我们知道，Newton-Leibniz 公式是微积分的一个核心定理。对于一元函数来说，Newton-Leibniz 公式有两种表现形式：

• 如果 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的连续函数，则 $F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)dt$ 为 $[a,b]$ 上的可微函数，且

  $$F'(x) = f(x),\quad \text{or}\quad \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = f(x);$$

• 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续可微，则

  $$\int_a^b f'(x)dx = f(b) - f(a),\quad \text{or}\quad \int_a^b df = f\big|_a^b.$$

我们现在想把这些公式推广到多元函数。

Part 1余面积公式

· Formula

设 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 为 $C^1$ 函数，且 $\|\nabla f\| \ne 0$。取区间 $[a,b] \subset f(\mathbb{R}^n)$，则当 $t \in [a,b]$ 时，$f^{-1}(t)$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的超曲面。

事实上，任取 $x^0 \in f^{-1}(t)$，因为 $\|\nabla f(x^0)\| \ne 0$，不妨设 $\dfrac{\partial f}{\partial x_n}(x^0) \ne 0$。根据隐函数定理，方程

$$f(x_1,\cdots,x_n) - t = 0$$

存在 $C^1$ 的（局部）解

$$x_n = \varphi_t(x_1,\cdots,x_{n-1}),\quad (x_1,\cdots,x_{n-1}) \in D \subset \mathbb{R}^{n-1}.$$

即在 $x^0$ 附近 $f^{-1}(t)$ 是参数曲面。根据隐函数定理，上式中的 $\varphi_t$ 关于 $t$ 也是 $C^1$ 的。在该方程中对 $t$ 求导，得

$$\frac{\partial f}{\partial x_n} \frac{\partial x_n}{\partial t} - 1 = 0,$$

即

$$\frac{\partial x_n}{\partial t} = \left( \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^{-1}.$$

考虑变量替换 $\Phi: D \times [a,b] \to \mathbb{R}^n$，

$$\Phi(x_1,\cdots,x_{n-1},t) = (x_1,\cdots,x_{n-1},\varphi_t(x_1,\cdots,x_{n-1})),$$

易见其 Jacobi 行列式为

$$\det J\Phi = \frac{\partial \varphi_t}{\partial t} = \left( \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^{-1}.$$

如果记 $\Omega = \Phi(D \times [a,b])$，根据多重积分的变量替换公式就有

$$\begin{aligned} v(\Omega) &= \int_{D \times [a,b]} \left| \left( \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^{-1} \right| dx_1 \cdots dx_{n-1} dt \\\\ &= \int_a^b dt \int_D \left| \left( \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^{-1} \right| dx_1 \cdots dx_{n-1}. \end{aligned}$$

另一方面，我们考虑水平集 $f^{-1}(t)$ 上的第一型曲面积分。根据隐函数定理，上述参数方程满足条件

$$\frac{\partial \varphi_t}{\partial x_i} = -\frac{\partial f}{\partial x_i} \left( \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^{-1},\quad i = 1,\cdots,n-1.$$

因此

$$1 + \|\nabla \varphi_t\|^2 = \|\nabla f\|^2 \left( \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^{-2}.$$

根据第一型曲面积分的定义（即图象曲面的面积公式）得

$$\begin{aligned} \int_{f^{-1}(t) \cap \Omega} \frac{d\sigma}{\|\nabla f\|} &= \int_D \frac{1}{\|\nabla f\|} \sqrt{1 + \|\nabla \varphi_t\|^2} dx_1 \cdots dx_{n-1} \\\\ &= \int_D \left| \left( \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^{-1} \right| dx_1 \cdots dx_{n-1}, \end{aligned}$$

因此上式可改写为

$$v(\Omega) = \int_a^b dt \int_{f^{-1}(t) \cap \Omega} \frac{1}{\|\nabla f\|} d\sigma.$$

这个公式称为余面积公式（co-area formula）。类似的推导可以得到这个公式的一般情形，它可以看成重积分“投影法”的一般形式。

定理1（余面积公式）

设 $f$ 条件如上。如果 $g$ 为 $f^{-1}([a,b])$ 上的连续函数，则

$$\int_{f^{-1}([a,b])} g(x) dx_1 \cdots dx_n = \int_a^b dt \int_{f^{-1}(t)} \frac{g}{\|\nabla f\|} d\sigma.$$

这个公式将多重积分和第一型曲面积分联系起来了。我们看几个例子。

· 例题

/example/

$f$ 为坐标函数 $f(x) = x_n$。

当 $f(x) = x_n$ 时，$\|\nabla f\| = 1$。设 $D \subset \mathbb{R}^{n-1}$，则余面积公式成为

$$\int_{D \times [a,b]} g(x) dx_1 \cdots dx_n = \int_a^b dx_n \int_D g(x) dx_1 \cdots dx_{n-1},$$

这也就是多重积分化累次积分的公式。

/example/ 球体的体积和球面的面积之间的关系

考虑函数 $f(x) = r = \|x\|$，当 $x \ne 0$ 时 $\|\nabla r\| = 1$，根据余面积公式就得到

$$v(B_R) = v(f^{-1}[0,R]) = \lim_{\varepsilon \to 0} v(f^{-1}[\varepsilon,R]) = \int_0^R \sigma(S_t) dt,$$

其中，$B_R$ 是半径为 $R$ 的球体 $\{\|x\| \le R\}$，$S_t$ 是半径为 $t$ 的球面 $\{\|x\| = t\}$。特别地，在 (14.15) 中关于 $R$ 求导，得

$$\sigma(S_R) = \frac{d}{dR} v(B_R),$$

我们已经知道球体的体积公式 $v(B_R) = \omega_n R^n$，因此从上式可立即得到球面的面积公式

$$\sigma(S_R) = n \omega_n R^{n-1}.$$

例如，$n = 2$ 时半径为 $R$ 的圆盘的面积为 $\pi R^2$，从而半径为 $R$ 的圆周的周长为 $(\pi R^2)' = 2\pi R$；$n = 3$ 时，半径为 $R$ 的球体体积为 $(4/3)\pi R^3$，因此半径为 $R$ 的球面的面积为 $((4/3)\pi R^3)' = 4\pi R^2$。

需要说明的是，如果函数 $f$ 有有限个临界点（驻点），则在广义积分的意义下，余面积公式也成立。

当 $m \le n$ 时，对于满足一定条件的映射 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$，也有更一般的余面积公式。

Part 2 Green 公式

· 边界定向

考虑平面 $\mathbb{R}^2$ 上的有界闭域 $\Omega$，假定其边界由有限条 $C^1$ 曲线组成。$\mathbb{R}^2$ 上的标准定向限制在 $\Omega$ 上就得到 $\Omega$ 的定向。$\Omega$ 的边界 $\partial\Omega$ 有所谓的诱导定向。

这个诱导定向定义如下：设 $(x(t), y(t))$ 为 $\partial\Omega$ 的一段参数曲线，则 $(x'(t), y'(t))$ 为切向量，$(y'(t), -x'(t))$ 为法向量。如果 $(y'(t), -x'(t))$ 为相对于区域 $\Omega$ 的外法向量，则参数 $t$ 决定的边界方向称为诱导定向。

直观上看，从外法向到切向的旋转方向是逆时针的，这种确定边界定向的方法又称作“右手法则”。

/example/ 环形区域的边界定向

设 $b > a > 0$，平面区域 $\{a^2 \le x^2 + y^2 \le b^2\}$ 是半径为 $b$ 的大圆盘内挖去一个半径为 $a$ 的小圆盘形成的环形区域。

它的边界由圆周 $\{x^2 + y^2 = b^2\}$ 和 $\{x^2 + y^2 = a^2\}$ 组成。

按照诱导定向的定义，在大圆 $\{x^2 + y^2 = b^2\}$ 上，方向是逆时针的；而在小圆 $\{x^2 + y^2 = a^2\}$ 上，方向应是顺时针的。

· Green

下面的重要结果将二重积分和第二型曲线积分联系起来了，这个结果通常称为 Green 公式。

定理2（Green）

设 $\Omega$ 为平面有界区域，其边界由有限条 $C^1$ 曲线组成，边界的定向为诱导定向。如果 $P, Q$ 为 $\Omega$ 上的连续可微函数，则

$$\int_\Omega \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy = \int_{\partial\Omega} P dx + Q dy.$$

/proof/

我们只证明这个定理的一个特殊情形，一般的情形可以借助下一章的单位分解定理转化为这种特殊情形。先做一些预备工作。

设 $\varphi: D \to \Omega$ 为 $C^2$ 的可逆映射，记为

$$\varphi(u,v) = (x(u,v), y(u,v)),\quad (u,v) \in D.$$

它可以看成 $\mathbb{R}^2$ 内的一个坐标变换。假设 $\varphi$ 是保持定向的，且 $\varphi(\partial D) = \partial\Omega$。我们考察在这个坐标变换下二重积分和第二型曲线积分如何变化。为此设 $\varphi$ 将曲线 $\gamma(t) = (u(t),v(t))$ 映为曲线 $\sigma(t) \subset \partial\Omega$，$t \in [\alpha,\beta]$。按照第二型曲线积分的定义，有

$$\int_\sigma P dx + Q dy = \int_\alpha^\beta \left[ P(\sigma(t)) x'(t) + Q(\sigma(t)) y'(t) \right] dt.$$

根据复合求导的链规则，有

$$\begin{aligned} P(\sigma(t)) x'(t) + Q(\sigma(t)) y'(t) &= P \cdot (x_u \cdot u'(t) + x_v \cdot v'(t)) + Q \cdot (y_u \cdot u'(t) + y_v \cdot v'(t))\\\\ &= (P \cdot x_u + Q \cdot y_u) u'(t) + (P \cdot x_v + Q \cdot y_v) v'(t).\\ \end{aligned}$$

如果记

$$\tilde{P} = P \cdot x_u + Q \cdot y_u,\quad \tilde{Q} = P \cdot x_v + Q \cdot y_v,$$

则上面的计算表明

$$\int_\gamma \tilde{P} du + \tilde{Q} dv = \int_\sigma P dx + Q dy,$$

用到整个区域边界上就得到

$$\int_{\partial D} \tilde{P} du + \tilde{Q} dv = \int_{\partial\Omega} P dx + Q dy,$$

这是第二型曲线积分在坐标变换下的变换公式。

同理，根据复合求导的链规则，有

$$\frac{\partial P}{\partial u} = \frac{\partial P}{\partial x} \cdot x_u + \frac{\partial P}{\partial y} \cdot y_u,\quad \frac{\partial P}{\partial v} = \frac{\partial P}{\partial x} \cdot x_v + \frac{\partial P}{\partial y} \cdot y_v,$$

由此得到

$$\frac{\partial P}{\partial y} (x_u y_v - y_u x_v) = \frac{\partial P}{\partial v} x_u - \frac{\partial P}{\partial u} x_v,$$

同理可得

$$\frac{\partial Q}{\partial x} (x_u y_v - y_u x_v) = \frac{\partial Q}{\partial u} y_v - \frac{\partial Q}{\partial v} y_u,$$

因此有

$$\begin{aligned} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \cdot \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} &= \left( \frac{\partial P}{\partial u} x_v + \frac{\partial Q}{\partial u} y_v \right) - \left( \frac{\partial P}{\partial v} x_u + \frac{\partial Q}{\partial v} y_u \right)\\\\ &= \frac{\partial(P x_v + Q y_v)}{\partial u} - \frac{\partial(P x_u + Q y_u)}{\partial v}\\\\ &= \frac{\partial \tilde{Q}}{\partial u} - \frac{\partial \tilde{P}}{\partial v}. \end{aligned}$$

当 $\varphi$ 保持定向时，$x_u y_v - y_u x_v > 0$，根据重积分的变量代换公式就有

$$\int_D \left( \frac{\partial \tilde{Q}}{\partial u} - \frac{\partial \tilde{P}}{\partial v} \right) du dv = \int_\Omega \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy.$$

结合起来我们就发现，要说明 Green 公式在 $\Omega$ 上成立，只要说明它在 $D$ 上成立即可，反之亦然。

因此，证明 Green 公式的思路就是将一般的区域变为较为简单的区域，然后在较为简单的区域上考虑问题。

为此仍设 $\sigma(t) = (x(t), y(t))$ 为 $\partial\Omega$ 的一段 $C^2$ 参数曲线，$t \in [\alpha,\beta]$。设 $t_0 \in (\alpha,\beta)$，且 $x'(t_0) \ne 0$。

通过适当的平移变换以及保定向的正交变换，不妨设 $(x(t_0), y(t_0)) = (0,0)$，$(x'(t_0), y'(t_0)) = (1,0)$。

因为 $x'(t_0) > 0$，由反函数定理，在 $t = t_0$ 附近 $t$ 可以表示为 $x$ 的函数，从而曲线 $\sigma(t)$ 可以用参数 $x$ 表示，即 $\sigma$ 可以表示为 $\sigma(x) = (x, \phi(x))$，$x \in [-a,a]$。

这个过程就是将曲线重新参数化，使得 $\sigma$ 表示为函数 $\phi(x)$ 的图像。由于 $\phi(0) = 0$，存在 $0 < \varepsilon < a/2$，使得

$$|\phi(x)| < a/2,\quad \forall x \in [-\varepsilon,\varepsilon].$$

现在我们再作一个假设：设 $P, Q$ 在 $B_\varepsilon(0)$ 之外恒为零。这样，我们就只需在简单区域 $\Omega \cap B_\varepsilon(0)$ 中考虑 Green 公式即可。

由于 $(1,0)$ 是原点处的切向，按照右手法则，$(0,-1)$ 应是原点处的单位外法向，因此区域位于 $\phi(x)$ 图像的上方。

为了简化区域，进一步考虑坐标变换

$$\varphi(x,y) = (x, y - \phi(x)),\quad (x,y) \in [-a,a] \times [-a,a].$$

这是保持定向的坐标变换，$\varphi(x,\phi(x)) = (x,0)$，即 $\varphi$ 将 $\sigma$ 变为了 $x$ 轴，且

$$\varphi(\Omega \cap B_\varepsilon(0)) \subset [-a,a] \times [-a,a].$$

由于边界诱导定向要求法向量 $(0,-1)$ 方向向外，因此 $\varphi(B_\varepsilon(0) \cap \Omega)$ 实际上包含于上半平面。

由于 $P, Q$ 在 $B_\varepsilon(0)$ 之外恒为零，我们现在只要在矩形 $[-a,a] \times [0,a]$ 上证明 Green 公式就可以了。

矩形 $I = [-a,a] \times [0,a]$ 由四条边组成，其中 $(x,0)$ ($x \in [-a,a]$) 代表原来的曲线 $\sigma$，而 $P, Q$ 在其余三条边附近均为零。

因此

$$\int_{\partial I} P dx + Q dy = \int_{-a}^a P(x,0) dx,$$

且

$$\begin{aligned} \int_I \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy & = \int_0^a dy \int_{-a}^a \frac{\partial Q}{\partial x} dx - \int_{-a}^a dx \int_0^a \frac{\partial P}{\partial y} dy\\\\ &= \int_0^a [Q(a,y) - Q(-a,y)] dy - \int_{-a}^a [P(x,a) - P(x,0)] dx\\\\ &= \int_{-a}^a P(x,0) dx, \end{aligned}$$

这说明 Green 公式在 $I$ 上成立。

注意：在证明过程中，我们假设了边界是 $C^2$ 曲线，这个条件可以减弱为 $C^1$。更一般地，利用光滑逼近可以证明，当区域边界由有限条可求长连续曲线组成时，Green 公式仍然成立。特别地，当边界由分段 $C^1$ 曲线组成时，Green 公式成立。

/example/ 简单闭曲线所围区域的面积

设 $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ ($t \in [\alpha,\beta]$) 为 $\mathbb{R}^2$ 上分段连续可微的简单闭曲线，它围成的区域记为 $\Omega$。在 Green 公式中取 $P(x,y) = -y$, $Q(x,y) = x$，则得到如下面积公式

$$\begin{aligned} \sigma(\Omega) &= \frac{1}{2} \int_\Omega \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy = \frac{1}{2} \int_\Omega P dx + Q dy\\\\ &= \frac{1}{2} \int_\alpha^\beta [x(t) y'(t) - x'(t) y(t)] dt, \end{aligned}$$

其中，参数 $t$ 选取的方向是逆时针的。

作为例子，考虑椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 所围成的面积。椭圆的参数方程为

$$x(t) = a \cos t,\quad y(x) = b \sin t,\quad t \in [0,2\pi],$$

于是其面积为

$$\sigma = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} (a \cos t \cdot b \cos t + a \sin t \cdot b \sin t) dt = \pi ab.$$

· 平面分部积分公式

在 Green 公式的条件下，如果 $v$ 为 $C^1$ 函数，则由

$$\frac{\partial(Qv)}{\partial x} - \frac{\partial(Pv)}{\partial y} = \left[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right] v + \left[ Q \frac{\partial v}{\partial x} - P \frac{\partial v}{\partial y} \right]$$

可得

$$\int_\Omega \left[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right] v\, dx dy = \int_{\partial\Omega} v(P\, dx + Q\, dy) - \int_\Omega \left[ Q \frac{\partial v}{\partial x} - P \frac{\partial v}{\partial y} \right] dx dy.$$

这可以看成平面上的分部积分公式。

对于 $C^2$ 函数 $u$，如果记

$$\Delta u = u_{xx} + u_{yy} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2},\quad \nabla u = (u_x, u_y) = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y} \right),$$

以 $P = -u_y$, $Q = u_x$ 代入上式得

$$\int_\Omega v \Delta u\, dx dy = \int_{\partial\Omega} v(-u_y\, dx + u_x\, dy) - \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v\, dx dy.$$

利用单位外法向量 $\vec{n}$、弧长参数 $s$ 以及等式

$$\vec{n}\, ds = (y'(t), -x'(t))\, dt,$$

可以将上式改写为

$$\int_\Omega v \Delta u\, dx dy = \int_{\partial\Omega} v(\nabla u \cdot \vec{n})\, ds - \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v\, dx dy,$$

或用方向导数继续改写为

$$\int_\Omega v \Delta u\, dx dy = \int_{\partial\Omega} v \frac{\partial u}{\partial n}\, ds - \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v\, dx dy.$$

如果 $v$ 也是 $C^2$ 函数，则在上式中交换 $u$ 与 $v$ 的位置，然后两式相减可得

$$\int_\Omega (v \Delta u - u \Delta v)\, dx dy = \int_{\partial\Omega} \left( v \frac{\partial u}{\partial n} - u \frac{\partial v}{\partial n} \right) ds.$$

这些都是很有用的公式。

Part 3 Gauss 公式

设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^3$ 中的有界区域，其边界 $\partial\Omega$ 为 $C^1$ 曲面。边界定向为诱导定向，即外侧方向。与平面上的 Green 公式类似，下面的 Gauss 公式将三重积分与第二型曲面积分联系起来了。

· Gauss

定理3（Gauss）

设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^3$ 中的有界区域，其边界由有限个 $C^1$ 曲面组成，曲面的定向为诱导定向。如果 $P, Q, R$ 为 $\Omega$ 上的连续可微函数，则

$$\int_\Omega \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dx dy dz = \int_{\partial\Omega} P dy \wedge dz + Q dz \wedge dx + R dx \wedge dy.$$

/proof/

和 Green 公式一样，我们证明一个特殊情形：在某个边界点的一个小邻域之外，$P, Q$ 和 $R$ 均恒为零。证明的思路也是类似的，先说明 Gauss 公式在坐标变换下具有不变性，然后利用坐标变换将问题变为矩形区域内的 Gauss 公式。

为此，设 $\varphi: \tilde{\Omega} \to \Omega$ 为 $C^2$ 的保定向坐标变换，记为

$$\varphi(u,v,w) = (x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w)),\quad (u,v,w) \in \tilde{\Omega}.$$

设 $\varphi: \tilde{\Omega} \to \Omega$ 为 $C^2$ 的保定向坐标变换，记为

$$\varphi(u,v,w) = (x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w)),\quad (u,v,w) \in \tilde{\Omega}.$$

定义新函数

$$\tilde{P} = P \frac{\partial(y,z)}{\partial(v,w)} + Q \frac{\partial(z,x)}{\partial(w,u)} + R \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)},$$

$$\tilde{Q} = P \frac{\partial(y,z)}{\partial(w,u)} + Q \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,w)} + R \frac{\partial(x,y)}{\partial(v,u)},$$

$$\tilde{R} = P \frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} + Q \frac{\partial(z,x)}{\partial(v,u)} + R \frac{\partial(x,y)}{\partial(w,v)}.$$

利用复合求导的链规则以及第二型曲面积分的定义不难得到

$$\int_{\partial\tilde{\Omega}} \tilde{P}\, dv \wedge dw + \tilde{Q}\, dw \wedge du + \tilde{R}\, du \wedge dv = \int_{\partial\Omega} P\, dy \wedge dz + Q\, dz \wedge dx + R\, dx \wedge dy.$$

这是坐标变换下第二型曲面积分的变换公式。为了得到重积分的变换公式，注意到

$$(P_u, P_v, P_w) = (P_x, P_y, P_z) \cdot \begin{pmatrix} x_u & x_v & x_w \\ y_u & y_v & y_w \\ z_u & z_v & z_w \end{pmatrix},$$

根据逆矩阵的表达式可以解得

$$\frac{\partial P}{\partial x} \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = P_u \frac{\partial(y,z)}{\partial(v,w)} + P_v \frac{\partial(y,z)}{\partial(w,u)} + P_w \frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)},$$

同理可得

$$\frac{\partial Q}{\partial y} \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = Q_u \frac{\partial(z,x)}{\partial(v,w)} + Q_v \frac{\partial(z,x)}{\partial(w,u)} + Q_w \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)},$$

$$\frac{\partial R}{\partial z} \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = R_u \frac{\partial(x,y)}{\partial(v,w)} + R_v \frac{\partial(x,y)}{\partial(w,u)} + R_w \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}.$$

直接的计算表明

$$\frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{\partial(y,z)}{\partial(v,w)} \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{\partial(y,z)}{\partial(w,u)} \right) + \frac{\partial}{\partial w} \left( \frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} \right) = 0,$$

在上式中将 $(y,z)$ 换成 $(z,x)$ 或 $(x,y)$ 也成立。利用这些等式不难得到

$$\frac{\partial \tilde{P}}{\partial u} + \frac{\partial \tilde{Q}}{\partial v} + \frac{\partial \tilde{R}}{\partial w} = \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)},$$

如果 $\varphi$ 是保持定向的坐标变换，则由重积分的变量替换公式及上式就得到

$$\int_{\tilde{\Omega}} \left( \frac{\partial \tilde{P}}{\partial u} + \frac{\partial \tilde{Q}}{\partial v} + \frac{\partial \tilde{R}}{\partial w} \right) du\,dv\,dw = \int_\Omega \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dx\,dy\,dz.$$

结合上式，我们就知道要说明 Gauss 公式在 $\Omega$ 上成立，只要说明它在 $\tilde{\Omega}$ 上成立即可，反之亦然。

通过平移以及适当的保定向的正交变换，我们可以假设 $(x_0,y_0,z_0) = (0,0,0)$，$P,Q,R$ 在 $B_\varepsilon(0)$ 外恒为零，且 $\partial\Omega \cap B_\varepsilon(0)$ 为 $C^1$ 函数 $\phi(x,y)$ 的图像，其中 $\phi(0,0) = 0$, $\nabla\phi(0,0) = (0,0)$。

此时，在原点 $(0,0,0)$ 处的单位外法向是 $(0,0,1)$，因此区域 $\Omega \cap B_\varepsilon(0)$ 位于图像的下方。

与 Green 公式的证明类似，通过适当的保定向的坐标变换，我们将该区域变为矩形区域 $I = [-a,a]^2 \times [-a,0]$ 的一部分，在这个变换下边界 $\partial\Omega \cap B_\varepsilon(0)$ 变为 $[-a,a]^2 \times \{0\}$ 的一部分，而 $P,Q,R$ 在经过变换后在矩形 $[-a,a]^2 \times [-a,0]$ 的其它几个边界面附近恒为零。我们只要在这个矩形区域上验证 Gauss 公式成立就行了。

经过这些预备以后我们得到

$$\int_{\partial I} P\, dy \wedge dz + Q\, dz \wedge dx + R\, dx \wedge dy = \int_{[-a,a]^2} R(x,y,0)\, dx\,dy,$$

以及

$$\begin{aligned} &\int_I \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dx\,dy\,dz\\\\ &= \int_{-a}^a dy \int_{-a}^0 dz \int_{-a}^a \frac{\partial P}{\partial x} dx + \int_{-a}^a dx \int_{-a}^0 dz \int_{-a}^a \frac{\partial Q}{\partial y} dy + \int_{-a}^a dx \int_{-a}^a dy \int_{-a}^0 \frac{\partial R}{\partial z} dz\\\\ &= \int_{-a}^a dy \int_{-a}^0 [P(a,y,z) - P(-a,y,z)] dz \\\\&+ \int_{-a}^a dx \int_{-a}^0 [Q(x,a,z) - Q(x,-a,z)] dz + \int_{-a}^a dx \int_{-a}^a [R(x,y,0) - R(x,y,-a)] dy\\\\ &= \int_{-a}^a dx \int_{-a}^a R(x,y,0)\, dy, \end{aligned}$$

这说明 Gauss 公式在我们的假设下成立。

注意：当区域的边界是分片 $C^1$ 时 Gauss 公式仍然成立，证明的方法也可以推广到一般的欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 中。

· 曲面所围区域的体积

/example/ 曲面所围区域的体积

设有界区域 $\Omega$ 的边界为 $C^1$ 曲面，在 Gauss 公式中取 $P = x$, $Q = y$, $R = z$ 就得到了体积公式

$$v(\Omega) = \frac{1}{3} \int_{\partial\Omega} x\, dy \wedge dz + y\, dz \wedge dx + z\, dx \wedge dy.$$

作为例子，我们计算椭球 $E(a,b,c) = \left\{ \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} \le 1 \right\}$ 的体积。取广义球面坐标

$$x = a \sin\varphi \cos\theta,\quad y = b \sin\varphi \sin\theta,\quad z = c \cos\varphi,\quad \varphi \in [0,\pi],\ \theta \in [0,2\pi].$$

这个坐标在椭球面上给出的方向是外侧的，因此

$$\begin{aligned} v(E(a,b,c)) &= \frac{1}{3} \int_{\partial\Omega} x\, dy \wedge dz + y\, dz \wedge dx + z\, dx \wedge dy\\\\ &= \frac{1}{3} \int_0^\pi d\varphi \int_0^{2\pi} \left[ x \cdot \frac{\partial(y,z)}{\partial(\varphi,\theta)} + y \cdot \frac{\partial(z,x)}{\partial(\varphi,\theta)} + z \cdot \frac{\partial(x,y)}{\partial(\varphi,\theta)} \right] d\theta\\\\ &= \frac{1}{3} \int_0^\pi d\varphi \int_0^{2\pi} [abc \sin^3\varphi \cos^2\theta + abc \sin^3\varphi \sin^2\theta + abc \cos^2\varphi \sin\varphi] d\theta\\\\ &= \frac{1}{3} \int_0^\pi d\varphi \int_0^{2\pi} abc \sin\varphi\, d\theta = \frac{4}{3} \pi abc. \end{aligned}$$

· 散度形式

Gauss 公式的散度形式：

以函数 $P,Q,R$ 为分量的向量场记为 $\vec{X} = (P,Q,R)$。向量场的散度 $\mathrm{div}\,\vec{X}$ 定义为

$$\mathrm{div}\,\vec{X} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z},$$

则 Gauss 公式可以写为

$$\int_\Omega \mathrm{div}\,\vec{X}\, dx\,dy\,dz = \int_{\partial\Omega} \vec{X} \cdot \vec{n}\, d\sigma,$$

其中 $\vec{n}$ 为边界曲面的单位外法向量。

作为一个物理应用，考虑分布在区域 $\Omega$ 内的电荷产生的电场 $\vec{E}$，假设电荷密度为 $\rho(x,y,z)$，则 $\vec{E}$ 在区域边界上的电通量为

$$\int_{\partial\Omega} \vec{E} \cdot \vec{n}\, d\sigma = \int_\Omega 4\pi\rho(x,y,z)\, dx\,dy\,dz,$$

利用 Gauss 公式的散度形式，得

$$\int_\Omega (\mathrm{div}\,\vec{E} - 4\pi\rho)\, dx\,dy\,dz = 0,$$

在上式中将区域缩为一点就得到电场的 Gauss 定律：

$$\mathrm{div}\,\vec{E} = 4\pi\rho.$$

· 分部积分

$\mathbb{R}^3$ 中的分部积分公式：

设 $v$ 为 $C^1$ 函数，如同 Green 公式的情形一样，在 Gauss 公式中用 $vP, vQ, vR$ 分别代替 $P,Q,R$ 可得

$$\begin{aligned} \int_\Omega v \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dx\,dy\,dz &= \int_{\partial\Omega} v(P\, dy \wedge dz + Q\, dz \wedge dx + R\, dx \wedge dy\\\\ &- \int_\Omega \left( P \frac{\partial v}{\partial x} + Q \frac{\partial v}{\partial y} + R \frac{\partial v}{\partial z} \right) dx\,dy\,dz, \end{aligned}$$

或改写为

$$\int_\Omega v \cdot \mathrm{div}\,\vec{X}\, dx\,dy\,dz = \int_{\partial\Omega} v \vec{X} \cdot \vec{n}\, d\sigma - \int_\Omega \vec{X} \cdot \nabla v\, dx\,dy\,dz,$$

其中 $\vec{n}$ 为单位外法向量，$\nabla v = (v_x, v_y, v_z)$ 为 $v$ 的梯度。

设 $u$ 为 $C^2$ 函数，记

$$\Delta u = \mathrm{div}\,\nabla u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2},$$

在上式中以 $\vec{X} = \nabla u$ 代入，有

$$\int_\Omega v \Delta u\, dx\,dy\,dz = \int_{\partial\Omega} v \frac{\partial u}{\partial n}\, d\sigma - \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v\, dx\,dy\,dz.$$

如果 $v$ 也是 $C^2$ 函数，则在上式中交换 $u,v$ 的位置然后两式相减可得

$$\int_\Omega (v \Delta u - u \Delta v)\, dx\,dy\,dz = \int_{\partial\Omega} \left( v \frac{\partial u}{\partial n} - u \frac{\partial v}{\partial n} \right) d\sigma.$$

上面这些公式都很有用，特别是在研究欧氏空间中的调和函数的时候（满足方程 $\Delta u = 0$ 的函数 $u$ 称为调和函数）。

Part 4 Stokes 公式

设 $\Sigma$ 为 $\mathbb{R}^3$ 中 $C^2$ 的定向曲面，$\Omega$ 为 $\Sigma$ 上的有界区域，其边界为 $C^1$ 曲线。我们在边界 $\partial\Omega$ 上用“右手法则”定义诱导定向如下：边界在曲面上的外法向量与边界的切向量的叉乘得到的曲面法向量与曲面的定向给出的法向量同向。

即如果用右手从曲线外法向到切向作旋转，则大拇指所指方向为定向曲面的法向。

下面的 Stokes 公式将第二型曲面积分与第二型曲线积分联系起来了。

· Stokes

定理4 (Stokes)：

设 $\Sigma$ 为定向曲面，$\Omega$ 为曲面上的有界区域，其边界赋以诱导定向。如果 $P,Q,R$ 为 $\Omega$ 上的连续可微函数，则

$$\int_\Omega \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) dy \wedge dz + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) dz \wedge dx + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx \wedge dy = \int_{\partial\Omega} P\, dx + Q\, dy + R\, dz.$$

和前面一样，我们只证明一个特殊情形：假定 $\varphi: D \to \mathbb{R}^3$ 为定向曲面的 $C^2$ 参数表示，且 $\varphi(\tilde{\Omega}) = \Omega$，$\tilde{\Omega}$ 为 $D \subset \mathbb{R}^2$ 中的有界区域。根据诱导定向的定义，$\partial\tilde{\Omega}$ 的定向也是平面上的诱导定向。

我们来讨论在参数表示下 Stokes 公式中的两个积分如何变化。记

$$\varphi(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)),\quad (u,v) \in D.$$

令

$$S = P x_u + Q y_u + R z_u,\quad T = P x_v + Q y_v + R z_v,$$

根据第二型曲线积分的定义不难得到

$$\int_{\partial\tilde{\Omega}} S\, du + T\, dv = \int_{\partial\Omega} P\, dx + Q\, dy + R\, dz.$$

从 $S,T$ 的定义可推出

$$T_u - S_v = (P_u x_v - P_v x_u) + (Q_u y_v - Q_v y_u) + (R_u z_v - R_v z_u).$$

根据复合求导的链规则，有

$$P_u = P_x x_u + P_y y_u + P_z z_u,\quad P_v = P_x x_v + P_y y_v + P_z z_v,$$

关于 $Q,R$ 有完全类似的等式，将它们代入上式得

$$\begin{aligned} T_u - S_v &= P_y (y_u x_v - x_u y_v) + P_z (z_u x_v - x_u z_v)\\ \\ &+ Q_x (x_u y_v - y_u x_v) + Q_z (z_u y_v - y_u z_v)\\ \\ &+ R_x (x_u z_v - z_u x_v) + R_y (y_u z_v - z_u y_v), \end{aligned}$$

或改写为

$$\begin{aligned} T_u - S_v &= \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) \frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} \\\\ &+ \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)} \\\\ &+ \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}, \end{aligned}$$

根据第二型曲面积分的定义可得

$$\begin{aligned} \int_\Omega (T_u - S_v)\, du\,dv &= \int_\Omega \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) dy \wedge dz \\\\ &+ \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) dz \wedge dx \\\\ & + \int_\Omega \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx \wedge dy, \end{aligned}$$

另一方面，由平面上的 Green 公式得到

$$\int_{\tilde{\Omega}} (T_u - S_v)\, du\,dv = \int_{\partial\tilde{\Omega}} S\, du + T\, dv,$$

将以上两式和前式结合起来就得到了曲面 Stokes 公式的证明。

注意：曲面是分片 $C^1$ 时 Stokes 公式仍然成立

· 旋度表示

Stokes 公式的旋度表示：

设 $\vec{X} = (P,Q,R)$ 为向量场，定义其旋度为

$$\mathrm{rot}\,\vec{X} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\ \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right).$$

有时也用 $\mathrm{curl}\,\vec{X}$ 表示旋度。利用旋度，Stokes 公式可以改写为

$$\int_\Omega \mathrm{rot}\,\vec{X} \cdot \vec{n}\, d\sigma = \int_{\partial\Omega} \vec{X} \cdot \vec{T}\, ds,$$

其中 $\vec{n}$ 为曲面的单位法向量，$\vec{T}$ 为曲线的单位切向量，$s$ 为弧长参数。

· 分部积分

曲面上的分部积分公式：

设 $v$ 为 $C^1$ 函数，$\vec{X} = (P,Q,R)$ 为向量场，由旋度的定义易得

$$\mathrm{rot}(v\vec{X}) = v \cdot \mathrm{rot}\,\vec{X} + \left( R \frac{\partial v}{\partial y} - Q \frac{\partial v}{\partial z},\ P \frac{\partial v}{\partial z} - R \frac{\partial v}{\partial x},\ Q \frac{\partial v}{\partial x} - P \frac{\partial v}{\partial y} \right),$$

利用向量的叉乘，上式可以改写为

$$\mathrm{rot}(v\vec{X}) = v \cdot \mathrm{rot}\,\vec{X} + \nabla v \times \vec{X},$$

代入上式得

$$\int_\Omega v (\mathrm{rot}\,\vec{X} \cdot \vec{n})\, d\sigma = \int_{\partial\Omega} v (\vec{X} \cdot \vec{T})\, ds - \int_\Omega (\nabla v \times \vec{X}) \cdot \vec{n}\, d\sigma.$$

如果 $u$ 为 $C^1$ 函数，以 $\vec{X} = \nabla u$ 代入上式可得（注意梯度的旋度为零）

$$\int_\Omega (\nabla u \times \nabla u) \cdot \vec{n}\, d\sigma = \int_{\partial\Omega} v \frac{\partial u}{\partial s}\, ds,$$

其中

$$\frac{\partial u}{\partial s} = \nabla u \cdot \vec{T}$$

是 $u$ 沿切向的方向导数。

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2025/12/28 03:39

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