Chapter 18 Riemann积分推广

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2025-12-17

Part 1 二重Riemann积分

· Riemann 积分

定义1 (矩形上的 Riemann 积分)

假设 $f: I \to \mathbb{R}$ 为矩形 $I$ 上定义的函数，如果存在实数 $A$ ，使得任给 $\varepsilon > 0$ ，均存在 $\delta > 0$ ，当 $\|\pi\| < \delta$ 时，有
$\left|\sum_{i,j} f(\xi_{ij}) v(I_{ij}) - A\right| < \varepsilon, \quad \forall\, \xi_{ij} \in I_{ij},$
则称 $f$ 在 $I$ 上 Riemann 可积或简称可积， $A$ 为 $f$ 在 $I$ 上的积分，记为
$A = \int_I f = \iint_I f(x,y)\,dx\,dy.$

重要

(1) 我们将 $\sum_{i,j} f(\xi_{ij}) v(I_{ij})$ 称为 $f$ 关于分割 $\pi$ 的一个 Riemann 和，也记为 $S(f,\pi,\xi)$ . 如果 $f$ 可积，则积分可用极限表示

\int_I f = \lim_{\|\pi\| \to 0} S(f,\pi,\xi).

(2) 与一元函数类似， $f$ 在 $I$ 上 Riemann 可积的必要条件是 $f$ 为有界函数.

下面假设 $f$ 为 $I$ 上定义的有界函数. 我们象对一元函数所做过的那样来讨论 $f$ 可积的充分必要条件. 记

M_{ij} = \sup_{p \in I_{ij}} f(p), \quad m_{ij} = \inf_{p \in I_{ij}} f(p),

并令

S(\pi) = S(\pi,f) = \sum_{i,j} M_{ij} v(I_{ij}), \quad s(\pi) = s(\pi,f) = \sum_{i,j} m_{ij} v(I_{ij}),

$S(\pi)$ 和 $s(\pi)$ 分别是 $f$ 关于分割 $\pi$ 的 Darboux 上和与 Darboux 下和. 与一元函数一样，称

\omega_{ij} = M_{ij} - m_{ij} = \sup_{p \in I_{ij}} f(p) - \inf_{p \in I_{ij}} f(p)

为 $f$ 在小矩形 $I_{ij}$ 上的振幅. $f$ 的上和与下和之差可以表示为

S(\pi) - s(\pi) = \sum_{i,j} \omega_{ij} v(I_{ij}).

如果 $[a,b]$ 的分割 $\pi'_1$ 是由 $\pi_1$ 通过添加分点得到， $[c,d]$ 的分割 $\pi'_2$ 是由 $\pi_2$ 通过添加分点得到，则称 $[a,b] \times [c,d]$ 的分割 $\pi' = \pi'_1 \times \pi'_2$ 是 $\pi = \pi_1 \times \pi_2$ 的一个加细.

对于加细分割，下面的命题的证明和一元函数完全类似.

命题1：

如果 $\pi'$ 是 $\pi$ 的加细，则
$s(\pi) \leq s(\pi') \leq S(\pi') \leq S(\pi),$
即分割加细后下和不减，上和不增.

推论2：

对于 $I$ 的任何两个分割 $\pi^1$ , $\pi^2$ ，均有
$s(\pi^1) \leq S(\pi^2).$

/proof/

设 $\pi^1 = \pi_1 \times \pi_2$ , $\pi^2 = \pi'_1 \times \pi'_2$ ，令
$\pi = \pi^1 \cup \pi^2 = (\pi_1 \cup \pi'_1) \times (\pi_2 \cup \pi'_2),$
则 $\pi$ 既是 $\pi^1$ 的加细，又是 $\pi^2$ 的加细，因此
$s(\pi^1) \leq s(\pi) \leq S(\pi) \leq S(\pi^2),$
这说明下和总是不超过上和.

· Darboux 定理

对于有界函数，它的上和与下和也都是有界的. 因此可以考虑

S(f) = \inf_\pi S(\pi), \quad s(f) = \sup_\pi s(\pi).

分别称 $S(f)$ , $s(f)$ 为 $f$ 在 $I$ 上的上积分与下积分.

如果 $f(x) = k$ 为常值函数，则显然它在 $I$ 上的任何 Riemann 和均为 $k \cdot v(I)$ ，因此常值函数可积. 同时，常值函数的上积分和下积分与其积分也相等.

如果 $k$ 为常数，则易见 $f + k$ 可积当且仅当 $f$ 可积，且

S(f + k) = S(f) + k \cdot v(I), \quad s(f + k) = s(f) + k \cdot v(I).

我们有

定理3 (Darboux)：

设 $f$ 为 $I$ 上的有界函数，则
$\lim_{\|\pi\| \to 0} S(\pi) = \inf_\pi S(\pi), \quad \lim_{\|\pi\| \to 0} s(\pi) = \inf_\pi s(\pi).$

/proof/

我们以上和为例证明. 因为 $f$ 有界，根据刚才的讨论，不妨设 $0 \leq f \leq M$ . 任给 $\varepsilon > 0$ ，存在分割 $\pi'$ ，使得
$S(\pi') < \inf_\pi S(\pi) + \frac{\varepsilon}{2}.$
设 $\delta > 0$ 为充分小的正数. 如果 $I_{ij} = [x_{i-1}, x_i] \times [y_{j-1}, y_j]$ 为分割 $\pi'$ 的一个小矩形，则将它沿每一条边向其内部平行地内缩 $\delta$ 距离，得（开）矩形
$I^\delta_{ij} = (x_{i-1} + \delta, x_i - \delta) \times (y_{j-1} + \delta, y_j - \delta),$
记
$J_\delta = I - \bigcup_{i,j} I^\delta_{ij},$
则 $J_\delta$ 是一些（闭）矩形之并，其面积 $v(J_\delta)$ 可以定义，且当 $\delta$ 趋于零时，该面积趋于零. 我们固定一个充分小的 $\delta$ ，使得
$v(J_\delta) < \frac{\varepsilon}{2M + 1}.$
现在设 $\|\pi\| < \delta$ . 对于分割 $\pi$ 中的每一个小矩形来说，不难看出，要么它完全含于 $J_\delta$ ，要么它完全含于分割 $\pi'$ 的某个（开）矩形之内，二者必居其一（也可同时成立）. 因此， $\pi$ 的上和有下面的估计：
$\inf_\pi S(\pi) \leq S(\pi) \leq M \cdot v(J_\delta) + S(\pi') \\ < M \cdot \frac{\varepsilon}{2M + 1} + \inf_\pi S(\pi) + \frac{\varepsilon}{2} \\ < \inf_\pi S(\pi) + \varepsilon.$
这说明
$\lim_{\|\pi\| \to 0} S(\pi) = \inf_\pi S(\pi).$

有了 Darboux 定理，下面关于可积性的判断定理和一元函数的证明就没什么不同了.

定理4 (可积的充要条件)

设 $f$ 为 $I$ 上的有界函数，则下列条件等价
(1) $f$ 在 $I$ 上 Riemann 可积.
(2) $f$ 在 $I$ 上的上积分和下积分相等.
(3) $\displaystyle \lim_{\|\pi\| \to 0} \sum_{i,j} \omega_{ij} v(I_{ij}) = 0$ .
(4) 任给 $\varepsilon > 0$ ，存在 $I$ 的某个分割 $\pi$ ，使得
$S(\pi) - s(\pi) = \sum_{i,j} \omega_{ij} v(I_{ij}) < \varepsilon.$

推论5：

设 $f$ 为矩形 $I$ 上的连续函数，则 $f$ 是 Riemann 可积的；

/proof/

$f$ 在 $I$ 上连续意味着 $f$ 在 $I$ 上一致连续. 利用可积的充要条件，剩下的证明和一元函数完全相同.

对于多元函数，下面的结果也是成立的.

定理6 (Riemann)：

设 $f$ 为 $I$ 上的有界函数，则 $f$ 可积的充分必要条件是：任给 $\varepsilon, \eta > 0$ ，存在 $I$ 的分割 $\pi$ ，使得
$\sum_{\omega_{ij} \geq \eta} v(I_{ij}) < \varepsilon.$

· 零测集

和一元函数一样，我们引入零测集的概念来刻画可积函数.

定义2 (零测集)

设 $A \subset \mathbb{R}^2$ 为平面点集. 如果任给 $\varepsilon > 0$ ，存在至多可数个闭矩形
$I_i, \quad i = 1,2,\cdots,$
使得
$A \subset \bigcup_{i \geq 1} I_i, \quad \text{且} \quad \sum_{i \geq 1} v(I_i) < \varepsilon,$
则称 $A$ 为零测集.

和一维的情形类似，我们有

命题7

(1) 有限点集均为零测集；
(2) 零测集的子集仍为零测集；
(3) 可数个零测集之并仍为零测集；
(4) 矩形的边界是零测集；
(5) 设 $f$ 为 $[a,b]$ 上的一元可积函数，则其图像 $\mathrm{graph}(f) = \{(x,f(x)) \mid x \in [a,b]\} \subset \mathbb{R}^2$ 为零测集.

/proof/

前三条的证明和一维的情形完全类似，我们略去.
(4) 设 $\delta > 0$ 为充分小的正数，将矩形分别内缩 $\delta$ 距离和外展 $\delta$ 距离，得到两个矩形，原矩形的边界包含于这两个矩形之差，这两个矩形之差可以分为若干小矩形之并. 当 $\delta$ 趋于零时，它们的面积之和趋于零，因此原矩形的边界为零测集.
(5) 任给 $\varepsilon > 0$ ，因为 $f$ 为一元可积函数，故可取 $[a,b]$ 的分割
$\pi: a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$
使得 $\displaystyle \sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i < \varepsilon$ ，其中 $\omega_i = M_i - m_i$ 为 $f$ 在小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上的振幅， $M_i$ 和 $m_i$ 分别是 $f$ 在该小区间上的上确界与下确界. 因此
$\{(x,f(x)) \mid x \in [x_{i-1},x_i]\} \subset [x_{i-1},x_i] \times [m_i,M_i] = I_i, \quad 1 \leq i \leq n.$
从而有
$\mathrm{graph}(f) \subset \bigcup_{i=1}^n I_i,$
并且
$\sum_{i=1}^n v(I_i) = \sum_{i=1}^n (x_i - x_{i-1})(M_i - m_i) = \sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i < \varepsilon,$
这说明 $\mathrm{graph}(f)$ 为零测集.

重要

从命题的证明还可以看出，因为矩形的边界为零测集，在零测集定义中将“闭矩形”换成“开矩形”也是可以的.

对于多元函数，我们也可定义振幅. 设 $f: A \to \mathbb{R}$ 为有界函数， $x \in A$ . $f$ 在 $x$ 处的振幅定义为

\omega(f,x) = \lim_{r \to 0^+} \sup\{|f(x_1) - f(x_2)| : x_1,x_2 \in B_r(x) \cap A\}.

易见， $f$ 在 $x$ 处连续当且仅当 $\omega(f,x) = 0$ . 设 $\delta > 0$ ，记

D_\delta = \{x \in A \mid \omega(f,x) \geq \delta\},

则 $f$ 的间断点（不连续点）全体为 $D_f = \displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty D_{\frac{1}{n}}$ .

· Lebesgue

定理8 (Lebesgue)：

矩形 $I$ 上的有界函数 $f$ 是 Riemann 可积的当且仅当 $f$ 的间断点集 $D_f$ 为零测集.

下面的推论是显然的.

推论9

(1) 设 $f$ 是矩形 $I$ 上的可积函数，矩形 $J$ 包含于 $I$ ，则 $f$ 也是 $J$ 上的可积函数；
(2) 如果矩形 $I$ 被有限个矩形 $\{J_i\}$ 所覆盖，且 $f$ 在每个 $J_i$ 上都是可积的，则 $f$ 在 $I$ 上也是可积的.

· 零面积集

为了研究函数在一般集合（不必为矩形）上的可积性问题，我们引进零面积集的概念.

定义3 (零面积集)

设 $A \subset \mathbb{R}^2$ 为平面点集. 如果任给 $\varepsilon > 0$ ，存在有限个闭矩形
$I_i, \quad i = 1,2,\cdots,n$
使得
$A \subset \bigcup_{i=1}^n I_i, \quad \text{and} \quad \sum_{i=1}^n v(I_i) < \varepsilon,$
则称 $A$ 为零面积集.

显然，零面积集必为零测集. 我们还有

命题10

(1) 有限点集是零面积集；
(2) 零面积集的子集仍为零面积集；
(3) 有限个零面积集之并仍为零面积集；
(4) $A$ 为零面积集当且仅当 $\bar{A} = A \cup \partial A$ 为零面积集；
(5) 有界闭集 $A$ 为零面积集当且仅当 $A$ 是零测集.

/proof/

前三条的证明略去.
(4) 如果 $\bar{A}$ 为零面积集，则由 (2) 知， $A \subset \bar{A}$ 为零面积集. 反之，设 $A$ 为零面积集，则任给 $\varepsilon > 0$ ，存在有限个闭矩形 $\{I_i\}$ ，使得
$A \subset \bigcup_{i=1}^n I_i, \quad \text{and} \quad \sum_{i=1}^n v(I_i) < \varepsilon,$
显然仍有
$\bar{A} \subset \bigcup_{i=1}^n I_i, \quad \text{and} \quad \sum_{i=1}^n v(I_i) < \varepsilon,$
因此 $\bar{A}$ 为零面积集.
(5) 只要说明有界闭的零测集必为零面积集即可.
我们知道有界闭集是紧致集，因此在零测集的定义中采用开矩形覆盖，则可以从中挑选有限个开矩形，使得它们仍然覆盖该紧致集，这当然表明这个紧致集是零面积集.

如果仔细检查一下命题7的证明，我们实际上知道矩形的边界是零面积集，而可积函数的图像是零面积集.

下面的结果反映了零面积集概念的用处.

定理11：

设 $f: I \to \mathbb{R}$ 为矩形 $I$ 上的有界函数. 如果 $A = \{x \in I \mid f(x) \neq 0\}$ 为零面积集，则 $f$ 可积且积分为零.

/proof/

因为 $f$ 在开集 $I - \partial I - \bar{A}$ 上为零，故 $f$ 的间断点包含于集合 $\partial I \cup \bar{A}$ 中.
$A$ 是零面积集意味着 $\bar{A}$ 也是零面积集. 从而 $\partial I \cup \bar{A}$ 为零面积集. 根据 Lebesgue 定理， $f$ 可积.
对于 $I$ 的任何分割，由于矩形不是零面积集，所以每一个小矩形中均存在 $f$ 的零点，即 $f$ 的 Riemann 和总可以取零值，从而 $f$ 的积分为零.

现在我们来定义有界集合的面积. 设 $A \in \mathbb{R}^2$ 为平面点集，记 $\chi_A: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 为下面定义的函数：

\chi_A(x) = \begin{cases} 1, & x \in A, \\\\ 0, & x \notin A. \end{cases}

即 $\chi_A$ 是 $A$ 的特征函数.

· 有界集合的面积

定义4 (有界集合的面积)

设 $A$ 为有界集合， $I$ 为包含 $A$ 的矩形. 如果 $A$ 的特征函数 $\chi_A$ 在 $I$ 上 Riemann 可积，则称 $A$ 是可求面积的，它的面积定义为 $\chi_A$ 在 $I$ 上的积分.

重要

(1) $A$ 是否可求面积以及面积的大小与定义中矩形 $I$ 的选取无关. 如果 $A$ 本身就是一个矩形，则按此定义给出的面积和矩形的面积公式给出的面积是一致的.

(2) 如果 $A$ 本身是零面积集，则按照前面的讨论我们知道， $A$ 是可求面积的，且其面积为零.

如果 $A,B$ 是可求面积的有界集合，则 $A \cap B$ , $A \cup B$ 也是可求面积的.

这只要注意到特征函数满足下列等式

\chi_{A \cap B} = \chi_A \cdot \chi_B, \quad \chi_{A \cup B} = \max\{\chi_A, \chi_B\},

以及可积函数类的基本运算性质即可.

下面的结果给出了有界集合可求面积的充分必要条件.

定理12：

有界集合 $A$ 可求面积当且仅当其边界 $\partial A$ 为零面积集.

/proof/

不妨设 $\bar{A} \subset I - \partial I$ . 易见 $\chi_A$ 的间断点集正好为 $\partial A$ .
因此 $\chi_A$ 可积当且仅当 $\partial A$ 为零测集. 因为 $\partial A$ 为有界闭集，它为零测集当且仅当它是零面积集.

· 一般集合上的积分

有了这些预备，我们可以考虑函数在一般集合上的积分了. 为了简单起见，我们只考虑函数在可求面积的集合上的积分. 设 $A$ 是可求面积的有界集合， $f: A \to \mathbb{R}$ 为 $A$ 上的有界函数，将 $f$ 零延拓为 $\mathbb{R}^2$ 上的函数 $f_A$ 如下：

f_A(x) = \begin{cases} f(x), & x \in A, \\\\ 0, & x \in \mathbb{R}^2 - A. \end{cases}

定义5

设 $A$ 和 $f$ 如上， $I$ 为包含 $A$ 的矩形. 如果 $f_A$ 为 $I$ 上的可积函数，则称 $f$ 在 $A$ 上可积，且积分定义为 $f_A$ 在 $I$ 的积分，即
$\int_A f = \int_I f_A.$

重要

(1) 这个定义也和矩形 $I$ 的选取无关. 当 $A$ 本身就是矩形时，这个定义和矩形上积分的定义是一致的.

(2) 由可求面积的定义我们知道，有界集合可求面积当且仅当常值函数 1 在这个集合上是可积的.

下面的定理给出了函数在可求面积的集合上可积的判别条件.

定理13：

设 $f: A \to \mathbb{R}$ 是可求面积集合 $A$ 上定义的有界函数. 则 $f$ 可积的充分必要条件是 $f$ 在 $A$ 上的间断点集为零测集.

/proof/

取矩形 $I$ 使得 $\bar{A} \subset I - \partial I$ . 由定义， $f$ 在 $A$ 上可积当且仅当 $f_A$ 在 $I$ 上可积. 根据 Lebesgue 定理， $f_A$ 可积当且仅当其间断点集为零测集.
因为在 $I - \bar{A}$ 中 $f_A$ 为零，因此 $f_A$ 的不连续点都在 $\bar{A}$ 中.
又由于 $\partial A$ 为零面积集，故 $f_A$ 可积当且仅当 $f_A$ 在 $A - \partial A$ 中的间断点集为零测集.
在 $A - \partial A$ 中 $f_A = f$ ，因此 $f_A$ 可积当且仅当 $f$ 在 $A - \partial A$ 中的间断点集是零测集，也就是说当且仅当 $f$ 在 $A$ 上的间断点为零测集.

Part 2 重积分

关于二重积分的理论可以直接推广到 $n$ 重积分上. 在 $n$ 维欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 中，称点集

I = [a_1, b_1] \times [a_2, b_2] \times \cdots \times [a_n, b_n]

为一个 $n$ 维矩形，其直径 $d(I)$ 和体积 $v(I)$ 分别为

\begin{aligned} d(I) &= \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + \cdots + (b_n - a_n)^2},\\\\ v(I) &= (b_1 - a_1) \cdot (b_2 - a_2) \cdots (b_n - a_n). \end{aligned}

设区间 $[a_i, b_i]$ ( $i = 1, 2, \cdots, n$ ) 有分割

\pi_i: \, a_i = x_0^i < x_1^i < \cdots < x_{m_i}^i = b_i,

这时超平面 $x_i = x_j^i$ ( $i = 1, 2, \cdots, n; j = 0, 1, \cdots, m_i$ ) 将 $I$ 分割成 $m_1 \cdot m_2 \cdots m_n$ 个小 $n$ 维矩形

I_{i_1 \cdots i_n} = [x_{i_1 - 1}^1, x_{i_1}^1] \times \cdots \times [x_{i_n - 1}^n, x_{i_n}^n], \quad 1 \leq i_1 \leq m_1, \cdots, 1 \leq i_n \leq m_n.

这些小矩形所形成的分割记为 $\pi = \pi_1 \times \cdots \times \pi_n$ ，定义

\|\pi\| = \max_{i_1 \cdots i_n} d(I_{i_1 \cdots i_n}),

称为分割 $\pi$ 的模.

· 定义

定义1 ( $n$ 维矩形上的 Riemann 积分)

设 $f: I \to \mathbb{R}$ 为 $n$ 维矩形 $I$ 上定义的函数，如果存在实数 $A$ ，使得任给 $\varepsilon > 0$ ，均存在 $\delta > 0$ ，当 $\|\pi\| < \delta$ 时，有
$\left| \sum_{i_1 \cdots i_n} f(\xi_{i_1 \cdots i_n}) v(I_{i_1 \cdots i_n}) - A \right| < \varepsilon, \quad \forall\, \xi_{i_1 \cdots i_n} \in I_{i_1 \cdots i_n},$
则称 $f$ 在 $I$ 上 Riemann 可积或简称可积， $A$ 为 $f$ 在 $I$ 上的积分，记为
$A = \int_I f = \int_I f(x)\,dx = \int_I \cdots \int_I f(x_1, \cdots, x_n)\,dx_1 \cdots dx_n.$

$n$ 重 Riemann 积分的理论与二重 Riemann 积分的理论是完全类似的，我们不再重复叙述，只是指出 $\mathbb{R}^n$ 中零测集、零体积集和可求体积集分别对应于 $\mathbb{R}^2$ 中的零测集、零面积集和可求面积集.

下面考虑多重积分的基本性质. 第一个是关于被积函数的线性性.

· 基本性质

命题1：

设 $f, g: A \to \mathbb{R}$ 是可求体积的有界集合 $A$ 上定义的可积函数， $\alpha, \beta$ 为常数，则 $\alpha f + \beta g$ 也是 $A$ 上的可积函数，且
$\int_A (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_A f + \beta \int_A g.$

/proof/

通过转化为矩形上的积分并利用可积的充要条件得到 $\alpha f + \beta g$ 的可积性，再由积分的定义得到欲证等式. $\square$

下面的性质是关于积分区域的可加性的.

命题2：

设 $A_1, A_2$ 为可求体积的有界集合， $A_1 \cap A_2$ 为零体积集. 如果 $f$ 在 $A_1$ 和 $A_2$ 上均可积，则 $f$ 在 $A_1 \cup A_2$ 上也可积，且
$\int_{A_1 \cup A_2} f = \int_{A_1} f + \int_{A_2} f.$

/proof/

取矩形 $I \supset A_1 \cup A_2$ ，则 $f_{A_1 \cup A_2} - (f_{A_1} + f_{A_2})$ 仅在零体积集 $A_1 \cap A_2$ 上才可能取非零值，特别地，由定理 13.1.11 知 $f_{A_1 \cup A_2} - (f_{A_1} + f_{A_2})$ 在 $I$ 上可积且积分为零，因此 $f_{A_1 \cup A_2}$ 在 $I$ 上可积，且
$\begin{aligned} \int_{A_1 \cup A_2} f &= \int_I f_{A_1 \cup A_2}= \int_I (f_{A_1} + f_{A_2}) \\\\ &= \int_I f_{A_1} + \int_I f_{A_2} \\\\ &= \int_{A_1} f + \int_{A_2} f. \end{aligned}$
这个结果也可推广到多个可求体积的集合的情形.

下面的性质是多重积分的保序性.

命题3：

设 $A$ 为可求体积的有界集合， $f, g$ 为 $A$ 上的可积函数.
(1) 如果 $f \geq 0$ ，则 $\displaystyle \int_A f \geq 0$ ；
(2) 如果 $f \geq g$ ，则 $\displaystyle \int_A f \geq \int_A g$ .

/proof/

(1) 取矩形 $I \supset A$ ，则 $f$ 的延拓函数 $f_A$ 仍然是非负函数，其 Riemann 和也总是非负的，因而 $f_A$ 在 $I$ 上的积分非负，即 $f$ 在 $A$ 上的积分非负.
(2) 如果 $f \geq g$ ，则 $f - g$ 为非负可积函数，由 (1) 知 $f - g$ 在 $A$ 上的积分非负，由积分关于被积函数的线性性即知 $f$ 在 $A$ 上的积分不小于 $g$ 在 $A$ 上的积分.

推论4：

设 $A$ 为可求体积的有界集合， $f$ 为 $A$ 上的可积函数，则 $|f|$ 也是 $A$ 上可积函数，且
$\left| \int_A f \right| \leq \int_A |f|.$

/proof/

取矩形 $I \supset A$ ，则 $|f|_A = |f|_A$ . 由 $f_A$ 在 $I$ 上可积知 $|f|_A$ 也在 $I$ 上可积，从而 $|f|_A$ 在 $I$ 上可积，即 $|f|$ 在 $A$ 上可积. 注意到
$-|f|_A \leq f_A \leq |f|_A,$
由积分的保序性和线性性得
$-\int_I |f|_A \leq \int_I f_A \leq \int_I |f|_A,$
即
$-\int_A |f| \leq \int_A f \leq \int_A |f|,$
推论得证.

定理5 (积分中值定理)：

设 $A$ 为可求体积的有界集合， $f, g$ 为 $A$ 上的可积函数. 如果 $g$ 在 $A$ 上不变号，则存在常数 $\mu$ ，使得
$\int_A f g = \mu \int_A g,$
其中 $\displaystyle\inf_A f \leq \mu \leq \displaystyle\sup_A f$ .

/proof/

不妨假设 $g \geq 0$ . 跟前面的论证类似，不难看出 $fg$ 在 $A$ 上可积. 且由
$(\inf_A f) g(x) \leq f(x) g(x) \leq (\sup_A f) g(x), \quad \forall\, x \in A$
以及积分的保序性得
$(\inf_A f) \int_A g \leq \int_A f g \leq (\sup_A f) \int_A g.$
如果 $\displaystyle \int_A g = 0$ ，则上式表明 $fg$ 在 $A$ 上的积分也为零，此时 $\mu$ 可任意取值. 设 $\displaystyle \int_A g > 0$ ，则
$\inf_A f \leq \frac{\displaystyle\int_A f g}{\displaystyle\int_A g} \leq \sup_A f,$
令
$\mu = \frac{\displaystyle\int_A f g}{\displaystyle\int_A g},$
则 $\mu$ 是满足要求的常数.