gy′⋅y′+Gz′⋅z′=0.
这说明 (1,y′,z′) 与 (Fx′,Fy′,Fz′) 和 (Gx′,Gy′,Gz′) 均正交. 因而 m0 处的切线方程为
Fy′Gy′Fz′Gz′x−x0=Fz′Gz′Fx′Gx′y−y0=Fx′Gx′Fy′Gy′z−z0,
法面方程为
x−x0Fx′Gx′y−y0Fy′Gy′z−z0Fz′Gz′=0.
结束.
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2025/12/18 07:14
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